GIÁO TRÌNH sức bền vật LIỆU

Tập 1 Sức bền vật liệu này còn trình bày cách nghiên cứu trạng thái ứng suất trong vật thể khi chịu tác dụng ngoại lực, nó trang bị kiến thức để học môn Sức bền vật liệu và các môn cơ họ

GS TSKHKT- PHAN KÌ PHÙNG Ths THÁI HOÀNG PHONG

GIÁO TRÌNH SỨC BỀN VẬT LIỆU

TẬP I

ĐÀ NẴNG 2005

0.4 Lịch sử phát triển môn học 13

Chương 1: LÝ THUYẾT VỀ NỘI LỰC 16

1.1 Nội lực - phương pháp mặt cắt 16

1.4 Liên hệ giữa tải trọng phân bố với lực cắt và mô men uốn trong thanh thẳng 27

1.5 Liên hệ giữa tải trọng tập trung với độ lớn bước nhảy trên biểu đồ lực cắt, biểu đồ

mô men uốn trong thanh thẳng 27

2.6 Ứng suất cho phép - Hệ số an toàn - Ba bài toán cơ bản 42

2.8 Thế năng biến dạng đàn hồi 47

Chương 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 49

3.2 Trạng thái ứng suất phẳng 50

3.4 Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke tổng quát 59

Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG PHẲNG 70

4.4 Công thức chuyển trục của mô men quán tính 75

4.5 Hệ trục quán tính chính - công thức xoay trục của mô men quán tính 77

Chương 5: UỐN NGANG PHẲNG NHỮNG THANH THẲNG 84

A Dầm chịu uốn thuần túy phẳng 85

5.3 Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp lớn nhất 89

5.5 Khái niệm về hình dáng hợp lý của mặt cắt ngang 93

B Dầm uốn ngang phẳng 94

5.6 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang của dầm uốn ngang phẳng 94

5.7 Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn ngang phẳng 95

5.11 Quỹ đạo ứng suất chính khi uốn 105

5.12 Thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn ngang phẳng 106

C Chuyển vị của dầm chịu uốn 108

5.14 Phương trình vi phân của đường đàn hồi 109

5.15 Thiết lập phương trình đàn hồi bằngt tích phân bất định 110

5.16 Xác định độ võng và góc xoay bằng phương pháp tải trọng giả tạo 110

5.17 Phương pháp thông số ban đầu 116

Chương 6: XOẮN NHỮNG THANH THẲNG CÓ MẶT CẮT NGANG TRÒN

6.3 Liên hệ giữa mô men xoắn ngoại lực với công suất và số vòng quay của trục

6.5 Biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang 127

6.6 Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn 128

6.8 Xoắn thuần túy thanh có mặt cắt ngang không tròn 131

6.10 Tính lò xo xoắn ốc hình trụ có bước ngắn 132

6.11 Sự phá hủy của thanh tròn chịu xoắn 136

Chương 7: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 138

B Thanh chịu uốn đồng thời với kéo (hay nén) đúng tâm 147

8.5 Những mô hình cơ bản 172

9.6 Sự dão ứng suất trong các bu lông,(kéo- nén đúng tâm) 182

Phụ lục 189

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Bùi Trọng Lực, Nguyên Y Tô

Sức bền Vật liệu (T.1, 2)

Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1964

2) Nguyễn Y Tô (Chủ biên) Sức bền vật liệu

Nhà xuất bản Đại học và TNCN, Hà Nội 1973

3) Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng

Sức bền Vật liệu (T.1, 2, 3)

Nhà xuất bản Đại học và Giáo dục chuyên nghiệp, Hà Nội 1989

4) Nguyễn Y Tô

Sức bền Vật liệu

Nhà xuất bản Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 1966

5) Lê Viết Giảng, Phan Kỳ Phùng

Sức bền Vật liệu (T.1)

LỜI NÓI ĐẦU

Sức bền vật liệu là một môn học cơ sở, nó là gạch nối giữa các môn học cơ bản đến các môn học kỹ thuật cho các ngành cơ khí, động lực, cầu đường, xây dựng, thủy lợi, giao thông Để học tốt các môn chuyên môn ở các ngành học nói trên thì cần phải nắm được các kiến thức các môn học cơ sở trong đó có môn học Sức bền vật liệu

Giáo trình Sức bền vật liệu (Tập I) nhằm cung cấp các kiến thức cơ bản về phương pháp tính toán độ bền, độ cứng vững đối với những bài toán thường gặp như bài toán kéo (nén), uốn, xoắn và tổ hợp các bài toán đó Phần này cũng giới thiệu cách xác định và xây dựng biểu đồ nội lực đối với các dạng bài tập Nhờ có nó ta mới biết ở nơi nào là chịu lực nguy hiểm nhất Vì vậy phần này sẽ được sử dụng suốt trong giáo trình Sức bền vật liệu và ứng dụng trong các giáo trình chuyên môn khác

Tập 1 Sức bền vật liệu này còn trình bày cách nghiên cứu trạng thái ứng suất trong vật thể khi chịu tác dụng ngoại lực, nó trang bị kiến thức để học môn Sức bền vật liệu và các môn cơ học khác như lý thuyết đàn hồi, lý thuyết dẻo, vật lý chất rắn

Trong xu thế chung của giáo dục đại học, chúng tôi mong muốn sinh viên có thể tự nghiên cứu, tự học môn Sức bền vật liệu, nên trong giáo trình này sau khi trình bày Lý thuyết chúng tôi đã dẫn ra nhiều ví dụ để sinh viên dễ học tập

Tác giả cũng rất cảm ơn giảng viên cao cấp Phạm Văn Song của Đại học Đà nẵng, đã giúp tác giả sửa chữa, chỉnh lí, vi tnh vă đóng góp nhiều ý kiến để giáo trình này hoàn chỉnh hơn

Chắc rằng trong quá trình biên tập không khỏi còn nhiều thiếu sót, mong nhận được sự góp ý của sinh viên và các độc giả để giáo trình ngày càng được hoàn chỉnh và đáp ứng được yêu cầu học tập của sinh viên và các bạn

Trân trọng cám ơn !

Tác giả GS.TSKH Phan Kỳ Phùng

Chương mở đầu

NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

0.1.KHÁI QUÁT

0.1.1 Nhiệm vụ của môn học

Môn học sức bền vật liệu có nhiệm vụ cung cấp những kiến thức cơ bản về phương pháp tính toán độ bền (nghĩa là các kết cấu, chi tiết máy không bị phá hủy dưới tác dụng của tải trọng) Xác định độ cứng vững (nghĩa là sự thay đổi kích thước hình học của các kết cấu, chi tiết không được vượt quá một giới hạn cho phép) Tính toán về độ ổn định (nghĩa là tính toán sao cho các kết cấu, chi tiết có khả năng bảo toàn trạng thái cân bằng ban đầu), điều này chúng ta sẽ rõ khi gặp bài tóan ổn định

Môn học này cũng đề cập đến một số kiến thức để tính toán cho hệ thanh, cho các tấm, các vỏ, thanh thành mỏng Môn học này còn đề cập đến các bài toán về ứng suất tiếp xúc, về các ống v.v Điều đó cũng có nghĩa là giáo trình này bao gồm những kiến thức cơ bản của các môn học có liên quan "sức bền vật liệu", "cơ học kết cấu" và "lý thuyết đàn hồi"

Ngày nay, khi mà khoa học đã phát triển thì các môn học được đan xen nhau, không còn ranh giới rõ rệt nữa Các môn học cơ học cũng vậy, nên những vấn đề được trình bày dưới đây chúng tôi cũng theo xu hướng đó, nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản về cơ học có liên quan đến tính độ bền, độ cứng vững và độ ổn định đã nói ở trên, nhưng lại phải tiết kiệm nhất, có lợi nhất Nói một cách khác là phải giải quyết vấn đề tối

