Bộ đề thi kiểm tra năng lực học sinh giữa hoc kỳ II toán lớp 8

AD ; c Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lợt tại M và N... Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.. trình 1 có vô số ngh

KIỂM TRA GIỮA Kè II Năm học 2014 – 2015 MễN TOÁN LỚP 8- THỜI GIAN 60 PHÚT Cõu 1 ( 2,5đ) : Cho biểu thức A = x 210x 5

x 5 x   25 x 5  a) Tỡm tập xỏc định của A và rỳt gọn biểu thức A

b) Tớnh giỏ trị của A biết x = 9

c) Tỡm giỏ trị nguyờn của x nguyờn để biểu thức A đạt giỏ trị nguyờn

Cõu 2 (1,5đ) : Giải phương trỡnh sau :

a) 2x – 3 = 3(x – 1) + x + 2 ; b) 2x(x – 3) – 5(x – 3) = 0

c)

2

x 1 (x 1)(x 4)

 



Cõu 3 (2đ) : Giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh

Một người đi xe mỏy từ A đến B với vận tốc trung bỡnh là 15 km/h Lỳc về người

đú đi với vận tốc trung bỡnh là 12 km/h, nờn thời gian về nhiều hơn thời gian đi là

22 phỳt Tớnh độ dài quóng đường từ A đến B

Cõu 4 ( 3,5đ) : Cho tam giác AOB có AB = 18cm ; OA = 12cm ; OB = 9cm Trên

tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OD = 3cm Qua D kẻ đờng thẳng song song với AB cắt tia AO ở C Gọi F là giao điểm của AD và BC

a) Tính độ dài OC ; CD ;

b) Chứng minh rằng FD BC = FC AD ;

c) Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lợt tại M và N Chứng minh OM = ON

Cõu 5(0,5đ)Giải phương trỡnh sau x2 12 3x x 2 12x2 0

ĐỀ II

Cõu 1 (3 điểm): Giải cỏc phương trỡnh sau:

a) 4x + 16 = 0

b) (x – 2)(2x + 3) = 5(x – 2)

x  x

Cõu 2 (1.5 điểm): Cho phương trỡnh: 2(m - 1)x + 3 = 2m – 5 (1)

a) Tỡm m để phương trỡnh (1) là phương trỡnh bậc nhất một ẩn

b) Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh(1)tương đương với phương trỡnh 2x + 5=3(x + 2)- 1

Câu 3 (2 điểm):Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc trung bình 50 km/h Lúc từ B về

A ô tô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi 20 km/h nên thời gian lúc về hết nhiều hơn lúc đi là 40 phút Tính độ dài quãng đường AB

Câu 4 (2.5 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A Đường phân giác BM ( MAC)

và CN (NAB) cắt nhau tại O Biết độ dài AB = 15cm, AM = 9cm

a) Tính độ dài cạnh BC

b) Chứng minh MN // BC

c) Tính độ dài đoạn thẳng MN

Câu 5 (1.0 điểm): a) Chứng tỏ rằng phương trình: mx – 3 = 2m – x – 1 luôn nhận

x = 2 làm nghiệm với mọi giá trị của m

b) Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ

ĐỀ III Câu 1:( 3 điểm) Giải các phương trình sau:

a) 5(3x + 2) = 4x + 1 b) (x – 3)(x + 4) = 0

C) 21 12 ( 31)( 11 2)





x x

x

Câu 2: ( 3 điểm) Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc trung bình 50km/h Lúc về,

ôtô đi với vận tốc trung bình 60km/h, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu kilômét?

Câu 3: ( 3,5 điểm).Cho tam giác nhọn ABC , có AB = 12cm , AC = 15 cm Trên

các cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho AD = 4 cm , AE = 5cm

a, Chứng minh rằng:DE // BC, từ đó suy ra  ADE đồng dạng với  ABC ?

b, Từ E kẻ EF // AB ( F thuộc BC ) Tứ giác BDEF là hình gì?

Từ đó suy ra :  CEF đồng dạng  EAD ?

c, Tính CF và FB khi biết BC = 18 cm ?

