Biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h.Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng.. Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại B.. 1 Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn.. Chứng minh I
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
-
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: Ngày 12 tháng 7 năm 2013 (Đợt 1)
(Đề thi gồm: 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm):
1) Giải phương trình : (x – 2)2 = 9
2) Giải hệ phương trình:
x + 2y - 2 = 0
1
2 3
= +
x y
Câu 2 (2,0 điểm):
1) Rút gọn biểu thức: A = 1 1 9
2
x
x với x > 0 và x ≠9
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (3m - 2)x + m – 1 song song với đồ thị hàm số y = x +5
Câu 3 (2,0 điểm):
1) Một khúc sông từ bến A đến bến B dài 45 km Một ca nô đi xuôi dòng từ A đến B rồi ngược dòng từ B về A hết tất cả 6 giờ 15 phút Biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h.Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng
2) Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,
x2 thỏa mãn điều kiện x1−x2 =x + x1 2
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A
và B) Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C) Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại B Các đường thẳng AC và AD cắt d lần lượt tại E và F
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp một đường tròn
2) Gọi I là trung điểm của BF Chứng minh ID là tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho 3) Đường thẳng CD cắt d tại K, tia phân giác của CKE cắt AE và AF lần lượt tại M và
N Chứng minh tam giác AMN là tam giác cân
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho a, b là các số dương thay đổi thoả mãn a + b = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
2 a b 6 a b 9
+ − + + +
- Hết -
Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ………
Chữ ký của giám thị 1: ………Chữ ký của giám thị 2: ………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2GỢI Ý GIẢI ĐỀ MÔN TOÁN THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HẢI DƯƠNG
NĂM HỌC 2013-2014 (Đợt 1- NGÀY 12/7/2013)
1) Giải phương trình : (x – 2)2
= 9
(x – 2 )2 = 9 ⇔ x 2 3
x 2 3
− =
− = −
x 3 2 5
= + =
= − + = −
Vậy pt đã cho có nghiệm x = 5 hoặc x = -1
2) Giải hệ phương trình:
x + 2y - 2 = 0
1
2 3
= +
x y
1
( 2,0 điểm)
x + 2y - 2 = 0
1
2 3
= +
Vậy hpt có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 0)
2
x
x với x > 0 và x ≠9
Với x > 0 và x ≠9, ta có: A ( x 3) ( x 3) x 9 2 x x 9 1
−
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (3m - 2)x + m – 1 song song với đồ thị hàm số y = x + 5
2
(2,0 điểm)
Để đồ thị hàm số y = (3m - 2)x + m – 1 song song với đồ thị hàm số y = x + 5
thì 3m 2 1 m 1 (TM)
⇔
1) Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng
* Đổi 6 giờ 15 phút = 25
4 (h) Gọi vận tốc ca nô khi nước yên lặng là x (km/h), x > 3
Vân tốc ca nô đi xuôi dòng từ A đến B là: x + 3 (km/h)
Vân tốc ca nô đi ngược dòng từ B về A là: x – 3 (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng từ A đến B là: 45
x + 3(h) Thời gian ca nô đi ngược dòng từ B về A là: 45
x 3 − (h) Theo đề bài ta có phương trình: 45
x + 3+
45
x 3 − =
25 4 Giải phương trình ta được x1= - 0,6 ( loại); x2 = 15 (TM)
Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 15 (km/h)
2) Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 thỏa mãn điều kiện x1−x2 = x + x1 2
3
(2,0 điểm)
Để pt x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0
⇔ (2m+1)2 - (4m2
+ 4m) = 1 > 0 với mọi m Theo đ/l Vi- ét ta có: 1 2 ( )
2
1 2
2 2m 1 4m 4m
x + x
x x
Do pt có 2 nghiệm p/b và x1− x2 = x1+ x2 ⇒
1
x x 0 2(2m 1) > 0 m >
-2
x − x = x + x ⇔ x − x = x + x
Trang 3( )2 ( )2 2
⇔ + − = + ⇔ = ⇔ m + m = ⇔m = 0(TM); m = -1(loại)
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp
Cách 1: Ta có: AEB 1(sđAB sđCDB )
2
có đỉnh ở bên ngoài (O)) 1sđAC
2
= (1)
2
= (góc nội tiếp chắn AC) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AEB =ADC hay
