Ph ương phỏp tớch phõn trực tiếp Newmark

Chương 3 Mở đầ u

3.4Ph ương phỏp tớch phõn trực tiếp Newmark

                  2 2 2 2 2 4 3 3 36 3 36 4 3 36 30 1 l l l l l l l k l k (2.51) (2.50) và (2.51) là ma trận đối xứng. Ma trận độ cứng hỡnh học phần tử sinh ra bởi lực dọc trục N cú dạng tương tự như (2.51).                   2 2 2 4 3 3 36 3 36 4 3 36 30 1 l l l l l l l N l kN (2.52)

Ma trận khối lượng phần tử cú dạng tương tựnhư (2.50).

                    3 2 3 2 2 3 2 4 22 3 13 156 13 54 4 22 156 420 1 l l l l l l l l l l A m  (2.53) 2.9 Vectơ lực nỳt phần tử

Hàm số dưới dấu tớch phõn trong phương trỡnh (2.43) chớnh là giỏ trị của

hàm đỏnh giỏ tại vị trớ lực tỏc dụng. Vỡ thế vế phải của phương trỡnh (2.43) chớnh là

[ ] f(t) , trong đú x là khoảng cỏch từ điểm đặt lực tới nỳt trỏi của phần tử. Vậy,

{ } = { , , , } ( ) (2.54)

Trong đú , , , cho bởi phương trỡnh (2.47) với x được xỏc định từ vị trớ

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2

Chương 2 đó xõy dựng phương trỡnh chuyển động theo ngụn ngữ phần tử

hữu hạn cho hệ dầm - nền chịu tỏc dụng của tải trọng di động điều hoà. Xuất phỏt từ biểu thức năng lượng biến dạng toàn phần và biểu thức động năng của dầm, phương trỡnh chuyển động cho hệ liờn tục dầm -nền. Sử dụng phương phỏp

Galerkin cho hệ rời rạc hoỏ đó thu được phương trỡnh phần tử hữu hạn của bài toỏn dầm trờn nền đàn hồi Pasternark dưới tỏc động của lực di động.

Sử dụng cỏc đa thức Hermite bậc ba làm cỏc hàm trọng số trong phương

phỏp Galerkin, cỏc ma trận độ cứng sinh ra từ biến dạng của dầm, nền đàn hồi và ảnh hưởng của lực dọc trục đó được tớnh dưới dạng hiện. Ma trận khối lượng cũng được xõy dựng trờn cơ sở cỏc hàm dạng Hermite.

Chương 3

THUẬT TOÁN VÀ CHƯƠNG TRèNH SỐ

Mở đầu

Trờn cơ sở cỏc cụng thức PTHH Galerkin trỡnh bày trong chương 2 đó xõy dựng được phương trỡnh chuyển động cho kết cấu dầm nằm trờn nền đàn hồi dưới tỏc dụng của lực di động (2.45). Để tỡm được cỏc ứng xửđộng học của dầm, tức là phõn tớch lịch sử - thời gian thỡ cần phải giải phương trỡnh (2.45). Cú nhiều phương phỏp khỏc nhau để nghiờn cứu bài toỏn lịch sử thời gian. Phương

phỏp tớch phõn trực tiếp thay thế cỏc đạo hàm theo thời gian của cỏc đại lượng

trong phương trỡnh (2.45) bằng cỏc sai phõn của chuyển dịch D ở cỏc khoảng thời gian khỏc nhau, đõy là phương phỏp hiện được sử dụng rộng rói hơn cả.

Phương phỏp tớch phõn trực tiếp là sự lựa chọn khỏc thay cho phương phỏp

modal trong phõn tớch ứng xử động học và tỏ ra hữu hiệu cho nhiều bài toỏn

động lực học kết cấu, lan truyền súng, kể cả cỏc bài toỏn phi tuyến phức hợp. Thuật toỏn và chương trỡnh số xõy dựng trong chương này dựa trờn cơ sở phương phỏp tớch phõn trực tiếp Newmark.

