CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ HÌNH THANGI.. Chứng minh tam giác DMN vuông cân II.. Hình thang cân:... Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ.. Đường trung bình của tam giác - hình
Trang 1CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ HÌNH THANG
I Hình thang + Hình thang vuông:
Bài 1:
Cho hình thang ABCD ( AB // CD), biết AD + BC = CD Chứng minh rằng các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại một điểm thuộc cạnh CD
Bài 2:
Cho hình thang ABCD ( AB // CD), các tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại một I điểm thuộc cạnh bên BC Chứng minh AD = AB + CD
Bài 3: Chứng minh rằng trong hình thang, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường
chéo thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu độ dài của hai đáy
Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh rằng: MN AB CD
2
+
≤ ( có hai cách chứng minh)
b) Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 5:
Cho tam giác ABC, BC = a, các đường trung tuyến BD và CE lấy các điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE
a) Chứng minh EI, DK, BC đồng quy
b)Tính độ dài IK theo a
Bài 6: Hình thang ABCD có µA D 90 ,AB 11cm,AD =12cm, BC =13cm= =µ 0 = Tính độ dài AC
Bài 7: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), E là trung điểm của BC, ·AED 90= 0
Chứng minh DE là tia phân giác của góc D
Bài 8: Cho tam giác ABC có µA 90 ; C 30= 0 µ = 0 Từ trung điểm E của cạnh AB vẽ đường thẳng vuông góc với AB, cắt BC tại F
a) Tứ giác AEFC là hình gì? Vì sao?
b) Tính độ dài các cạnh của tứ giác đó biết AB = 3cm
Bài 9: Cho hình thang ABCD có µ µ 0 1
A B 90 ,AB BC= AD = 3cm
2
a) Tính các góc của hình thang
b) Chứng minh AC CD⊥
c) Tính chu vi của hình thang
Bài 10: Cho hình thang ABCD ( AB// CD;AD BC≠ ), Gọi E ,F lần lượt là trung điểm của các đường chéo BD, AC và G là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC Chứng minh GD = GC
Gợi ý: Gọi H là TĐ của BC, chỉ ra G là trực tâm của tam giác EHF, suy ra GH là đ/cao tam giác DGC
Bài 11: Cho hình thang ABCD có A D 90 ,CD 2AB=2AD µ = =µ 0 = lấy một điểm M thuộc đáy nhỏ AB và kẻ đường thẳng Mx vuông góc với DM; Mx cắt BC tại N
Chứng minh tam giác DMN vuông cân
II Hình thang cân:
Trang 2Bài 1: Một hình thang cân có đường cao bằng nửa tổng hai đáy Tính góc tạo bởi hai
đường chéo của hình thang
Bài 2: Hình thang cân ABCD ( AB // CD ) có đường chéo BD chia hình thang thành
hai tam giác cân: tam giác ABD cân tại A và tam giác BCD cân tại D Tính các góc của hình thang cân đó
Bài 3: Cho hình thang cân ABCD, đáy nhỏ AB, đáy lớn CD Gọi O là giao điểm của
hai đường chéo biết ·AOB 60= 0, gọi M và N lần lượt là hình chiếu của B và C lên
AC và BD, P là trung điểm của BC Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều
Gợi ý: MP, NP lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của các tam giác vuông CMB, CNB.
Chỉ ra MN là đường TB của Tam giác AOD, kết hợp AD = BC
Bài 4: Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C ( AC > BC) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB, vẽ các tam giác đều ACD và BCE Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE,
CD, BD, CE
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
Gợi ý: dễ dàng cm MNPQ là hình thang
Gọi I là TĐ của AC , chứng minh NI // AC, MI // CE//AB suy ra M,N,I thẳng hàng suy ra góc NMQ bằng 60
b) Chứng minh MP = DE1
2
Bài 5: Cho điểm M nằm trong tam giác đều ABC Từ M kẻ các đường thẳng song
song với BC, CA, AB cắt AB, BC, CA lần lượt tại N, P, Q
a) Chứng minh rằng: ·NMP PMQ QMN= · =·
b) Chứng minh rằng ba đoạn thẳng MA, MB, MC thỏa mãn bất đẳng thức tam giác c) Xác định vị trí của M để tam giác NPQ đều
Bài 6: Cho điểm O nằm trong tam giác đều ABC cạnh a Qua O vẽ các đường thẳng
DE // BC ( D AB; E AC∈ ∈ ), MN // AC ( M BC; N AB∈ ∈ ),
PQ // AB ( P AC; Q BC∈ ∈ )
a) Chứng minh rằng: Tứ giác DECB là hình thang cân
b) Tam giác OMQ đều
c) Vẽ OH⊥AB; OI BC; OK⊥ ⊥AC Chứng minh AH BI CK+ + không đổi
Bài 7: ( Khó ko trọng tâm)
Hình thang cân ABCD ( AB // CD ) và điểm M tùy ý nằm trong hình thang, Chứng minh rằng luôn dựng được một tứ giác nội tiếp hình thang cân ABCD mà độ dài các cạnh của tứ giác bằng độ dài các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD.(Tứ giác nội tiếp hình thang cân ABCD là tứ giác có các đỉnh nằm trên cạnh của hình thang đó)
Bài 8: Cho tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất, O là giao điểm của các đường phân
giác của tam giác ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = BA, CN =
CA gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB
a) Chứng minh rằng: Các tứ giác AMDF và AEDN là hình thang cân
b) Chứng minh: MF = NE
c) Chứng minh tam giác OMN cân
