đề cương 11 hki S

Đoàn Trần Nam Sơn Lớp 11a1 ĐẠI SỐ Chương I: Giới hạn Dạng 1: Tính giới hạn: 1/ Giới hạn dãy: (lim u n ) Đặt n k với k là số mũ cao nhất làm nhân tử chung VD: Tính giới hạn của dãy u n với u n = Giải: Limu n = lim = lim =lim = =2 2/ Giới hạn hàm số: (1) Các dạng của giới hạn dãy:  Lim có dạng m/n với m,n xác định : Thay a ở (1) vào để tính giới hạn  Lim có dạng m/0 : Giải thích 3 lí do: + lim tử có giá trị a âm (hay dương) (BẰNG BAO NHIÊU KHÔNG QUAN TRỌNG, QUAN TRỌNG LÀ NÓ ÂM HAY DƯƠNG) + lim mẫu bằng 0 + Mẫu âm (hay dương) khi x→a Từ các lí do trên, suy ra lim của cả biểu thức ( Thường chỉ là )  Lim có dạng 0/0: Rút nhân tử chung để rút gọn  Lim có dạng :Đặt x k với k là số mũ cao nhất làm nhân tử chung  Lim có dạng phải nhân liên hợp để tính giới hạn *Chú ý : Trường hợp lim có dạng 0/0 còn có thể tách để tính: VD: Tính các giới hạn sau: a/ Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng Đoàn Trần Nam Sơn Lớp 11a1 Giải (Ta thấy đây là dạng xác định nên thay x=3 vào) = (3-4*3) 2 =81 b/ Giải (Ta thấy đây là dạng tìm lim khi x→ nên sẽ đặt x k với k là số mũ cao nhất để giải ) Ta có: = = (vì x) = = - Dạng 2: C/m hàm số liên tục/ hàm số gián đoạn  Hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0  = f(x 0 )  Hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x 0  ≠ f(x 0 ) hoặc không tồn tại  Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] + = f(x 0 )  + Tại a, + Tại b, VD: Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x=0 với f(x) = Giải Ta có: Vì nên không tồn tại  Hàm số f(x) bị gián đoạn tại x=0 *Chú ý: Kinh nghiệm khi giải dạng toán này: Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng Đoàn Trần Nam Sơn Lớp 11a1 Khi cho hàm số f(x) có dạng nhánh như trên: + Nếu f(x) bao gồm những nhánh có dạng x=m và x≠m thì ta thiên về giải theo hướng:  Tìm  Tính f(m)  So sánh 2 kết quả trên để rút ra kết luận + Nếu f(x) bao gồm những nhánh có dạng x>m, x<m và x=m thì ta thiên về giải theo hướng:  Tìm rồi suy ra (có thể tồn tại hoặc không tồn tại)  Tính f(m)  So sánh kết quả (Trường hợp không tồn tại thì kết luận f(x) bị gián đoạn tại m) *Trường hợp tìm điều kiện để hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 : B1: Tính f(x 0 ) B2: Tính : có thể tính trực tiếp hoặc dựa vào hoặc B3: Lí luận: Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0 thì: =f(x 0 )  VD: Tìm m để hàm số liên tục tại x=0 Giải: +Ta có f(0)=m +==m += +Để hàm số f(x) liên tục tại x=0 thì: Vậy m=1/4 Dạng 3: Chứng minh một phương trình có nghiệm trên khoảng (a,b) *Phương pháp: C/m 2 ý sau: Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng Đoàn Trần Nam Sơn Lớp 11a1 + f(a).f(b)<0 + f(x) liên tục trên đoạn  Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a,b) VD: C/m phương trình: có ít nhất một nghiệm âm? Giải: Ta có f(x) liên tục trên R nên suy ra: f(x) liên tục trên [-10000,0] Ta có f(-10000)f(0)<0 Từ 2 ý trên suy ra pt f(x)=0 có ít nhất một nghiệm x thuộc (-10000,0) hay pt đã cho có ít nhất một nghiệm âm (đpcm) *Mở rộng cho trường hợp chứng minh pt có 2 ng o hoặc 3 ng o *Trường hợp chứng minh pt f(x)=0 có 2 nghiệm trái dấu C/m theo hướng sau:  C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ngiệm thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<0  C/m pt f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (c,d) sao cho 0<c<d  Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng 0 trái dấu *Trường hợp chứng minh pt f(x)=0 có 2 nghiệm cùng dấu: C/m theo hướng sau:  C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng 0 thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<0 (hoặc 0<a<b)  C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng 0 thuộc khoảng (c,d) sao cho c<d<0 (hoặc 0<c<d)  Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng 0 cùng dấu *Trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 nghiệm nhỏ hơn hoặc lớn hơn số m cho trước: Xét trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 nghiệm nhỏ hơn m: Phương pháp c/m:  C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng 0 x 1 thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<m  C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng 0 x 2 thuộc khoảng (c,d) sao cho c<d<m  Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng 0 nhỏ hơn m Trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 ng 0 lớn hơn m làm tương tự VD: C/m pt : x 3 -6x 2 -9x+10=0 có ít nhất 2 ng 0 x 1 ,x 2 thỏa mãn: x 1 , x 2 trái