3.1 Vec-tơ lực nỳt kết cấu

Theo cụng thức phần tử hữu hạn trong chương 2, vectơ lực nỳt của phần tử

thứi được định nghĩa bởi:

=∫ [ ] . ( ) ( − ( )) = { , , , } ( ) (3.1)

Như vậy, vectơ lực nỳt kết cấu nhận được bằng cỏch nối ghộp ri theo phương

phỏp phần tử hữu hạn: =   NE i i r 1 (3.2) 3.2 Trường hợp một tải trọng tỏc dụng lờn dầm

Trờn Hỡnh 3.1, hoành độ x được đo từ nỳt bờn trỏi của phần tử mà lực tỏc dụng lờn nú. Đối với mỗi phần tử thỡ toạđộnày được xỏc định như sau:

x = s(t) – (n-1)l = v0t + −( −1) (3.3)

Trong đú, n là số phần tử trờn đú tải trọng f(t) tỏc dụng và t là thời gian hiện tại, a là gia tốc khụng đổi của tải trọng. Như vậy, khi hoành độx được xỏc

định ta tớnh được, hàm trọng số Hiđược biết ở chương 2. Khi tải trọng chuyển

động thỡ vectơ lực nỳt của cỏc phần tử khụng cú tải luụn bằng khụng. Vỡ vậy, biểu thức vectơ lực nỳt của kết cấu cú dạng như sau:

∑ ∫ [ ] ( , ) = 0 0 0 …∫ [ ] ( , ) … 0 0 0 (3.4)

={0 0 0 … … 0 0 0}

Hỡnh 3.1: Dầm trờn nền đàn hồi chịu một tải trọng di động và vec-tơ lực nỳt nhất quỏn cho phần tử

Trong đú: (FL, FR, ML, MR) lực và momen ở nỳt bờn trỏi và bờn phải của phần tử cú tải trọng tỏc dụng được cho bởi:

FL = H1 ( ); ML = H2 ( )

FR = H3 ( ); MR = H4 ( ) (3.5)

được ký hiệu là biểu thức miờu tả giỏ trị của cỏc hàm trọng sốở vị trớ mà tải trọng tỏc dụng lờn dầm . Như vậy, từ phương trỡnh (3.4) và (3.5) xỏc định

được vectơ lực nỳt của kết cấu tại thời điểm t.

3.3 Trường hợp đa tải trọng

Với phần tử thứ j trờn đú cú lực tỏc dụng, hoành độ xj từ nỳt trỏi phần tử được tớnh như sau:

xj = s(t) – (j-1)l (3.10)

Trong đú, j là kớ hiệu số phần tử chịu tỏc dụng của lực di động fj(t). Lưu ý rằng, vectơ lực nỳt chỉ khỏc khụng cho những phần tử cú tỏc dụng của lực di

động. Những số hạng đầu tiờn của vectơ lực nỳt là những vectơ khụng đổi và nú cú dạng như sau:

Hỡnh 3.2: Dầm chịu n tải trọng di động và lực nỳt nhất quỏn cho phần tử chịu lực fj

Với trường hợp n tải trọng tỏc dụng lờn dầm (Hỡnh 3.2) thỡ vectơ lực nỳt kết cấu cú thểđược viết như sau:

[ ] ( ) = 0 0 0 … … 0 0 0 … … 0 0 0 … … 0 0 0 (3.6) Trong đú, FLi = H1fi(t); MLi = H2fi(t); FRi = H3fi(t); MRi = H4fi(t) , i = 1,2...n 3.4 Phương phỏp tớch phõn trực tiếp Newmark

Năm 1959 Newmark đề nghị một nhúm cỏc phương phỏp cho phương phỏp

tớch phõn trực tiếp . Cỏc phương phỏp này hiện mang tờn ụng “ họ cỏc phương

phỏp Newmark”(Newmark family methods) . Họ cỏc phương phỏp Newmark

bao gồm cỏc thuật toỏn dựng trong phõn tớch cỏc bài toỏn động lực học kết cấu bằng cỏch tớch phõn trực tiếp phương trỡnh chuyển động của kết cấu.

