HÀM SỐ MŨ -LOGARIT

GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI ( Trang 1 – 11 ) ĐẠO HÀM ( Trang 13 – 16 ) GIỚI HẠN ( Trang 16 – 17 ) TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ( Trang 18 – 43 ) PHẦN 1 HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 2 PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. LŨY THỪA (Giả sử các biểu thức có nghĩa): 1) 0 1 a  2) 1 n n a a   3) m n m n a a  4)   a a     5) .a a a       6) a a a       7)   . ab a b     8) a a b b           Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0. +) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 1) A = 2 3 3 2 4 8  2) B = 2 1,5 3 (0,04) (0,125)    3) C =     1 1 2 4 3 0,25 1 0,5 625 2 19. 3 4              4) D = 3 2 1 2 3 2 4 .2 .2     5) E =   5 5 5 3 5 5 81. 3. 9. 12 3 . 18. 27. 6 6) F = 3 3 847 847 6 6 27 27    Giải: 1) A =     23 3 2 2 3 3 2 32 2 3 4 8 2 2 2 2 12       2) B =     3 2 2 3 2 2 3 1,5 2 3 3 2 3 2 3 1 1 (0,04) (0,125) 5 2 5 2 121 11 25 8                              3) C =         3 1 1 2 1 2 2 4 4 3 0,25 1 4 4 3 1 3 1 0,5 625 2 19. 3 2 5 19. 4 2 ( 3)                                    3 3 4 3 19 2 19 2 5 11 10 2 27 3 27                      4) D = 3 2 1 2 3 2 6 2 2 2 2 2 4 4 .2 .2 2 .2 2 16           5) E =   4 1 2 2 1 1 5 5 5 5 5 5 5 2 2 3 3 9 1 31 1 1 5 5 10 10 52 2 2 81. 3. 9. 12 3 .3 .3 .2.3 3 1 3 3 3 3 3 . 18. 27. 6 3 3 .3.2 .3 .2 .3             6) F = 3 3 847 847 6 6 27 27    . Ta áp dụng hằng đẳng thức :     3 3 3 3 a b a b ab a b      3 3 3 3 3 847 847 847 847 847 847 F 6 6 3 6 . 6 6 6 27 27 27 27 27 27                    www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 3     3 3 2 3 847 F 12 3. 36 .F 12 5F F 5F 12 0 F 3 F 3F 4 0 27                F = 3  hoặc 2 F 3F 4 0    (vô nghiệm). Vậy F = 3. Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa): 1) A = 23 4 a a 2) B = 35 4 7 5 a b b a         3) C = 1 1 1 1 1 2 2 4 4 3 1 1 1 1 4 2 4 4 4 : . a b a b a a b b a a b a b                        4) D = 2 1 1 2 2 1 2 : a a a b b b                  5) E = 2 1 1 2 2 2 : 2 b b a b b b a a                  6) F = 2 1 1 3 3 3 3 3 : 2 a b a b b a ab                  7) G = 4 4 1 : . ab ab b ab a b a ab b ab            8) H =   2 3 3 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a b a b ab a b a b                        9) I = 4 1 1 2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 8 . 1 2 2 4 a a b b a a a ab b               Giải: 1) A = 1 1 1 9 1 3 3 2 23 4 4 4 2 . a a a a a a a                 2) B = 35 1 5 4 35 1 4 7 4 1 1 4 5 5 7 5 a b b b b b a b a a a a a b                                                                      3) C = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 4 4 4 4 4 2 4 4 : . : . a b a b a a b a b b a b a b b a a a b a b a b a a b                                                         1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 1 . . . . 1 a b a a b a b a b a b a b b a b a a b a a b a b                                  4) D =       2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 : 1 : . b a a a a a b a b b b b b b a b                                 5) E =       2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 : 2 : : b b b b a b b b a b b a b a b a a a a                                        2 2 . a a a b b b a b     www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 4 6) F =         2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 2 : 2 : . 