Bài tập bổ trợ Toán 7

Các bài toán: Bài 1: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai: a Mọi số tự nhiên đều là số nguyên.. Bài 2: Đọc nhiệt độ ở các thành phố dưới đây: Bài 3: Viết tập hợp M các số nguyên

400 bài tập toán 7 (bồi dưỡng học sinh khá giỏi)

* Biểu diễn trên trục số:

Điểm biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a

* Các số -1 và 1; -2 và 2; -3 và 3; là các số đối nhau Số đối của số 0 là chính nó

2 Các bài toán:

Bài 1: Trong các câu sau, câu nào đúng, câu nào sai:

a) Mọi số tự nhiên đều là số nguyên

b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên

Bài 2: Đọc nhiệt độ ở các thành phố dưới đây:

Bài 3: Viết tập hợp M các số nguyên lẻ có một chữ số Biểu diễn chúng trên trục số

Bài 4: Một chú ốc sên ở vị trí gốc O trên một cây cột cách mặt đất 2 mét (hình 1) Ban ngàychú ốc sên bò lên được 3 mét Ban đêm chú ta mệt quá "ngủ quên" nên bị tuột xuống dưới:

a nhỏ hơn b ⇔§n điểm a ở bên trái điểm b trên trục số

* Giữa hai số nguyên a và a + 1 không tồn tại số nguyên nào

* a < 0 ⇔§n a là số nguyên âm

a > 0 ⇔§n a là số nguyên dương

Số 0 không là số nguyên âm cũng không là số nguyên dương

* Giá trị tuyệt đối của a kí hiệu là |a|

|a| = |-a| ≥ 0 với mọi a

2 Các bài toán:

Bài 5: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nà sai:

a Số nguyên âm nhỏ hơn số nguyên dương

b Số nguyên âm nhỏ hơn số tự nhiên

c Số tự nhiên là số nguyên dương

d Số tự nhiên không phải là số nguyên âm

e Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số nguyên dương

g Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số tự nhiên

h Giá trị tuyệt đối của một số nguyên a là một số không âm

Bài 6: Cho biết a < b (a ≠ 0, b ≠ 0) Có tất cả bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về thứ tựcủa ba số a, b, 0?

Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho:

a -3 < x < 0 b x < -3 và x < 3 c x < -3 và x > 3 d x < -3 hoặc x > 3Bài 8: Tìm số nguyên a biết:

a |a| = 2000 b |a| = -2001 c |a| = 1999 (a < 0)

Bài 9: Xác định số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất, biết rằng: |x| < 2000

§3 PHÉP CỘNG TRONG Z

1 Tóm tắt lý thuyết:

a) Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a với mọi a thuộc Z

b) Cộng hai số cùng dấu: Cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối vớinhau còn dấu là dấu chung của chúng

c) Cộng hai số khác dấu:

- Tổng hai số đối nhau luôn bằng 0

- tổng hai số khác dấu không đối nhau, ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đốinhỏ rồi đặt dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn trước hiệu tìm được

2 Các bài toán:

Bài 10: Trong các câu sau câu nào đúng, câu nào sai:

a Tổng của hai số dương là một số dương

b Tổng của hai số âm là một số âm

c Tổng của một số âm và một số dương là một số âm

d Tổng của một số âm và một số dương là một số dương

Bài 11: Tìm số nguyên x và y sao cho:

Giao hoán: a + b = b + a ; với mọi a, b thuộc Z

Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c ; với mọi a, b, c thuộc Z

Cộng với 0: a + 0 = 0 + a = a ; với mọi a thuộc Z

Tính chất giao hoán và kết hợp tổng quát:

Hãy điền các số nguyên vào ô trống (hình

2) sao cho tổng các số trong 3 ô liền nhau

bất kỳ theo cột dọc cũng như hàng ngang

2

a

0a nÕu

a

- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu cộng

- Đổi dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu -

b) Ta có thể thêm dấu ngoặc để nhóm một số hạng tùy ý và:

- Giữ nguyên dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu +

- Đổi dấu các số hạng nếu trước dấu ngoặc có dấu -

* Nhân một số với 0: a.0 = 0.a = 0 với mọi a thuộc Z

* Nhân hai số nguyên khác 0:

|b

|

|a

|

(với mọi a, b thuộc Z)

* Chú ý:

+ Nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0

+ Khi đổi dấu một thừa số trong tích a.b thì tích đổi dấu

(-a).b = a.(-b) = -a.b+ Khi đổi dấu đồng thời cả hai thừa số thì tích a.b không đổi dấu:

