4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 2 2 3 1 3 1 2 1 ( 1) ( 1 )( 1 ) ( 1) ) 2 1 ( 2 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + = = = = = + + + + + + + + 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 4 4 ( ) (4 4) ( 1) 4( 1) 7 14 8 ( 8) (7 14 ) ( 2)( 2 4) 7 ( 2) ( 4)( 1) ( 4)( 1)( 1) 1 ( 2)( 5 4) ( 2)( 4)( 1) 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + = = + + + + + = = = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) 1 1 1 ( )(1 ) 1 1 1 (1 ) (1 ) ( 1)(1 ) 1 (1 ) (1 ) ( 1)(1 ) 1 x a a a x x x a a a a x x x a a x a a x a a a x x x a a a a x x x a a x a a x a a a a x a a a a x a a a a x a a a a + + + + + + + + + + + + + + = = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = = = + + + + + + Trng THCS k Hring GV: V Vit Nam RT GN PHN THC I S I Phng phỏp gii : - Phõn tớch t v mu thnh nhõn t (nu cú) tỡm nhõn t chung. - Chia c t v mu cho nhõn t chung. II Cỏc dng bi toỏn thng gp: 1. Ruựt goùn phaõn thửực. 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) (2 ) 1: ) 4 4 ( 2 ) (2 ) 2 x a x x a x x a x a x a a Cõu a a x ax a x x a x a + + + + + = = = + + + + + 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 5 2 (2 4 ) ( 2) 2 ( 2) ( 2) ) 2 9 12 4 (2 4 ) (5 10 ) (2 4) 2 ( 2) 5 ( 2) 2( 2) ( 2)(2 1) (2 1) 1 ( 2)(2 5 2) (2 1)( 2) 2 y y y y y y y y C y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y + + + + + + + + = = + + + + + + + + + + + + + + + + = = = + + + + + + Vi: y -2 v y - 1 2 2- Chng minh. Cõu2 : a) Hóy chng minh: 3 2 3 2 4 4 1 2 7 14 8 a a a a a a a a + + = + Gii: b) Chng minh phõn thc sau khụng ph thuc vo x: 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) 1 ( )(1 ) 1 x a a a x x a a a x + + + + + + Gii: Vy: Phõn thc khụng ph thuc vo x. c) Chng minh rng nu 1 1 1 1 x y z x y z + + = + + thỡ trong ba s x, y, z ớt nht cng cú mt cp s i nhau . Gii: T: 1 1 1 1 x y z x y z + + = + + .Ta cú: 1yz xz xy xyz x y z + + = + + . T ú ta cú: ( )( )x y z yz xz xy xyz + + + + = Hay ( )( ) 0x y z yz xz xy xyz + + + + = Bin i v trỏi: Nm hc: 2013-2014 3 2 2 2 3 2 6 ( 6) 2 3 6 ( 2) 3( 2) 3 4 ( 4) ( 2)( 2) ( 2)( 2) 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − + − − + − − + − + = = = = − − + − + − + 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) 3 ( ) ( )[( ) ( ) ] 3 ( ) ( )( ) a b c abc a b c a b ab a b ab abc a a b ab b c a b ab abc a b c ab a b c a b c a b a b c c ab a b c a b c a b c ab bc ca + + − = + + + + − − − = + + + + − − − = + + − + + = + + + − + + − + + = + + + + − − − 2 2 2 2 4 2 4 2 4 4 2 2 4 2 4 4 2 2 ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 ( 1)( 2) 2 mn n n m mn n mn n m n n m m n m n n m m + − + + − + + = = = + + + + + + + + + Trường THCS Đăk Hring GV: Vũ Viết Nam 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) x y z yz xz xy xyz xyz x z x y y z xyz xy yz xz xyz xyz xyz xz y z yz x y x z xy xyz z xy xz y yz x xy xz y yz xy xz y yz x z x y y z x z + + + + − = + + + + + + + + − = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + = + + + Vậy: ( )( )( ) 0x y y z x z + + + = . Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau. 3- Tính giá trị. Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C = 3 2 3 6 4 x x x x x + − − với x = 2008 Giải: C = Với x = 2008 thì C = 2011 2010 Câu 3: b) Cho a+b+c = 5. Tính giá trị của phân thức 3 3 3 2 2 2 3a b c abc a b c ab bc ac + + − + + − − − Ta có: Vậy: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ( )( ) 5 ( ) a b c abc a b c a b c ab bc ac a b c a b c ab bc ac a b c ab bc ac + + − + + + + − − − = = + + = + + − − − + + − − − Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn 1 x y z a b c + + = và 0 a b c x y z + + = . Tính: 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 2 2 ( ) 1 ( ) 1 x y z x y z x y z xy xz yz a b c a b c a b c ab ac bc x y z xyz c b a x y z xyz a b c a b c abc z y x a b c abc x y z + + = ⇔ + + = ⇔ + + + + + = ⇔ + + + + + = ⇔ + + + + + = Mà: 0 a b c x y z + + = . Vậy: 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 4- Tổng hợp Câu 4 : a) Cho biểu thức A = 2 2 2 2 4 4 2 ( ) 1 2 2 mn n n m m n n m + − + + + + a 1 ) Rút gọn A. a 2 ) Chứng minh rằng A dương. a 3 ) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất ? Giải: a 1 ) A = a 2 ) Ta có: m 2 ≥ 0, ∀ m. Nên: m 2 + 2 > 0, ∀ m. Do đó: 2 1 2m + > 0, ∀ m. Vậy: A > 0, ∀ m. Năm học: 2013-2014 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 1 ( 2)( 1) 2.3 3.3 .( 1) 1 3 1 3 : . 3 1 1 3 3 .( 1) 2 4 3 3 2 6 9 9 1 3 1 ( 8 2)( 1) 3 1 . 3 .( 1) 2 4 3 3 .( 1)(2 4 ) 3 2(1 2 )(1 2 ) 2.3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − − + + + + − + + − + + − − = − ÷ + + + − + + + − − + − + − + + − + = − = − + − + − − + = 2 2 3 1 1 2 3 1 ( 1) 1 .(1 2 ) 3 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x − + + − + − − − − = = = − 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : . . ab ab a b a ab ab ab a ab a b a a b a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − + − − − − − − + − = = = ÷ ÷ ÷ ÷ − + − − + + − + + Trường THCS Đăk Hring GV: Vũ Viết Nam a 3 ) Ta có: m 2 ≥ 0, ∀ m. Nên: m 2 + 2 ≥ 2, ∀ m. Do đó: 2 1 1 2 2m ≤ + , ∀ m. Hay: A ≤ 1 2 , ∀ m. Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A = 1 2 Suy ra: m 2 + 2 = 2 hay m = 0 Câu4: b) Cho M = 2 2 2 2 4 3 1 3 : 3 1 1 3 x x x x x x x x + − − + + − − ÷ + + . b 1 ) Rút gọn biểu thức M. b 2 ) Tìm giá trị của M với x = 2008. b 3 ) Với giá trị nào của x thì M < 0 ? b 4 ) Với giá trị nào của x thì M nhận giá trị nguyên? Giải: b 1 ) Điều kiện: x ≠ 0, x ≠ -1, x ≠ 1 2 M = b 2 ) Với x = 2008. M = 2008 1 669 3 − = b 3 ) M < 0 khi x – 1 < 0 tức là x < 1. Kết hợp với điều kiện. Vậy: M nhận giá trị âm với mọi x < 1 trừ các giá trị 0, -1, 1 2 . b 4 ) M nhận giá trị nguyên khi (x-1) M 3 hay x -1 = 3k (k ∈ Z) Vậy: x = 3k +1 (k ∈ Z) Câu5: a) Rút gọn biểu thức sau: M = 2 2 2 2 : ab ab a b a a a b a b a b + + − ÷ ÷ − + − Giải: M = Câu5: b) Chứng tỏ: 2 2 1 3 2 1 a a a + + ≤ + , a R ∀ ∈ Giải: Năm học: 2013-2014 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )( )( ) ( )( )( ) a b a c b c b a c a c b a b c a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b a b b c c a a b b c c a − − − + + = + + − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + − + − + = = = − − − − − − Trường THCS Đăk Hring GV: Vũ Viết Nam Ta có: ( ) 2 2 1 0 1 2a a a − ≥ ⇔ + ≥ (1) Chia cả hai vế của (1) cho 2(a 2 +1), ta được: 2 1 2 1 a a ≥ + Do đó: 2 1 1 1 2 1 a a + ≥ + + 2 2 3 1 2 1 a a a + + ⇔ ≥ + Vậy: 2 2 1 3 2 1 a a a + + ≤ + , a R ∀ ∈ Câu5: c) Tính giá trị của biểu thức sau: 3 2 2 x a x a b Q x b x a b − − + = − ÷ − + − với 2 a b x + = Giải: Với 2 a b x + = , ta có: 2 2 a b b a x a a + − − = − = ; 2 2 a b a b x b b + − − = − = 2 . 