Để minh hoạ cho phương phỏp tớch phõn trực tiếp Newmark, ta viết

phương trỡnh chuyển động (2.45) tại một thời điểm “t” như sau:

[ ] ̈ + [ ]{ } = (3.7)

Áp dụng phương phỏp khai triển của chuỗi Taylor cho chuyển vị “Dt” là:

= ∆ +∆ ̇ ∆ +∆ ̈ ∆ + ∆ ∆ +… (3.8) ̇ = ̇ ∆ +∆ ̈ ∆ +∆ ∆ + … (3.9)

Trong đú, đại lượng ∆ là bước thời gian

Newmark đó cắt bỏ những đạo hàm bậc cao và diễn đạt chỳng dưới dạng như

sau:

= ∆ +∆ ̇ ∆ +∆ ̈ ∆ + ∆ ∆ (3.10) ̇ = ̇ ∆ +∆ ̈ ∆ +∆ ∆ (3.11)

Nếu gia tốc được giả thiết là tuyến tớnh với cỏc bước thời gian thỡ ta cú biểu diễn sau:

= ( ̈ ̈ ∆ )

∆ (3.12)

Thay phương trỡnh (3.12) vào hai phương trỡnh (3.10) và (3.11) ta đưa ra được phương trỡnh của Newmark dưới dạng chuyển vị và vận tốc tại thời điểm “t” như sau:

= ∆ +∆ ̇ ∆ +( −)∆ ̈ ∆ + ∆ ̈ (3.13)

̇ = ̇ ∆ + (1− )∆ ̈ ∆ +∆ ̈ (3.14) Newmark đó sử dụng phương trỡnh (3.13) và (3.14), (3.17) cho mỗi bước thời

gian, đồng thời cho mỗi chuyển vị của bậc tự do trong kết cấu của dầm.

Năm 1962 Wilson đó cụng thức hoỏ phương phỏp Newmark dưới dạng ma trận và thờm vào đú độ cứng, khối lượng đồng thời loại trừ cỏc phộp lặp bằng cỏch giải nghiệm trực tiếp từ cỏc phương trỡnh đối với mỗi bước thời gian. Để

làm được điều này thỡ ta biểu diễn vận tốc và gia tốc của chuyển vị nỳt dưới dạng sau:

Từphương trỡnh (3.13) và (3.14) ta cú:

̈ = ( − ∆ ) + ̇ ∆ + ̈ ∆ (3.15)

̇ = ( − ∆ ) + ̇ ∆ + ̈ ∆ (3.16) Trong đú cỏc hằng số từ b1đến b6 được xỏc định như sau:

b1 = ∆ b2 = ∆ b3 = − b4 = ∆ b1 b5 = 1+ ∆ b2 b6 = ∆ (1 + b3- )

Thay phương trỡnh (3.15) và (3.16) vào phương trỡnh (3.7) ta được phương

trỡnh cõn bằng của hệ tại thời điểm “t” được viết dưới dạng ẩn số là chuyển vị

nỳt Dt. Trong phương trỡnh (3.13) và (3.14) thỡ và là cỏc tham số xỏc định

“hàm lượng” của gia tốc ̈ ∆ và ̈ trong biểu thức của ̈ và ̇ . Cỏc tham

biến Newmark này được chọn bởi nhà phõn tớch và nú xỏc định tớnh ổn định số và độ chớnh xỏc của thuật toỏn. Họ cỏc phương phỏp Newmark cú bốn nhúm

chớnh, đú là:

+ Phương phỏp sai phõn trung tõm: = 0, =

+ Phương phỏp gia tốc tuyến tớnh : = , =

+ Phương phỏp Fox - Goodwin : = , =

+ Phương phỏp gia tốc trung bỡnh : = , =

Trong bốn phương phỏp trờn , ba phương phỏp đầu ổn định cú điều kiện cho cỏc bài toỏn tuyến tớnh. Điều này cú nghĩa rằng cần sử dụng bước thời gian

đủ nhỏ để đảm bảo tớnh ổn định của thuật toỏn số. Phương phỏp gia tốc trung bỡnh là phương phỏp ổn định khụng điều kiện (cho cỏc bài toỏn tuyến tớnh) và theo nghĩa này nú là phương phỏp tốt nhất trong họcỏc phương phỏp Newmark.

Để giải phương trỡnh (3.7), ta sử dụng phương phỏp gia tốc trung bỡnh nằm trong số cỏc phương phỏp tớch phõn trực tiếp ẩn, nú là phương phỏp phổ biến nhất. Ưu điểm chớnh của phương phỏp tớch phõn trực tiếp ẩn là tớnh ổn định

khụng điều kiện của thuật toỏn, tức là khụng cú cỏc ràng buộc vềbước thời gian ngoại trừ yờu cầu vềđộ chớnh xỏc của kết quả số.