Câu 4: ( 0,5 điểm) Giải phương trình sau:

x  5x  6x  7x 12  x  9x  20x  11x 30  8

ĐỀ IV

Câu 1 (2,5 điểm): Cho A = 

























4

4 2

2 2

2

2

2

x

x x

x x

x

:

6 5

9 6 2 2









x x x x

a.Rút gọn A.

b Tính giá trị của A biết x = 3

1

c Tìm giá trị nguyên lớn hơn 4 của x để biểu thức A có giá trị là một số nguyên

Câu 2 (2,5 điểm): Giải các phương trình sau:

a/ 3x – 7 = 0

b/ 2x(x - 1) - (x - 1) = 0

c/

1

4 1

5 2 1

1

2 3

2













x x

Câu 3 (1,5 đ iểm): Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 5 Nếu tăng cả

tử và mẫu thêm 5 đơn vị thì được phân số mới bằng phân số 2

3.Tìm phân số ban đầu

Câu 4 (3 đ iểm): Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BD, phân giác của góc

ADB và góc BDC lần lượt cắt AB, BC ở M và N, biết AB = 8cm, AD =6cm

a Tính tỉ số MB MA

b Chứng minh rằng: MN//AC

c Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCA?

Câu 5 (0,5 đ iểm): Tìm tất cả các cặp số (x;y) thoả mãn 2013x2 + 2014y2 - 4026x + 4028y +4027 = 0

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

CÂU 1 : a) Tìm được tập xác định x   5 0 ,5đ

A = x 210x 5

x 5 x   25 x 5  =

x(x 5) 10x 5(x 5)

x 5 x 5

0,5đ

=

2

x 5 x 5

0,5đ

=

2

x 10x 25

x 5 x 5

2

x 5

x 5 x 5



x 5



 b) Thay x = 9 vào A = 9 5 4 2

9 5 14 7





0,5đ

c) x 5

x 5



 = x 5 10 1 10

 

 

Tìm được x   -15 ; -10 ; -7 ; -6 ; -4 ; -3 ; 0  0,25đ

CÂU 2 : a) x = - 1 0,5đ b) Phân tích được thành tích và tìm được x = 3 hoặc x = 5

2

0,5đ c) Làm đủ các bước loại nghiệm và kết luận nghiêm của

hương trình là x = 8

0,5đ

CÂU 3(2đ)

Thì thời gian đi từ A đến B là x h

15

0,5đ

thời gian đi từ B về A là x h

12

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 22 phút = 11

30h

Ta có phương trình : x

12 -

x

15 =

11

30

0,5đ

 5x – 4x = 22

 x = 22 ( tmđk)

0,5đ Vậy quãng đường AB dài 22 km

CÂU 4 :

O F

a) Xét tam giác OAB có CD // AB ( gt)

=> OC OD CD

OA OB AB( Hệ quả của định lý Talet)

=> OC 3 CD

12  9 18 => OC =

12.3

9 = 4cm ; CD =

18.3

6cm

1,5đ

b) Xét tam giác FAB có CD // AB

=> FC FD

CB DA => FC DA = CB FD

1đ

c) Vì MN // AB (gt)

CD // AB (gt) =>MO // CD , NO // CD

Xét tam giác ACD có OM // CD

=> MO AO

CD AC (1)

Xét tam giác BCD có ON // CD

=> NO BO

CD BD (2)

Mà AO BO

AC BD (ta let) (3)

Từ (1) , ( 2 ) , (3) => MO NO

CD CD => OM = ON

1đ

CÂU5 :

2

2

2 2





=> x = - 1

HS làm cách khác : đặt ẩn phụ+ tách

(0,5đ)

ĐỀ II

Câ

u

a) 4x + 16 = 0

 4x = -16

 x = -4

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-4}

0.75 0.25

b) (x – 2)(2x + 3) = 5(x – 2)

 (x – 2)(2x + 3) - 5(x – 2) = 0

 (x – 2)(2x - 2) = 0

 x – 2 = 0 hoặc 2x – 2 = 0

 x = 2 hoặc x = 1

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1;2}

0.25 0.25

c) 3

2

x  x (1)

ĐKXĐ: x 2

PT (1)  3x(x - 2) - 2(x + 2)(x – 2) = x(x + 2)

