Giáo trình trường điện từ

Nếu đã biết một nghiệm riêng y1x của phương trình vi phân từtrường cấp hai thuần nhất 2 thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2x củaphương trình đó, độc lập tuyến tính với y1x bằng cách

Tài liệu

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY

Mục lục

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY 5

Số tiết: 45 5

Tài liệu tham khảo 5

Chương 0 5

MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC 5

1 Vector 5

Phương: ca, b 5

2 Toán tử nabla 5

3 Gradient 6

4 Divergence 6

5 Rotary 6

Số phức 6

Hàm mũ 6

Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2i Thực vậy, ta có 6

Suy ra 6

Công thức Euler 6

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 6

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất 7

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất 7

Định lí 2 Cho phương trình không thuần nhất 8

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi 8

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là 9

Chương 1 11

CÁC ĐỊNH LUẬT 11

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 11

1.1.1 Vector cường độ điện trường 11

1.2.1 Định luật Ohm dạng vi phân 13

1.2.2 Định luật bảo toàn điện tích 14

1.3 Các đặc trưng cơ bản của môi trường 14

1.4 Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường 16

1.5 Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday 18

1.6 Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere 20

Khái niệm về dòng điện dịch 21

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng 22

1.7 Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell 24

Khi đó 28

Khi đó ta được 29

1.9 Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting 30

1.10 Định lí nghiệm duy nhất 30

1.11 Nguyên lí tương hỗ 31

1 Bổ đề Lorentz 31

1.12 Nguyên lí đồng dạng điện động 32

1.13 Trường tĩnh điện 33

Chương 2 35

TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 35

2.1 Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường 35

2.2.1 Đối với nguồn điện 36

2.2.2 Đối với nguồn từ 38

2.2.3 Đối với trường điều hoà 39

2.3 Phương trình sóng cho các vector Hertz 40

2.3.1 Vector Hertz điện 40

2.3.2 Vector Hertz từ 41

2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ 42

2.4 Tìm nghiệm của phương trình sóng 43

r v r t f1        mô tả sóng cầu phân kì truyền từ nguồn  vô cùng 44

Vậy 45

Ở trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại 45

Tương tự như nghiệm (2.53) ta có 46

Để đơn giản ta có giả thiết như sau 47

Ứd phương pháp thế chậm để tính trường 47

2.5.1 Trường điện từ của yếu tố lưỡng cực điện 47

Trong hệ toạ độ cầu ta có công thức 48

Ta có phương trình của mặt đẳng pha là 49

2.5.3 Trường ở vùng xa 50

2.5.4 Công suất bức xạ, trở bức xạ 51

Trong đó 52

2.6.1 Trường điện từ của vòng dây 54

Dòng từ mặt hướng theo trục y: I MSy bthiên điều hoà theo thời gian 58

S = ab là diện tích của yếu tố mặt 59

Chương 3 63

SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG 63

3.1 Nghiệm phương trình sóng đối với sóng phẳng 63

3.1.1 Sóng phẳng đồng nhất TEM (transverse electromagnetic wave) 63

3.1.2 Nghiệm phương trình sóng 64

3.2 Sóng phẳng đồng nhất trong các môi trường đồng nhất và đẳng hướng 69

3.2.1 Sóng phẳng đồng nhất trong điện môi lí tưởng 69

3.2.2 Sóng phẳng đồng nhất trong môi trường dẫn điện 71

3.3 Hiệu ứng bề mặt trong vật dẫn 73

3.4 Sự phân cực của sóng phẳng 76

3.4.1 Phân cực elip 76

3.4.2 Phân cực tròn 77

3.4.3 Phân cực thẳng (tuyến tính) 77

3.5 Sự phản xạ và khúc xạ của sóng phẳng 78

3.5.1 Sóng tới phân cực ngang 78

3.5.5 Sự khúc xạ toàn phần 85

3.6 Điều kiện biên gần đúng Leontovic 85

3.7 Sóng phẳng trong môi trường không đẳng hướng 86

3.7.1 Môi trường không đẳng hướng 86

3.7.2 Tensor độ từ thẩm và tensor độ điện thẩm 88

3.7.3 Sóng phẳng trong ferrite bị từ hoá 90

- (3.86) và (3.88) mô tả sóng phân cực tròn quay trái 92

Chương 4 93

NHIỄU XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ 93

4.1 Khái niệm 93

4.2 Nhiễu xạ của sóng phẳng trên vật dẫn trụ tròn dài vô hạn 93