Áp dụng cỏch khai triển chuỗi Taylor tại thời điểm  cho chuyển vị :

= ∆ + ̇ ∆ + ̈ ∆ +  ∆ +… (3.17)

 ∆ + ̇ ∆ + ̈ ∆ ̈

Trong đú  là điểm biến thiờn trong phạm vi cỏc bước thời gian. Vận tốc khụng biến đổi cú thểthu được từ việc đạo hàm phương trỡnh (3.17), ta cú:

̇ = ̇ ∆ + ̈ ∆ ̈

(3.18) Nếu  = t thỡ ta cú chuyển vị và vận tốc tại thời điểm “t” trong phương phỏp

gia tốc trung bỡnh cú dạng :

= ∆ +t ̇ ∆ + ̈ ∆ ̈ (3.19)

̇ = ̇ ∆ +t ̈ ∆ ̈

Bỏ qua số hạng bậc cao thỡ (3.14) cú dạng: = ∆ + ( ̇ ∆ + ̇ ) (3.21) Từ (3.27) ta suy ra: ̇ = ∆ ( − ∆ ) - ̇ ∆ (3.22) Thay (3.22) vào (3.20) ta cú: ∆ ( − ∆ ) - ̇ ∆ = ̇ ∆ +t ̈ ∆ ̈  ∆ ( − ∆ ) -2 ̇ ∆ = t ̈ ∆ ̈  ̈ ∆ + ̈ = (∆ ) ( − ∆ ) - ∆ ̇ ∆  ̈ = (∆ ) ( − ∆ ) - ∆ ̇ ∆ - ̈ ∆ (3.23)

Thay (3.22) và (3.23) vào (3.7) như sau:

[ ] (∆ ) ( − ∆ ) − ∆ ̇ ∆ − ̈ ∆ + [ ]{ } = (3.24) ↔ [ ] (∆ ) { }−[ ] (∆ ) ∆ + ∆ ̇ ∆ + ̈ ∆ + [ ]{ } = (3.25) ↔ [ ] (∆ ) + [ ] { } −[ ] (∆ ) ∆ + ∆ ̇ ∆ + ̈ ∆ = (3.26) ↔ [ ] (∆ ) + [ ] { } = + [ ] (∆ ) ∆ + ∆ ̇ ∆ + ̈ ∆ (3.27) ↔ = (3.28) Trong đú: = [ ](∆ ) + [ ] (3.29) được gọi là ma trận độ cứng hữu hiệu = + [ ] (∆ ) ∆ + ∆ ̇ ∆ + ̈ ∆ (3.30) được gọi là lực hữu hiệu

Phương trỡnh (3.28) dựng để xỏc định chuyển vị tại thời điểm “t” đú chớnh

là Dt. Với cỏc điều kiện biờn trong chương 2 ta cú điều kiện ban đầu cho (3.28). Khi t = 0, D0 = 0, ̇ = 0. Gia tốc ban đầu ̈ được tỡm từphương trỡnh (3.7):

[ ] ̈ + ([ ] + [ ] + [ ]){ } =

 ̈ = [ ] 〈 −([ ] + [ ] + [ ]){ }〉 (3.31) Khi t = ∆ thay vào (3.30) ta được

= + [ ]

(∆ ) +

∆ ̇ + ̈ (3.32)

Thay (3.32) vào (3.28) ta tỡm được chuyển vị nỳt D1. Với t = 2∆ ta cú:

= + [ ] (∆ ) +

∆ ̇ + ̈ (3.33)

Thay (3.33) vào (3.28) ta cũng tỡm được chuyển vị nỳt D2.

Tương tự, khi t = 3∆ ta cú:

= + [ ]

(∆ ) +

∆ ̇ + ̈ (3.34)

Và từ (3.33) suy ra được chuyển vị D3.

Lần lượt ta thay t = n∆ ta tỡm được chuyển vị thứ n là Dn.