 3x2 – 6x – 2x2 + 8 = x2 + 2x

 3x2 – 6x – 2x2 + 8 - x2 - 2x = 0

 -8x + 8 = 0

 x = 1

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}

0.25 0.25

0.25 0.25

a) - Pt (1)  2(m – 1)x – 2m + 8 = 0

- Pt (1) là phương trình bậc nhất một ẩn  2(m – 1)  0

 m – 1  0

 m  1

- KL: m  1 thì Pt (1) là phương trình bậc nhất một ẩn

0.25

0.25 0.25

b) - Giải PT(*) tìm được nghiệm x = 0

- Pt(1) tương đương với Pt(*)  Pt(1) là phương trình bậc nhất

một ẩn nhận x = 0 làm nghiệm

Thay x = 0 vào Pt(1) tìm được m = 4 (thoả mãn đk)

- Kết luận

0.25

0.25 0.25

- Gọi độ dài quãng đường AB là x km ; đk: x>0

- Thời gian ô tô đi từ A đến B là:

50

x

(giờ)

Vì từ B về A ô tô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi 20 km/h

nên vận tốc lúc về là 30 km/h

0.25 0.25 0.25

- Thời gian lúc từ B về A là:

30

x

(giờ)

- Vì thời gian lúc về nhiều hơn thời gian lúc đi 40 phút ( 2

3

 giờ)

nên ta có phương trình:

30

x

- 50

x

= 2 3



- Giải phương trình tìm được x = 50 (thoả mã đk)

- Kết luận

0.25

0.5

0.25 0.25

a) - Tính được MC = 6 cm

- Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có :

AB AM BC AB MC.

BC MC   AM

- Thay số tính được BC = 10 cm

- kết luận

0 5 0.25 0.25

b) - Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có :

MC BC (1)

AN AC

NB BC (2)

Mặt khác AB = AC ( tam giác ABC cân tại A) (3) 0.25

O

B

N

A

C

M

- Từ (1), (2), (3)  AM AN

MC NB

- Theo định lý Ta-lét đảo  MN//BC

-0.25 0.25

c) - Chứng minh được AMN đồng dạng với ABC

MN

AB BC   AB

- Thay số tính được MN = 6 cm

- KL

0.25

0.25 0.25 0.25

a - Thay x = 2 vào phương trình ta được :

VT = m.2 – 3 = 2m – 3

VP = 2m – 2 – 1 = 2m – 3 Suy ra VT = VP

- Vậy phương trình luôn nhận x = 2 làm nghiệm với mọi giá trị của m

0.25 0.25

b Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2

Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1

= (a4 + 2a3 + a2) + 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a)2 + 2(a2 + a) + 1

= ( a2 + a + 1)2 là một số chính phương lẻ vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn  a2 + a + 1 là số lẻ

0.25

0.25

ĐỀ III

Câu 1

(3 điểm )

a) 5(3x + 2) = 4x + 1  15x + 10 = 4x + 1

15x – 4x = 1 – 10

11x = - 9

 x =  119 Vậy PT có nghiệm x =  119

(0,25 điểm) 0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm)

b) (x – 3)(x + 4) = 0

=> (x – 3) = 0 hoặc (x + 4) = 0

=> x = 3 hoặc x = - 4 Vậy PT có nghiệm x = 3, x = - 4 b) 21 12 ( 31)( 11 2)





x x

x

- ĐKXĐ: x  -1:x  2

- Quy đồng khử mẫu ta được:

2(x – 2) – (x + 1) = 3x – 11

 2x – 4 – x – 1 = 3x – 11

 - 2x = - 6  x = 3 (TMĐK) Vậy PT có nghiệm x = 3

(0,25 điểm) 0,25 điểm) (0,25 điểm)

(0,25 điểm)

0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Câu 2

(3 điểm )

Gọi quãng đường AB là x km ( x > 0) Thời gian đi từ A -> B là

50

x

giờ Thời gian đi từ B -> A là 60x giờ Theo bài ta có pt: 50x - 60x = 12

Giải PT ta được: x = 150 (T/m ĐK) Vậy quãng đường AB dài 150km

(0,5 điểm) 0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm)