1 2 x a b a x b a b − − ⇒ = = − − − Ta lại có: 3 3 3( ) 2 2 2 2 2 a b b a b a x a b a b + − − − + = − + = = 3 3 3( ) 2 2 2 2 2 a b a b a b x a b a b + − − + − = + − = = 2 3( ) 2 . 1 2 2 3( ) x a b b a x a b a b − + − ⇒ = = − + − − Vậy: Q = (-1) 3 -(-1) = -1+1 = 0 Câu6: a) Rút gọn biểu thức sau: A = 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )a b a c b c b a c a c b + + − − − − − − . Với a, b, c đôi một khác nhau. Giải: A = (a, b, c đôi một khác nhau) Câu6: b) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc a, b, c. B = 2 2 2 4 1 4 1 4 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c a b a c b c b a c a c b − − − + + − − − − − − . Với a, b, c đôi một khác nhau. Giải: Năm học: 2013-2014 2 ( )( ) ( )( )( ) 4. 4. 4 ( )( )( ) ( )( )( ) a b cb c ab ca a b b c c a a b b c c a a b b c c a − − − + − − − = = = − − − − − − Trường THCS Đăk Hring GV: Vũ Viết Nam 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 4 1 4. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 4. 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 4. a b c a b c B a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b a b c a b a c b c b a c a c b a b c a b c a b c a b c a b c − − − = + + = + + − − − − − − − − − − − − − − − − + + = + + − − − − − − − − − − − − − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) 4. ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) 4. 4. 4. ( )( )( ) ( )( )( ) b c a c a b a b a c b c ab ac bc a b b c c a a b b c c a a c b c ab a b ac bc c a b ab a b c a b a b c a b ab a b b c c a a b b c c a − − − − − + − + − + = − − − − − − − + − − + − − − − − − + − − = = = − − − − − − 2 ] ( )( )( ) c a b b c c a − − − ( a, b, c đôi một khác nhau ) Câu6: c) Tính giá trị của biểu thức sau: 2 2 2 2 x a x b P x a x b + + = + − − với 4ab x a b = + Giải: 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 )( 2 ) ( 2 )( 2 ) 2 2 4 2 2 4 2 2 ( 2 )( 2 ) 2( ) 4 2( 4 ) 2( ) 4 x a x b x a x b x a x b x bx ax ab x bx ax ab P x a x b x a x b x a b x ab x ab x a b x ab + + + − + − + − + − + + − − = + = = − − − − − + + − = − + + Thay 4ab x a b = + vào P ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 16 2 4 2 4 ( ) ( ) 2 16 16 8 4 4 ( ) ( ) a b a b ab ab a b a b P a b a b ab ab ab a b a b − − + + = = = − + − + + RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Cho biểu thức P = ( ) ( ) 2 1 1 a 2 3 2 1 a 2 1 a 1 a + + − + − − a) Rút gọn P. b) Tìm Min P. Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x 2 + y = y 2 + x. Tính giá trị biểu thức : P = 2 2 x y xy xy - 1 + + Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x - y x y+ . Biết x 2 -2y 2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0 Bài 4: Cho biểu thức P = x 3 15 x 11 3 x 2 2 x 3 x 2 x 3 1- x + − − + + − + − a) Tìm các giá trị của x sao cho P = 1 2 b) cm: P ≤ 2 3 Bài 5: Cho biểu thức P = 1 3a 9a 3 a 1 a 2 a a 2 a 2 a− + − + − − + + − + a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên. Bài 6: Cho biểu thức 2 a 4 a -4 a 4 a -4 8 16 1- a a P = + + − + a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên. Năm học: 2013-2014 Trường THCS Đăk Hring GV: Vũ Viết Nam Bài 7: Cho biểu thức P = a 1 1 2 : a 1 a a a 1 a 1 ÷ ÷ ÷ − − − − + − a) Rút gọn P. b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2 c) Tìm các giá trị của a sao cho P < 0. Bài 8: Cho biểu thức P = 4 x 8x x 1 2 : 2 x 4 x x 2 x x ÷ ÷ ÷ ÷ − − − + − − a) Rút gọn P. b) Tính x để P = -1 