(-a) (-b) = a.b

2 Các bài toán:

Bài 24: Cho a là một số nguyên dương Hỏi b là số nguyên dương hay nguyên âm nếu:a) a.b là một số nguyên dương

b) a.b là một số nguyên âm

Bài 25: Không thực hiện phép tính hãy điền dấu > hoặc < vào ô trống:

a Giao hoán: a.b = b.a với mọi a, b thuộc Z

b Kết hợp: a(bc) = (ab)c với mọi a, b, c thuộc Z

c Nhân với 1: a.1 = 1.a = a , với mọi a thuộc Z

d Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

a(b + c) = ab + ac(b + c)a = ba + ca với mọi a, b, c thuộc Z

`* Chú ý: Khi thực hiện phép nhân nhiều số, ta có:

+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn

+ Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ

a là bội của b Hoặc b là ước của a

a chia hết cho b (a  b) hoặc b chia hết a (b\a)

a Chứng minh rằng tổng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3; tổng của năm số nguyênliên tiếp chia hết cho 5.

b Tổng của hai số nguyên liên tiếp có chia hết cho 2 không? Tổng của bốn số nguyên liêntiếp có chia hết cho 4 không? Có thể rút ra kết luận gì?

Bài 32: Cho a, b, c là những số nguyên chứng minh rằng nếu a - b chia hết cho c thì có sốnguyên t để a = b + ct và ngược lại

Bài 33: Cho biết a - b chia hết cho 6 Chứng minh các biểu thức sau đây chia hết cho 6

(x + 2)2 + 2((y - 3)2 < 4Bài 40: Tìm số nguyên x, biết rằng:

(3x - 1)(4x - 1)(5x - 1)(6x - 1) - 120 = 0

m a

20

−

−

; 37

12

và 31

b) Cho a và b là hai số nguyên (b ≠ 0) Chứng minh rằng các phân số sau bao giờ cũng bằngnhau:

a) Viết các phân số sau dưới dạng phân số có mẫu dương:

5

− ; 2000

1999

−b) Viết tập hợp các phân số bằng:

6

−

; 5

3

và 2

10

; 5

2, 10

1

−

và 6

5

−

§2 TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ.

1 Tóm tắt lý thuyết:

* Các phân số bằng nhau có cùng một giá trị, giá trị đó gọi là một số hũu tỉ

Mỗi số hữu tỉ đều có thể viết dưới dạng

b

a

với b ≠ 0 và a, b ∈ Z

* Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số:

- Chia đoạn đơn vị của trục số thành b phần bằng nhau , mỗi phần là

b

1

x1 = 97

Nếu x < y thì trên trục số điểm x ở bên trái điểm y

* Số hữu tỷ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỷ dương

Số hữu tỷ nhỏ hơn 0 gọi là số hữu tỷ âm

Số 0 không là số hữu tỷ dương cũng không là số hữu tỷ âm

11

;6

7

;3

2

;4

7

;12

11

;2

;4

;0

;4

7

;5

4

;10

a <b và b > 0 Chứng minh:

1

1+

+

<

b

a b a

Bài 50: Hãy viết ba số hữu tỷ; năm số hữu tỷ; mười số hữu tỷ xen giữa hai số hữu tỷ

Bài 51: Phần nguyên của số hữu tỷ x, ký hiệu là [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x,tức là:

1 ; [-4] ; [-4,75] ; −3 

4

* Mỗi số hữu tỷ x đều có một số đối, ký hiệu là -x, sao cho x + (-x) = 0

* Trừ hai số hữu tỷ: x - y = x + (-y)

7

;4

1

;3

a Chứng minh rằng với mọi số hữu tỷ x thì -(-x) = x

b Chứng minh rằng số đối của một số hữu tỷ dương là một số hữu tỷ âm và ngược lại.Bài 54: Tìm x, biết:

312

1

= 0 c |x - 3| = 3Bài 55: Chứng minh rằng:

a +1= ( +1)

−

+

b b

a b

5

1 Bài 57: Cho x là một số hữu tỷ tùy ý, phần lẻ của x, ký hiệu {x} là: {x} = x - [x]

Ví dụ: {1,2} = 0,2 vì 1,2 - 1 = 0,2

{-1,2} = -1,2 - [-1,2] = -1,2 - (-2) = 0,8

Chứng minh rằng:

a Với mọi số hữu tỷ x ta đều có : 0 ≤ {x} <1

b {x} = 0 nếu x là số nguyên và ngược lại

Bài 58: Tìm {x}, biết:

x = 2

3 ; 4

15

− ; 0,95 ; -3,25

§5 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỶ

1 Tóm tắt lý thuyết:

* Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỷ x, ký hiệu |x| được xác định như sau:

0xnÕu

* Trong một tổng đại số các số hữu tỷ, ta có thể:

1) Đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng

2) Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý nhưng chú ý rằng nếu trước dấungoặc là dấu "-" thì phải đổi dấu các số hạng trong ngoặc

a

3

2+

x + |x - 3| với x ≥ 3

b

-2

1+

x + −x

3

1 với x > 2Bài 61: Tìm x, biết:

a

5

44

a

20

112

16

12

100.99

1

3.2

12.1

c b

a⋅ =

* Khi nhân nhiều số hữu tỷ, ta có:

+ Tích mang dấu "+" nếu số thừa số âm là chẵn

+ Tích mang dấu "-" nếu số thừa số âm là lẻ

2 Các bài toán:

Bài 63: Cho x, y ∈ Q Chứng minh rằng:

a Nếu tích xy = 0 thì một trong các thừa số của tích phải bằng 0

|y

|

|x

|

Bài 64: Cho x, y ∈ Q Chứng minh rằng:

a -(xy) = (-x)y = x(-y) b |xy| = |x| |y|

31

§7 PHÉP CHIA TRONG Q

1 Tóm tắt lý thuyết:

* Mỗi số hữu tỷ x ≠ 0 đều có số nghịch đảo ký hiệu là x-1 sao cho x.x-1 = 1

* Thương của hao số hữu tỷ x, y (với y ≠ 0) ký hiệu là x : y hay y x là tích xy-1

1 ; c x = 21 43⋅34

a Chứng minh rằng nghịch đảo của một số dương là một số dương, nghịch đảo của một số

1

3

11

13

11

1

+++

§8 TÍNH CHẤT PHÂN PHỐI CỦA PHÉP NHÂN ĐỐI VỚI PHÉP CỘNG

1 Tóm tắt lý thuyết:

* Phép nhân phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

x(y + z) = xy + xzx(y - z) = xy - yz ∀ x, y, z ∈ Q

* Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số

z

y z

x z

y

x+ = +

z

y z

x z

y

x− = −

2 Các bài toán:

Bài 70: Khai triển các tích:

a (a - b)(a + b) + b(2a + b) - a(2b -1) Với a, b ∈ Q

a x2 - 4x b (x - 2) ( 3 - x) c ( )( )

3

12

Bài 75: Tìm các số hữu tỉ x, biết :

a x+2 >5; b x−1<3; c x2−5x+2 <−10

§9 10 11 LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỶ

1 Tóm tắt lý thuyết :

* Lũy thừa với số mũ tự nhiên :

xn = x.x x (n thừa số x); n ≠0, x ≠ 0Với xn gọi là một lũy thừa, x là cơ số, n là số mũ

Bài 77: Tìm x, biết : a x2 + 2x = 0

b (x - 3) + 2x2 - 6x = 0

c (x2 + 1) (x + 2000) = 0Bài 78: Tìm n, biết : a

9

1 27n = 3n

_

a =hay a : b = c : d.

• Tính chất: Từ tỉ lệ thức

d

c b

a

= ;

a

c b

d

= ;

a

b c

7

1 0,4 :

3

5

và 5

3 ; 0,25 : 1,5 và

2

3:7

3 Bài 88:

a) Có thể lập được tỉ lệ thức từ các số nguyên sau đây không? Nếu có hãy viết tỉ lệ thức đó :

3 ; 9 ; 27 ; 81 ; 243

b) Tìm thành phần chưa biết của tỉ lệ thức :

2,7

15,015

,

3x = ;

42

126

11 = ;

3,74910

41

x

= Bài 89: Tìm x trong tỉ lệ thức:

7

41

2+

x

§14 TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

1 Tóm tắt lý thuyết :

c b

c a c b

c a b

a d

c b

e c a f d b

e c a b

c f

e b

++

y a

x = =

2 Các bài toán :

Bài 90:Tìm x, y biết :

x = và 2x - y = 34

c

169

z y

x= = và 4x - 3y + 2z = 36

b

4

33

22

a = thì :

a

d c

d c b a

b a

35

3535

35

37811

37

d c

cd c b a

ab a

a c

a c b a

b a

Điều đảo lại có đúng không?