(0,5 điểm) (0,5 điểm) Câu 3

(3,5 điểm )

B

C

E A

F

a, (*) C/m được : DE // BC

(*) Theo hq ta suy ra :  ADE   ABC (c.c.c)

b, (*) Tứ giác BDEF là Hình Bình Hành

(*) Cm được :  CEF   EAD (gg)

c, Ta cm được  CEF   CAB (t/c)

=> = = => 3 CF = 2 CB = 36

=> CF = 12 cm , FB = 6 cm

0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm)

(0,5 điểm) Câu 4

(0,5 điểm ) tách mẫu ta được:

x  5x  6x  7x 12  x  9x  20x  11x 30  8

Giải pt tìm ra nghiệm

0,25 điểm)

(0,25 điểm

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

I Ph ương tr ình đường thẳng :

Định nghĩa :

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và có vectơ chỉ phương :

Nếu a 1 , a 2 , a 3 đều khác không Phương trình đường thẳng viết dưới dạng chính tắc như sau:

II Vị Trí t ương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:

1)Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng

+ , cùng phương.

d // d’

d ≡ d’

+ , không cùng phương

Xét hệ: (I)

- d cắt d’ hệ (I) có một nghiệm Muốn tìm giao điểm thay nghiệm t vào phương trình d hoặc t’ vào d’

- d chéo d’hệ (I) vô nghiệm

2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho (α): và

Xét phương trình:

P.trình (1) vô nghiệm thì d // (α)

P.trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α)

P trình (1) có vô số nghiệm thì d(α)

Đặc biệt : () () cùng phương

Ví dụ: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:

1 d: và mp(P): 2x+y+2z=0 2 d: và mp(P): x+2y-z+5=0

BÀI TẬP

DẠNG 1 : VIẾT PH ƯƠ NG TRINH D ƯỜ NG TH Ẳ NG

Vấn đề 1 : Viết đường thẳng đi qua một điểm và xác định được véctơ chỉ phương

Cho hai điểm A(1;2;3), B(-2;0;-3).Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B

Cho điểm E(1;-2;3), và mặt phẳng (P): 2x-3y+4y-5=0 Viết phương trình đường thẳng đi qua E và vuông góc với mặt phẳng (P)

Cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d: Viết phương trình đường thẳng đi qua A

và song song với d

Cho điểm A(1;-2;0) và hai đường thẳng d: , d’:

Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với d và d’

Vấn đề 2: Viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng

Cho

–Tìm vec tơ pháp tuyến của (P),vec tơ pháp tuyến của (Q)

–Tính

-Giải hệ phương trình tạo bởi (P) và (Q) tìm một điểm chung A

- Viết phương trình đường thẳng qua A và nhận là véctơ chỉ phương

Viết phương trình đường thẳng (c) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) sau:

Vấn đề 3 : Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm, vuông góc và cắt đường thẳng cho trước

-Tìm vec tơ chỉ phương của

- Gọi H là giao điểm của và d -Tìm tọa độ véctơ

- Do Giải phương trình tìm t

- Viết phương trình đường thẳng qua A nhận là véctơ chỉ phương

Viết phương trình của đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (a): a)A(2 ;-1 ; 1) (a):x=3 ; y =2t ; z= 4-2t b)A(3 ;-2;1) (a):x = -2+t ; y = 1+2t

; z =

-c)A(0 ; 1 ;2) (a): x=1+2t ; y = t z= -1 – t d)A(0 ;1 ;-1) (a): x= t ; y= ;z=-t

Vấn đề 4 : Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau

-Gọi A là giao điểm của d và d1

- Gọi B là giao điểm của d và d2

- Tìm tọa độ A, B bằng cách giải điều kiện:

- Viết phương trình đường thẳng qua A hoặc B nhận là véctơ chỉ phương

Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d’)

1) 2)

3) 4)

