Đề thi Chuyên Toán Quảng Nam 2013- 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học : 2013 - 2014 Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2013 Môn: TOÁN (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (Không tính thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A 2 x 9 x 3 2 x 1 x 5 x 6 x 2 x 3 − + + − + − + − − (Với x 4x 0 ; x ; 9≥ ≠ ≠ ) a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nguyên. Câu 2. (2 điểm) a) Giải phương trình 2 2 3x 15 x x 3 3x− = + + − . b) Giải hệ phương trình 2xy 2y 20 1 2 4 + y x 3 x+ + =    =   Câu 3. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x – y – a 2 = 0 và Parabol (P) : y = ax 2 (a là tham số dương) a) Tìm giá trị a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng tỏ khi đó A và B nằm bên phải trục tung. b) Gọi x 1 ; x 2 lần lượt là hoành độ của A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 1 2 4 1 M x x x x = + + Câu 4. (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có góc đỉnh A là 45 0 . Nửa đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại E và F. Vẽ bán kính OM vuông góc với BC. a) Chứng minh EF R 2= (Với BC = 2R). b) Chứng minh M là trực tâm tam giác AEF. Câu 5. (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB < AC. Hạ các đường cao BE và CF , gọi H là trực tâm, M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kính AK cắt cạnh BC tại N. a) Chứng minh AMF∆ đồng dạng với tam giác ANC ∆ . b) Chứng minh HI song song với MN, với I là trung điểm BC. Câu 6. (1 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn: 4 4 xy x y xy 2013 + 2014 2 4 4   − = −  ÷   . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích xy. hết Họ và tên thí sinh ………………………. Số báo danh……………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học : 2013 - 2014 Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2013 Môn: TOÁN ( Toán chung) Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức : 1 A = 2 18 2 + và 1 1 x 2 B = . x 2 x 2 x −   +  ÷ + −   (với x > 0 và x x 4≠ ) a) Rút gọn A và B. b) Tìm giá trị x để A.B = 2 . Câu 2. (1,5 điểm) a) Giải hệ phương trình (Không dùng máy tính bỏ túi) x 2y 5 2x y 0 + =   − =  . b) Cho hàm số y = 2x 2 có đồ thi (P). Hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 2 và -1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B. Câu 3. (2 điểm) Cho phương trình bậc hai: x 2 + 2(m – 1)x + 2m – 6 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị m để 1 2 1 2 1 1 x x 13 0 x x + + + = . Câu 4. (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên đoạn AO lấy điểm C sao cho R AC = 4 . Vẽ dây cung ED vuông góc với AO tại C. Hai tiếp tuyến tại E và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M. Đường thẳng DM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng EK cắt MO , MB lần lượt tại G, H. Gọi I là giao điểm của OM và EB. a) Chứng minh tứ giác OIEC nội tiếp. b) Tính AE theo R. c) Chứng minh HM 2 = HK. HE. d) Tính MG theo R. Câu 5. (1 điểm) Cho a, b thỏa mãn điều kiện : 0 a 2 ≤ ≤ ; 0 b 2 ≤ ≤ và a + b = 3. Chứng minh 2 2 a +b 5≤ hết Họ và tên thí sinh ………………………. Số báo danh……………………… . KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học : 2013 - 2014 Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2013 Môn: TOÁN (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (Không tính thời gian giao đề) ĐỀ. LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học : 2013 - 2014 Khóa thi ngày 06 tháng 6 năm 2013 Môn: TOÁN ( Toán chung) Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1 + 2014 2 4 4   − = −  ÷   . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tích xy. hết Họ và tên thí sinh ………………………. Số báo danh……………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN