Hình học 9 Chơng I: Hệ thức lợng trong tam giác vuông Bài 1: Một số hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông I. Kiến thức trọng tâm 1. AB 2 = BH.BC; AC 2 = CH.BC 2. AB 2 +AC 2 = BC 2 3. AH 2 = HB.HC 4. AH.BC = AB.AC 5. 1 1 1 2 2 2 AH AB AC = + II. Bài tập Bài 1. Cho tam giác ABC Góc A bằng 90 0 , AH BC, AB : AC = 3 : 4, BC =15. Tính BH, HC? Giải AB 2 = BH. BC AC 2 = CH. BC 2 AB BH.BC BH = = 2 CH.BC CH AC AB 3 BH 9 9CH = = BH = AC 4 CH 16 16 BH +CH =BC CH + 9CH 16 =15 25CH = 240 suy ra CH = 9,6 cm; BH =15-9,6 =54cm Bài 2. Cho ABC ,góc A bằng 90 0 , đờng cao AH; AB : AC = 3 : 4; AH= 6 cm. Tính BH,CH Giải: ữ 2 2 BH 3 9 9CH AB = = = BH = ` 2 CH 7 49 49 AC Mà AH 2 = BH.CH 36= 9.CH .CH 49 ( ) 2 9CH = 36.49 2 CH = 4.49 9.14 9.2 4 BH = = = 2 cm 49 7 7 Bài 3. Cho tam giác vuông cân ABC ( à A =90 0 ; AB =AC )trên AC lấy điểm M sao cho MC : MA=1: 3. Kẻ đờng thẳng vuông góc với AC tại C cắt tia bm tại K. Kẻ BE CK a) CM: ABEC là hình vuông b) CM: 2 2 2 1 1 1 = + AB BM BK c) Biết BM =6cm. Tính các cạnh của ABC Bài 4. Cho hình thang vuông ABCD ( à à A D= =90 0 ) Đờng chéo BD BC. BIết AD=12cm , DC =25cm . Tính độ dài AB; BC; BD. Gợi ý Kẻ BH DC BH = 12cm Đặt DH =x HC =25 x Vận dụng BH 2 =HD.HC Ta có: thơng trình ẩn x Bài 4. Cho hình vuông ABCD lấy E trên BC. Tia AE cắt đờng thẳng CD tai G. Trên nửa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AE chứa tia AD kẻ AK AE và AK =AE a. Chứng minh K,D,C thẳng hàng b. Chứng minh 2 2 2 1 1 1 AD AE AC = + c. Biết AD =13cm AK : AG =10 : 13 Tính KG? B A H C B A H C A D B H C ******************** Bài 2: Tỉ số lợng giác của góc nhọn I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa sinC = AB BC ; cosC = AC BC tanC = AB AC ; cotC= CA BA hay sin cos tan= ; cot= cos sin Chú ý: 1. (sin = đi học, cosin = không h, tan = đoàn kết, cot = kết đoàn) 2. Sin 2 + Cos 2 = 1; tan.cot =1 3. Tìm hàm ngợc acrsin, acrcos, acrtan, acrcot 4. Cách sử dụng máy tính cá nhân 2. Tỉ số lợng giác của 1 số góc đặc biệt 30 0 45 0 60 0 sin 1 2 3 2 3 2 cos 3 2 2 2 1 2 tan 1 3 1 3 cot 3 1 1 3 Bài tập Bài 1: Chọn câu trả lời đúng nhất trong các câu sau: 1. Câu nào sau đay sai? A. sin60 0 = cos30 0 B.tg45 0 .cotg45 0 =1 C. tg15 0 =cotg85 0 2. Biết sin=3/4 vậy cos bằng A. 1 4 B. 5 4 C. 3 4 D. Đáp án khác 3. Kết quả của phép tính sin 2 60 0 + cos 2 60 0 = A. 0 B. 1 C. 2 D. Đáp án khác 4. Kết quả của sin27 0 15(làm tròn đến2chữ số thập phân) (dùng máy tính cá nhân) A. 0,46 B. 0,64 C. 0,37 D. 0,73 5. Biết sin= 0,1745 vậy số đo là (làm tròn đến phút) A. 9 0 15 B. 12 0 22 C .10 0 3 D.12 0 4 6. Cho biết sin 75 0 =0,966 vậy cos15 