CEF=ADC Mà 0
ADC+CDF=180 nên
CFE+CDF 180= ⇒ Tứ giác CDFE nội tiếp
2 1
2 1
O
d
2 1
N M
K I F E
D C
B A
Cách 2: Ta có ∆ABEvuông tại B (do d ⊥AB)
AEB BAE 90
Lại có 0
ACB=90 (góc nội tiếp chắn nửa (O))
ABC BAE 90
Từ (1) và (2) ⇒AEB=ABC (*)
Ta có tứ giác ACDB nội tiếp (O) nên suy ra
ABC=ADC(cùng chắn AC) (**)
Từ (*) và (**) ⇒AEB =ADC
ADC+CDF=180 ⇒AEB CDF+ =180
ADC+CDF=180 ⇒CEF+CDF=180
⇒ Tứ giác CDFE nội tiếp
2) Chứng minh ID là tiếp tuyến của (O)
Ta có: ∆ODB cân tại O (vì OD = OB = AB
2 )
⇒ D2 =B2 Lại có 0
ADB=90 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) 0
BDF 90
⇒ = (do A, D, F thẳng hàng) Xét∆BDF vuông có DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BF ⇒DI = IB = BF
2 ⇒ ∆BID cân tại I ⇒ D1 =B1
Ta có: 0
D +D =B +B =90 (do d ⊥AB) hay 0
IDO=90 ⇒ ID OD⊥ , OD là bán kính của (O) ⇒ ID là tiếp tuyến của (O)
3) Chứng minh ∆AMN cân
4
(3,0 điểm)
Ta có: ANM là góc ngoài của tam giác DMK tại đỉnh K
⇒ ANM=K1+KDN (Tính chất góc ngoài của tam giác)
= K1+ADC (vì KDN =ADC do đối đỉnh)
= K1+E (ADC=E cùng bù với CDF- do tứ giác CDFE nội tiếp) (3)
Lại có: AMNlà góc ngoài c ủa tam giác KME tại đỉnh M
⇒ AMN=K2+E (4) Mà K1 =K2 (5) (do giả thiết KNM là phân giác của CKE)
Từ (3), (4) và (5) ⇒ AMN =ANM ⇒ AMN∆ cân
Trang 4Cho a, b là các số dương thay đổi thỏa mãn a + b = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1 2( ) 6(a b) 9( )
= a− + b− +a +b ≥ a− b− +a +b
2ab
2 2
+ −
= a b ab + − ab= ab+ − + − ab
1
= − + ≥ − + =
2 2
a +b = 4 - 2ab,
2
1
a b
5
(1,0 điểm)
Vậy minQ = 10 ⇔a=b=1
GV: Hoàng Nam – THCS Long Xuyên – Bình Giang – Hải Dương
Trang 5SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
-
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: Ngày 14 tháng 7 năm 2013 (Đợt 2)
(Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau:
1) 2
4
x = − x
2) (2x −3)2 =7
Câu 2 (2,0 điểm):
1) Rút gọn biểu thức 1 1 : 1
1
a P
+
với a >0và a ≠1
2) Tìm m để đồ thị các hàm số y= 2x+ 2 và y=x+m− 7 cắt nhau tại điểm nằm trong góc phần tư thứ II
Câu 3 (2,0 điểm):
1) Hai giá sách trong một thư viện có tất cả 357 cuốn sách Sau khi chuyển 28 cuốn sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số cuốn sách ở giá thứ nhất bằng 1
2số cuốn sách của giá thứ hai Tìm số cuốn sách ban đầu của mỗi giá sách
2) Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình 2
5 3 0
x + x− = Tính giá trị của biểu thức:
x +x
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H Trên cạnh BC lấy điểm
M (M khác B, C và H) Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với AC tại F
1) Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh BE.CF = ME.MF
3) Giả sử 0
MAC = 45 Chứng minh BE=HB
CF HC
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
M
= + +
+ - Hết -
Họ và tên thí sinh: ………Số báo danh: ……… Chữ ký của giám thị 1: ……….Chữ ký của giám thị 2: ………
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 6GỢI Ý GIẢI ĐỀ MÔN TOÁN THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HẢI DƯƠNG
NĂM HỌC 2013-2014 (Đợt 2- NGÀY 14/7/2013)
Giải các phương trình sau:
4
x = − x ⇔ x2 + 4x= 0⇔x x( +4)=0 0
4
x x
=
⇔
= −
1
2
(2x −3)2 =7 ⇔ 2x−3=7 2 3 7
x x
− =
⇔
− = −
5 2
x x
=
⇔
= −
1
a P
+
với a > 0 và a ≠1 Với a > 0 và a ≠1, ta có:
1 1
1 1
1
− +
+
−
P
a
a
2 Tìm m để đồ thị các hàm số y = 2x + 2 và y = x + m – 7 cắt nhau tại điểm
nằm trong góc phần tư thứ II
Vì hệ số góc 2 đường thẳng khác nhau (2≠1) nên 2 đường thẳng đã cho cắt
nhau Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2x + 2 và y = x + m – 7 là
nghiệm của hệ phương trình: 2 2
7
= + −
9
2 16
= −
Vì toạ độ giao điểm nằm trong góc phần tư thứ II nên
9 0
2 16 0
= − <
= − >
9
8
<
⇔ ⇔ < <
>
m
m m
3 1 Hai giá sách trong một thư viện có tất cả 357 cuốn sách Sau khi chuyển 28
cuốn sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số cuốn sách ở giá thứ nhất bằng 1
2số cuốn sách của giá thứ hai Tìm số cuốn sách ban đầu của mỗi giá sách.