4.2.1 Bài toán 93

4.2.2 Trường thứ cấp 96

4.2.3 Giản đồ hướng 96

tbt là mật độ công suất bức xạ trung bình của sóng tới 98

4.4 Nguyên lí dòng tương đương 101

4.5 Nhiễu xạ của sóng phẳng qua lỗ trên màn chắn phẳng rộng vô hạn 103

  2 2 2 2 xx ' y x y R r         với R 2  x 2  y 2  z 2 105

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY

Số tiết: 45

Tài liệu tham khảo

1 Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006

2 Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995

3 Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978

Chương 0 MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC

z y

x i a b a b j a b a b k a b a b

b b b

a a a

k j i

3 Gradient

z

U k y

U j x

U i U gradU

4 Divergence

z

a y

a x

a a a

a k x

a z

a j z

a y

a i a a a

z y x

k j i a a

z y x

Suy ra

z i k z i k

Công thức Euler

eiy = cosy +isiny

Khi đó số phức z = r ei = r(cos +isin)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Ph ng trình vi phân t tr ng c p hai là ph ng trình b c nh t đ i v i hàm ch a ư ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ư ậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ối với hàm chưa ới hàm chưa ư

bi t và các đ o hàm c a nó: ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó: ủa nó:

) x ( f y a y a

Trong đó:

a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x

f(x) = 0  (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

f(x)  0  (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất

a1, a2  const  (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Ph ng trình vi phân t tr ng c p hai thu n nh t có d ng: ư ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ần nhất có dạng: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ạo hàm của nó:

0 y a y a

a1, a2 là các hàm của biến x

Định lí 1 Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2

(trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy

Hai hàm y 1 (x) và y 2 (x) là độc lập tuyến tính khi     const

x y

x y

2

1  , ngược lại là phụ thuộc tuyến tính

Định lí 2 Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình viphân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy

Định lí 3 Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từtrường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y2(x) củaphương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Ph ng trình vi phân t tr ng c p hai là ph ng trình b c nh t đ i v i hàm ch a bi t ư ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ư ậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ối với hàm chưa ới hàm chưa ư ết và các đạo hàm của nó:

và các đ o hàm c a nó: ạo hàm của nó: ủa nó:

) x ( f y a y a

Trong đó:

a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x)  0

Định lí 1 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệmriêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3)

Định lí 2. Cho ph ng trình không thu n nh t ư ần nhất có dạng: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

) x ( f ) x ( f y a y a

Nếu y1 (x) là nghi m riêng c a ph ng trình ệm riêng của phương trình ủa nó: ư

) x ( f y a y a

và y2 (x) là nghi m riêng c a ph ng trình ệm riêng của phương trình ủa nó: ư

) x ( f y a y a

thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

Ph ng trình vi phân t tr ng c p hai thu n nh t có d ng: ư ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ần nhất có dạng: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ạo hàm của nó:

0 qy y

p, q là các hằng số

Gi s nghi m riêng c a (7) có d ng ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ử nghiệm riêng của (7) có dạng ệm riêng của phương trình ủa nó: ạo hàm của nó:

kx e

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định

Suy ra

kx ke

k 2





Nếu k thoả mãn (11) thì y = ekx là một nghiệm riêng của phương trình vi

phân (7) Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi

x 1 2

x 2

x

C

- k 1 và k 2 là 2 số phức liên hợp: k 1 =  + i và k 2 =  - i

Hai nghi m riêng c a ph ng trình vi phân (7) là ệm riêng của phương trình ủa nó: ư

 

 i  x x i x 2

x i x x i 1

e e e

y

e e e

x sin i x cos e

x i

x i

cos x i sin x

e e e y

x sin i x cos e e e y

x x i x 2

x x i x 1

y y y

x cos e 2

y y y

x 2 1 2

x 2 1 1

tg y

x sin e C x cos e C

Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1 Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ

1.1.1 Vector cường độ điện trường

 i n tr ng đ c đ c tr ng b i l c tác d ng lên đi n tích đ t trong đi n tr ng ệm riêng của phương trình ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ư ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ư ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ụng lên điện tích đặt trong điện trường ệm riêng của phương trình ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ệm riêng của phương trình ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

E q

Hay:

q

F E

0 r

r 4

Qq F

-  - độ điện thẩm tương đối

- r 0 - vector đơn vị chỉ phương

i 0 i 0

n 1 i i

r

rq4

1E

- các vector đơn vị chỉ phương

 Trong th c t h th ng là dây m nh, m t ph ng hay kh i hình h c, do đó: ực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ết và các đạo hàm của nó: ệm riêng của phương trình ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ẳng hay khối hình học, do đó: ối với hàm chưa ọc, do đó:







l 2 l 0 l

r

r dl 4

1 E

r

r dS 4

1 E

r

r dV 4

1 E



1.1.2 Vector điện cảm

 Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sửdụng vector điện cảm D

r

r l Id 4

B





1.1.4 Vector cường độ từ trường

 Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sửdụng vector cường độ từ trường H

0

B H







1.2 Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích

1.2.1 Định luật Ohm dạng vi phân

 C ng đ dòng đi n I ch y qua m t S đ t vuông góc v i nó b ng l ng đi n tích q ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ộc lập từ trường vì ệm riêng của phương trình ạo hàm của nó: ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ới hàm chưa ằng lượng điện tích q ư ệm riêng của phương trình chuy n qua m t S trong m t đ n v th i gian ểm Q và q ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ộc lập từ trường vì ịnh luật Lorentz ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

 ểm Q và q mô t đ y đ s chuy n đ ng c a các h t mang đi n trong môi tr ng d n đi n, ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ần nhất có dạng: ủa nó: ực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ểm Q và q ộc lập từ trường vì ủa nó: ạo hàm của nó: ệm riêng của phương trình ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ẫn có chiều dài l ệm riêng của phương trình

ng i ta đ a ra khái ni m m t đ dòng đi n ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ư ệm riêng của phương trình ậc nhất đối với hàm chưa ộc lập từ trường vì ệm riêng của phương trình

E v v e n

S

S d E S

d J dI

EL )(

L ( ES EdS

dạng thông thường của định luật Ohm

Vì E và d S cùng chi u, đ t ều dài l ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

RL

1



 - điện dẫn suất có đơn vị là 1/m

1.2.2 Định luật bảo toàn điện tích

 Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũngkhông tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòngđiện

 Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điệntích giảm đi từ thể tích V đó

 Gi s trong th tích V đ c bao quanh b i m t S, ta có ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ử nghiệm riêng của (7) có dạng ểm Q và q ư ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

d dt

dV t S

S

dV t dV

J S

1.3 Các đặc trưng cơ bản của môi trường

 Các đặc trưng cơ bản của môi trường: , , 



gọi là các phương trình vật chất

 , ,   cường độ trường : môi trường tuyến tính

 , ,   const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng

 , ,  theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trườngkhông đẳng hướng Khi đó ,  biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng

số Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trườngkhông đẳng hướng khi truyền sóng điện từ

