BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC

BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨCThầy: Đinh Công Minh LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình toán THPT KHỐI LỚP 12, học sinh biết đến số phức như một biểu thức có dạng: z  a bi , ta gọi là dạng đại số của

BẢN CHẤT CỦA SỐ PHỨC

Thầy: Đinh Công Minh

LỜI NÓI ĐẦU

Trong chương trình toán THPT KHỐI LỚP 12, học sinh biết đến số phức như một biểu thức có dạng: z  a bi , ta gọi là dạng đại số của số phức, trong đó:

 a gọi là phần thực của số phức z

 b  gọi là phần ảo của số phức z

 i là đơn vị ảo, một con số lạ lẫm với tính chất bí hiểm: i2   1

Cách tiếp cận số phức dưới dạng z a bi giúp cho hầu hết học sinh đều có thể làm được các phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia, luỹ thừa, khai căn số phức với một suy nghĩ rất tự nhiên là:

Làm toán với số phức hoàn toàn giống như làm toán với số thực, chỉ có một điều đặc biệt cần nhớ là:

2

1

i  

Về cơ bản thì có thể nói là hầu hết học sinh phần nào cũng chạm được vào số phức

Tuy nhiên, học sinh khó mà hiểu được bản chất của số phức, thậm chí là có thể tin rằng số phức là con số có thật cũng như là số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ hay số thực

Số phức trong toán học ngày nay thuộc về một lĩnh vực rộng lớn như lĩnh vực số thực Với khả năng hạn chế của mình, người viết bài này hy vọng rằng có thể giúp người đọc thấy ra được vài điều thú vị về số phức, trong đó điều quan trọng nhất là thấy ra được bản chất của số phức Nội dung của bài viết bao gồm:

 Sự ra đời của số phức

 Việc xây dựng số phức

 Cách biểu diễn số phức

 Sơ lược về hàm số biến số phức

Bài viết này không đi vào các ứng dụng đa dạng của số phức

Chắc chắn là bài viết không tránh khỏi có sai sót, tác giả xin chân thành đón nhận mọi đóng góp của người đọc giúp cho tác giả được dịp tự điều chỉnh và học hỏi thêm

Mọi ý kiến đóng góp xin gửi về:

GV: Đinh Công Minh, Tổ toán tin – trường THPT Chuyên Tiền Giang Email:tuminhkhoi@yahoo.com Phone: 0958.040.525

Trường THPT Chuyên Tiền Giang, ngày 05 tháng 02 năm 2012

Đinh Công Minh

SỐ PHỨC (COMPLEX NUMBER)

-1 SỰ RA ĐỜI CỦA SỐ PHỨC

1.1 Số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number), con số giả tưởng và tính chất bí hiểm đáng ngờ của nó

Số phức ra đời từ giữa thế kỷ 16

Ta biết rằng phương trình bậc hai: x2  1 (1.1) không có nghiệm thực, tức là nó vô nghiệm khi xét trên trường số thực   , , 

Các nhà toán học mong muốn rằng phương trình này có nghiệm, họ còn muốn rằng mọi phương trình đa thức đều phải có nghiệm, và nếu điều này xảy ra thì nghiệm đó không thể là số thực mà phải thuộc một loại số nào đó Điều này làm nảy sinh ý tưởng là phải mở rộng trường số thực thành một trường số , , nào đó để trên trường số này thì phương trình (1.1) có nghiệm.

Năm 1545, nhà toán học Italia là G.Cardano đã giải quyết vấn đề nghiệm của phương trình (1.1) bằng cách dùng ký hiệu  , hiển nhiên là1  1  , để thể hiện nghiệm hình thức của phương trình

này

Tiếp tục phương pháp hình thức như vậy, G.Cardano ký hiệu nghiệm hình thức của phương trình:

 

x  b b là b  Cuối cùng, G.Cardano ký hiệu nghiệm hình thức của phương trình:1

 2 2 

,

xa b a b là ab  1

G Cardano đã gọi đại lượng ab 1a b,  là đại lượng ảo, ngầm ý rằng nó là đại lượng

không có thực, tức là một đại lượng giả tưởng

Năm 1572, nhà toán học Italia là Bombelli định nghĩa các phép toán số học trên các đại lượng ảo

mà ông gọi là các số ảo (tên gọi số phức là do nhà toán học người Đức là K.Gauss đặt ra vào năm 1831) Ông được xem là người sáng tạo nên lý thuyết các số ảo, và cũng là người đầu tiên thấy được ích lợi của việc đem số ảo vào toán học như một công cụ hữu ích

Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ toán học đã diễn ra rất chậm chạp: năm 1545,

G.Cardano đưa ra ký hiệu  thì mãi đến năm 1777, nhà toán học người Thụy Sĩ là L.Euler đặt tên1 cho ký hiệu  là số đơn vị ảo (Imaginary Unit Number) lài Điều đó có nghĩa là:1 i: 1,i2  1

Tên gọi đơn vị ảo và ký hiệu :i   cũng đã gây ra nhiều tranh cải và nghi ngờ trong giới toán1 học Chẳng hạn, nhà toán học I Newton đã không thừa nhận số ảo

Đẳng thức đáng ngờ nhất chính là tính chất lạ lẫm đến bí hiểm: 2

1

i   (1.2) bởi vì nó phá vở quan hệ thứ tự trên tập hợp số quen thuộc là 

2 VIỆC XÂY DỰNG SỐ PHỨC

Nhà toán học người Đức là K Gauss là người đầu tiên, năm 1831, sử dụng thuật ngữ số phức để chỉ các đại lượng ảo Tuy nhiên, nhà toán học người Irland là W.Hamilton mới là người có công lao biến số phức từ một con số giả tưởng với tính chất bí hiểm: i2   thành một con số có thật.1

Năm 1837, G.Hamilton xây dựng lý thuyết số phức một cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề

hóa để từ đó số phức trở thành một số cũng quen thuộc với người làm toán như là số tự nhiên, số

nguyên, số hữu tỉ hay số thực

G.Hamilton xét tập hợp z a b, / ,a b gồm các cặp số thực z a b, và trên đó trang

bị hai phép toán cộng và nhân thỏa bốn tiên đề        T1 , T2 , T3 , T4 dưới đây

Khi đó, mỗi cặp số thực z a b, được gọi là một số phức, và như vậy thì dáng vẻ của số phức chẳng còn xa lạ gì với người làm toán nữa bởi vì nó dựa hoàn toàn trên các số quen thuộc là số thực Với mỗi z1a b1, 1,z2 a b2, 2, ta có:

 T1 : (Tiên đề đồng nhất hai số phức) 1 2 1 2

z z





 T2 :(Tiên đề phép cộng hai số phức) z1z2 a1a b2, 1b2

 T3 : (Tiên đề phép nhân hai số phức) z z1 2 a a1 2b b a b1 2, 1 2 a b2 1

 T4 : (Tiên đề đồng nhất số thực và số phức)  a,0   a, a 

Ta hãy xem bốn tiên đề này nói lên điều gì và làm được gì

Tiên đề  T1 thức chất chỉ là sự lặp lại định nghĩa sự đồng nhất hai phần tử của tích Descartes của hai tập hợp

Tiên đề  T2 và  T về cơ bản cho thấy các phép toán cộng và nhân hai số phức hoàn toán được3 xác định: các phép cộng và nhân hai số phức đều có kết quả là một số phức

Với ba tiên đề      T1 , T2 , T3 , ta có thể kiểm tra được rằng cấu trúc đại số , ,  là một trường gọi là trường số phức

Trường số phức là , ,  có các tính chất đặc biệt sau đây:

(1) Phần tử không đối với phép cộng là  0,0

(2) Phần tử đối của z a b, đối với phép cộng là     z  a, b

Do đó, trên , ,  ta có thể định nghĩa phép toán trừ hai số phức như sau:

a b1, 1  a b2, 2  a b1, 1  a b2, 2  a b1, 1  a2,b2  a1a b2, 1b2 (1.3)

(3) Phần tử đơn vị đối với phép nhân là  1,0 , tức là

           1,0 a b,  a b, 1,0  a b, , a b, 

(4) Phần tử đảo của z   a b,  0,0 đối với phép nhân là 1

1

,

z

zz   z 

Do đó, ta có thể định nghĩa phép chia số phức z1a b1, 1 cho số phức z2 a b2, 2   0,0 như sau:

 

 1 1  1 1 2 2 1  1 1 2 2 2 2 2 2 1 22 1 22 2 12 1 22

,

,

Tiên đề  T4 là một tiên đề khá đặc biệt mà ta cần khảo sát kỹ lưỡng về nó

Trước tiên, ta thấy rằng ánh xạ sau đây là đơn ánh:

 

2

,0





 

 Ngoài ra:

Do    T2 , T4 nên ta có:ab  ab,0     a,0  b,0  a  b

Do    T3 , T4 nên ta có:  ab  ab,0  a b 0.0, 0 0.a  b    a,0 b,0    a  b

Do đó, là một đơn cấu trường nên nó là một phép nhúng trường số thực , , vào trường số phức , ,  Nói cách khác:

Trường số thực , ,  đẳng cấu với một trường con của trường số phức , , .

Do đó, ta có thể đồng nhất:

Trường số thực , ,  là một trường con của trường số phức , ,  

Như vậy thì phép đồng nhất số thực a với số phức  a,0 của tiên đề  T4 là hoàn toàn có nghĩa Khi đó:

 Phần tử không của phép cộng số phức chính là số thực 0.

 Phần tử đơn vị của phép nhân số phức chính là số thực 1

Phương pháp tiên đề hoá để xây dựng khái niệm mới bằng một hệ tiên đề đòi hỏi các tiên đề trong

hệ phải độc lập với nhau và tương thích với nhau, nghĩa là chúng chỉ có thể hỗ trợ lẫn nhau chứ không được mâu thuẫn với nhau và nhất là không được mâu thuẫn với khái niệm cũ được bao hàm trong khái niệm mới được xác định bằng hệ tiên đề

Về cơ bản, mà cũng là quan trọng nhất, điều này phải được thể hiện ở chỗ: các phép toán số học

cộng, trừ, nhân, chia hai số phức z1a1,0 và z2 a2,0 phải có kết quả trùng với kết quả của các phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia hai số thực a1 và a2.

Ta sẽ thấy rằng yêu cầu nói trên cũng được nhà toán học W.Hamilton đáp ứng đầy đủ trong hệ tiên đề        T1 , T2 , T3 , T4 xây dựng trường số phức

Thật vậy:

+ Theo các tiên đề    T2 , T4 , ta có:

a1,0  a2,0  a1a2,0 a1 a2 (phép cộng số thực được bảo toàn)

+ Theo các tiên đề    T3 , T4 , ta có:

a1,0a2,0  a a1 2 0.0, 0 0.a1  a2  a a1 2,0a a1 2

(phép nhân số thực được bảo toàn)

+ Do   a b,   a, b và z1z2   z1  z2 nên cùng với các tiên đề    T3 , T4 , ta có:

a1,0  a2,0  a1,0  a2, 0  a1a2,0 0   a1a2,0 a1 a2

(Phép trừ số thực được bảo toàn)

 1 1 1 22 1 22 2 12 1 22

,

, ,

a b a a b b a b a b



nên cùng với các tiên đề    T3 , T4 , ta có:

    1   1 2 2 1 1 1



(Phép chia số thực được bảo toàn)

Ngoài ra, do các tiên đề    T1 , T4 , ta còn có:

a1,0  a2,0a1a2 (phép đồng nhất số thực được bảo toàn)

Bây giờ, ta sẽ thấy rằng số giả tưởng i, số đơn vị ảo, với tính chất bí hiểm: i2   được đề cập1 trước đây thì khi qua hệ tiên đề của W.Hamilton, nó trở thành con số rất thật, rất quen thuộc và tính chất trên của nó cũng rất là đúng đắn, rất thú vị chứ không có gì là bí hiểm nữa cả!

Xem i a b, thì

         2 2

1

a

b ab



Vậy, có thể chọn i0, 1  hoặc i 0,1

W.Hamilton đã đặt tên cho cái mà ta gọi là đơn vị ảo i bởi: i 0,1

Vậy, số đơn vị ảo i chỉ đơn giản là cặp thứ tự hai số thực vô cùng quen thuộc 0 và 1

Thật thú vị là vai trò của hai số thực 0 và 1 ở đây: 0 là phần tử không của phép cộng số thực, và 1

là phần tử đơn vị của phép nhân số thực!