Bài 94: Cho bốn số khác 0 là a1 , a2 , a3 , a4 thỏa mãn a2 = a1a3 , a3 = a2a4

Chứng minh :

4

1 3 4

3 3

3 2

3 3

3 2

3 1

a

a a a a

a a

++

++

Bài 95: Biết

c

bx ay b

az cx a

22

22

4

33

32

33:4

13

12

1

1

4

13

12

1

1

−+

−

+++

−+

−

++

S =

ca c bc

b ab

a+ + + + + + +

11

11

1Bài 99: Chứng minh rằng nếu : 0 < a1 < a2 < < a9 thì

9 6 3

9 2

++

+++

a a a

a a

a

Bài 100: Viết 1999 số hữu tỉ trên một vòng tròn, trong đó tích hai số liền nhau luôn bằng

161

19974

19965

19951997

31996

41995

Bài 104: Cho biểu thức : A = (x - 4)(x - 5)(x−6)(x+6(x+5)

Hãy tính giá trị của A, biết x = 7

Bài 105:Tìm các số x1,x2, ,x n−1,x n biết rằng

n

n n

n

a

x a

x a

x a

3 2

2 1

Bài 108: Tìm x, biết rằng : x =

b a

c a c

b c b

a

+

=+

=+ _

Ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ a

* Tính chất : x và y la hai đại lượng tỉ lệ thuận thì :

a x

y x

y x

y x

2 1 1

2 CÁC BÀI TOÁN :

Bài 109: Cho biết x và y la hai đại lượng tỉ lệ thuận, biết hai giá trị x1vàx2 của x có hiệubằng 2 thì hai giá trị tương ứng y1và y2 có hiệu bằng -1

a Viết công thức mô tả mối liên hệ giữa x và y

b Điền vào bảng giá trị dưới đây :

Bài 111: Chia một số a thành ba phần A, B, C theo tỉ lệ 7; 6; 5 Sau đó chia số a cũng thành

ba phần A', B', C', nhưng lại theo tỉ lệ 6; 5; 4

a Hỏi so với lần chia đầu, thì lần chia sau A', B', C' tăng hay giảm

b Biết rằng có một phần tăng 1200 Tính số a và A', B', C' trong lần chia sau

Bài 112: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1 :

2 : 3

Bài 113: Hai người đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ A và B cách nhau 11 km để đến C.( Ba địa điểm A, B, C cùng ở trên đường thẳng).Vận tốc của người đi từ A là 20km/h củangười đi từ B là 24km/h.Tính quãng đường mỗi người đã đi biết rằng họ đến C cùng mộtlúc

Bài 114: Chia số 210 thành bốn phần sao cho phần thứ nhất và phần thứ hai tỉ lệ với 2 và 3,phần thứ hai và phần thứ ba tỉ lệ với 4 và 5, phần thứ ba và phần thứ tư tỉ lệ với 6 và 7.Bài 115: Nếu

4

1 của 20 là 4 thì

3

1 của 10 sẽ là bao nhiêu?

§3.4 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH - MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

y x y x

2 3

1 3

1 2

1 2

1

x

x y

y x

x y

y x

x y

2 CÁC BÀI TOÁN :

Bài 116: Trong một xưởng cơ khí, người thợ chính tiện xong một dụng cụ hết 5 phút, ngườithợ phụ hết 9 phút Nếu trong cùng một thời gian như nhau cả hai cùng làm việc thi tiệnđược cả thảy 84 dụng cụ.Tính số dụng cụ mà mỗi người đã tiện được

Bài 117: Ba đơn vị cùng xây dựng chung một chiếc cầu hết 340 triệu Đơn vị thứ nhất có 8

xe và ở cách cầu 1,5 km Đơn vị thứ hai có 4 xe và ở cách cầu 3 km Đơn vị thứ ba có 6 xe

Bài 120: Giá hàng hạ 20% Hỏi cùng với một số tiền có thể mua thêm bao nhiêu % hàng ?

§5 HÀM SỐ

1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

* Định nghĩa hàm số : cho X, Y là hai tập hợp số

Một hàm số f từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá tri x ∈ X một và chỉ một giá trị y ∈ Y, mà ta kí hiệu là y = f(x) Ta viết :

Bài 121: Trong các tương ứng f1,f2,f3,f4 sau đây, tương ứng nào xác định một hàm số chỉ

rõ tập nguồn, tập đích và giá trị tương ứng của hàm số

Bà 122: Bảng dưới đây có xác định cho ta một hàm số không? Nếu có hãy chỉ ra tập nguồn, tập đích và các giá trị của hàm số

Vẽ sơ đồ mũi tên của f, g và k Tương ứng nào cho ta một hàm số từ A đến B ?

Bài 124: Cho hai tập hợp X = {1; 3}; Y = {0; 2; 4} Hãy xác định tất cả các hàm số đi từ tập

X đến tập Y; từ tập Y đến tập X

Bài 125: Cho hàm số : f1( )x =3x; ( )

x x

12

* Mỗi cặp số (a; b) được biểu

diễn bởi một điểm M trong mặt

phẳng tọa độ Ta viết M (a; b),

cặp số (a; b) là tọa đô của điểm

M với a là hoành độ, b là tung độ

Bài 127: Các trục tọa đọ chia mặt phẳng thành bốn phần gọi là các góc phần tư được đánh

số như hình 3 Điểm A (x, y) nằm ở góc phần tư nào, nếu :

e Hoành độ bằng số đối của tung độ g Hoành độ bằng tung độ

Bài 129: Cho hệ trục tọa độ Oxy Tìm diện tích của một hình chữ nhật giới hạn bởi hai trục tọa độ và hai đường thẳng chứa tất cả các điểm có hoành độ bằng 3 và tất cả các điểm có tung độ bằng 2

Bài 130: Trên mặt phẳng tọa đô Oxy, hãy dựng tứ giác ABCD với A (2; 1); B (6; 1); C (6;5); D (2; 5) Tính diện tích tứ giác này biết rằng mỗi khoảng chia trên các trục số ứng với0,5cm

Bài 131: Tìm diện tích của một tam giác biết tọa độ ba đỉnh của nó là A (0; 4); B (4; 0)

b Tìm tọa độ điểm D trên đồ thị biết x D =1

c Tìm tọa độ điểm E trên đồ thị biết y E =2

d Tìm tọa độ điểm F trên đồ thị biết y F =−2x F

Bài 133: Cho hàm số f : X → Q

x → 2x + 3trong đó X = {-1;

* Đồ thị hàm số y = ax (a ∈ Q, a ≠ 0) là tập hoẹp những điểm nằm trên một đườngthẳng đi qua gốc tọa độ.

* Vẽ đồ thị hàm số y = ax : Ta chỉ cần xác định thêm một điểm nữa : lấy x1≠ 0 ⇒

a Vẽ đồ thị hàm số y x

3

1

=

b Gọi A là điểm trên đồ thị Tìm tọa độ điểm A, biết yA = 2

c Gọi B là điểm trên đồ thị Tìm tọa độ điểm b , biết yB + 2xB = 5

Bài 136: Cho hàm số y : Q → R

x → f(x)thỏa mãn:

a) f(0) = 0

b)

2

2 1

1) ( )(

x

x f x

- Nếu a > 0 hai đường cong nằm trong góc phần tư thứ I và III

- Nếu a < 0 hai đường cong nằm trong góc phần tư thứ II và IV

2 Các bài toán:

Bài 137: Điểm A (2 ;

4

1) thuộc đồ thị hàm số y =

Bài 138: Đường cong chứa đồ thị y =

m và n

Bài 139: Cho hàm số f : Q* → Q*

x → f(x)thỏa mãn điều kiện :

1

2 2

1)(

)(

x

x x f

x

f =

y

x 1

3 2 1 O A

Với hai giá trị bất kì x1, x2 khác 0 của x Chứng minh rằng f(x) =

x

a

, với a là một hằng sốnào đó

Tìm tất cả ccs giá trị của x sao cho f(x) = 0

b cho hàm số f : Q → Q

x → [x] (hàm phần nguyên)Tính f(-4,3); f(

2

1); f(10)Với fía trj nào của x thì f(x) = 5?

Bài 141:

a Cho hàm số f1 : Q → Q

x →2x2 + 1Chứng minh rằng với mọi x ∈ Q, ta có f1(-x) = f1(x)

b cho hàm số f2 : Q → Q

x →2x3 - xChứng minh rằng với mọi x ∈ Q, ta có f2(-x) = -f2(x)

Bài 142: Tìm ba phân số tối giản, biết tổng của chúng bằng 6

8

1, tử số của chúng tỉ lệ theo3;4; 5, còn mẫu của chúng tỉ lệ theo 2; 3; 4

1 Bài 144: Hàm số f(x) xác định với mọi x ∈ Q

Cho hàm số f(a + b) = f(ab) với mọi a, b và f(

(x + y) : (5 - z) : (y + z) : (9 + y) = 3 : 1 : 2 : 5 Bài 146: Cho hàm số y = -

x

3 Tìm trên đồ thị hàm số hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) thỏamãn các điều kiện: xA - xB = 2 và yA - yB = -6

 Một biểu thức đại số gồm các số, các chữ và các phép toán trên các số và chữ đó

- Những chữ đại diện cho một số tùy ý của một tập hợp số nào đó gọi là nhữngbiến số