0 là A. 0,966 B. 0,483 C. 0,322 D. Đáp án khác 7. ABC vuông tại A; AC =6; BC= 12; Số đo ã ABC bằng A. 30 0 B. 45 0 C. 60 0 D. Đ/S khác 8. Các so sánh nào sau đây sai A. sin45 0 < tg45 0 B. Cos32 0 < Sin32 0 C. tg 30 0 = cotg 30 0 D. Sin 65 0 = Cos 25 0 Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, B =8cm; sinC = 0,5. Tính tỷ số lợng giác của góc B Cách1: vì sinC = 0,5 nên góc C =30 0 à B = 60 0 Sin60 0 = 3 2 ; cos60 0 = 0,5 Tg60 0 = 3 ; cotg60 0 = 1 3 Cách 2: SinC = 0,5 AB BC = mà BC =8cm AB =8.0,5= 4cm A B A C A A C B AB 2 +AC 2 =BC 2 AC = 64 16 48 4 3 = = sinB = 4 3 3 8 2 AC BC = = ; cosB = 4 0,5 8 AB BC = = tgB= 4 3 3 4 = ; cotgB = 4 1 4 3 3 AB AC = = Cách3: Sin 2 C + cos 2 C =1 cos 2 C= 1- 1 3 4 4 = cosC= 3 2 tgC =cotgB = 1 3 1 : 2 2 3 = tgB = 1 3 cot gB = Mà sinB = cosC = 3 2 cosB= sin 3 : 3 0,5 2 B tgB = = Bài 3: Cho ABC AB =40cm; AC = 58 cm; BC =42cm 1.ABC có vuông không? vì sao? 2. Kẻ đờng cao BH của ABC. Tính độ dài BH( làm tròn đến 3 chữ số thập phân ) 3.Tính tỷ số lợng giác của góc A Giải 2. ABC vuông tại B có BHAC BH.AC = AB. BC BH = 40.42 58 28,966 sinA= 28,966 40 0,724 3. AB 2 =AH.AC AH = 2 40 58 = 27,586 cosA= 27,586 40 0, 69 ; tgA=1,050 ; cotgA =0,953 ******************** Bài 3: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông I. Kiến thức cơ bản Trong tam giác vuông: - Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối (hoặc cạnh huyền nhân với cos góc kề ) - Cạnh góc vuông1 bằng cạnh góc vuông nhân với tg góc đối (hoặc cạnh vuông nhân với cotg góc kề) II. Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a (a > 0) góc ABC =60 0 1. Tính theo a độ dài AC; BC. 2. Kẻ đơng cao AH của tam giác ABC. Tính BH; CH theo a 3. Tính sinC, từ đó suy ra AH. Giải 1/ Tính AC; BC Ta có AC = AB.tgB = a.tg 60 0 =a. 3 cosB = 0 2 cos cos 60 AB AB a BC a BC B = = = 2/ Tính BH; CH AB 2 = BH.BC BH 2 2 2 2 AB a a BC a = = ; CH = BC - BH =2a - 3 2 2 a a = 3/ Tính sinC suy ra AH SinC= 0,5 2 AB a BC a = = (ABC vuông tai A). Mà sinC = ( AH ABC AC V vuông tại H) Suy ra 1 3 2 2 2 AH AC a hayAH AC = = = Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đờng cao AH. BiếtAB =4cm; góc B=60 0 a. Tính AH; BC b. Tỷ số lợng giác của góc C B C A H A B C H A B C H Giải: a/ Tính AH; BC Xét ABH vuông tại H có AH = AB .sinB AH = 4. sin60 0 = 4. 