PHềNG GIO DC V O TO B THC TRNG THCS IN THNG THI GIO VIấN GII CP HUYN NM HC 2013 2014 Mụn thi: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt( khụng k thi gian giao ) thi gm: 01 trang Cõu 1: (4,0 im). Gii cỏc phng trỡnh sau: 1) 9 72 3 73 3 2 x x xx =+ . 2) 2 3 2 2 x x x x x = + . Cõu 2: (4,0 im). Cho phng trỡnh: 01 2 =+ mxx (1) (vi n l x ). 1) Gii phng trỡnh (1) khi m =3. 2) Gi s phng trỡnh (1) cú hai nghim 1 x ; 2 x . Hóy tớnh 7 2 7 1 xxS += theo m. 3) Tỡm mt a thc bc 7 bin x cú h s nguyờn v nhn s 77 0 2013 2014 2014 2013 +=x l nghim. Cõu 3: (4,0 im). 1) Cho 1 1 1 0( , , 0)x y z x y z + + = . Tớnh 2 2 2 yz xz xy x y z + + . 2) Tớnh tng S= 2014 2013 4 3 3 2 2014 2013 20131 4 3 31 3 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +++++++++++++ . Cõu 4: (6,0 im). Cho hình thoi ABCD cạnh a. Gọi R và r lần lợt là các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC. 1) Chứng minh : 2 2 2 1 1 4 R r a + = 2) Chứng minh : 3 3 2 2 2 8 ( ) ABCD R r S R r = + ; ( Kí hiệu ABCD S là diện tích tứ giác ABCD ) 3) Trong trng hp 0 108=BAD . Hóy tớnh t s AD BD Cõu 5: (2,0 im). Cho x, y, z l ba s dng tha món 1 222 =++ zyx Chng minh rng: 1 111 222 + + + + + zx z yz y xy x .Du "=" xy ra khi no? Ht H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: Ch kớ ca giỏm th 1: Ch kớ ca giỏm th 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC TRƯỜNG THCS ĐIỀN THƯỢNG HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 a) ĐKXĐ : 7 3 3 ≤≤ x * Đặt 3 x a = ( v ới 73 ≤≤ a ) ta được phương trình: 0,25 0,25 2 7673 aaaa −−=−+− (1) 0,25 Nhận thấy biểu thức vế trái của (1) không âm và 2734)7)(3(24)73( 2 ≥−+−⇒≥−−+=−+− aaaaaa (2) . Đẳng thức xảy ra { } 7;3∈⇔ a Lại xét vế phải của (1): 2)3(276 22 ≤−−=−− aaa (3) .Đẳng thức xảy ra 3=⇔ a Từ (2) và (3) suy ra phương trình (1) tương đương với phương trình 327673 2 =⇔=−−=−+− aaaaa 0,25 0,25 0,25 Với 3 = a ta thấy x =9 (thỏa mãn). 0,25 Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất x=9 0,25 2 ĐK 0x = hoặc 1x ≥ Với 0x = thỏa mãn phương trình 0, 25 0,25 Với 1x ≥ Ta có 3 2 2 2 1 ( 1) ( 1) 2 x x x x x x− = − ≤ + − 2 2 2 1 1( ) ( 1) 2 x x x x x x− = − ≤ − + 3 2 2 2 x x x x x⇒ − + − ≤ Dấu "=" xảy ra 2 2 1 1 x x x x = − ⇔ − = 2 2 1 1 1 1 x x x x x x = − ⇔ ⇒ + = − = + Vô lý 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 0x = 0,25 2 1 Khi m = 3 ta có phương trình x 2 – 3x + 1 = 0 0,25 Giải phương trình được; 2 53 1 + =x ; 2 53 21 − =x 0,5 2 Tính 4 2 −=∆ m 0,25 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 21 , xx thì 04 2 ≥−=∆ m Theo định lí Vi-et ta có: = =+ 1. 21 21 xx mxx Kí hiệu: nn n xxS 21 += . Khi đó: S 0 =2; S 1 =m 0,25 0,25 0,25 Mặt khác: −= −= ⇒ −= −= ++ ++ nnn nnn xmxx xmxx mxx mxx 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 với mọi số tự nhiên n Suy ra: nnn SmSS −= ++ 12 Từ đó tính được S 7 =m 7 -7m 5 +14m 3 -7m 0,5 0,25 0,25 3 Đặt 7 2 7 1 2013 2014 ; 2014 2013 == xx . Ta có: = =+ 1. 21 021 xx xxx . Theo định lí Vi-et đảo thì x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình: 01. 0 2 =+− xxx . Theo câu 2) ta có: mmmxx 7147m 2013 2014 2014 2013 357 7 2 7 1 −+−=+=+ Hay: 08108365283792745675854828379274m4054182 357 =−−+− mmm Vậy đa thức cần tìm là: 8108365283792745675854828379274x4054182)( 357 −−+−= xxxxP 0,5 0,25 0,25 0,25 3 1 Từ giả thiết, suy ra xyz zyxz yx 3111111 3333 3 =++⇔−= + 0, 75 Suy ra: 3 3 ) 111 ( 222333 ==++=++ xyz xyz z xy y xz x yz zyx xyz 0,75 Vậy: 3 222 =++ z xy y xz x yz 0,5 2 Ta có: ( ) ( ) nnnnnn 211121 2 22 2 −+=+⇒++=+ ( với n là số tự nhiên) Xét biểu thức: ( ) 1 1 ) 1 1( 1 )1( 21 1 )1( 1 2 2 2 2 2 2 2 += + + + −+= + + + +−+= + + + ++ n n n n n n n n n n nn n n n n n 1,0 Áp dụng ta có: 20291021006).32014( 20142013 432014 43 2014 2013 4 3 3 2 2014 2013 20131 4 3 31 3 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =+= ++++=+++=++++ +++++++++=S . 