Tính chất bí hiểm: i2   của số đơn vị ảo1 i đã được hoá giải, đã được đưa ra ánh sáng!

Kế đến, cũng từ các tiên đề    T3 , T4 , ta có:          a b,  a,0  0,b  a,0 b 0,1  a bi

Đây chính là dạng đại số của số phức mà trong chương trình toán 12 THPT nó được dùng làm định nghĩa của số phức

Dạng đại số của số phức rất tiện lợi trong các phép toán số học về số phức Ta sẽ nói sau về vấn đề này

Như vậy là mỗi số phức  a b, bằng tổng của số thực thứ nhất a với tích của số thực thứ hai b

với đơn vị ảo i Tiếp nữa, theo các tiên đề    T3 , T4 , ta có:

     a b, ,0 a b, a 0 ,b b 0.a

tức là:    ,  a b, :  a b,   a, b

Các phép tính số học đối với các số phức được thực hiện như đối với số thực

Trong phần này, ta sẽ bàn về các phép tính số học cộng, trừ, nhân , chia các số phức dưới dạng đại

số abi được thực hiện như thể chúng là các số thực mà học sinh THPT đang được học

Ta sẽ thấy rằng:

Các phép toán số học trên số phức chính là các phép toán trên các biểu thức thực của biến i

trong đó i2   1

Để chứng minh điều này, ta sẽ đối chiếu kết quả của việc tính toán một cách hình thức các phép

toán số học đối với các số phức có dạng abi với kết quả của việc tính toán bằng hệ tiên đề

       T1 , T2 , T3 , T4 và hai kết quả (1.3), (1.4)

Tính toán hình thức phép cộng: a1b i1   a2b i2   a1a2  b1b i2

Tính toán hình thức phép trừ: a1b i1   a2b i2   a1a2  b1b i2

Tính toán hình thức phép nhân:

a b i a b i a a a b ia b ib b i  a a b b  a b a b i

 1 1  2 2   1 2 1 2  2 1 1 2

a b i a b i a a b b a b a b i

a b i

Rõ ràng, kết quả của việc tính toán hình thức đối với các số phức có dạng đại số abi hoàn toàn trùng khớp với các tính toán các số phức có dạng  a b theo hệ tiên đề W.Hamilton.,

3 BIỂU DIỄN SỐ PHỨC

Cửa còn đóng

Không một ai vào được

Cửa mở rồi

Mọi người cứ tự do.

(Đinh Công Minh)

Quả vậy, nhờ có hệ tiên đề        T1 , T2 , T3 , T4 của nhà toán học W.Hamilton mà số phức từ bóng tối bí hiểm đã bước ra ngoài ánh sáng rực rỡ: Cửa đã mở!

Bao nhiêu áp lực, ức chế, hoài nghi về sự tồn tại số phức và cấu trúc số phức của các nhà toán học

đã được giải toả Các nhà toán học tìm cách trang điểm cho số phức theo nhiều kiểu cách., nói tóm lại

là các nhà toán học đã đưa ra rất nhiều cách thú vị để biểu diễn số phức dưới các dạng: cặp số thực có thứ tự, dạng đại số, dạng lượng giác, dạng vector, dạng mũ, dạng ma trận

3.1 Biểu diễn số phức bằng cặp số thực có thứ tự

Đây là cách biểu diễn tự nhiên nhất theo đúng tinh thần của hệ tiên đề về số phức của W

Hamilton, tức là mỗi số phức z là một cặp số thực có thứ tự   2

,

a b  thỏa mãn hệ tiên đề

       T1 , T2 , T3 , T4

3.2 Biểu diễn số phức z a b,  dưới dạng điểm z a b , mpOxy.

Vì mỗi số phức là một cặp số thực có thứ tự z a b, nên có thể biểu diễn hình học số phức thành một điểm z a b, mpOxy

Khi đó:

 mpOxy gọi là mặt phẳng phức.