 , ,   vị trí : môi trường không đồng nhất

Trong tự nhiên đa số các chất có  > 1 và là môi trường tuyến tính

Xecnhec có  >> 1 : môi trường phi tuyến

 > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N,không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm

 < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na+, Cl- có các lớpelectron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO2, H2O,thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ

 >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim cácnguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al Độ từ hoá của chất sắt từlớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần

 Căn cứ vào độ dẫn điện riêng : chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cáchđiện hay điện môi

Chất dẫn điện:  > 104 1/m,  =  : chất dẫn điện lý tưởng

Chất bán dẫn: 10-10 <  < 104

Chất cách điện:  < 10-10,  = 0 : điện môi lý tưởng

Không khí là điện môi lý tưởng:  =  = 1,  = 0

1.4 Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường

 Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell

 Thông lượng của vector điện cảm D qua m t S là đ i l ng vô h ng đ c xác đ nh ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ạo hàm của nó: ư ưới hàm chưa ư ịnh luật Lorentz

b i tích phân ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

d : vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài

dS.cos(D,d S) : hình chiếu của S lên phương D

 Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của D do q

t o ra qua m t kín S, ta có ạo hàm của nó: ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

4

S d , D cos dS q S d D

d là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS

Thông lượng của D qua toàn m t kín S là ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

q d 4

q S d D S

Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu Khi đó thônglượng của D qua toàn mặt kín S bằng 0

D 

S

d 

S d

r



q

 Xét hệ điện tích điểm q1, q2, , qn đ t trong m t kín S, ta có ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường







n 1

d D S

d D

V S

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Gauss đối với điện trường

Ostrogradski-Nguyên lý liên tục của từ thông

 Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó làdòng điện hay nam châm Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này

 Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm B Thônglượng của B qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này

Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng sốđường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó Vì vậy thông lượng của B đ c tính ư theo

D 

S

d A

B q

0 S d B

1.5 Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday

Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này

xh dòng điện cảm ứng Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường E có chiều

là chiều của dòng điện cảm ứng đó

Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiệnnhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải

là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặtcủa điện trường đó Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vìđường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở Điện trường tĩnh không làmcho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vìhoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượngđiện !)

Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đ ng cong kín đ t o thành dòng đi n thì ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ểm Q và q ạo hàm của nó: ệm riêng của phương trình công ph i khác 0, có ngh a là ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ĩa là

0 l d E q

Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:

Theo đ nh lu t c m ng đi n t c a Faraday, s c đi n đ ng c m ng xh trong m t ịnh luật Lorentz ậc nhất đối với hàm chưa ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có ệm riêng của phương trình ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ủa nó: ức Euler ta có ệm riêng của phương trình ộc lập từ trường vì ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có ộc lập từ trường vì vòng dây kim lo i kín v tr s b ng t c đ bi n thiên c a t thông đi qua di n tích c a vòng ạo hàm của nó: ều dài l ịnh luật Lorentz ối với hàm chưa ằng lượng điện tích q ối với hàm chưa ộc lập từ trường vì ết và các đạo hàm của nó: ủa nó: ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ủa nó: dây

dt d

Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điệncảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông 

S

t

B S

d dt

B d S

d B dt

d dt

S d t

B l

Theo gi i tích vector (công th c Green-Stock) ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có



S l

S d E l

B E

1.6 Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere

Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trườngxoáy Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Đểđảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwellđưa ra luận điểm II:

Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từtrường

(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)

Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong khônggian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II

sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có

sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường.

Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:

Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace,Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:

Lưu số của vector cường độ từ trường H d c theo m t đ ng cong kín b t kì ọc, do đó: ộc lập từ trường vì ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

b ng t ng đ i s các dòng đi n đi qua di n tích bao b i đ ng cong này ằng lượng điện tích q ổng quát của phương trình vi phân (7) là ạo hàm của nó: ối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ệm riêng của phương trình ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

I I l

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn.

Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện Jthì



S l

S d J l d

H #  

(1.42)Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trườngđiện từ

Khái niệm về dòng điện dịch

C n c vào đ nh lu t c m ng đi n t c a Faraday và đ nh lu t dòng đi n toàn ph n c a % ức Euler ta có ịnh luật Lorentz ậc nhất đối với hàm chưa ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có ệm riêng của phương trình ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ủa nó: ịnh luật Lorentz ậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ần nhất có dạng: ủa nó: Ampere, Maxwell b ng lý thuy t đã ch ra s tác d ng t ng h gi a đt và t tr ng cùng v i ằng lượng điện tích q ết và các đạo hàm của nó: ỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa đt và từ trường cùng với ực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ụng lên điện tích đặt trong điện trường ư ỗ giữa đt và từ trường cùng với ữa 2 đt điểm Q và q ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ới hàm chưa

vi c đ a ra khái ni m m i v dòng đi n d ch Dòng đi n d ch có m t đ đ c tính theo công ệm riêng của phương trình ư ệm riêng của phương trình ới hàm chưa ều dài l ệm riêng của phương trình ịnh luật Lorentz ệm riêng của phương trình ịnh luật Lorentz ậc nhất đối với hàm chưa ộc lập từ trường vì ư

th c ức Euler ta có

dP 0 0

t

P t

E t

qua tụ Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì gi a 2 b n t ữa 2 đt điểm Q và q ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ụng lên điện tích đặt trong điện trường không t n t i đi n tích chuy n đ ng và có giá tr : ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ạo hàm của nó: ệm riêng của phương trình ểm Q và q ộc lập từ trường vì ịnh luật Lorentz

t

E S

d E

d

S





  vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ

Đối với môi trường chân không, ta có:  = 1

Dòng đi n d n ch y trong dây d n n i v i t có giá tr b ng ệm riêng của phương trình ẫn có chiều dài l ạo hàm của nó: ẫn có chiều dài l ối với hàm chưa ới hàm chưa ụng lên điện tích đặt trong điện trường ịnh luật Lorentz ằng lượng điện tích q

t

E S S d E dt

d dt

dq

S 0

d J l d

-q

E 

~

S d t

D J l

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân

Theo gi i tích vector (công th c Green-Stock) ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có



S l

S d H l

D J

Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra

từ trường như dòng điện dẫn

1.7 Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell

Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo rađiện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từtrường Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại

và có liên hệ chặt chẽ với nhau

Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành mộttrường thống nhất gọi là trường điện từ

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa cáchạt mang điện

S d t

B l

D ng vi phân ạo hàm của nó:

t

B E

S d t

D J l

Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh

ra từ trường như dòng điện dẫn.

- Định lí OG đối với điện trường

D ng tích phân ạo hàm của nó:

q S d D S



Theo giải tích vector:  

V S

dV D S

d

V dV

- Định lí OG đối với từ trường

D ng tích phân ạo hàm của nó:

0 S d B S



D ng vi phân ạo hàm của nó:

0 B 

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn

Các ph ng trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) g i là h ph ng trình Maxwell ư ọc, do đó: ệm riêng của phương trình ư

B E



- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài

Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian.Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ Nguồn dòng điện này độc lậpvới môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồnngoài Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện Để đặc trưng chonguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài JO lu t Ohm d ng vi phân: ậc nhất đối với hàm chưa ạo hàm của nó:

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại

những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường

điện từ tự do Khi có ngu n ngoài h ph ng trình Maxwell đ c vi t l i ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ệm riêng của phương trình ư ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

t

B E



Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ,  và , tức là

môi trường điện môi: D 0E

môi trường dẫn điện: J  E

môi trường từ hoá: B 0H, ta có



- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell

 Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điệndẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài J JO    0



0 H 



Nhận xét: E và H đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau

 Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đốixứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức

Trong môi tr ng đ ng nh t và đ ng h ng, không dòng đi n d n, không đi n tích t ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ẳng hay khối hình học, do đó: ưới hàm chưa ệm riêng của phương trình ẫn có chiều dài l ệm riêng của phương trình ực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường

do, v i ngu n đi n và t ngoài ới hàm chưa ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ệm riêng của phương trình ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

t

H J









Ứng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì

sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồnđiện), mà không cần phải giải cả hai

- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà

Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc  nên có th bi u ểm Q và q ểm Q và q

di n d i d ng ph c, ta có ễn dưới dạng phức, ta có ưới hàm chưa ạo hàm của nó: ức Euler ta có

V i: ới hàm chưa

t i

my i

mx m

E; x, y, z là các pha ban đầu

Khi đó

m 0

E H

E







1.8 Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ

Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián

đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được

- đối với thành ph n pháp tuy n c a đi n tr ng ần nhất có dạng: ết và các đạo hàm của nó: ủa nó: ệm riêng của phương trình ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn

lí tưởng có 2 =  Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa

là E2  H2  0

Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ E2; H2  0 thì dưới tácdụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nócho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quảtrường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng bằng 0 Trên bề mặt S của vật dẫn lítưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn Khi đó ta được

1.9 Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting

- Năng lượng của trường điện từ

2

2

H 2

E

- Định lí Umov Poynting

ã ch ng minh đ c ức Euler ta có ư

O t S

P P dt

dW S

dV E dV

Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổnhao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng củavector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó.

Vector Poynting  biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ

1.10 Định lí nghiệm duy nhất

Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãncác điều kiện sau

1 Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại thời điểm t0 = 0 t i b t kì ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ạo hàm của nó: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

đi m nào trong vùng không gian kh o sát hay còn g i là đi u ki n ban đ u, t c là ểm Q và q ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ọc, do đó: ều dài l ệm riêng của phương trình ần nhất có dạng: ức Euler ta có

đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn cácđiều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất

m 1 m 2 E m 2 m 1 E m

1 m 2 m

2 m 1

H J H J

E J E J H

E H

D ng tích phân ạo hàm của nó:

1 m 2 E m 2 m 1 E

S

m 1 m 2 m

2 m 1

dV H J H J E

J E J

dS H

E H

J E J

V

m 1 m 2 M m 2 m 1 M m

1 m 2 E m 2 m 1

Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân

bố trong V1, nguồn điện và từ 2 phân bố trong V2 và 2 thể tích này không cómiền chung Do đó vế trái của phương trình (1.80) tích phân trong miền V  chia thành 3 miền V1, V2 và mi n còn l i Tuy nhiên tích phân trong mi n còn l i b ng 0 vì ều dài l ạo hàm của nó: ều dài l ạo hàm của nó: ằng lượng điện tích q

mi n này không t n t i ngu n cho nên ph ng trình (1.80) đ c vi t l i ều dài l ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ạo hàm của nó: ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ư ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

m 1 m 2 M m 1 m 2 E 1

V

m 2 m 1 M m 2 m 1

Tham s hoá các đ i l ng c a tr ng đi n t ối với hàm chưa ạo hàm của nó: ư ủa nó: ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

6 6 5

5 4 4 M 3 3 E 2 2 1

1 a ; E a ; J a ; J a l a t a

H                  (1.82)

4 3 2

1 [A/m], A/m], 2 [A/m], V/m], 3 [A/m], A/m2], 4 [A/m], V/m2], 5 [A/m], m], 6 [A/m], s]

Thay các đ i l ng trong (1.82) vào các ph ng trình Maxwell sau đây ạo hàm của nó: ư ư