c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1. Bài 9: Cho biểu thức P = y - xy x y x y x : x y xy y xy x xy ÷ ÷ ÷ ÷ + − + − + + − a) Tìm x, y để P có nghĩa. b) Rút gọn P. c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3 Bài 10: Cho biểu thức P = 2 2 x 1 x -1 x 4x 1 x 2007 x 1 x 1 x x 1 ÷ ÷ + − − + − + − + − a) Tìm x để P xác định. b) Rút gọn P. c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên. Bài 11: Rút gọn P = 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 a a b a a b 4 a a b : b a a b a a b ÷ ÷ ÷ + − − − − − − − + − . Với | a | >| b | > 0 Bài 12: Cho biểu thức P = 2 x 2 x 2 1 x . x 1 x 2 x 1 2 ÷ ÷ ÷ − + − − − + + a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm GTLN của P. Bài 13: cm giá trị của biểu thức P = 2x 5 x 1 x 10 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 + + + + + + + + + + , không phụ thuộc vào biến số x. Bài 14: Cho biểu thức P = 2 2 x x x x x 1 x x 1 x x 1 − + − + + + + − + Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 . Bài 15: Cho biểu thức P = 2 x x 2x x 2(x 1) x x 1 x x 1 − + − − + + + − a) Rút gọn P. b) Tìm GTNN của P c) Tìm x để b. thức Q = 2 x P nhận g trị là số nguyên. Bài 16: Cho biểu thức P = 2x x x x x x x 1 x x 1 x x 1 2x x 1 2 x 1 ÷ ÷ + − + − − × + − − + − − a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó. Bài 17: Chứng minh đẳng thức: 3 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 + − + = + + − − Bài 18:E = 1 xy 1 xy x y x y + − − + − Tính E biết: x = 4 8. 2 2 2. 2 2 2 + + + − + ; y = 3 8 2 12 20 3 18 2 27 45 − + − + Năm học: 2013-2014 Trường THCS Đăk Hring GV: Vũ Viết Nam Bài 19:A = 1 1 1 4 1 1 a a a a a a a + − − + − ÷ ÷ ÷ − + a) Rút gọn A. b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4 15− Bài 20:Cho biểu thức A = ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 1 1 1 1 4 1 x x x x x x x − − + + − × − ÷ − − − a) x = ? thì A có nghĩa. b) Rút gọn A. Bài 21:Cho biểu thức P = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x + − − + + + − + − + + + + a) Rút gọn P. b) So sánh P với 2 2 . Bài 22:Cho biểu thức P = 1 3 2 1 1 1x x x x x − + + + − + a) Rút gọn P. b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1. Bài 23:Cho biểu thức P = 2 9 3 2 1 5 6 2 3 a a a a a a a − + + − − − + − − a) Rút gọn P. b) a = ? thì P < 1 c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên. Bài 24:Cho biểu thức P = 2 1 2 2 2 1 x x x xy y x x xy y x − − − − + − − − a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x 2 + y 2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 25: P = 2 1 2 2 2 1 x x x xy y x x xy y x − − − − + − − − a) Rút gọn P. b)Tính P biết 2x 2 + y 2 - 4x - 2xy + 4 = 0. Bài 26:P = 3 3 3 3 1 1 2 1 1 : x y x x y y x y x y x y xy x y + + + + + + ÷ ÷ + + a)Rút gọn P.b)Cho xy = 16. Tìm Min P. Năm học: 2013-2014 . + = = = − + − + + RÚT GỌN, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Cho biểu thức P = ( ) ( ) 2 1 1 a 2 3 2 1 a 2 1 a 1 a + + − + − − a) Rút gọn P. b) Tìm Min P. Bài 2: Cho x, y. a 2 a− + − + − − + + − + a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên. Bài 6: Cho biểu thức 2 a 4 a -4 a 4 a -4 8 16 1- a a P = + + − + a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị nguyên. b) Rút gọn P. c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3 Bài 10: Cho biểu thức P = 2 2 x 1 x -1 x 4x 1 x 2007 x 1 x 1 x x 1 ÷ ÷ + − − + − + − + − a) Tìm x để P xác định. b) Rút gọn