0,75 Vậy S = 2029102 0,25 4 1 Hỡnh v ỳng: 0,5 Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đờng trung trực của đoạn thẳng BD,BD là đờng trung trực của AC.Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đờng trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I,K là tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác ADB,ABC Từ đó ta có KB = r và IB = R.Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua M , Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đờng chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đờng ) 0, 5 Ta có = EBABAI mà 00 9090 =+=+ ABOEBAABOBAI 0, 5 Xét EBK có 0 90= EBK ,đờng cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có 2 2 2 1 1 1 BE BK BM + = 0,5 Mà BK = r , BE = BI = R; BM = 2 a Nên 2 2 2 1 1 4 R r a + = (Đpcm) 0,5 2 Xét AOB và AMI có 0 90== AMIABO và gúc A chung AOB AMI 2 . 2 AO AM AM AB AB AO AB AI AI R = = = Chứng minh tơng tự ta đợc 2 . 2 BM AB AB BO BK r = = 0,75 Ta có 4 2. . 2. 4 ABCD AB S AO OB Rr = = 0,75 _j _ P _ O _ I _ K _ E _M _ D _ C _ B _ A x Mµ theo ®Þnh lÝ Pi ta go trong tam gi¸c vu«ng AOB ta cã 2 2 2 4 2 2 1 1 1 4 AB OA OB AB R r = + = + ÷ 2 2 2 2 2 4R r AB R r ⇒ = + Tõ ®ã ta cã : 3 3 2 2 2 8 ( ) ABCD R r S R r = + 3 Kẻ tia Dx sao cho DA là tia phân giác của góc BDx, Tia Dx cắt BA tại P. 0,5 Khi đó: ∆ ABDcân tại A , ∆ ADPcân tại D và ∆ BDP cân tại B 0,5 Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: ADBD AD AD BD ADBP AD AD BD AP AB DP BD − =⇒ − =⇒= (vì BD=BP) 0,5 Suy ra: BD 2 -BD.AD-AD 2 =0 4 5 ) 2 1 (01 2 2 =−⇔=−− ⇔ AD BD AD BD AD BD 0,25 Vậy: 2 51+ = AD BD 0,25 5 Từ giả thiết suy ra 0<x,y,z<1 0, 25 Suy ra: ][ )1( 1 )(1 1 2 222 yxx xy xyx xy x −+= −+ −− ≥ −+ Tương tự ta cũng có: )1( 1 2 2 zyy yz y −+≥ −+ ; )1( 1 2 2 xzz zx z −+≥ −+ 0, 75 Cộng theo từng vế của BĐT ta được: ≥ −+ + −+ + −+ zx z yz y xy x 111 222 )1( 2 yxx −+ + )1( 2 zyy −+ + )1( 2 xzz −+ Hay: ≥ −+ + −+ + −+ zx z yz y xy x 111 222 1+x 3 +y 3 +z 3 -x 2 y-y 2 z-z 2 x (1) Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta có: yxyxx 2333 3≥++ Tương tự: zyzyy 2333 3≥++ ; xzxzz 2333 3≥++ Cộng theo từng vế ta được: xzzyyxzyx 222333 ++≥++ (2) Từ (1) và 92) suy ra: 1 111 222 ≥ −+ + −+ + −+ zx z yz y xy x (đpcm) 0, 75 Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 3 3 0, 25 Ghi chú: - Thí sinh trình bày đúng, đủ nội dung bài làm cho 20 điểm. - Điểm của toàn bài là tổng điểm thành phần và được làm tròn số đến 0,5đ. ……………………… Hết …………………… . PHềNG GIO DC V O TO B THC TRNG THCS IN THNG THI GIO VIấN GII CP HUYN NM HC 2013 2014 Mụn thi: TON Thi gian lm bi: 150 phỳt( khụng k thi gian giao ) thi gm: 01 trang Cõu 1: (4,0 im). Gii. giỏm th 1: Ch kớ ca giỏm th 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC TRƯỜNG THCS ĐIỀN THƯỢNG HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 – 2014 Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 a). tìm là: 8108365283792745675854828379274x4054182)( 357 −−+−= xxxxP 0,5 0,25 0,25 0,25 3 1 Từ giả thi t, suy ra xyz zyxz yx 3111111 3333 3 =++⇔−= + 0, 75 Suy ra: 3 3 ) 111 ( 222333 ==++=++ xyz xyz z xy y xz x yz zyx xyz 0,75 Vậy: