PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 7 điểm Cõu I.. Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng BDMN.. Tính thể tích khối chóp A.BDMN.. Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần phần 1 hoặc 2 1.Th
Trang 1KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ễN THI ĐẠI HỌC KHỐI A - B – D Năm 2010
Mụn thi: Toỏn Thời gian làm bài: 180 phỳt
Ngày 20 thỏng 12 năm 2010
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Cõu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 cú đồ thị là (C m ); ( m là tham số)
1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
2 Xỏc định m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phõn biệt C(0;1), D, E sao cho cỏc tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuụng gúc với nhau
Cõu II (2 điểm)
1.Giải phương trỡnh:
x
x x
x
3 2
2
cos
1 cos cos
tan 2
2 Giải hệ phương trỡnh:
1 4
, ( ,x y R )
Cõu III (1 điểm)
Tớnh tớch phõn:
3 2 2 1
log
1 3ln
e
x
Cõu IV (1 điểm)
Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' = 3
2
a
và góc BAD = 600
Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B' Chứng minh AC' vuông góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN
Cõu V (1 điểm)
Cho a, b, c là cỏc số thực khụng õm thỏa món a b c 1 Chứng minh rằng: 2 7
27
B PHẦN RIấNG (3 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1.Theo chương trỡnh Chuẩn
Cõu VIa ( 2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC biết A(5; 2) Phương trỡnh đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam
giỏc ABC
2 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, hóy xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3)
Cõu VIIa (1 điểm)
Cho z , 1 z là cỏc nghiệm phức của phương trỡnh 2 2z24z110 Tớnh giỏ trị của biểu thức
2
z z
2 Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu VIb ( 2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:x3y , ' :38 0 x4y10 và điểm 0
A(-2 ; 1) Viết phương trỡnh đường trũn cú tõm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xỳc với đường thẳng ’
2 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trỡnh mặt phẳng (ABC) và tỡm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC
Cõu VIIb (1 điểm)
Giải hệ phương trỡnh :
2
log ( 5) log ( 4) = 1
, ( ,x y R )
- tavi -
Trang 2ĐÁP ÁN KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC KHỐI A - B – D Năm 2010
2 PT hoành độ giao điểm x3 + 3x2 + mx + 1 = 1 x(x2 + 3x + m) = 0 m = 0, f(x) = 0 0.25
Đê thỏa mãn yc ta phải có pt f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 và
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
0.25
Giải ra ta có ĐS: m = 9 65
8
0.25
cos 2x tan x 1 cosx (1 tan x) 2 cos x cos -1 0x 0.5 Giải tiếp được cosx = 1 và cosx = 0,5 rồi đối chiếu đk để đưa ra ĐS:
2
0
y , ta có:
2
2
1
4
1 4
x
y
y
0.25
Đặt
2
1 ,
x
y
+) Với v3,u ta có 1
hệ:
2, 5
+) Với v 5,u ta có hệ: 9
, hệ này
vô nghiệm
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; )x y {(1; 2), ( 2; 5)}.
0.25
2
3
ln
ln 2
x
x
Đặt 1 3ln2 ln2 1( 2 1) ln 1
dx
x
2
3
2 2
2
1 1
1 3ln
x
t
2 3
1
9 ln 2 3t t 27 ln 2
C/m AC’ PQ, với P,Q là trung điểm của BD, MN Suy ra AC’ (BDMN) 0.25 Tính đúng chiều cao AH , với H là giao của PQ và AC’ Nếu dùng cách hiệu các thể
Trang 3Tớnh đỳng diện tớch hỡnh thang BDMN Suy ra thể tớch cần tỡm là: 3
16
a
V Ta cú ab bc ca2abca b c( ) (1 2 ) a bca(1a) (1 2 ) a bc Đặt t= bc thỡ ta
cú
0
Xột hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t trờn đoạn
2
0;
4
a
0.5
Cú f(0) = a(1 – a)
2
a a
2 2
a
f a a
với mọi a 0;1
0,25
27
VIa 1 Gọi C = (c; 2c+3) và I = (m; 6-m) là trung điểm của BC
Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c) Vì C’ là trung điểm của AB nên:
C CC
m
5 41
6 6
I
Phương trình BC: 3x – 3y + 23=0
Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 2 3 0 14 37;
x y
C
0.5
Tọa độ của B = 19 4;
3 3
2 Ta cú: AB(2; 2; 2), AC(0; 2; 2).
Suy ra phương trỡnh mặt phẳng trung trực của
Vectơ phỏp tuyến của mp(ABC) là nAB AC, (8; 4; 4).
Suy ra (ABC):
Giải hệ:
Suy ra tõm đường trũn là (0; 2; 1).I 0.25
Bỏn kớnh là RIA ( 1 0) 2(0 2) 2(1 1) 2 5 0.25 VII
a Giải pt đó cho ta được cỏc nghiệm: 1 2
Suy ra
2 2
z z z z
0.25
Đo đú
2
11
4
z z
VIb 1 Tõm I của đường trũn thuộc nờn I(-3t – 8; t) 0.25
Theo yc thỡ k/c từ I đến ’ bằng k/c IA nờn ta cú
3( 3 8) 4 10
( 3 8 2) ( 1)
0.25
Khi đú I(1; -3), R = 5 và pt cần tỡm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25 0.25
2 Ta cú AB(2; 3; 1), AC ( 2; 1; 1)n(2; 4; 8)
là 1 vtpt của (ABC) 0.25
Trang 4Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay x + 2y – 4z + 6 = 0 0.25
M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nên ta có hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7 0.25 VII
b + Điều kiện:
2
( )
I
( )
log ( 5) log ( 4) = 1 log ( 5) log ( 4) = 1 (2).
I
0.25
Đặt log2y(1x)t thì (1) trở thành: 1 2
t
Với t 1 ta có: 1 x y 2 y x 1 (3) Thế vào (2) ta có:
2
0 2
x x
Suy ra: 1
1
y y
0.25
+ Kiểm tra thấy chỉ có x 2, y thoả mãn điều kiện trên 1
A B
D P
M N
Q