SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DTNT QUẾ PHONG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, A1 và D. Thời gian làm bài: 180 phút. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x + = − có đồ thị (H) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số. 2.Tìm các giá trị của m để đường thẳng 3y x m= − + cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng : 2 2 0d x y− − = (O là gốc tọa độ). Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình (1 cos )cot os2 sin 2 sinx x c x x x− + = − Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 ( )( 3) 3( ) 2 4 2 16 3 8 x y x xy y x y x y x − + + + = + + + + − = + ( ) ,x y ∈¡ Câu 4. (1,0 điểm)Tính tích phân: 4 0 sin 2 1 cos 2 x x I dx x π + = + ∫ Câu 5. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 , gócBAD bằng 60 0 , ( ) ( ) SAB ABCD⊥ , gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin giữa hai đường thẳng SM và DN. Câu 6. (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 3a b c + + = Chứng minh rằng: 3 a b c b c a + + ≥ . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần a hoặc phần b) a. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có AB= 5 , C(-1;-1), phương trình cạnh AB là: x-2y-3=0, trọng tâm G thuộc đường thẳng: x+y-2=0. Tìm tọa độ các đỉnh A, B. 2.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C 1 ): + = 2 2 13x y ,đường tròn (C 2 ): − + = 2 2 ( 6) 25x y . Gọi giao điểm có tung độ dương của (C 1 ) và (C 2 ) là A,viết phương trình đường thẳng đi qua A,cắt (C 1 ) và (C 2 ) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. Câu 8.a (1,0 điểm) Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh. b. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng Oxy cho hinh chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12,tâm I là giao điểm của hai đường thẳng d 1 ,d 2 lần lượt có phương trình:x-y-3=0 và x+y-6+0.Trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của d 1 với trục Ox.Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật 2.Cho elip (E): 2 2 1 16 4 x y + = và A(0;2).Tìm B,C thuộc (E) đối xứng với nhau qua Oy sao cho tam giác ABC đều Câu8.b (1,0 điểm) Tìm m để phương trình: 2 2 2 2 27 1 3 3log (2 2 4 ) log 2 0x x m m x mx m− + − + + − = có hai nghiệm x 1, x 2 sao cho x 1 2 + x 2 2 >1 Hết ĐÁP ÁN Câu 1: 1.(1 điểm) Học sinh tự làm 2.(1 điểm) Ta có: y’=4x 3 +4mx=4x(x 2 +m) Đồ thị có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m<0 Các điểm cực trị 2 2 4 4 ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ,B m m C m m AB m m AC m m AB m m AC m m − − − = − − = − − − = − = − uuur uuur A(0;m 2 +m), Tam giác ABC cân tại A nên A=120 0 4 4 1 os( , ) 2 m m c AB AC m m + − ⇒ = = − uuuruuuur ⇔ 3 1 3 m = − ,KL Câu 1: 2, 3 2 5 5 2 sin 2 3 cos 2 2 os sin(2 ) sin ( ) 2 ; 6 18 3 k PT x x c x x x x k x π π π π π π ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ = + = + Vì (0; )x π ∈ nên 5 5 17 , , 6 18 18 x x x π π π = = = Câu 3: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 ( )( 3) 3( ) 2(1) 4 2 16 3 8(2) x y x xy y x y x y x − + + + = + + + + − = + ( ) ,x y ∈¡ ĐK: 16 2, 3 x y≥ − ≤ 3 3 (1) ( 1) ( 1) 2x y y x⇔ − = + ⇔ = − Thay y=x-2 vao (2) được 2 4( 2) 3( 2) 4 2 22 3 8 ( 2)( 2) 2 2 22 3 4 x x x x x x x x x − − + + − = + ⇔ = − + + + + − + 2 4 3 ( 2) 0(*) 2 2 22 3 4 x x x x = ⇔ − + + + = + + − + Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên hàm số đồng biến. suy ra x=-1 là nghiệm duy nhất của (*) KL: HPT có 2 nghiệm (2;0),(-1;-3) Câu 4: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 5 1 5 1 1 1 5 3 ( ) ln 3 ln 2 ( 2)( 3) 2 ( 2)( 3) 2 3 2 3 2 2 2 2 x x dx x I dx dx dx x C x x x x x x x x + − + − = = = + − = − + + − − − − − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ Câu 5: Tính được 2 1 2 , 2 3 . 2 3 2 ABCD BD a AC a S BD AC a= = ⇒ = = Tam giác SAB vuông tại S,suy ra SM=a,từ đó tam giác SAM đều.Gọi H là trung điểm của AM,suy ra 3 3 ;( ) ( ) ( ); 2 SH AB SAB ABCD SH ABCD SH a V a⊥ ⊥ ⇒ ⊥ = ⇒ = Gọi Q là điểm thoả mãn 1 4 AQ AD= ⇒ MQ//DN. Gọi K là trung điểm của MQ,suy ra HK//AD,HK ⊥ MQ,MQ ⊥ (SHK) . Góc α giữa SM và DN là góc ^ BAD 1 1 3 2 4 os 4 MQ DN MK c SM a a α = = = = Câu 6: Ta có: 2 2 2 2 2 4 2 4 a b c b a b c a a a a a a c b c b c b c + + ≥ + ≥ ⇒ + ≥ − (1) Tương tự: 2 2 2 4 (2), 2 4 (3) b c c a b b a c c b c a a b + ≥ − + ≥ − Cộng (1),(2),(3) được 2 3( ) 9 a b c a b c b c a + + ≥ + + = ÷ ⇔ 3 a b c b c a + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1 Câu 7a: 1(1 điểm) Gọi A(x 1 ;y 1 ),B(x 2 ;y 2 ).Vì A,B thuộc đường thẳng x-2y-3=0 nên ta được: 1 1 2 2 2 3 0(1); 2 3 0(2)x y x y − − = − − = G là trọng tâm tam giác ABC nên: 1 1 2 2 1 3 ; 1 3 G G x y x x y y + − = + − = G thuộc đường thẳng x+y-2=0 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 6 8(3)x y x y x x y y ⇒ + − + + − = ⇒ + + + = AB=5 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 5(4)x x y y ⇒ − + − = Từ (1),(2),(3) 1 2 1 2 22 3 2 3 x x y y + = ⇒ + = Từ (1),(2) 1 2 1 2 2( )x x y y − = − thay vào (4) được 1 2 1y y − = TH1: 1 2 1y y − = .Tìm được 14 5 8 1 ( ; ), ( ; ) 3 6 3 6 A B − TH2: 1 2 1y y − = − .Tìm được 8 1 14 5 ( ; ), ( ; ) 3 6 3 6 A B − Câu 7a: 2(1 điểm) (C 1 ) có tâm O(0;0),bán kính 1 13R = ; (C 2 ) có tâm I(6;0),bán kính 2 5R = . Giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) là (2;3) và (2;-3).Vì A có tung độ dương nên A(2;3) Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi 1 2 ( , ); ( , )d d O d d d I d = = Yêu cầu bài toán trở thành: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 12R d R d d d − = − ⇒ − = 2 2 2 2 2 2 2 0 (4 3 ) (2 3 ) 12 3 0 3 b a b a b b ab b a a b a b = − + − = ⇒ + = ⇒ = − + + *b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0 Câu 8a: Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là 6 12 C Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối -Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là: 6 7 C -Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là: 6 9 C -Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là: 6 8 C Số cách chọn thoả mãn đề bài là: 6 6 6 6 12 7 9 8 805C C C C − − − = (cách) Câu 7b: 1(1 điểm) Tìm được 9 3 ( ; ), (3;0) 2 2 I M Lập đươc pt AD:x+y-3=0,Tính được AD= 2 2 . Toạ độ A,D là nghiệm hpt 2 2 3 0 ( 3) 2 x y x y + − = − + = TÌm được:A(2;1),D(4;-1),C(7;2),B(5;4) hoặc A(2;1),D(4;-1),C(7;2),B(5;4) Câu 7b: 2(1 điểm) Giả sử B(m;n),C(-m;n).Do B,C thuộc (E) và tam giác ABC đều nên ta được hệ 2 2 2 2 2 17 3 1 3 16 4 17 3 ( 2) 4 3 m n m m n m m = + = ⇔ + − = = − Vậy 17 3 22 17 3 22 ( ; ), ( ; ) 3 13 3 13 B C − − − hoặc 17 3 22 17 3 22 ( ; ), ( ; ) 3 13 3 13 B C − − − Câu 8b: BPT đã cho tương đương với 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 log (2 2 4 ) log ( 2 ) 2 0 2 0 1 ( 1) 2 2 0 2 x x m m x mx m x mx m x mx m x m x m x m m x m − + − = + − + − > + − > ⇔ ⇔ = − + + + − > = YCBT 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) 2 0 4 0 1 0 (1 ) (1 ) 2 0 2 1 0 2 1 5 2 (2 ) (1 ) 1 5 2 0 m m m m m m m m m m m m m m m m m + − > > − < < ⇔ − + − − > ⇔ − − + > ⇔ < < + − > − > . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DTNT QUẾ PHONG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, A1 và D. Thời gian làm bài: 180 phút. I thị (H) 1.Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (H) của hàm số. 2.Tìm các giá trị của m để đường thẳng 3y x m= − + cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thu c đường thẳng : 2 2. A(x 1 ;y 1 ),B(x 2 ;y 2 ).Vì A,B thu c đường thẳng x-2y-3=0 nên ta được: 1 1 2 2 2 3 0(1); 2 3 0(2)x y x y − − = − − = G là trọng tâm tam giác ABC nên: 1 1 2 2 1 3 ; 1 3 G G x y x x y y + − = + − = G thu c đường