E J

2 2 1

a

a c c

a

a c a c a

5 1 5

Tr ng t nh đi n đ c t o ra b i các đi n tích đ ng yên và không bi n đ i theo th i gian, ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ĩa là ệm riêng của phương trình ư ạo hàm của nó: ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ệm riêng của phương trình ức Euler ta có ết và các đạo hàm của nó: ổng quát của phương trình vi phân (7) là ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

ta có h ph ng trình Maxwell nh sau ệm riêng của phương trình ư ư

Chương 2 TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

2.1 Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường

Lưu ý:

-  là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường

-  là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường

Đặt ’ = 0 và ’ = 0

- ’ là độ điện thẩm tuyệt đối

- ’ là độ từ thẩm tuyệt đối

H ph ng trình Maxwell trong môi tr ng đ ng nh t và đ ng h ng có c ngu n ệm riêng của phương trình ư ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ẳng hay khối hình học, do đó: ưới hàm chưa ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:

đi n và t ngoài ệm riêng của phương trình ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

t

E J







Nhận xét: Các phương trình (1) và (2) bao gồm E, H và các nguồn điện

và từ nên khó giải Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn

L y rot 2 v c a các ph ng trình (1) và (2) ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ết và các đạo hàm của nó: ủa nó: ư

t J

E H

H

E E

0 M 0 E 0

2

2 0 0

t

J 1

J t

H t

J t

E t

E

0 0

M 0

2

2 0 0 2

hoặc H Đây là các phương trình vi phân cấp 2 có vế phải Rất khó giải vì vế

phải là các hàm rất phức tạp Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn

và điện môi lí tưởng  = 0, ta có

0 t

H

2 0 0 2

E

2 0 0 2

2.2 Phương trình cho các thế điện động

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và

từ thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau

2.2.1 Đối với nguồn điện

Để đơn giản xét trường trong điện môi lí tưởng  = 0 h ph ng trình Maxwell ệm riêng của phương trình ư (2.1) đ c vi t l i ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

t

E J

A và E được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện

Như vậy: H và E được biểu diễn qua AE và E theo các công thức (2.6)

và (2.8) tương ứng

Tìm AEvà E ?

Từ các công thức (2.6) và (2.8) thay H và E vào (1) c a (2.5) ta có ủa nó:

E 0

E 0 0 E 2

E 2 0 0 E

t A

t

0 0

E 2 0 0 E

E 2 0 0 E 2

2.2.2 Đối với nguồn từ

Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng  =

0

M

H







M M

M 2 0 0 M

M 2 0 0 M 2

0 0

A và M là các thế điện động đối với nguồn từ

N u trong môi tr ng đi n môi lí t ng t n t i đ ng th i c ngu n đi n và ngu n t ết và các đạo hàm của nó: ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ưởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ạo hàm của nó: ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ệm riêng của phương trình ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa thì tr ng đi n t t ng h p b ng ch ng ch t tr ng c a ngu n đi n và ngu n t , có ngh a là ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ổng quát của phương trình vi phân (7) là ằng lượng điện tích q ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ủa nó: ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ệm riêng của phương trình ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ĩa là

 M E 0

A A

Nhận xét: E và H được biểu diễn qua AEvà E hoặc AMvà M làm cho

hệ phương trình Maxwell đơn giản hơn Đây chính là ưu điểm của phương phápdùng các thế điện động

2.2.3 Đối với trường điều hoà

Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc

 thì các ph ng trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) vi t d i d ng biên đ ph c ư ết và các đạo hàm của nó: ưới hàm chưa ạo hàm của nó: ộc lập từ trường vì ức Euler ta có

nh sau ư

Em 0 2

Em 2 2 Em

t

A k A

Em

2 2 Em 2

Mm 2 2 Mm

t

A k A

Mm

2 2 Mm 2

Trong đó: k    0  0 là số sóng trong môi trường

(2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trìnhHemholtz

Biểu thức của E và H có d ng ạo hàm của nó:

Em Mm

0

A i

A A

2.3 Phương trình sóng cho các vector Hertz

2.3.1 Vector Hertz điện

E

t

t

A E

E 0 2

E 2 0 0 E

2 0

0 2

E 2 0 0 E

t t

E 2 0 0 E

t t

E 2 0 0 E

E

P gọi là vector phân cực của nguồn điện

Phương trình (2.29) đ c vi t l i ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

0

E 2

E 2 0 0 E

t

M 2 0 0 M

t t

M 2 0 0 M

M

P gọi là vector từ hoá của nguồn từ

(2.37) đ c vi t l i ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

0

M 2

M 2 0 0 M

 còn gọi là thế vector từ hoá

Nhận xét: E và H được biểu diễn qua vector Hertz điện E hoặc vectorHertz từ M đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động

2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ

Trường hợp các vector Hertz điện E và vector Hertz từ Mchỉ có mộtthành phần Trong hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện E và vector Hertz từ

- Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện E một thành phần)

sẽ có H theo phương z bằng 0 (Hz = 0), còn các thành phần khác của H nóichung khác 0 Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từngang TM

- Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ M một thành phần) sẽ có

E theo phương z bằng 0 (Ez = 0), còn các thành phần khác của Enói chungkhác 0 Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TENhư vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trườngđiện từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ

2.4 Tìm nghiệm của phương trình sóng

Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trìnhd’ Alambert chỉ cần xác định E hoặc H Do đó có thể sử dụng một hàm vôhướng để đại diện cho E và M hoặc bất cứ thành phần nào trong hệ toạ độ Decaccủa E, M, AE và AM , ph ng trình d’ Alambert đ c vi t l i ư ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

g

t 2

2 0 0 2

g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V

Nghi m c a (2.42) b ng t ng nghi m c a ph ng trình sóng thu n nh t không v ệm riêng của phương trình ủa nó: ằng lượng điện tích q ổng quát của phương trình vi phân (7) là ệm riêng của phương trình ủa nó: ư ần nhất có dạng: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ết và các đạo hàm của nó:

ph i và nghi m riêng c a ph ng trình sóng thu n nh t có v ph i, t c là tìm nghi m c a ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ệm riêng của phương trình ủa nó: ư ần nhất có dạng: ấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ết và các đạo hàm của nó: ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ức Euler ta có ệm riêng của phương trình ủa nó:

ph ng trình sau ư

0

t 2

2 0 0 2

1 r r

2

2 2

2

Đặt  = r ta có

0 t

2 0 0 2

r t

Suy ra

r v

r t f r

v

r t

1 v

mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng  nguồn

i u ki n b c x t i vô cùng: ều dài l ệm riêng của phương trình ức Euler ta có ạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

0 E ik t

E r lim

H r lim

V y ậc nhất đối với hàm chưa

r v

r t

tr ng thái d ng, ph ng trình sóng d’ Alambert đ c vi t l i

Ở trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại ạo hàm của nó: ừ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ư ư ết và các đạo hàm của nó: ạo hàm của nó:

g 2

g 4

1 v

r t

Nh v y, nghi m c a ph ng trình sóng d’ Alambert là ư ậc nhất đối với hàm chưa ệm riêng của phương trình ủa nó: ư

r t r g 4

1 t r

(2.53)

Nh n xét: tr ng th i đi m t t i v trí quan sát b ng giá tr c a ngu n th i đi m t’ ậc nhất đối với hàm chưa ường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ểm Q và q ạo hàm của nó: ịnh luật Lorentz ằng lượng điện tích q ịnh luật Lorentz ủa nó: ồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: ởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện trường ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa ểm Q và q

s m h n t m t kho ng th i gian là ới hàm chưa ộc lập từ trường vì ả sử nghiệm riêng của (7) có dạng ờng cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa

r v

r t r J 4 t r A

r v

r t r J 4 t r A

i ikr m v r t i

g v

r t

r t i Em

v

r t

r t i Mm

v

r t

e t , r g 4

1 t ,

0

r

e t r J 4 t r A