Vấn đề 5:Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng cho trước

- Tìm giao điểm A của (P) và d1

- Tìm giao điểm B của (P) và d2

- Viết phương trình đường thẳng AB

Viết phương trình của đường thẳng (a) năm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng (d) ;

và (d’)

a)(P):6x+3y-13z+39 = 0 (d):x=1+t ;y=5+2t ;z =1-t (d’):x = 2; y= -3+t’ ; z= 5+2t’

b) (P):2x – 3y +6z -11 = 0 (d):x= 1+2t ; y = -1 +t ;z = 1 (d’):x=4 ;y= -5 +t’ ;z= -2 + 2t’;

c)(P):5x – 4y +2z = 0 (d):x = 2t ; y= 1+t ;z= 2 -2t (d’) : x= 2+t’ ;y = 3 – 3t’ ; z= 1;

d)(P):x – 9y +2z +11 = 0 (d): x= 6+t ; y= -7 -9t ;z = 3+2t (d’):

Vấn đề 6: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A và cắt hai đường thẳng d 1 và d 2

-d1 có vtcp và đi qua M; d2 có vtcp là và đi qua N

-Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa d1 nhận là vtpt

- Viết phương trình mp (Q) qua A và chứa d2 nhậnlàm vtpt

- d là giao tuyến của (P) và (Q) : d qua A và nhận là vtcp

Viết phương trình đường thẳng (a) đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng (d) và (d’)

1)M(1;1;-2) (d):x=-2+t ;y = -t ;z=-1 +3t (d’):x = -1-2t’ ; y= 1+5t’ ; z = -3t

2)M(-4 ; -5 ; 3)

3)M(5 ; 2 ; 5)

4)M(1 ; -1 ; 1) (d):x=1+2t ; y =t ; z= 3-t (d’):x = -2+t’ ; y= 3 – 2t’ ; z =t’

Vấn đề 7 : Viết phương trình đường thẳng d qua A vuông góc d 1 và cắt d 2

- Viết phương trình mp (P) qua A và vuông góc d1 nhận là vtpt

- Gọi B là giao điểm của d và d2 suy ra B là giao điểm của (P) với d2, tìm tọa độ B

- Viết phương trình đường thẳng qua A và nhận là vtcp

a) b)

c)

DẠNG 2 : HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG, CỦA ĐIỂM LÊN MẶT

Vấn đề 1 : Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d

- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuơng gĩc với đường d

- Giao điểm H của (P) và d là hình chiếu cần tìm

Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d:

Vấn đề 2: Tìm hình chiếu H của một điểm M lên mặt phẳng (P)

– Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với (P)

– Khi đó: H = d (P)

Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P) và điểm M đối xứng với M qua mặt phẳng (P):

a) b)

c) d)

Vấn đề 3: Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của trên (P)

TH1: //(P) o d// nên 1 vtcp của d là Lấy một điểm M thuộc rồi tìm hình chiếu H của nĩ trên (P)

Viết phương trình đường thẳng d nhận làm vtcp và đi qua H

TH2: cắt (P)

Cách 1: o Tìm giao điểm A của và (P)

Lấy 1 điểm M trên rồi tìm hình chiếu H của nĩ trên (P)

o Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và M Cách 2: o Viết phương trình (Q) chứa và vuơng gĩc (P)

o Khi đĩ

Viết phương trình của đường thẳng (a’) là hình chiếu của (a) lên mp(P)

1)(a): (P):3x+5y-z-2 = 0 2)(a):x =1+2t ; y ==2+3t ; z = 3+t (P)mp(Oyz) 3)

4)(a):x= 2t ; y = 1+2t ; z =-2+t (P):2x –y +z+4=0

DẠNG 3 : GĨC

1 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt có các VTCP Góc giữa d 1 , d 2

bằng hoặc bù với góc giữa

2 Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP và mặt phẳng () có VTPT

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng () bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d của nó trên ().

1.Tính góc giữa hai đường thẳng:

a)

b)

2 Tính gĩc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)

1 d: và mp(P): 2x+y+2z=0 2 d: và mp(P):

DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH

1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d

Cách 1: Cho đường thẳng d đi qua M 0 và có VTCP

Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng d.

– d(M,d) = MH.

2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau d 1 và d 2

d 1 đi qua điểm M 1 và có VTCP , d 2 đi qua điểm M 2 và có VTCP