 Trục hoành là tập hợp các điểm  a,0  a  gọi là trục thực

 Trục tung là tập hợp các điểm  0,b b 0,1 bi gọi là trục ảo

 Phần tử không là gốc tọa độ O

 Phần tử đơn vị là điểm  1,0

 Số đơn vị ảo i là điểm  0,1

 Hai số phức liên hợp z a b, và z a,b được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng qua trục thực

3.3 Biểu diễn số phức z a b, dưới dạng đại số z a bi.

Đây chính là định nghĩa số phức trong chương trình toán THPT là dạng rất tiện lợi trong các phép toán số học về số phức

3.4 Dạng lượng giác rcos isin của số phức z  a b, .

Gọi  r, là tọa độ cực của điểm z a b , thể hiện số phức z a b, thì:

cos , sin

ar  br  , nên ta có dạng biểu diễn sau đây gọi là dạng lượng giác của số phức:

cos sin 

zr i  Chú ý rằng:

r a b  z là module của số phức z

  Ox Oz , 

gọi là argument của số phức z , ký hiệu là arg z

Argument có các tính chất giống như tính chất logarit sau đây:

 argz z1 2argz1argz2

2 arg z argz argz z 0

Dạng lượng giác của số phức rất tiện lợi trong các phép tính nhân, chia, lũy thừa, khai căn số phức

3.5 Biểu diễn số phức z a b, dưới dạng vector Oz a b,

trong mpOxy.

Khi đó, module z  z z  a2b2 của số phức z a b, chính là module của vector

 ,

Oz a b

Đây là cách biểu diễn hình học số phức rất tiện lợi trong các tính toán cộng, trừ, nhân, chia các số phức

+ Trước tiên, phép cộng hai số phức chính là phép cộng hai vector như ở hình 1

+ Phép trừ là phép toán ngược của phép cộng nên phép trừ hai số phức chính là phép trừ hai

vector

+ Phép nhân hai số phức z1và z2 được cho ở hình 3

Dựng điểm w sao cho tam giác Oz w2 đồng dạng thuận với tam giác O z1 1

Ta sẽ chứng minh wz z1 2, tức chứng minh:  1 2

1 2







Thật vậy, ta có:

1 2 2

1

 argwOx Ow,   Ox Oz, 2  Oz Ow2, argz2 argz1argz z1 2

+ Phép chia của số phức z1 cho số phức z 0,0 định bởi 1

1

1

z z

z  z và do phép nhân biểu diễn hình học được nên ta chỉ cần xác định được 1

z là xong.

Hình 4 minh họa hình học cách xác định điểm 1

z với z 0,0 cho trước trong trường hợp z  :1

O

1

z

2

z z1z2

1

1

z

2

z

w

w

z

t

2

Hình 3 x

y

1

Dựng t là một trong hai giao điểm của đường tròn đơn vị với đường vuông góc với tia Oz Tiếp tuyến với đường tròn tại S cắt tia Oz tại w

Ta sẽ chứng minh: w 1

z

 , tức chứng minh:

1

1 arg arg

w z

w

z







 Hiển nhiên là argw arg1

z

 Hai tam giác Ozt và Otw đồng dạng nên ta có: w t

t  z , hay là w 1

z

Trường hợp z 1, ta hoán vị vai trò của z và w trong hình 4 thì dựng được 1

z.

Trường hợp z 1thì 1 2

z

z  z z  z  Hai số phức liên hiệp đối xứng nhau qua trục hoành nên

ta cũng dựng được 1

z .

3.6 Dạng mũ zre i của số phức có dạng lượng giác zrcos isin.

Đây là dạng cực kỳ quan trọng trong giải tích phức, để xây dựng và khảo sát các hàm số biến số phức

Trong giải tích phức, hàm số biến số phức nói chung là hàm đa trị, chẳng hạn hàm

  n  *

f z  z n có n giá trị phân biệt nếu z 0

Các nhà giải tích đã xây dựng các hàm số tổng quát như: lũy thừa,căn thức, đa thức, phân thức, lượng giác, mũ, loga, sao cho thu hẹp các hàm này trên trường số thực thì chúng chính là các hàm

số thực quen thuộc của chúng ta

Các công thức khai triển Taylor hàm sin, cos, exp trong giải tích thức chỉ là sự thu hẹp của các công thức khai triển Taylor các hàm phức cos ,sin ,z z e như sau đây: z

 

 

 

 

2 0

1 0

0

1

1

n n n

n n n

n z

n

n

n

e

n

