1 a b a b ab a a a b a b ab b a ab ab ab ab a b                                7) G = 4 4 4 4 1 1 : . . . ab ab b a ab ab ab a b ab a b a ab b ab a ab ab b b ab                           . . a b a b a ab a b a ab a a ab ab b a a b b a b           8) H =   2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a a b b a b a b a b ab a b a b a b a b a b a b                                                                              = 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 a b a a b b a b a b                          9) I =   1 4 1 1 1 2 2 3 33 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 8 8 2 . 1 2 . 2 4 2 4 a a b a a b b a b a a a a a ab b a a b b                                                3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 . 0 2 2 2 2 2 4 a a b a a b a ab b a a a a a a b a b a ab b a ab b                                    B. BÀI LUYỆN Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 1) A = 2 3 5 2 32        2) B = 3 3 2 2 2 3) C = 1 5 13 7 1 1 2 3 3 2 4 4 2 3 .5 :2 : 4: 5 .2 .3                                        4) D = 7 2 4 0,75 7 6 (0,2)               5) E = 7 4 3 4 5 2 ( 18) .2 .( 50) ( 225) .( 4) .( 108)      6) F = 3 1 3 4 2 2 3 2 0 2 3 2 .2 5 .5 (0,01) .10 10 :10 (0,25) 10 (0,01)             Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa): 1) A = 3 3 a a a 2) B =   5 3 5( 5 1) 2 2 1 2 2 1 .a a a     3) C = 1 9 1 3 4 4 2 2 1 5 1 1 4 4 2 2 a a b b a a b b        4) D = 3 3 6 6 a b a b   www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 5 2. LÔGARIT: Giả sử các biểu thức có nghĩa  log a b có nghĩa khi 0 1 0 a b          1) log 1 0 a  2) log 1 a a  3) log log log ( ) a a a b c bc   4) log log log a a a b b c c   5) log a b a b  6) log log log log 1 log log a a a a a a b b b b b b                  7) 1 log .log 1 log log log .log log log log log a b a b a b a a b a b a b a b c c c c b              Chú ý: +) Lôgarit thập phân : 10 log log lg b b b   +) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log ln e b b  ( 2,71828 e  ) A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau: 1) A =   3 3 2 2 log log 2 2) B = 3 6 log 3.log 36 3) C = 1 25 3 1 log 5.log 27 4) D =   5 3 3 2log 3 9 5) E= 1 1 log 27 log 81 1 125 2 9 5 25   6) F =   log 2 log 27 9 8 3 2 2 log 27 2   7) G =   log 6 log 8 ln3 5 7 lg 25 49 e   8) H = 1 1 log 3 log 2 log99 6 8 9 4 10  9) I = log 5 log 36 2log 71 3 9 9 lg 81 27 3         10) J = 7 4 log 2 0,25 0,5log 1 2log 6 9 2 7 4 36 81     11) K = 3 2 log (log 8) 12) L =     2013 4 2 0,25 9 4 log log (log 256) log log (log 64)  13) M 3 4 5 6 7 8 log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 7  14) N 0 0 0 0 lg(tan1 ) lg(tan 2 ) lg(tan88 ) lg(tan89 )      Giải: 1) A =   1 3 2 6 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 1 2 1 log log 2 log log 2 log . log log 3 2 6 3 9                    2) B = 2 1 2 3 6 6 6 log 3.log 36 log 36 log 6 4    3) C = 1 25 3 5 3 3 1 2 3 5 1 3 15 log 5.log log 5.log 3 ( 5). .log 5.log 3 27 2 2              4) D =   3 3log 5 3 3 2 2 log 5 2log 3 3 3 5 9 3 3 5          5) E   2 3 4 1 1 log 27 log 81 2 8 1 1 1 125 2 2 9 1 log 3 log 3 log log 1 2log 3 log 3 5 5 1 3 5 3 3 5 5 2 9 5 5 3 3 25 5 5 5 5.5 5.9 45                www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 6 6) F =     3 3 log 3 log 2log 2 log 2 log 27 log 3 3 3 23 9 8 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 log 27 2 log 3 2 log 3 2                         3 3 2 log 2 log 3 3 2 2 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 log 3 2 log 2 3 log 3 2 2 1                           7) G =       2 2 log 6 log 8 log 6 log 8 log 6 log 8 5 7 ln3 2 2 5 7 5 7 lg 25 49 lg 5 7 3 lg 5 7 3 e                       2 2 2 lg 6 8 3 lg10 3 2 3 1          8) H =     2 2 1 1 2 2 log 6 log 8 log 3 log 2 log 6 log 8 3 2log99 2 2 6 8 3 2 9 4 10 3 2 99 3 2 99 6 8 99 1             9) I =     2 2log 71 log 5 log 6 log 5 log 36 2log 71 2 3 2 4 3 3 9 9 3 3 lg 81 27 3 lg 3 3 3                        4 3 log 5 log 6 log 71 4 3 3 3 3 lg 3 3 3 lg 5 6 71 lg 29 71 lg100 2                 10) J       7 7 2 1 4 4 log 2 0,25 .log 1 2log log 2 0,25 0,5log1 2log 6 2 2 42 6 9 2 2 3 7 7 4 36 81 2 6 3          2 7 log 6 4 log 7 4log 3 2 4 2 3 4 3 6 4 3 7 7 3 2         11) K =   3 3 2 3 2 3 log (log 8) log log 2 log 3 1    12) L =       8 3 2013 4 2 0,25 9 4 2013 4 2 0,25 9 4 log log (log 256) log log (log 64) log log (log 2 ) l og log (log 4 )          2 2 3 2013 4 0,25 9 2013 2013 2013 2 1 2 1 3 1 log log 8 log log 3 log log 2 log log log 1 0 2 2 2                                 13) M 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 8 1 log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log 7 log 7.log 6.log 5.log 4.log 3.log 2 log 2 3     14) N 0 0 0 0 lg(tan1 ) lg(tan 2 ) lg(tan88 ) lg(tan89 )      0 0 0 0 0 0 0 lg(tan1 ) lg(tan89 ) lg(tan 2 ) lg(tan88 ) lg( tan 44 ) lg(tan 46 ) lg(tan 45 )                             0 0 0 0 0 0 0 lg tan1 .tan89 lg tan 2 .tan88 lg tan 44 .tan 46 lg tan 45              0 0 0 0 0 0 0 lg tan1 .cot1 lg tan 2 .cot 2 lg tan 44 .cot 44 lg tan 45      lg1 lg1 lg1 lg1 0 0 0 0 0            Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa): 1) A =   2 3 4 5 log a a a a 2) B =     log log 2 log log log 1 a b a ab b b a b b a     3) C = 3 5 1 lg log a a a 4) D =         2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 log log 1 1 log 2 log log 2 log . 3log 1 1 a a a a a a a a      www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 7 Giải: 1) A =   1 1 16 4 14 4 4 2 3 2 3 2 24 5 5 5 5 5 14 log log . . log . log . log 5 a a a a a a a a a a a a a a a a                                    2) B      1 log log 2 log log log 1 log 2 log .log log .log 1 log a b a ab b a a b ab b a b a b b a b b a b a b                     2 2 log 1 log 2log 1 1 1 log 1 . 1 1 log log log a a a ab a a a b b b a b b ab                    2 2 log 1 log 1 log1 . 1 1 . 1 log 1 1 log log 1 log log 1 log a a a a a a a a a b b b b b b b b b                    3) C = 1 5 5 2 1 33 5 102 1 1 1 3 3 3 3 1 1 lg log lg log . lg log lg log lg lg 1 10 10 a a a a a a a a a a                4) D =             2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 log log 1 2 1 log 2 log log 1 2log log . log 1 8log 2 log . 3log 1 1 3log . 3log 1 1 a a a a a a a a a a a a a a             2 2 2 2 2 2 9log 3log 1 1 9log 3log 1 a a a a       Ví dụ 3: Cho log 3 a b  ; log 2 a c   . Tính log a x biết: 1) 3 2 x a b c  2) 4 3 3 a b x c  3) 2 3 3 3 log a a bc x a cb  Giải: Cho log 3 a b  ; log 2 a c   1) Với 3 2 x a b c      1 3 2 3 2 2 1 1 log log log log log 3 2log log 3 2.3 . 2 8 2 2 a a a a a a a x a b c a b c b c              2) Với 4 3 3 a b x c    1 4 3 4 3 3 3 1 1 log log log log log 4 log 3log 4 .3 3. 2 1 3 3 a a a a a a a a b x a b c b c c               3) Với 2 3 3 3 log a a bc x a cb  1 5 5 5 8 3 2 2 3 3 3 6 3 3 2 1 1 8 33 3 3 6 3 log log log log log log log a a a a a a a a bc a b c a c x a b c a cb a b c b          5 8 5 5 8 5 log log .3 2 8 3 3 6 3 3 6 a a b c          www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 8 Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau: 1) A = 20 log 0,16 biết 2 log 5 a  2) B = 25 log 15 biết 15 log 3 a  3) C = log 40 biết 2 3 1 log 5 a        4) D = 6 log (21,6) biết 2 log 3 a  và 2 log 5 b  5) E = 35 log 28 biết 14 log 7 a  và 14 log 5 b  6) F = 25 log 24 biết 6 log 15 a  và 12 log 18 b  7) G = 125 log 30 biết lg3 a  và lg2 b  . 8) H = 3 5 49 log 8 biết 25 log 7 a  và 2 log 5 b  . 9) I = 140 log 63 biết 2 log 3 a  ; 3 log 5 b  ; 2 log 7 c  10) J = 6 log 35 biết 27 log 5 a  ; 8 log 7 b  ; 2 log 3 c  Giải: 1) A = 20 log 0,16 biết 2 log 5 a  . Ta có: A = 20 log 0,04 2 3 2 20 3 2 2 2 2 log 1 3log 5 2 1 3 5 log 5 log (2 .5) 2 log 5 2 a a         2) B = 25 log 15 biết 15 log 3 a  . Ta có:   15 3 3 3 1 1 1 1 log 3 log 5 1 log 3.5 1 log 5 a a a a           B =   3 3 3 25 2 3 3 3 1 1 log 15 log (3.5) 1 log 5 1 log 15 1 log 25 log 5 2log 5 2 1 2. a a a a a           3) C = log 40 biết 2 3 1 log 5 a        . Ta có: 1 3 2 2 2 3 1 2 2 1 2 3 log log 5 log 5 log 5 3 2 5 a a                C = 3 2 2 2 2 2 2 3 3 log 40 log (2 .5) 3 log 5 6 3 2 log40 3 log 10 log (2.5) 1 log 5 2 3 1 2 a a a a            4) D = 6 log (21,6) biết 2 log 3 a  và 2 log 5 b  Ta có: D =     2 3 2 2 2 2 6 2 2 2 2 .3 log log 21,6 2 3log 3 log 5 2 3 5 log (21,6) log 6 log 2.3 1 log 3 1 a b a           5) E = 35 log 28 biết 14 log 7 a  và 14 log 5 b  Ta có:   14 7 7 1 1 log 7 log 2.7 1 log 2 a      7 1 1 log 2 1 a a a       7 7 14 7 7 7 7 log 5 log 5 1 log 5 log 5 (1 log 2) . 1 log 7.2 1 log 2 a b b b b a a                   E = 2 7 7 7 35 7 7 7 1 1 2. log 28 log (7.2 ) 1 2log 2 2 log 28 log 35 log (7.5) 1 log 5 1 a a a b a b a             www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 9 6) F = 25 log 24 biết 6 log 15 a  và 12 log 18 b  Ta có: 2 2 2 6 2 2 log 15 log 3 log 5 log 15 log 6 1 log 3 a      (1)     2 2 2 2 12 2 2 2 2 log 2.3 log 18 1 2log 3 log 18 log 12 2 log 3 log 2 .3 b       (2) Từ (2) 2 2 2 2 1 2 (2 log 3) 1 2log 3 ( 2)log 3 1 2 log 3 2 b b b b b             Từ (1)        2 2 2 2 1 2 2 1 log 5 1 log 3 log 3 1 log 3 1 2 2 b b a ab a a a a a b b                  F =   3 2 2 2 25 2 2 2 2 1 2 3 log 2 .3 log 24 3 log 3 5 2 log 24 2 1 log 25 log 5 2log 5 4 2 2 2 2. 2 b b b b a ab b a ab b                  7) G = 125 log 30 biết lg3 a  và lg2 b  . Ta có: 10 lg2 lg 1 lg5 lg5 1 5 b b               G =       125 3 lg 3.10 lg30 1 lg3 1 log 30 lg125 3lg5 3 1 lg 5 a b        8) H = 3 5 49 log 8 biết 25 log 7 a  và 2 log 5 b  . Ta có: 2 2 2 25 2 2 2 log 7 log 7 log 7 log 7 log 7 2 log 25 2log 5 2 a ab b        H = 3 2 2 2 3 2 1 5 3 2 3 2 2 49 7 log log 2log 7 3 49 2.2 3 12 9 8 2 log 1 1 8 log 5 log 5 log 5 3 3 ab ab b b         9) I = 140 log 63 biết 2 log 3 a  ; 3 log 5 b  ; 2 log 7 c  Ta có : 2 2 3 log 5 log 3.log 5 ab    I =     2 2 2 2 2 140 2 2 2 2 2 log 3 .7 log 63 2log 3 log 7 2 log 63 log 140 2 log 5 log 7 2 log 2 .5.7 a c ab c           10) J = 6 log 35 biết 27 log 5 a  ; 8 log 7 b  ; 2 log 3 c  2 2 2 27 2 2 2 2 2 8 2 2 log 5 log 5 log 5 log 5 log 5 3 log 27 3log 3 3 log 7 log 7 log 7 log 7 3 log 8 3 a ac c b b                    J = 2 2 2 6 2 2 log 35 log 5 log 7 3 3 log 35 log 6 1 log 3 1 ac b c        Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức: 1) A = 3 log b a b a biết log 3 a b  . 2) B = 1 9 1 3 4 4 2 2 1 5 1 1 4 4 2 2 a a b b a a b b        biết 2013 2 a   ; 2 2012 b   www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 10 Giải: 1) A = 3 log b a b a biết log 3 a b  . A = 1 1 3 3 2 1 1 1 1 log log log 1 1 3 log 2 log 1 3log 2log 2 2 b b b a a a b a b a b b a a b b a b a a                           2log 2log 3 1 1 1 2 3 3 3 log 2 3 log 2 log 2 3 log 2 3 1 1 3 3 2 3 2 log a a a a a a a b b b b b b b                       2) B = 1 9 1 3 4 4 2 2 1 5 1 1 4 4 2 2 a a b b a a b b        biết 2013 2 a   ; 2 2012 b   B =             1 1 1 9 1 3 2 2 4 2 4 4 2 2 1 5 1 1 1 1 4 4 2 2 4 2 1 1 1 1 2013 2 2 2012 1 1 1 a a b b a a b b a b a b a a b b a a b b                           Ví dụ 6: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa): 1) log log log ( ) 1 log a a ac a b c bc c    2) log log c a b b a c 3) Nếu 2 2 4 9 4 a b ab   thì 2 3 lg lg lg 4 2 a b a b    4) Nếu 2 2 4 12 a b ab   thì 2013 2013 2013 2013 1 log ( 2 ) 2log 2 (log log ) 2 a b a b     5) Nếu 1 1 lg 10 b a   ; 1 1 lg 10 c b   thì 1 1 lg 10 a c   6) Nếu 12 log 18 a  ; 24 log 54 b  thì: 5( ) 1 ab a b    7) 2 2 log log a a b c c b  8) Trong 3 số: 2 2 log ;log a b b c c a b c và 2 log c a b a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1. Giải: 1) log log log ( ) 1 log a a ac a b c bc c    . Ta có:     log log log log log ( ) 1 log log log log a a a a ac a a a a bc b c bc bc c a c ac       (đpcm) 2) log log c a b b a c . Đặt log b c a t  log log log log log log t b b b t t t t b b b c c a a a a a a a c c b c b b a               (đpcm) 3) Nếu 2 2 4 9 4 a b ab   thì 2 3 lg lg lg 4 2 a b a b    Ta có:   2 2 2 2 2 2 2 3 4 9 4 4 12 9 16 2 3 16 4 a b a b ab a ab b ab a b ab ab                     2 2 3 2 3 2 3 lg lg lg lg 2lg lg lg lg 4 4 4 2 a b a b a b a b ab a b                  (đpcm) www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com [...]... hàm số: f ( x)  ln 1  x   x với x  0 1 x 1   0 với x  0 1 x 1 x  hàm số f ( x ) nghịch biến với x  0  f ( x)  f (0)  0 Ta có: f '( x )  hay ln 1  x   x  0 với x  0 +) Xét hàm số: g ( x)  ln 1  x   Ta có: g '( x)  1 1  1  x 1  x 2 (1) x với x  0 1 x x   0 với x  0 2 1  x   hàm số g ( x ) đồng biến với x  0  g ( x)  g (0)  0 hay ln 1  x   Từ (1)... Xét hàm số: f ( x)  ln 1  x   x với x  0 1 x 1   0 với x  0 1 x 1 x  hàm số f ( x ) nghịch biến với x  0  f ( x)  f (0)  0 Ta có: f '( x )  hay ln 1  x   x  0 với x  0 (đpcm) Trang 34 www.DeThiThuDaiHoc.com GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com 2 n  x x  6) ln 1  x      x với x  0 2 n!    x2 xn  Xét hàm. .. http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com x2 xn 2) e x  1  x    với x  0 ; n   2 n! x2 xn Xét hàm số: f n ( x)  e x  1  x    2 n! Ta sẽ đi chứng minh: f n ( x)  0 (*) với x  0 ; n   +) Với n  1 : f1 ( x)  e x  1  x  f1 '( x)  e x  1  0 với x  0 và f '( x)  0 khi x  0  hàm số f1 ( x) đồng biến với x  0  f1 ( x)  f1 (0)  0 Vậy (*) đúng với n  1 +) Giả sử (*) đúng... (theo giả thiết quy nạp) và f k'1 ( x)  0 khi x  0 2 k!  hàm số f k 1 ( x) đồng biến với x  0  f k 1 ( x)  f k 1 (0)  0 Vậy (*) đúng với n  k  1 f k'1 ( x)  e x  1  x  Theo phương pháp quy nạp  e x  1  x  x2 xn   với x  0 ; n  N 2 n! (đpcm) 3) e x  x  1 với x   (3*) x (3*)  e  x  1  0 với x   Xét hàm số: f ( x)  e x  x  1 với x   Ta có: f '( x)  e x ... [1; 2] x2  3    ln x  0 x  [1; 2]  max y  y (1)  2 khi x  1  x1;2 Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]   min  x1;2 y  y (2)  7  2 ln 2 khi x  2  Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1) 3x  3  5  3x  m 2) 4 x  m.2 x  m  3  0 Giải: 1) 3x  3  5  3x  m (*) Xét hàm số : f ( x)  3x  3  5  3x với x  log 3 5  (*) có nghiệm khi : 3x ln 3 Ta có : f... với x   Xét hàm số: f ( x)  e x  cos x  2  x   x  0  f '( x)  f '(0)  0  f '( x ) đồng biến với x   Do đó:   x  0  f '( x)  f '(0)  0  x2  và ta có: lim f ( x)  lim  e x  cos x  2  x     x  x  2   Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  0 với x   hay e x  cos x  2  x  x2 với x   (đpcm) 2 ln x 1  với x  0; x  1 x 1 x x 1 Xét hàm số: f ( x)  ln... Xét hàm số f ( x )  ln( x  1)  x  1 với x  1 Ta có: f '( x)  1 1 2  x 1    0  x 1  2  x  5 x 1 2 x  1 2  x  1 và lim f ( x)  lim ln( x  1)  x  1    ; lim f ( x)  lim  ln( x  1)  x  1       x  x   x 1 x 1 Từ bảng biên thiên ta có: f ( x)  2 ln 2  2  0 hay ln( x  1)  x  1 với x  1 (đpcm) 10) x  ln 1  x   x với x  0 1 x +) Xét hàm số: ... b a a Giải: 1) e x  1  x với x  0 (1*) (1*)  e x  1  x  0 với x  0 Cách 1 Xét hàm số: f ( x)  e x  1  x với x  0 Ta có: f '( x)  e x  1  0  x  0 Từ bảng biến thiên ta có: f ( x)  0 với x  0 hay e x  1  x  0 với x  0 (đpcm) Cách 2 (thực chất là cách trình bày khác của Cách 1) Xét hàm số: f ( x)  e x  1  x với x  0 Ta có: f '( x)  e x  1  0 với x  0 và f '( x)  0... a 8) Trong ba số: log 2 a b (đpcm) c a b ; log 2 và log 2 luôn có ít nhất một số lớn hơn 1 b c b c c a a Áp dụng công thức ở ý 7) ta có: log 2 a b c b a c ; log 2  log 2  log 2 a b b b c c a b c c ; log 2 c a 2 b a  log 2 c a b a c a b b c a  b c a  log log 2 log 2  log 2 log 2 log 2   log a log b log c   12  1 b c a b c b c a c a b  bc a b c a b c a c a c a b  Trong ba số không âm: log... x 2  x x 2  1  ln x  x 2  1   Trang 15 www.DeThiThuDaiHoc.com  GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 www.MATHVN.com B BÀI LUYỆN Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3 2 3 x 1 3) y  xe 1) y  x  x  1 2) y  (2 x  1)e 5) y  e3 x 1.cos 2 x 6) y  (sin x  cos x)e 2 x 2x x2  2 x  2 ln( x  1) 8) y  x 1 4) y  7) y  1  ln x  ln x 10) y  . ĐẠO HÀM ( Trang 13 – 16 ) GIỚI HẠN ( Trang 16 – 17 ) TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ( Trang 18 – 43 ) PHẦN 1 HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT .       Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0. +) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA . 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 2 PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. LŨY THỪA (Giả sử các biểu thức có