Trang 3Bài 9: Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm cảu
BC và AD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ PN cắt BD tại Q Chứng minh
MN là tia phân giác của ·PMQ ( liên quan đến Định lí Talet)
Bài 10: Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB, AH là đường cao (H thuộc DC), E là
trung điểm của cạnh bên BC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và DE Gọi I là giao điểm của DM và AN Chứng minh rằng EI 2HC
3
=
Bài 11: ( Đề vô địch toán nước cộng hòa Secbi)
Cho tam giác ABC cân tại A lấy các điểm E và K lần lượt trên các tia AB và AC sao cho: AE + AK = AB +AC Chứng minh rằng BC < EK
III Đường trung bình của tam giác - hình thang
Bài 1: Cho tam giác ABC trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao
cho AD 1AB; AE 1AC
= = Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại F Chứng
minh CF 1BC
2
=
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8; BC = 17 Vẽ vào trong tam giác
ABC một tam giác vuông cân DAB có cạnh huyền là AB Gọi E là trung điểm của
BC Tính DE
Bài 3: Cho tam giác ABC Gọi D là một điểm nằm trên đường trung tuyến AM Qua
D kẻ đường thẳng xy cắt các cạnh AB và AC Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của
A, B, C trên xy Xác định vị trí của D để AH BI CK
2
+
=
Bài 4: Cho hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O Trên tia Ox' lấy 3 diểm A, B, C
sao cho OA = AB = BC, trên tia Oy lấy điểm H, trên tia Oy' lấy hai điểm M và N sao cho OH = OM = MN Chứng minh ba đường thẳng HA, NB, MC đồng quy
Bài 5: Cho hình thang ABCD ( AD //CB) , biết BC + AD = AB Chứng minh rằng
các tia phân giác của các góc A và góc B cắt nhau tại trung điểm của CD
Bài 6: Cho tứ giác ABCD có AB = CD Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm
của hai đường chéo tạo với AB và CD các goc bằng nhau
Bài 7: Cho tam giác ABC, trọng tâm G
a) Vẽ đường thẳng d qua G, cắt các đọn thẳng AB , AC Gọi A', B', C'là hình chiếu của A, B, C lên d Tìm mối liên hệ giữa các độ dài AA', BB', CC'
b) Nếu đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC và G' là hình chiếu của G trên d thì độ dài AA', BB', CC' và GG' có liên hệ gì?
Bài 8: Trên đoạn thẳng AB lấy các điểm M và N ( M nằm giữa A và N) Vẽ về một
phía của AB các tam giác đều AMD, MNE, BNF Gọi G là trọng tâm của tam giác DEF Chứng minh rằng khoảng cách từ G đến AB không phụ thuộc vào vị trí của các điểm M, N trên đoạn thẳng AB
Bài 9:
Trang 4Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự tại E và F
a) Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác BDH
b) Chứng minh HE = HF
Bài 10:
Tứ giác ABCD có B và C nằm trên đường tròn đường kính AD Tính độ dài CD biết
AD = 8 cm; AB = BC = 2cm
Bài 11: Cho tam giác ABC đường trung tuyến AM Trên AM lấy hai điểm D và E sao
cho AD = DE = EM Trên tia đối của tia CB lấy điểm F sao cho CF = CM Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BE, DF đồng quy
Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC dựng ra phía ngoài tam giác nay các tam giác đều
ABE và ACF gọi M và N lần lượt là trung điểm cảu AE và CF trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD 1BC
4
= Chứng minh rằng DM⊥DN
Bài 13 : Cho hình thang ABCD, hai cạnh bên AD và BC không song song Gọi M là
trung điểm của AB vẽ MH song song với AD ( H thuộc BD) và MK song song với
BC ( K thuộc AC) Gọi O là giao điểm của đường thẳng qua H và vuông góc với MH và đường thẳng qua K vuông góc với MK Chứng minh rằng O cách đều hai đỉnh C và D
Bài 14: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có AB = a; BC = b; CD = c; AD = d
( d <c) Các tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau tại N
a) Chứng minh rằng MN // AB
b) Tính độ dài MN theo a, b, c, d
Bài 13: Cho tam giác ABC Gọi D là một điểm nằm trên đường trung tuyến AM Qua
D kẻ đường thẳng xy cắt các cạnh AB và AC Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu của
A, B, C trên xy Xác định vị trí của D để AH BI CK
2
+
=
Bài 15: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), hai đường phân giác của góc A và góc D
cắt nhau tại I, hai đường phân giác của các góc B và góc C cắt nhau tại J Gọi H là trung điểm của AD, K là trung điểm của BC Cho biết AB = AD = 10cm, BC = 12cm,
CD = 20cm
a) Chứng mính I, J, H, K thẳng hàng
b) Tính độ dài các đoạn thẳng HI, HJ, JK
Bài 16: Cho tứ giác ABCD gọi A'; B'; C'; D' lần lượt là trọng tâm của các tam giác
BCD, ACD, ABD, ABC, và M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD Chứng minh rằng các đường thẳng AA'; BB'; CC', DD' và MN đồng quy
Bài 17: Cho một điểm C nằm ở ngoài một đoạn thẳng AB Dựng các tam giác vuông
cân ACA', BCB' ra ngoài tam giác ABC ( ·A'AC CBB' 90= · = 0 ) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'B' chứng minh rằng vị trí của M không phụ thuộc vào vị trí của điểm C