Gọi số sách ở giá thứ nhất là x cuốn (x nguyên dương)
Số sách ở giá thứ hai là y cuốn (y nguyên dương) Theo bài ra ta có phương trình x + y = 357 (1) Sau khi chuyển thì số sách của giá thứ nhất là x – 28 (cuốn); số sách của giá thứ hai là y + 28 (cuốn)
Theo bài ra ta có phương trình 28 1( 28)
2
x− = y+ (2) Giả hpt (1) và (2) được: (x ; y) = (147; 210) (TM)
V ậy số sách ban đầu của giá thứ nhất là 147 cuốn, giá thứ hai là 210 cuốn.
Gọi x x1, 2là hai nghiệm của phương trình 2
5 3 0
x + x− = (*) Tính giá trị của biểu thức: Q = 3 3
1 2
x +x
2
Phương trình (*) có ac = -3 < 0 nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x x1; 2
Trang 7Theo Vi - et có 1 2
1 2
5 (1)
3 (2)
+ = −
= −
x x
Q=x +x = x +x − x x x +x (3) Thay (1) và (2) vào (3), ta có: Q = −( 5)3− 3( 3)( 5) − − = − 170
E
1
1 F
H
B
M
1 Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn.
Từ giả thiết có 0
AEM = 90 ⇒ E nằm trên đường tròn đường kính AM 0
AFM = 90 ⇒ F nằm trên đường tròn đường kính AM 0
AHM = 90 ⇒ H nằm trên đường tròn đường kính AM Suy ra các điểm A, E, F, H cùng thuộc đường tròn , đường kính AM
2 Chứng minh BE.CF = ME.MF
Từ giả thiết suy ra ME // AC ⇒
M =C
⇒ hai tam giác vuông BEM và MFC đồng dạng
⇒ = ⇒ BE.CF = ME.MF
MAC = 45 Chứng minh BE=HB
CF HC
4
Từ giả thiết ta có tứ giác AEMF là hình chữ nhật
MAC = 45 nên tứ giác AEMF là hình vuông ⇒ ME = MF
Ta có AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC
2 2
⇒ = (1)
Có hai tam giác vuông BEM và BAC đồng dạng nên AB BE
AC =ME (2)
Có hai tam giác vuông BAC và MFC đồng dạng nên AB MF
AC = CF (3)
Từ (2), (3) có
2 2
.
AC = ME CF =CF (vì ME = MF) (4)
Từ (1), (4) có BE=HB
CF HC
5 Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
M
= + +
+
M
+
Trang 8D ấu “=” xảy ra khi 3 2 3
+
+
x y
x y
Ta có: 5 2 5 2 5
+
⋅ x y ≥ xy= Dấu “=” xảy ra khi 2x = y và xy = 2
Do đó 3 5 11
2 4 4
M ≥ + = Dấu “=” xảy ra khi x = 1 và y = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 11
4 khi x = 1 và y = 2
Tham khảo thêm:
Cách 2: Vì x, y dương nên từ xy = 2 ⇒ y 2
x
=
Khi đó ta có: 1 3
1 2( )
= + +
+
x
Đặt t x 1
x
= + (t ≥2)⇒
2
t
+
= + = và M < 2t
2
2
Vì t≥ 2
Dấu = xảy ra khi t = 2 thì x 1 2 x 1
x
+ = → = Vậy Mmin = 11
4 khi x =1 và y = 2
Cách 3:
GV: Hoàng Nam – THCS Long Xuyên – Bình Giang – Hải Dương
Web: http://bg-thcslongxuyen.haiduong.edu.vn/