3 2 =2 3 ABC vuông tại A có AB =BC.cosB 4 = BC. Cos60 0 BC =4 : 0,5 =8cm b/ Tính tỷ số lợng giác của góc C sinC = 4 0,5 8 AB BC = = ; AC = 2 2 64 16 48 4 3BC AB = = = cosC = 4 3 3 8 2 AC BC = = tgC = 4 1 4 3 3 AB AC = = ; cotgC = 4 3 3 4 AC AB = = Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đờng chéo AC > BD. Kẻ CHAD; CKAB chứng minh a. CKHBCA b. Chứng minh HK =AC. sin ã BAD c. Tính diện tích tứ giác AKCH biết ã BAD = 60 0 , AB =4cm, AD =5cm Gợi ý: B 1 . cm BCKDCH để BC AB CK CH = B 2. cm ã ã KCH ABC= ( cùng bù với à A ) Bài 4: Ôn tập chơng I I. Hệ thống kiến thức trọng tâm II. Bài tập Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đơng cao AH. Biết AB =6cm, BH =2cm. Tính a. Tính độ dài của các cạnh BC, AC, AH b. à à ? ?B C= = Giải a. Tính BC; AC; AH. ABC có AHBC AB 2 =BH.BC BC = 2 36 18 2 AB BH = = AC = 2 2 18 6 288 12 2 = = AH. BC = AB. AC AH = 6.12 2 4 2 18 = b. Tính à à ; ?B C = ABC vuông tại A có sinC = 12 2 18 0,9428 à C 70 0 32 Mà à à B C+ = 90 0 à 0 0 89 60' 70 32'B = =19 0 28 Bài 2: Tỷ số hai cạnh góc vuông của tam giác vuông là 5 : 12. Độ dài cạnh huyền là 39 cm. Giải tam giác vuông ấy(tìm số đo các cạnh và các góc) Gợi ý: 2 2 2 2 2 2 5 39 12 5 12 25 144 169 169 169 b b c b c b c a c + = = = = = = Tính b; c; Từ đó tính góc B; góc C A D C B K H A B C H B A C H Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 16cm; AC =14 cm; góc B bằng 60 0 a. Tính BC b. Tính diện tích ABC Gợi ý: Kẻ đờng cao AH; Tính AH; BH trong tam giác Vuông AHB; Tính HC trong tam giác vuông AHC Từ đó suy ra BC; Diện tích tam giác ABC Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, vuông tại A. Phân giác AD, đờng cao AH. Biết CD = 68cm; BD =51cm.Tính HB, HC Gợi ý Vận dụng t/c đờng phân giác ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 119 68 51 7225 7225 7225 68 51 b c b c b c a+ = = = = = Tính đợc AB; AC. Từ đó tính đợc HB; HC. Bài 5: Không dùng bảng số hay máy tính. Hãy tính a. A = 4cos 2 -6sin 2 Biết sin = 0,2 b. B = sin.cos Biết tg+ cotg=3 c. C = cos 4 -cos 2 +sin 2 .Biết cos= 0,8. Bài 6: Cho tam giác ABC có AB =6cm; AC =4,5cm; BC =7,5 cm a. Chứng minh tan giác ABC vuông b. Tính à à ;B C ; Đờng cao AH c. LấyM bất kỳ trên BC. Gọi hình chiếu của M trênAB; AC là P và Q. Hỏi M ở vị trí nào thì PQ có độ dài nhỏ nhất. A B C H D . 2 2 BH 3 9 9CH AB = = = BH = ` 2 CH 7 49 49 AC Mà AH 2 = BH.CH 36= 9. CH .CH 49 ( ) 2 9CH = 36. 49 2 CH = 4. 49 9 .14 9. 2 4 BH = = = 2 cm 49 7 7 Bài 3. Cho tam giác vuông cân ABC ( à A =90 0 ;. 2 2 2 2 5 39 12 5 12 25 14 4 1 69 1 69 1 69 b b c b c b c a c + = = = = = = Tính b; c; Từ đó tính góc B; góc C A D C B K H A B C H B A C H Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 16 cm; AC =14 cm; góc. BH = = 2 CH.BC CH AC AB 3 BH 9 9CH = = BH = AC 4 CH 16 16 BH +CH =BC CH + 9CH 16 =15 25CH = 240 suy ra CH = 9, 6 cm; BH =15 -9, 6 =54cm Bài 2. Cho ABC ,góc A bằng 90 0 , đờng cao AH; AB : AC