Phương phỏp tớch phõn trực tiếp ẩn ổn định số với bước thời gian ∆ bất kỳ

vỡ thế việc lựa bước thời gian chỉ dựa trờn độ chớnh xỏc của lời giải. So với

phương phỏp tớch phõn trực tiếp hiện, khối lượng tớnh toỏn cho mỗi bước thời

gian trong phương phỏp tớch phõn trực tiếp ẩn là nhiều hơn và vỡ thế phương

phỏp tớch phõn trực tiếp ẩn chỉ cú tớnh ưu việt khi bước thời gian ∆ lớn hơn

Sơ đồ khối tớnh toỏn cho phương phỏp tớch phõn trực tiếp Newmark

Hỡnh 3.3: Sơ đồ khối thuật toỏn Newmark

3.5 Chương trỡnh số

Dựa trờn cụng thức phần tử và thuật toỏn Newmark mụ tả ở trờn chương

trỡnh phõn tớch động học của dầm dựứng lực nằm trờn nền đàn hồi chịu tỏc động của tải trọng di động được xõy dựng trờn cơ sở ngụn ngữ Matlab. Chương trỡnh bao gồm chương trỡnh chớnh trong đú liệt kờ cỏc tham số hỡnh học, vật liệu của dầm, lực dọc trục, điều kiện biờn, cỏc tham số của tải trọng ngoài. Lưới phần tử,

điều kiện biờn, điều kiện ban đầu của bài toỏn. Chương trỡnh chớnh gọi cỏc

chương trỡnh con được viết dưới dạng cỏc functionđể tớnh toỏn ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và vec-tơ lực nỳt. Để làm vớ dụ minh họa, dưới đõy liệt kờ cỏc lệnh của chương trỡnh phõn tớch ảnh hưởng của tham biến vận tốc tới hệ số động lực cho độ vừng fD. Thiết lập: K, M Gỏn đkd:t=0, D0=0, ̇ ̈ Thiết lập: Kef (3.29) Thiết lập: Ref (3.30) Giải pt (3.28)  Dt Cập nhật: ̇ , ̈ (3.22, 3.23) Kết quả mong muốn, tt+1

% Main program for simply supported Bernoulli beam % resting on , Pasternak foundation

% subjected to different motions of a harmonic load

% BELOW GEOMETRIC AND MATERIAL DATA L=20; % m, total beam length

rhoA=1000; % kg/m, mass per unit length m=rhoA; % kg/m mass per unit length I=0.0234; % m^4, second moment of inertia E=30e9; % N/m^2, modulus of elasticity EI=E*I; % Nm^2, bending rigidity f0=1000e3; % N, amplitude of axial force % BELOW MESH

nELE=20; % total number of elements l=L/nELE; % element length

X=[0; l; 2*l; 3*l; 4*l; 5*l; 6*l; 7*l; 8*l; 9*l; 10*l];

X=[X; 11*l; 12*l; 13*l; 14*l; 15*l; 16*l; 17*l; 18*l; 19*l; 20*l]; Z=[0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];

Z=[Z; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];

% BELOW STRUCTURAL TOPOLOGY ELE(1,1)=1; ELE(1,2)=2; ELE(2,1)=2; ELE(2,2)=3; ELE(3,1)=3; ELE(3,2)=4; ELE(4,1)=4; ELE(4,2)=5; ELE(5,1)=5; ELE(5,2)=6; ELE(6,1)=6; ELE(6,2)=7; ELE(7,1)=7; ELE(7,2)=8; ELE(8,1)=8; ELE(8,2)=9; ELE(9,1)=9; ELE(9,2)=10; ELE(10,1)=10; ELE(10,2)=11; ELE(11,1)=11; ELE(11,2)=12; ELE(12,1)=12; ELE(12,2)=13; ELE(13,1)=13; ELE(13,2)=14; ELE(14,1)=14; ELE(14,2)=15;

ELE(15,1)=15; ELE(15,2)=16; ELE(16,1)=16; ELE(16,2)=17; ELE(17,1)=17; ELE(17,2)=18; ELE(18,1)=18; ELE(18,2)=19; ELE(19,1)=19; ELE(19,2)=20; ELE(20,1)=20; ELE(20,2)=21; % BELOW BOUNDARIES

nDOF=(nELE+1)*2; % total D.O.F. act=[2:(nDOF-2) nDOF]; % active DOF % BELOW FOUNDATION PARAMETERS k1=4e6; % Winkler foundation stiffness k2=6e5; % shear foundation stiffness