dấu Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng Đoàn Trần Nam Sơn Lớp 11a1 Giải: Ta có: f(1)=-4, f(0)=10 Như vậy, ta có: f(1)f(0)<0 f(x) liên tục trên (0,1) (vì f(x) liên tục trên R)  Pt f(x)=0 có ít nhất một ng 0 x 1 thuộc khoảng (0,1) (1) Ta có: f(-2)=-4, f(0)=10 Như vậy, ta có: f(-2)f(0)<0 f(x) liên tục trên khoảng (-2,0) (vì f(x) liên tục trên R)  Pt f(x)=0 có ít nhất một ng 0 x 2 thuộc khoảng (-2,0) (2) Từ (1) và (2) => pt f(x)=0 hay pt đã cho có ít nhất 2 ng 0 x 1 , x 2 t/m x 1 >0>x 2 (đpcm) Chương II: ĐẠO HÀM Dạng 1: Tính đạo hàm theo công thức: *Cần nắm vững các công thức sau: Cộng trừ: (u±v)’= u’±v’ Nhân: (u.v)’= u’.v+u.v’ Đặc biệt: (ku)’=k.u’ Chia:= Đặc biệt: Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng Đoàn Trần Nam Sơn Lớp 11a1 *Mẹo nhớ : Nhân cộng, chia trừ * Đạo hàm phức tạp: )’= (u n )’= n.u n-1 .u’ *Đạo hàm lượng giác: (sin(x))’=cos(x) => (sin(u))’= u’ cos(u) (cos(x))’= -sin(x) => (cos(u))’= -u’ sin(u) (tan(x))’= => (tan(u))’= (cot(x))’= => (cot(u))’= Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ x 0 : *Phương pháp giải:  Bước 1: Tìm x 0 . Có thể đề bài cho sẵn x 0 hoặc có thể cho các gợi ý sau đây: Cho tung độ y 0 => x 0 Cho hệ số góc k => f ’(x 0 ) =k => x 0 Cho biết một điểm A(m,n) thuộc tiếp tuyến => thay m,n vào pt tiếp tuyến=> x o  Bước 2: Tại điểm có hoành độ x 0 , tính f(x 0 ) và f ‘(x 0 )  Bước 3: => pt tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 0 : y= y’(x 0 )(x-x 0 )+y(x 0 ) Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng Đoàn Trần Nam Sơn Lớp 11a1 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Chương I: QUAN HỆ VUÔNG GÓC Dạng 1: C/m đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Dạng 2: C/m 2 mặt phẳng vuông góc Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng Đoàn Trần Nam Sơn Lớp 11a1 VD: Cho S.ABCD,đáy ABCD là hình vuông, SA, c/m: a/ BC b/ (SAB) Giải: a/ Ta có:  BC (đpcm) b/ Ta có BC//AD, mà BC => AD Như vậy: => (SAB) (đpcm) *Một số ứng dụng của 2 mặt phẳng vuông góc: Chương II: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC Dạng 1: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng *Phương pháp: muốn tính góc giữa đường thẳng a và mp(P), ta đi tìm đường thẳng b là hình chiếu của a lên mp(P). Khi đó, (a,(P))=(a,b) VD: Cho S.ABCD, ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt đáy. Xác định và tính góc giữa SC và mp(SAB)? Giải: (Bước 1) Đi c/m BC (Bước 2) => B là hình chiếu của C lên mp(SAB) S là hình chiếu của S lên mp(SAB) Như vậy SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB) (Bước 3) => (SC,(SAB))=(SC,SB) Dạng 2: Tính góc giữa 2 mp (P) và (Q) Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng Đoàn Trần Nam Sơn Lớp 11a1 *Có thể tính theo các cách sau:  Cách 1: Không cần quan tâm a và b có cắt nhau hay không!!!  Cách 2: Tìm mp thứ 3  Cách 3: Áp dụng công thức: S hc =S bđ * cos α với α là góc giữa 2 mp Dạng 3: Tính khoảng cách: 1/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: *Có thể tính theo các cách sau:  Cách 1: d(A,(P))=AH với AH  Cách 2:  Có d  Kẻ AH//d (H…)  Vì d vuông góc với (P) nên AH vuông góc với (P) tại H  Khoảng cách: d(A,(P))=AH  Cách 3: Ta có: 2/ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng bằng đoạn vuông góc chung: *TH1: a và b có quan hệ vuông góc:  B1: C/m:  B2: Trong (P), kẻ IJ vuông góc với b tại J (1)  IJ vuông góc với a tại I (2)  B3: Từ (1) và (2) => IJ là đoạn vuông góc chung của a và b  Khoảng cách : d(a,b)=IJ *TH2: a và b không vuông góc:  B1: Tìm mp phụ và dựng đoạn vuông góc chung giả IJ  B2: Kẻ đoạn vuông góc chung thật EF//IJ  Khoảng cách: d(a,b)=EF 3/ Khoảng cách giữa 2 đt bằng phép quy đổi:  B1: Tìm (P) sao cho: a//(P) và (P) chứa b  B2: => d(a,b)=d(a,(P))=d(A,(P)) với A thuộc đt a Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng Đoàn Trần Nam Sơn Lớp 11a1 Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng . mp(SAB) Như vậy SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB) (Bước 3) => (SC,(SAB))=(SC,SB) Dạng 2: Tính góc giữa 2 mp (P) và (Q) Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh. Nam S n Lớp 11a1 *Mẹo nhớ : Nhân cộng, chia trừ * Đạo hàm phức tạp: )’= (u n )’= n.u n-1 .u’ *Đạo hàm lượng giác: (sin(x))’=cos(x) => (sin(u))’= u’ cos(u) (cos(x))’= -sin(x) => (cos(u))’=. góc Thượng đế không sinh ra chủ tớ, sang hèn, vua tôi. Thượng đế chỉ sinh ra những con người bình đẳng Đoàn Trần Nam S n Lớp 11a1 VD: Cho S. ABCD,đáy ABCD là hình vuông, SA, c/m: a/ BC b/ (SAB) Giải: a/