ưu nhất trong sản xuất là phải chọn kết cấu, chọn phương pháp tính, phải chọn vật liệu sao cho có lợi nhất Trong bản chất bài toán này, rõ ràng có mâu thuẫn ví như một chi tiết càng có kích thước lớn thì có thể rất bền, rất cứng vững và rất ổn định nhưng lại không kinh tế và cũng sẽ không thỏa mãn những yêu cầu khác Chính vì những mâu thuẫn đó chắc chắn nó sẽ là yếu tố thúc đẩy sự phát triển kỹ thuật tính toán, chế tạo của các vật liệu mới Môn sức bền vật liệu cũng phải phát triển để đưa ra các mô hình tính toán, các

phương pháp tính toán hợp lý, để thỏa mãn các điều kiện trên

0.1.2 Đối tượng nghiên cứu của môn học

Môn sức bền vật liệu là một môn học nằm trong ngành Cơ học vật rắn biến dạng Khác với Cơ lý thuyết, nhằm khảo sát sự cân bằng và chuyển động của vật rắn tuyệt đối, môn Sức bền vật liệu khảo sát vật thể thực, tức là vật rắn có biến dạng

+ Hình dạng vật thể nghiên cứu trong Sức bên vật liệu:

Vật thể thực có kích thước theo ba phương và được phân làm ba loại:

- Khối: Kích thước theo ba phương không hơn kém nhau nhiều (hình 0.1a)

- Tấm, vỏ: Kích thước theo hai phương lớn hơn kich thước theo phương còn lại rất nhiều (hình 0.1b, 0.1c)

- Thanh: Kích thước theo một phương lớn hơn kích thước theo hai phương kia rất nhiều Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu thanh và hệ thanh

+ Định nghĩa thanh: Một diện tích F hữu hạn di động sao cho trọng tâm O

trượt trên một đường cong (C) và thẳng góc (C), thì F sẽ quét trong không gian một hình khối gọi là thanh có diện tích mặt cắt ngang là F

Trong đó: (C)- Trục thanh; F- Diện tích mặt cắt ngang

+ Các loại thanh: Thanh nếu có trục thanh (C) là thẳng thì ta gọi là thanh thẳng, khi trục thanh (C) là cong thì ta gọi là thanh cong Mặt cắt thanh có thể là không đổi suốt chiều dài thanh, nhưng mặt cắt thanh cũng có thể thay đổi

+ Khung: Hệ gồm nhiều thanh ghép lại, có hai loại: khung phẳng và khung

không gian

Trong tính toán thường biểu diễn thanh bằng trục của nó (hình 0.1d', hình 0.1e')

Từ nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu nói trên ta thấy trong sức bền vật liệu có các bài toán sau:

a) Kiểm tra các điều kiện về độ bền, độ cứng vững, độ ổn định

b) Xác định kích thước mặt cắt ngang, hình dáng hợp lý của công trình hay chi tiết

c) Xác định giá trị tải trọng cho phép tác dụng lên vật thể

Hình 0.1: i t ng nghiên c u c a S c b n v t li u a-Kh i; b, c-T m và v ;d-d′,e-e′-Thanh và cách bi u di n thanh trong tính tóan; f,h,i,g- Khung; j,k-G i di ng;m,n-Kh p c nh;o-Ngàm

+ Đề ra các giả thuyết và tính toán

+ Thí nghiệm kiểm tra

0.2 Các nguyên nhân bên ngoài tác dụng lên vật thể

0.2.1 Ngoại lực

Định nghĩa: Ngoại lực là lực tác dụng của môi trường bên ngoài hay của các vật

thể khác lên vật thể đang xét

* Phân loại ngoại lực Ngoại lực gồm:

- Tải trọng: Trị số, vị trí và tính chất của lực đã biết trước

- Phản lực: Lực phát sinh nơi tiếp xúc giữa vật thể đang xét với vật thể khác tùy thuộc vào tải trọng Tải trọng bao gồm lực phân bố tác dụng liên tục trên thể tích hay bề mặt (có cường độ bằng giá trị lực/đơn vị thể tích hay diện tích, thứ nguyên là [lực/(chiều dài)3], [lực/(chiều dài)2] hoặc là lực phân bố theo chiều dài [lực/chiều dài] Ngoài ra còn

có lực tập trung, mô men tập trung, mô men phân bố

* Tính chất tải trọng

- Tải trọng tĩnh: Giá trị của lực tăng từ từ xem như không gây ra lực quán tính

- Tải trọng động: Giá trị của lực tăng đột ngột (va chạm) hay kể đến lực quán tính (dao động, chuyển động có gia tốc)

0.2.2 Các nguyên nhân khác

Bao gồm sự gia tăng của nhiệt độ, sự chế tạo không chính xác các chi tiết máy hay

sự lún của các gối tựa trong công trình

0.2.3 Các loại liên kết phẳng và phản lực liên kết

a) Gối di động (khớp di động, con lăn): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm và chuyển động tịnh tiến theo một phương nào đó Liên kết hạn chế sự di chuyển của thanh theo phương vuông góc với phương chuyển động tịnh tiến, nên theo phương này liên kết sẽ phát sinh một phản lực VA: (hình 0.1j) hay (hình 0.1k)

b) Gối cố định (khớp, bản lề): Liên kết cho phép thanh quay xung quanh một điểm

và hạn chế mọi chuyển động tịnh tiến trong mặt phẳng Liên kết này phát sinh phản lực theo một phương bất kỳ trong mặt phẳng Trong tính toán ta thường phân lực này ra hai thành phần vuông góc nhau HA và VA (xem hình 0.1m và 01 n)

c) Ngàm: Liên kết hạn chế mọi chuyển động trong mặt phẳng Tại ngàm phát sinh một mô men phản lực và một phản lực theo phương bất kỳ, phản lực này thường được phân ra hai thành phần vuông góc nhau (xem hình 0.1o) Để xác định các phản lực, ta xem thanh như vật rắn tuyệt đối và xét sự cân bằng của vật rắn đó dưới tác động của phản lực và tải trọng

0.3 Các giả thuyết cơ bản

Vì đối tượng khảo sát là vật thực, cho nên nếu xét đến mọi tính chất thực thì bài toán sẽ rất phức tạp Do vậy để quá trình suy luận hay tính toán được đơn giản mà vẫn đảm bảo được độ chính xác cần thiết, ta cần phải lược bỏ những tính chất không cơ bản

* Giả thuyết 1: Vật liệu có tính liên tục, đồng chất và đẳng hướng

- Vật liệu liên tục nghĩa là vật liệu chiếm đầy không gian vật thể

- Vật liệu đồng nhất khi tính chất cơ học và vật lý tại mọi điểm của nó giống nhau

- Vật liệu đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ lý xung quanh một điểm bất kỳ và theo hướng bất kỳ như nhau

* Giả thuyết II: Vật liệu đàn hồi tuyệt đối và tuân theo định luật Hooke Dưới tác dụng của nguyên nhân bên ngoài, vật thể bị thay đổi hình dạng, kích thước ban đầu Tuy nhiên khi bỏ các nguyên nhân này đi thì vật thể có khuynh hướng trở về hình dạng và kích thước ban đầu Đó là tính đàn hồi của vật liệu và vật thể tương ứng và được gọi là vật thể đàn hồi Nếu vật thể có khả năng trở về nguyên hình dạng và kích thước ban đầu

ta gọi là vật thể đàn hồi tuyệt đối Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke khi tương quan giữa lực và biến dạng là tương quan bậc I

Vật liệu thỏa mãn giả thuyết II gọi là vật liệu đàn hồi tuyến tính

Đối với các loại vật liệu như thép, gang nếu lực tác dụng nhỏ hơn một trị số giới hạn xác định nào đó, có thể xem như thỏa mãn giả thuyết này

* Giả thuyết III: Biến dạng của vật thể là bé

Hệ quả của các giả thuyết: Trong quá trình tính toán ta có thể:

- Sử dụng phép tính vi phân, tích phân, tức là có thể nghiên cứu một phân tố bé

0.4 Lịch sử và sự phát triển của môn học

Sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm, được xây dựng trên một số kết quả

và giả thuyết rút ra từ những thí nghiệm tương ứng với các bài toán cụ thể, sự lập luận trên cơ sở thực nghiệm vừa mang tính khoa học vừa giúp cho việc thiết lập các công thức tính toán ít phức tạp hơn về mặt toán học

Vào thế kỷ 17 Nhà bác học Galiles đã làm thí nghiệm về sự chịu lực của một dầm Côngxon để làm cơ sở cho các thiết kế và đóng các tàu biển phục vụ cho sự phát triển hàng hải Nhưng trên thực tế trong thế kỷ 17 chưa có các công trình tầm cỡ Sự phát triển môn học Sức bền và các môn học của cơ học thực sự phát triển từ thế kỷ 18 đến nay Năm 1729 Buynphighe đã đưa ra lý thuyết về quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biến dạng Sau đó năm 1768 Hooke cho rằng ở một giai đoạn nào đó thì quan hệ ứng suất và biến dạng là quan hệ tỷ lệ thuận Và trong các bài toán của Sức bền vật liệu chủ yếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke này

Các nhà bác học như Poisson, Euler, Lomorovsov, Ortrografski đã có nhiều đóng góp cho sự phát triển của cơ học nói chung và cho môn học Sức bền vật liệu nói riêng Nhà bác học Người Pháp Navie đã cho ra đời giáo trình Sức bền vật liệu đầu tiên vào cuối thế kỷ 18

Sự phát triển môn học Sức bền vật liệu gắn liền với sự phát triển của lý thuyết đàn hồi tuyến tính và đàn hồi phi tuyến Một số bài toán không thể chứng minh qua con đường lập luận từ khoa học thực nghiệm mà cần phải giải bằng Lý thuyết đàn hồi Vào cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20, Ngành cơ học biến dạng đã phát triển hết sức rộng lớn,

cùng với sự ra đời và phát triển của công nghệ thông tin, những thành tựu về Toán học và Vật liệu đã yêu cầu và tạo điều kiện cho ngành cơ học vật rắn biến dạng phát triển Người

ta ứng dụng các phương pháp sai phân, biến phân, phần tử hữu hạn trong việc giải các bài toán mà trước đây chưa giải được hoặc giải rất khó khăn Cũng từ đó nhiều lý thuyết

về các vật liệu dị hướng, vật liệu có độ bền lớn, vật liệu làm việc trong điều kiện nhiệt độ cao và trong các môi trường ăn mòn khác nhau phát triển Trong thế kỷ 20 còn xuất hiện

lý thuyết dẻo, đàn nhớt, đàn dẻo, lý thuyết từ biến, lưu biến, lý thuyết phá hủy đã giúp chúng ta nghiên cứu sâu hơn và toàn diện hơn sự làm việc, đồ bền, độ cứng vững, độ ổn định của các bài toàn thực tế, do sự phát triển khoa học kỹ thuật ngày nay đòi hỏi

Cơ học là một lĩnh vực rộng lớn, có thể là môi trường liên tục, môi trường rời rạc, môi trường thủy, khí, môi trường nhiệt Vì vậy những phương trình cân bằng về cơ bản giống nhau, tùy theo môi trường cụ thể mà thay đổi một số thông số và hệ số, nhưng những phương trình này vẫn là những phương trình vi phân đạo hàm riêng

Có thể nói điều quan tâm trước tiên của cơ học vật rắn biến dạng là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng xuất hiện trong vật liệu trong quá trình tác động của tải trọng Về mặt toán học ứng suất là một hàm số của biến dạng:

σ = f(ε) (0-1) Trong đó:σ-Ứng suất; ε-Biến dạng

- Nếu vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke thì phương trình trên tuyến tính hay còn gọi là đàn hồi tuyến tính

- Nếu quan hệ đó không phải là tuyến tính

bậc nhất nhưng vẫn thỏa mãn điều kiện quá trình

đặt tải và cất tải là thuận nghịch Nghĩa là khi đặt

tải, quan hệ giữa ứng suất σ và biến dạng ε là

đường cong OAB, thì khi cất tải tương quan đó

cũng giảm theo đường BAO (đường không liên

tục BAO thực tế trùng với đường liên tục

BAO-trên hình BAO được vẽ tách ra để dễ nhìn) và biến

dạng mất đi hoàn toàn khi không còn tải (xem

hình 0.2)

Ta xem bài toán này là đàn hồi nhưng

không phải tuyến tính mà là đàn hồi phi tuyến và

biểu thức (0.1) vẫn phù hợp

Chúng ta hãy xét thí nghiệm kéo một mẫu thép (đại diện cho vật liệu dẻo), thì quan

hệ giưã ứng suất và biến dạng được trình bày trên hình 0.3

Rõ ràng giai đoạn đầu OA là đàn hồi tuyến tính vận liệu làm việc tuân theo định luật Hooke, tức là ứng suất và biến dạng là quan hệ bậc nhất Đến điểm B nào đó, nếu ta cất tải thì nó không theo đường cũ mà nó đi theo đường song song với OA Khi tải trọng

Hình 0.2: Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng

không còn nữa, vật thể còn có một lượng biến dạng thể hiện bằng đoạn OC Biến dạng này được gọi là biến dạng dẻo (hay biến dạng dư) Lý thuyết nghiên cứu quy luật hình thành biến dạng dẻo và trạng thái ứng suất tương ứng được gọi là lý thuyết dẻo

Chúng ta hãy lưu ý các tính chất sau đây của vật liệu:

Một thanh thép treo chịu tác dụng lực kéo (hình 0.4), khi đặt tải P gây nên một độ giãn dài ∆l nào đó Nếu để lực P không đổi này tồn tại lâu dài thì độ giãn tiếp tục tăng lên mặc dù sự tăng này rất chậm, hiện tượng này càng rõ rệt khi vật liệu làm việc ở môi

trường nhiệt độ cao Hiện tượng đó được gọi là hiện tượng sau tác dụng hay hiện tượng

dão

Một ví dụ khác: ta siết chặt êcu để ghép 2 tấm thép với nhau (hình 0.5) bằng một lực nào đó, nghĩa là đã tạo cho bulông một giá trị ứng suất nhất định Nhưng đến một thời gian đủ dài nào đó ta nhận thấy êcu lỏng ra, nghĩa là ứng suất trong bulông giảm đi Hiện

tượng đó gọi là hiện tượng nới

đó là biến dạng tiếp tục thay đổi khi ứng suất do P sinh ra không đổi hay ứng suất giảm (mối nối lỏng ra), khi biến dạng không thay đổi (khoảng cách ban đầu của 2 tấm thép đã

xác định) được gọi chung là hiện tượng từ biến

Hiện tượng từ biến xuất hiện cả trong giai đoạn đàn hồi và giai đoạn chảy dẻo Vì vậy lý thuyết từ biến được ứng dụng trong lý thuyết đàn hồi và cả lý thuyết dẻo

Gần đây đã phát sinh một ngành mới là lý thuyết cảm biến Nó nghiên cứu những quy luật chung về sự phát sinh và phát triển của biến dạng theo thời gian của vật liệu do những nguyên nhân khác nhau trong những điều kiện nhiệt động và hóa lý khác nhau Lý thuyết cảm biến giúp cho ta xác định được biến dạng và ứng suất tại một điểm bất kỳ trong vật thể ở một thời điểm nào đó khi biết các thông số của các yếu tố tác động bên ngoài và quá trình biến đổi các thông số đó

CÂU HỎI TỰ HỌC :

0.1 Những nhiệm vụ chính của môn sức bền vật liệu ?

0.2 Những nhân tố nào thúc đẩy sự phát triển của môn học ?

0.3 Đối tượng nghiên cứu của môn học?

0.4 Các giả thuyết cơ bản, giải thích các giả thuyết đó

0.5 Những nét chính của các môn học khác liên quan đến môn Sức bền vật liệu

♣♣♣♣♣

dụ phần (A), (hình 1.3) Phần (A) được cân

bằng nhờ nội lực của phần (B) tác dụng lên

phần (A) Nội lực này phân bố trên diện tích

mặt cắt của phần (A) và hợp lực của chúng cân

bằng với các ngoại lực thuộc phần đang xét (A)

Ngược lại nếu ta xét sự cân bằng của phần B, thì

phần A cũng tác dụng lên B các nội lực tương tự

nhưng có chiều ngược lại

1.1.3 Khái niệm về ứng suất

Chung quanh điểm K (trên mặt cắt

thuộc phần A), ta lấy một phân tố điện tích vô

cùng bé ∆F, hợp lực của nội lực tác dụng lên

F

Plimp

limp

0 F tb 0

læûc

, đơn vị thường dùng KN/cm2, MN/m2 Thường người ta phân ứng suất ra hai thành phầ:

- Thành phần vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, ký hiệu σ

- Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, kí hiệu τ

Như vậy P= σ2 +τ2 , P: Độ lớn của ứng suất tại K

Hình 1.3: Sự cân bằng lực phần A

Hình1.2: Phương pháp mặt cắt

K

Trong nhiều trường hợp thành phần ứng suất tiếp trên mặt cắt còn được phân thành hai thành phần theo hai phương vuông góc nào đó

- Ứng suất pháp được coi là dương khi nó cùng chiều với pháp tuyến ngoài n

của mặt cắt (ứng suất kéo), ngược lại là âm (ứng suất nén), (xem hình 1.6a)

- Ứng suất tiếp được coi là dương khi pháp tuyến ngoài n của mặt cắt quay một góc

900 cùng với chiều kim đồng hồ (trong mặt phẳng (n,τ ) thì chiều của pháp tuyến đó trùng với

chiều của ứng suất tiếp, ngược lại ứng suất tiếp được coi là âm, (xem hình 1.6 b)

1.2 CÁC THÀNH PHẦN NỘI LỰC

Người ta thường thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt ngang Sự thu gọn đó cho ta một lực R và một mô men M Nói chung R và M có phương, chiều bất kỳ trong không gian Để tính

toán, ta phân R ra thành ba thành phần (ta

thường chọn Oxyz sao cho Ox, Oz nằm

trong mặt cắt ngang và Oy hướng xuống,

trục x và y gọi là các mô men uốn và kí hiệu Mx, My

- Thành phần quay quanh trục z gọi là mô men xoắn và kí hiệu Mz

Nz, Qx, Qy, Mx, My, Mz là 6 thành phần nội lực trên mặt cắt ngang và chúng được xác định từ điều kiện cân bằng của phần đang xét:

Q n P 0

1 i ix

i z

=

Trong đó:∑mx(Pi),∑my(Pi),∑mz(Pi) là tổng mô men của tất cả các ngoại lực thuộc phần đang xét quay quanh các trục x, y, z

* Liên hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần nội lực

Các thành phần nội lực tác dụng trên diện tích vô cùng bé (VCB) dF lần lượt là

σzdF, τzxdF, τzydF Lấy tổng nội lực vi phân này trên toàn diện tích mặt cắt ngang phải chính là các thành phần nội lực

Do đó : =∫

F z

N σ ; =∫

F zx

Q τ ; =∫

F zy

F z

M σ ; =∫

F z

F

zy zx

1.3 BÀI TOÁN PHẲNG - BIỂU ĐỒ NỘI LỰC

Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh (xem hình 1.8), ở hình này các lực tác dụng trong mặt

phẳng (yoz), thì hợp lực của nội lực

Qui ước dấu: Qui ước dương

của nội lực trong bài toán phẳng như

z

y

Mx > 0 khi nó làm căng các thớ về phía y > 0 (phía dưới).Ngược lại các nội lực âm

* Ví dụ 1: Cho một thanh chịu lực như hình 1.11a Hãy xác định nội lực và vẽ biểu

đồ nội lực

Ta sử dụng phương pháp mặt cắt: Tưởng tượng có một mặt cắt [11] vuông góc với trục thanh và cách đầu tự do một đoạn là z Ta xét sự cân bằng phần trái (hình 1.11b), để đoạn thanh đang xét được cân bằng thì tại mặt cắt [11] xuất hiện nội lực là Qy và mô men xoay quanh trục x là Mx Ban đầu chúng ta giả định Qy và Mx tác dụng ở mặt cắt [11] là dương theo quy định Nếu kết quả tính tóan mà Qy, Mx có dấu + thì coi như giả định ban đầu của ta là đúng và Qy, Mx đúng là dương theo quy định Nếu kết qủa tính toán mà Qy,

Mx mang dấu -, thì ta phải đổi chiều Qy và Mx trở lại, cũng có nghĩa là nội lực âm theo quy định ở trên

Bây giờ ta sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường trong cơ lý thuyết hay các phương trình đã trình bày ở trên để xác định Qy và Mx

Chú ý: - Khi chiếu lên một trục nào đó thì các mô men là ngẫu lực không có trong phương trình

bên trái của mặt

yn

M X >0

Q y >0

N z > 0

nm

Hình 1.10: Các thành phần nội lực và chiều dương ở phần bên phải của mặt cắt m-n

- Khi lấy mô men đối với một điểm nào đó thì lực qua điểm đó có mô men bằng 0

(1) Phương trình 1: Q n P 0

1 i iy

Như vậy Mx = +Px⋅z , dấu mô men giả định ban đầu là căng phía dưới (phía dương

của trục y) là đúng và Mx là hàm bậc nhất phụ thuộc vào tọa độ z

Cuối cùng ta vẽ biểu đồ Qy và Mx như ở hình 1.11c, 1.11d

* Ví dụ 2: Cho một dầm chịu lực như hình vẽ 1.12a Hãy xác định lực cắt Qy, mô

men uốn Mx và vẽ biểu đồ của chúng

Khi ngoại lực tác dụng nằm trong một mặt phẳng chứa trục thanh, ví dụ mặt phẳng

(yoz) thì hợp lực của nội lực cũng nằm trong mặt phẳng đó, ta có bài toán phẳng

Cũng tương tự như trên, chúng ta cắt thanh bởi mặt cắt [11] vuông góc với trục

thanh cách đầu tự do 1 đoạn z và xét sự cân bằng của phần bên trái, ta vẽ lớn ra ở hình

1.12b Đoạn thanh này cũng phải cân bằng do các lực q, Qy và Mx tác dụng Chúng ta

cũng vẽ Qy, Mx theo chiều dương như đã quy định Để xác định chúng ta lại sử dụng các

phương trình cân bằng tĩnh học, có thể viết ở dạng sau:

(1) Phương trình hình chiếu các lực lên trục y:

ΣP(y) = Qy + q⋅z = 0

Suy ra Qy = -q⋅z

Vậy Qy là hàm bậc nhất theo z (khác với trường hợp ở ví dụ 1 - Dầm chịu lực tập

trung P thì Qy là hằng số)

Kết quả dấu - chứng tỏ ta giả sử Qy là dương như hình vẽ 1.12b là không đúng ta

phải đổi dấu Qy, tức là vẽ lại Qy hướng từ dưới lên trên, vì vậy là Qy âm theo quy định ở

trên

1

Hình 1.12: Xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực

Chú ý bề lõm của đường bậc 2 hứng lấy các mũi tên do q tác dụng

* Ví dụ 3: Cho một dầm chịu lực như hình 1.13a Hãy xác định nội lực và vẽ biểu

đồ của chúng

Bài toán này có khác trước là việc đầu tiên ta phải xác định cho được phản lực ở các gối tựa A và B Tại A là gối kép, đáng lẽ phản lực tại đó có hai thành phần phản lực theo phương y và phương z, nhưng do lực chỉ có theo phương y thẳng đứng, nên tại A chỉ

có thành phần phản lực theo phương y, ta kí hiệu là YA và ở gối tựa B dĩ nhiên chỉ có một thành phần phản lực theo phương y, ta kí hiệu là YB Để xác định YA và YB, ta phải xét sự cân bằng của toàn dầm do các lực P và hai phản lực YA và YB tác dụng

Chúng ta cũng dùng các phương trình cân bằng thông thường là chiếu tất cả các lực lên trục y và lấy mô men đối với một điểm nào đó (điểm A chẳng hạn)

Giải:

a) Xác định các phản lực YA và YB

Chiếu các tất cả các lực lên trục y:

∑P( )y =P−YA −YB =0 (1) ( ) 0

2

lPlY

M A = B⋅ − ⋅ =

∑ (2) Giải 2 phương trình (1) và (2), ta được YA = YB = +

2

P và kết quả có dấu + chứng

tỏ chiều phản lực YA và YB đã chọn hướng lên là đúng và giá trị bằng một nửa lực P Các phản lực YA, YB còn có thể được suy luận ra như sau: Do tính chất đối xứng YA phải bằng YB và đây là hệ lực song song, nên YA + YB = P, vậy:

YA = YB =

2

P

b) Tính toán nội lực trong dầm

Sau khi đã xác định được YA và YB, ta xem như dầm chịu các lực YA, YB và P tác dụng Đến đây chúng ta thấy bài toán này khác trước ở chỗ tải trọng tác dụng lên dầm không phải không đổi suốt dầm (như ví dụ 1) hay tải trọng phân bổ liên tục suốt dầm (như ví dụ 2), mà để có thể xét nội lực ta phải chia dầm ra một số đoạn sao cho trong mỗi đoạn tải trọng là hằng số hoặc một hàm số liên tục và xét nội lực cho từng đoạn đó rồi nối lại

Với nguyên tắc này ta phải chia dầm ra làm hai đoạn:

(1) Đoạn 1 là từ A - C tức là: 0 ≤ z ≤

2l

Ta tiến hành xét nội lực trong đoạn này như ví dụ 1 và ví dụ 2 Trước hết ta lại tưởng tượng có một mặt cắt [11] vuông góc với trục thanh và cách đầu A là z (tất nhiên mặt cắt này trong giới hạn A-C) Giữ lại phần trái chẳng hạn (xem hình 1.13b) Ta xét sự cân bằng của nó khi đã giả định chiều của Qy và Mx ở mặt cắt [11]

- Tính mô men Mx

Lấy mô men đối với trọng tâm O1 của mặt cắt [11] ,ta có:

∑M( )o 1 = Mx - YA⋅z= 0

Hình 1.13: Xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội lực cho một dầm chịu lực như hình a

Suy ra Mx = +YA⋅z, kết quả dấu +, chứng tỏ ta chọn chiều của mô men Mx như hình 1.13b là đúng và mô men này dương vì nó làm căng phía dưới hay phần dương của trục

- Tính lực Qy

Chiếu các lực lên trục y (xem hình 1.13c)

ΣP(y) = - Qy -YB =0

Suy ra Qy = -YB , kết quả mang dấu (-) ; chứng tỏ chiều Qy ta chọn dương như hình vẽ

là không đúng và Qy phải được đổi chiều lại là âm theo quy định Qy không phụ thuộc tọa độ

Tóm lại, chúng ta đã xác định được lực cắt Qy ở đoạn AC là dương có trị số P 2

và đoạn CB có lực cắt Qy là âm và giá trị làP 2 Mô men nội lực ở 2 đoạn đều dương Ta

có thể vẽ lần lượt biểu đồ nội lực của hai đoạn AC và CB như ở các hình 1.13d và 1.13e

* Ví dụ 4: Cho một dầm chịu lực như hình 1.14 Xác định trị số các nội lực tại mặt

cắt 1-1 cách gối tựa trái 14m

z

H A

Hình 1.14: Xác định nội lực tại mặt cắt 1 1 của dầm

M=44kN.m

P=20kN q=1kN/m

Giải: Tính phản lực liên kết: Giải phóng các liên kết tại A và B và thay bằng các

phản lực liên kết HA, VA, VB Xét sự cân bằng của hệ cô lập ABC chịu tác dụng của ngoại lực bao gồm tải trọng và các phản lực liên kết

Ta có: Σz= 0 => HA = 0 (1)

Σy = 0 => VA +VB - p - q⋅10 = 0 (2)

ΣmA = 0 => 1⋅10⋅5-M-VB ⋅18 + P⋅24 = 0 (3) => VB = 27 kN

Thế VB vào (1) => VA = 3kN

Tính nội lực tại mặt cắt 1-1 (xem hình 1.15)

Dùng mặt cắt 1-1 và xét sự cân bằng của phần trái:

tâm mặt cắt ngang lấy trên trục song song với trục thanh, tung độ

là các giá trị của nội lực tại các mặt cắt ngang tương ứng

Như vậy dựa vào biểu đồ nội lực ta có thể xác định được mặt cắt ngang nguy hiểm nhất, tức là mặt cắt ngang có giá trị nội lực lớn nhất

* Chú ý khi vẽ biểu đồ nội lực:

- Với biểu đồ lực cắt (Qy), (Nz), tung độ dương của biểu đồ được biểu diễn về phía trên của trục hoành và có ghi dấu trên biểu đồ

- Với biểu đồ (Mx): Tung độ dương (Mx > 0) được đặt về phía y > 0

Ngược lại, tung độ âm (Mx < 0) đặt phía y < 0

Như vậy nhìn vào biểu đồ mô men uốn (Mx), ta biết ngay các thớ dọc thanh chịu căng ở phía có đặt tung độ Mx

* Ví dụ 5: Một dầm chịu lực như hình vẽ 1.16 Hãy vẽ biểu đồ nội lực (Qy), (Mx)

Hình 1.15: Tính nội lực của

mặt cắt 1 1

V A

14m 10m

Giải: a) Tính phản lực Hệ phương trình xác định phản lực : Σz = 0 => HA = 0 (1)

ΣmA = 0 => VB = 2ql (2)

Σy = 0 => VA = ql (3)

Kiểm tra có: ΣMC = 0

b) Tính nội lực Dùng phương pháp mặt cắt: Trên AC, tưởng tượng mặt cắt

ngang 1-1 (có trọng tâm O với hoành độ z: 0≤z≤1, gốc A), chia dầm ra hai phần, xét cân

tại C(z=1): Qy = 0 và Mx =

2

lqql2

1ql

2 2

Trên đoạn CB: Tưởng tượng mặt cắt ngang 2-2

(có trọng tâm O với hoành độ z: l≤ z ≤2l, gốc A) chia

dầm ra hai phần, xét cân bằng phần ACO (xem hình

2 A

trọng tâm O với hoành độ z: 0 ≤ z ≤ l, gốc D), chia đầm ra

hai phần, xét cân bằng phần DO, (xem hình 1.19)

a) Trên những đoạn thanh: q = 0 ⇒ biểu đồ

QY là đường thẳng song song với trục hoành, biểu đồ Mx

là đường bậc 1; q = const ⇒ Qy bậc 1, và Mx bậc 2

b) Mx đạt cực trị tại những điểm mà QY = 0

c) Bề lõm của MX hứng mũi tên lực phân bố q

Hình 1.19: Dùng phương pháp mặt

p=ql

D O 3

3

Nz

Hình 1.17: Dùng phương pháp mặt

d) Tại những điểm (mặt cắt) có lực tập trung (hoặc mô men tập trung), thì tại những điểm tương ứng trên biểu đồ Qy (hoặc MX) có bước nhảy và độ lớn bước nhảy bằng giá trị của lực tập trung (hoặc mô men tập trung) tại các điểm ấy

Ví dụ tại các điểm A, B, C, D (trên hình 1.20)

Q (ql)

0 0,5

-1,0 0,5

1,0 1,5

-1,5

0,5 1,0 1,5

1,5

1,0

0,5

1 Về mặt hình học, lực cắt tại một tiết diện chính bằng độ dốc của tiếp tuyến với biểu đồ mô men uốn tại đó và cường độ tải trọng phân bố theo chiều dài là độ dốc của tiếp tuyến biểu đồ lực cắt

2 Nếu hàm số q(z) là một hàm số đại số thì bậc của hàm số lực cắt sẽ cao hơn bậc của q(z) một bậc và bậc của hàm số mô men uốn sẽ cao hơn bậc của hàm lực cắt một bậc

1.5 Liên hệ giữa tải trọng tập trung với độ lớn bước nhảy trên biểu đồ lực cắt Biểu

đồ mô men uốn trong thanh thẳng

* Xét đoạn thanh vi phân dz ở tọa độ z, chịu P0 và M0, các thành phần nội lực trên

- Vẽ biểu đồ nội lực nhanh chóng

- Kiểm tra các biểu đồ nội lực

Ví dụ 6: Vẽ đồ thị nội lực M, Q của dầm chịu lực như hình 1.23

* Đoạn AB: có q = const ⇒ QY bậc 1; Mx bậc 2

* Đoạn CD: Không có q ⇒ QY hằng số : Qy = -2qa, còn MX bậc 1

Điểm C: Mx = qa2

21

Điểm D: Mx = - 2 2 2 2

qa2

3qa

qaqa2

3

−

=+

Hình 1.23: Một dầm chịu lực

0,5qa2

1, 5qa 2

0,5qa2

Ví dụ 7: Vẽ biểu đồ nội lực M, N, Q của khung thẳng, (hình 1.25)

Giải: Đoạn DC (hình 1.26): q = const ⇒ Q bậc một, M bậc

1 (căng thớ ngoài) ; NC = 0

Đoạn CB: Không có q nên Q là hằng số , M bậc 1

Điểm C:

qa

NBCC = −

2 BC

;0

(căng thớ trên ) Điểm B: Xét cân bằng đoạn BC (hình 1.27)

N N qa;Q QBCC 0

BC B

BC C

M = = − (căng thớ trên) Đoạn BA: Trên đoạn BA không có q: ⇒

qa2

1

M = − − =− , (căng thớ phía trái)

Hình 1.25: Một khung chịu lực

M B

BC

M C BC

Q B

BC

Q C BC

z

M C BC

N C BC

Q C BC

D

Hình 1.27: Tính nội lực của đoạn DC và CB

Q A

AB

qa2

Q B AB

N B AB

q

M B AB

NABA = ABB = ; QABA =QABB = −qa

M M QAB a

B

AB B

M = (Căng thớ phía trái)

Cuối cùng vẽ được biểu đồ M, N, Q (xem hình 1.29a, b, c)

Có thể kiểm tra các biểu đồ thông qua việc xét sự cân bằng các nút

Sự cân bằng nút B (hình 1.29d):

Σx = qa - qa = 0; ΣmC = qa 0

2

1qa2

=

− Vậy nút B cân bằng

Hình 1.29: Biểu đồ nội lực Q(a); N(b); M(c) và

kiểm tra biểu đồ (d)

2Pϕ

Nz

z

1

QM

0,236P

Xét mặt cắt 1-1 và sự cân bằng của phần đầu tự do với qui ước dương của nội lực như hình vẽ Đối với thanh cong, dấu của Qy và Nz được quy định hoàn toàn giống thanh thẳng Riêng MX được gọi là dương khi mô men đó làm cho thanh cong hơn

d

dM

;Qd

ϕϕ

Thế ϕ = 26040' vào (1) và (3), ta tính được Nzmax và Mxmin :

1.2 Ngoài lực là gì ? Các dạng của ngoại lực, thứ nguyên và đợn vị của nó

1.3.Vẽ các liên kết và biểu diễn các thành phần phản lực tại các liên kết đó

1.4 Quy ước dấu của các thành phần nội lực? Hãy biểu diễn nó thông qua một đoạn thanh

1.5 Quan hệ giữa lực phân bố q và lực cắt Qy, Mx Các bước nhảy ở biểu đồ nội lực Qy

và Mx xuất hiện ở đâu, dấu của bước nhảy đó Khi nào thì trên biểu đồ Mx có cực trị, cách xác định nó

1.6 Hãy tự vẽ biểu đồ Qy và Mx bằng phương pháp nhanh dựa vào các liên hệ vi phân giữa ngoại lực và nội lực và những nhận xét đã học

1.7 Hãy xác định nội lực và vẽ biểu đồ nội

lực đối với dầm chịu lực như trên hình 1.31

M0=2qa 2

P

qPA

P

C P

D P

EP

Chương 2

KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 2.1.KHÁI NIỆM

Trong sức bền vật liệu, bài toán kéo đúng tâm là bài toán đơn giản nhất và cơ bản nhất vì vậy trước tiên chúng ta nghiên cứu nó

2.1.1 Định nghĩa: Thanh chịu kéo (hoặc nén) đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang

Nếu NZ > 0: ta nói rằng thanh chịu kéo đúng tâm

Nếu NZ < 0: ta nói rằng thanh chịu nén đúng tâm

Hình 2.1a: Thanh chịu nén đúng tâm Hình 2.1b: Thanh chịu kéo đúng tâm

Người ta dùng phương pháp mặt cắt để xét sự cân bằng phần bên trái, chẳng hạn hình 2.1c.Từ điều kiện cân bằng, ta có phương trình:

- Các thanh trong giàn (hình 2.1f) v.v

2.2 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG

2.2.1 Quan sát biến dạng

Như đã biết, môn học sức bền vật liệu là môn khoa học thực nghiệm, nó vừa dựa vào các công cụ toán học, vừa dựa vào những kết quả rút ra từ những thí nghiệm để xây dựng các công thức tính ứng suất, biến dạng Việc xem xét thực nghiệm là hết sức cần

cần thiết và hợp lý của các công thức được thiết lập Vì vậy đối với các bài toán cơ bản bao giờ cũng bắt đầu từ quan sát thí nghiệm và xây dựng các giả thuyết để làm nền tảng cho việc thiết lập các công thức ứng suất và biến dạng sau này

Ta kẻ trên bề mặt thanh các đường song song với trục thanh (tượng trưng cho các thớ dọc) và các đường vuông góc với trục thanh (tượng trưng cho các mặt cắt ngang) chúng tạo thành lưới ô vuông (hình 2.2a) Sau khi chịu lực, thanh bị biến dạng và lưới ô vuông trở thành lưới ô chữ nhật (hình 2.2b)

* Dựa vào giả thuyết I, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp σz mà không có ứng suất tiếp Thật vậy nếu có ứng suất tiếp thì mặt cắt ngang sẽ bị vênh không còn phẳng và vuông góc với trục thanh nữa (với giả thiết I)

* Dựa vào giả thuyết II, trên mặt cắt dọc không có ứng suất nào cả

Vậy trong trường hợp kéo, nén đúng tâm, trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất pháp

σz thôi Nội lực tác dụng lên phân tố diện tích dF bao quanh A là σz dF

Tổng nội lực này trên toàn diện tích F của mặt cắt ngang là: Nz = ∫ σ

F zdF (a)

Ô vuông

a)

Ô ch nh t b)

1 2 2 ’

1 2 ’ 2 ’

δ(dz) dz

N Z O 1 O 2 N Z

σZ

Hình 2.2: Quan sát biến dạng: a- Đường kẻ ô

vuông trước khi chịu lực

N Z

P P

* Ta xét thêm điều kiện biến dạng: Xét phân tố chiều dài dz (hình 2.2e) Giả sử

cố định mặt cắt 1-1, khi có Nz tác dụng, mặt cắt 2-2 di chuyển đến 2'-2' Do giả thuyết I

nên mọi điểm thuộc mặt cắt 2'-2' thẳng góc trục thanh, nên mọi thớ dọc đều giãn dài như

nhau và bằng δ (dz)

Gọi εz là biến dạng dọc tỷ đối, ta có: const

dz

)dz(

σ

=

ε (c) Với E: hằng số tỉ lệ, gọi là mođuyn đàn hồi, nó phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ và có thứ nguyên [lực/(chiều dài)2]

Đơn vị thường dùng KN/cm2, MN/m2,.E xác định được bằng thí nghiệm (bảng 2.1)

Từ (b) và (c) => σz = E εz = const đối với mọi điểm trên cùng một mặt cắt ngang

và từ (a) => Nz = σz ∫FdF = σzF => σz =

F

Nz

(2-1) Trong đó F: Diện tích mặt cắt ngang, dấu của σz giống như dấu của Nz đã qui ước ở mục 1.3 chương 1

Bảng 2.1: Giá trị E của một số vật liệu

Như vậy trong kéo (nén) đúng tâm, trên mặt cắt ngang, ứng suất pháp phân bố đều

2.3 BIẾN DẠNG - HỆ SỐ POISSON (POÁT XÔNG) µ

Hay ∆ =∫σ =∫

l

z l

EF

NdzE

i

FE

N

là hằng số trong

từng đoạn, thì ∆l sẽ là: ∆ =∑n Nzi⋅li

l (2-4)

- Trường hợp thanh có các đoạn li, mà trong mỗi đoạn

i i

zi

FE

N

là một hàm số liên tục, thì biến dạng dài của đoạn thanh được tính:

∆ =∑∫=n ⋅

1 i

dzNl

2.3.2 Biến dạng ngang

Ta nhận thấy rằng khi thanh chịu kéo, chiều dài của nó giãn ra, còn bề ngang thì co lại, trái lại khi thanh chịu nén thì chiều dài của nó co lại, chiều ngang phình ra

Như vậy khi kéo, nén thì phương ngang cũng bị biến dạng Giữa biến dạng ngang

tỷ đối εng và biến dạng dọc tỷ đối εd có mối liên hệ: εng =−µ⋅εd

Trong đó: µ - hệ số Poisson, nó được xác định được bằng thí nghiệm Hệ số µ phụ thuộc vào từng loại vật liệu, trị số µ = 0 ÷0,5

Dấu − chứng tỏ εng luôn luôn ngược dấu với εd

Thép: µ = 0,25 ÷ 0,33; Gang: µ = 0,23 ÷ 0,27; Nhôm: µ = 0,32÷ 0,36; Bê tông: µ

= 0,08 ÷ 0,18; Cao su : µ = 0,47

Ví dụ1:Vẽ biểu đồ lực dọc Nz và tính ứng suất, biến dạng toàn phần của thanh

Vẽ biểu đồ biến dạng (chuyển vị) của thanh chịu lực như hình 2.3a, biết E = 2.104KN/cm2 Mặt cắt ngang có diện tích F = 1cm2

a) Vẽ NZ: Dùng phương pháp mặt cắt: 1-1, 2-2, 3-3 và xét cân bằng phần trên

có N1, N2, N3

Phản lực tại ngàm : Σ z = 0 => VA (hướng lên)

Trên AB: Dùng mặt cắt 1-1 và xét cân bằng phần trên :Σz = 0 => N1 = VA = 10KN Tương tự trên BC: N2 = -10 KN, N3 = 30KN

b) Tính ứng suất:

Đoạn 1: σ1 = 1 10KN/cm2

1

10F

N

=

=

Biểu đồ biến dạng diễn tả sự biến dạng của mặt cắt ngang theo vị trí của chúng đối

110.2

2010dzNEF

c) Vẽ biểu đồ biến dạng (Chuyển vị):

Đoạn 2: 20 (cm) ≤ z ≤ 60 (cm) :

1102

401010

100dz

NdzNEF

1

4 4

20 0

z 20 2 1

100 60 3 2

1 3

4030110.2

4010110.2

2010EF

lN

4 4

3 1

i i

×

×+

2.4 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG

Trên đây chúng ta đã tìm được quy luật phân bố và công thức để tính ứng suất

pháp trên mặt cắt ngang khi thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm Bây giờ chúng ta hãy

nghiên cứu quy luật và giá trị của ứng

suất trên một mặt cắt nghiêng bất kỳ có

pháp tuyến làm với trục thanh một góc α

Để làm được điều đó, ta tưởng

tượng tách ra khỏi thanh một phân tố

bằng các mặt cắt 1-1, 2-2 và 3-3 như trên

hình 2.4a

Phân tố đó chịu tác dụng của các

ứng suất được biểu diễn trên hình 2.4b

Nếu gọi diện tích AB là dF, ứng

BC sẽ là

αcosdF và trên mặt cắt nghiêng này sẽ có ứng suất pháp σu hay σα và ứng suất tiếp τuv hay τα tác dụng Chúng ta xem σα, τα cũng phân bố đều trên mặt nghiêng BC

Để xác định σu, τuv ta xét sự cân bằng của phân tố đó Để có giá trị σu, ta chiếu tất

cả các lực lên trục u: ( ) dF cos 0

cos

dFu

τuv = σz sinα cosα = σ sin2α

2

z

Từ công thức (2-6) ta thấy ứng suất pháp σu đạt giá trị lớn nhất khi cos2α = 1 tức

là α = 0 hoặc α = 1800, có nghĩa là mặt cắt nghiêng này trở thành mặt cắt ngang và nó có giá trị nhỏ nhất khi cos2α = -1 hay α = 900, tức là mặt cắt nghiêng trở thành mặt cắt dọc Giá trị ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất là: max σα =σ z =Nz/F ;min σα = 0

Ứng suất tiếp τα sẽ đạt giá trị lớn nhất khi sin2α = 1 hay α = 450, tức là khi mặt cắt nghiêng có pháp tuyến ngoài u hợp với trục thanh một góc 450: max τα =

2

z

σ

Chúng ta hãy thử tìm các ứng suất ở mặt cắt vuông góc với mặt cắt nghiêng vừa rồi, để xem ứng suất ở 2 mặt vuông góc với nhau có mối liên hệ nào không ?

Có thể tiến hành theo các bước vừa rồi, bằng cách thay mặt cắt [3-3] thành mặt cắt vuông góc với nó, sau đó chúng ta cũng sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học thông thường như đã làm ở trên, cuối cùng ta cũng có được biểu thức các giá trị ứng suất

ở mặt cắt vuông góc với mặt nghiêng vừa rồi Thế nhưng cũng có cách làm đơn giản hơn

là chúng ta thay góc α bằng góc β = α +

2

π vào công thức (2-6) Ta sẽ có kết quả :

σβ = σ α π σ (1 cos2α)

2

)2cos(

σ

2sin22

2sin2

z Z

Qua các công thức (2-6), (2-7), chúng ta rút ra các kết luận sau:

1- Mặt cắt có giá trị ứng suất lớn nhất khi kéo, nén đúng tâm là mặt cắt ngang

và cũng chính là mặt cắt nguy hiểm nhất : σz =

F

NZ

2- Tổng của 2 giá trị ứng suất pháp ở 2 mặt cắt nghiêng vuông góc đó:

σα + σβ = Z Z (1 cos2 ) Z

2)2cos1(

σ

= const (2-8) Như vậy tổng giá trị ứng suất pháp ở 2 mặt cắt vuông góc với nhau là một hằng

số, không phụ thuộc vào các giá trị α và β Tổng số này được gọi là lượng bất biến bậc nhất, nó có ý nghĩa đối với các bài toán cơ học sau này Đồng thời nó giúp ta tìm giá trị

(2-7)(2-6)

của ứng suất trên mặt cắt nghiêng nào đó nếu biết được giá trị ứng suất trên mặt cắt ngang và một mặt vuông góc với nó

3- Giá trị ứng suất tiếp trên hai mặt vuông góc với nhau :

hoặc cùng xuất phát từ giao tuyến

chung (xem hình 2.5) Điều này

được gọi là luật đối ứng của ứng

+ Vật liệu dẻo: bị phá hủy khi biến dạng khá lớn (thép, đồng, nhôm )

+ Vật liệu giòn: bị phá hủy khi biến dạng còn khá bé (gang, đá, bê tông )

2.5.1 Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo (thép)

a) Mẫu thí nghiệm: Theo TCVN 197-66 (hình 2.6a)

Khi thí nghiệm, trên bộ phận vẽ

biểu đồ của máy kéo, ta nhận được đồ

thị quan hệ giữa lực P và biến dạng dài

∆l của mẫu (hình 2.6) Ngoài ra sau khi

mẫu đứt, ta chắp mẫu lại để biết chiều

dài khi đứt và diện tích ở chổ bị đứt

* Đặc trưng tính bền: Đồ thị

P-∆l chia thành ba giai đoạn rõ rệt:

+ OA- Giai đoạn đàn hồi,

P-∆l quan hệ bậc nhất

Giới hạn tỉ lệ :

0

tl tl

F

P

=σ

F0- Diện tích mặt cắt ngang ban

đầu

+ BC- Giai đoạn chảy: Lực

không tăng, biến dạng tăng, giá trị lực là

a)

τ > 0 τ < 0 τ < 0 τ > 0

b)

Hình 2.5: Chiều ứng suất trên hai mặt cắt vuông góc

E

∆l

D

vật liệu càng dẻo thì diện chảy càng lớn

+ CDE - Giai đoạn củng cố (tái bền): Lực lớn nhất là lực bền pb

Giới hạn bền:

0

b b

F

P

=σ

- Ba đại lượng σtl, σch, σb là ba đặc trưng về tính bền của vật liệu

Chú ý: Giai đoạn AB xảy ra rất ngắn, nên ta không để ý đến

* Đặc trưng tính dẻo của vật liệu:

+ Độ biến dạng dài tỷ đối tính theo phần trăm: 100%

l

ll

d) Biểu đồ σ- ε (biểu đồ qui ước)

Biểu đồ P - ∆l (không chỉ rõ các đặc trưng

tính bền của vật liệu), nên người ta lập biểu đồ qui

ước σ- ε với σ=

0

l,F

P ε= ∆

gọi là biểu đồ quy ước,

vì khi tác dụng lực thì diện tích mặt cắt thay đổi,

nhưng ta không thể đo được ở từng thời điểm nên

trong công thức tính σ và ε ta vẫn lấy diện tích ban

đầu F0 và chiều dài ban đầu l0

Biểu đồ (σ- ε) cho thấy rõ các giới hạn σ tl,

2.5.2 Thí nghiệm nén vật liệu dẻo

a) Mẫu hình trụ tròn hay lập phương (h≤ 2d),(hình 2.8b, 2.8c)

b) Thí nghiệm tăng lực từ 0 đến P và nhận được biểu đồ P-∆l

c) Kết quả ta cũng nhận được ba giai đoạn được biểu diễn trên hình 2.8a

+ Giới hạn tỷ lệ:

o

tl tl

F

P

=σ

Hình 2.8: Thí nghiệm nén vật liệu dẻo

α tgα= E

Hình 2.7: Biểu đồ

+ Chảy với lực chảy Pch và giới hạn chảy:

0

ch ch

F

P

=σ

+ Củng cố, nhưng không xác định được lực bền vì lúc này mẫu phình ra dạng trống, diện tích mặt cắt ngang tăng và sức chịu đựng tăng lên

2.5.3 Thí nghiệm kéo vật liệu giòn (gang)

a) Mẫu: Giống mẫu vật liệu dẻo trong thí nghiệm kéo, (xem hình 2.6a)

b) Thí nghiệm tăng lực từ 0 đến khi mẫu đứt

Thực chất đối với vật liệu giòn do tính đồng nhất, liên tục kém nên quan hệ giữa lực và biến dạng không tuân theo đinh luật Hooke, có nghĩa là đường OA là đường cong

và biến dạng tương ứng với lực bền là rất bé Tuy nhiên một cách gần đúng có thể chấp nhận được, người ta có thể xem vật liệu vẫn tuân theo định luật Hooke, có nghĩa là xem đường OA gần như đường thẳng Các tính toán sau này vẫn sử dụng được định luật Hooke

c) Kết quả: Đồ thị P-∆l là một đường cong và vật liệu chỉ có giới hạn

a) Mẫu giống vật liệu dẻo trong thí nghiệm nén

b) Thí nghiệm: Tăng lực từ 0 đến lúc mẫu vỡ

c) Kết quả: ta nhận thấy đồ thị P- ∆l giống như khi kéo và cũng có giới hạn bền:

0

b n

P

=σ

Giới hạn này khá lớn so với giới hạn bền khi kéo vật liệu giòn (xem hình 2.10)

Ví dụ: Gang xám có: σk ≈

b 250 MN/m2 nhưng σn ≈

b 1000 MN/m2 Như vậy giới hạn bền của vật liệu giòn khi chịu nén lớn hơn nhiều so với độ bền khi kéo Đây là một tính chất quan trọng, đối với những kết cấu chủ yếu chịu nén thì việc

sử dụng vật liệu giòn là tốt, nhưng đối với những kết cấu chủ yếu chịu kéo thì khi sử dụng vật liệu giòn phải có tính toán khá cụ thể

Khi tính độ bền của công trình hay chi tiết máy, cần phải đảm bảo chúng không phát sinh vết nứt hay gãy đứt tức là ứng suất trong hệ phải nhỏ hơn một giới hạn nguy hiểm σ0 qui định cho từng loại vật liệu : max ⎢σz⎢≤ σ0

2.6.1 Ứng suất cho phép - hệ số an toàn

- Đối với vật liệu dẻo, có giai đoạn chảy tức là giai đoạn lực không tăng mà biến dạng vẫn tăng sẽ nguy hiểm đến sự làm việc của hệ, cho nên người ta chọn:

σ

n b

k b

với n > 1 gọi là hệ số an toàn

và ta có: Với vật liệu giòn:

n][

;n][

n b n

k b k

σ

=σ

σ

=σ

vật liệu dẻo:

n][][]

n k

σ

=σ

=σ

=σ

- Hệ số an toàn n>1 được chọn phụ thuộc vào:

+ Tiêu chuẩn của vật liệu

+ Điều kiện làm việc của công trình, chi tiết máy, nguyên nhân ngoài chưa xác định được chính xác

+ Tầm quan trọng của công trình, tính lâu dài của công trình

+ Phương pháp và công cụ tính toán

+ Trình độ của người thiết kế, thi công

Như vậy để đảm bảo điều kiện bền ta cần có:

max ⎢σz ⎢ = [ ]

F

Nmax z

σ

≤

2.6.2 Từ bất phương trình trên ta có ba bài toán cơ bản

a) Kiểm tra bền: Biết [σ], F, Nz ta cần kiểm tra:

max ⎢σz ⎢ = [ ]

F

Nmax z

σ

≤ (±5%) (1)

b) Chọn kích thước mặt cắt ngang: Biết [σ], P, xác định [F]

Ta xác định [F] khi biết [σ], tải trọng :

F ≥ = [ ]σ

z

Nmax

(2) c) Xác định tải trọng cho phép: Biết [σ], F, xác định [P]

Ta xác định [P] từ max |Nz| ≤ [σ] F (3)

Ta có thể chọn F nhỏ hơn một ít để có kích thước theo tiêu chuẩn hoặc để dễ chế tạo (không thỏa mãn bất phương trình (2) hoặc P lớn hơn một ít (không thỏa mãn (3)) Thế nhưng lúc đó phải kiểm tra lại xem (1) có thỏa mãn không với sự chênh lệch không quá 5%