% BELOW EULER LOAD AND AXIAL LOAD PARAMETERS [Ne] = HaNe(nELE,ELE,l,act,EI,k1,k2); % Euler load

lamN=-0.1 N=lamN*Ne;

% BELOW MOVING LOAD PARAMETERS f0=100e3;

% BELOW STRUCTURAL STIFNESS K = HastiffK(nELE,ELE,l,EI,N,k1,k2); K=K(act,act);

% BELOW STATIC SOLUTION Fst=zeros(nDOF,1);

Fst(nDOF/2,1)=f0; % static load vector Fst=Fst(act,1);

Dst=zeros(nDOF,1); Dst(act,1)=inv(K)*Fst;

w0=Dst(nDOF/2,1); % static mid-span deflection

% BELOW STRUCTURAL MASS MATRIX M = HamassM(nELE,ELE,l,m);

M=M(act,act);

% BELOW FUNDAMENTAL FREQUENCY LAM=eig(K,M);

LAM1=min(LAM); ome1=sqrt(LAM1);

lamO=0 % frequency parameter OME=lamO*ome1;

Vcr=L*ome1/pi; % critical speed

ff=[]; alpV=[];

for alV=0.05:0.05:1 % loop over the speed parameter alpV=[alpV;alV];

v=alV*Vcr; % speed of moving load vL=v; % m/s, speed at left end suport

vR=v; % m/s, m/s speed at right end suport

% below time step

DT=2*L/(v1+v2); % total time nSTEP=200;

dt=DT/nSTEP; % time step

% below initial external load, dips and velocity Fex=zeros(nDOF,1); % external loads

Fact=Fex(act,1);

Do=zeros(nDOF,1); % initial deflection vector Do=Do(act,1);

Vo=Vo(act,1);

D=zeros(nDOF,1); % new deflection vector Ao=inv(M)*(Fact-K*Do); % initial acceleration Kef = 4/dt/dt*M + K; % effective stiffness matrix fDD=[];

for i=1:(nSTEP) % loop over time step t=i*dt;

Sx=(vR-vF)/DT/2*t^2+v1*t; % current position of moving %load measured from left

% below structural load vector

Fex=HaForce(nELE,EI,t,DT,l,f0,OME,Sx); Fex=Fex(act,1);

% below structural effective load vector Ref = Fex + M*(4/dt/dt*Do+4/dt*Vo+Ao);

Dn = inv(Kef)*Ref; % new deflection vector Vn = 2/dt*(Dn-Do)-Vo; % new speed vector An = 4/dt/dt*(Dn-Do)-4/dt*Vo-Ao; % acceleration D(act,1)=Dn; % full vector of D.O.F fDD=[fDD;D(nDOF/2,1)/w0];

% below update deflection, speed, acceleration vectors Do=Dn;

Vo=Vn; Ao=An;

end % end loop for i

fD=max(abs(fDD)); % dynamic magnification factor ff=[ff;fD]; % Collecting DMF

end % end loop for alV plot(alpV,ff);

xlabel('\alpha') ylabel('f_D') hold on;

function [Ne] = HaNe(nELE,ELE,l,act,EI,k1,k2);

% function computing Euler load % of beam on Pasternak foundation

nNOD=nELE+1; nDOF=2*nNOD;

[KBF] = zeros(nDOF,nDOF); [KN] = zeros(nDOF,nDOF);

for i=1:nELE % loop over number of element nod1=ELE(i,1);

nod2=ELE(i,2);

% BELOW BEAM ELEMENT STIFFNESS [kB]=HastiffkB(l,EI);

[kW]=HastiffkW(l,k1); [kG]=HastiffkG(l,k2); [kBF] = kB + kW + kG;

% BELOW GEOMETRIC STIFFNESS % MATRIX DUE TO AXIAL FORCE keN= [ 6/5/l 1/10 -6/5/l 1/10; 1/10 2/15*l -1/10 -1/30*l; -6/5/l -1/10 6/5/l -1/10; 1/10 -1/30*l -1/10 2/15*l];