www.VNMATH.com Nguyn Vn Thu- Sm Sn Thanh Hoỏ Sở giáo dục v đo tạo Kỳ thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012 Môn : Toán (dùng chung cho tất cả thí sinh) Thời gian lm bi 120 phút không kể thời gian phát đề Ngy thi: 18 tháng 6 năm 2011 Câu1 (2 điểm) Cho biểu thức A 3 32 1 23 32 1115 x x x x xx x 1.Rút gọn biểu thức A (với x 0 ,x 1 ) 2. Chứng minh rằng A 3 2 Câu 2 (2 điểm) Cho parabol (P): 2 2 1 xy v đờng thẳng (d): y= mx m +2 (với m l tham số) 1. Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có honh độ x=4 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Câu 3 : (2 điểm) 1. Giải hệ phơng trình : 19 25 12 32 yx yx 2. Giải phơng trình 26 9 3 2 x x x Câu 4 : (3 điểm) Gọi C l một điểm nằm trên đoạn thẳng AB ( BCAC , ). Trên nửa mặt phẳng có bờ l đờng thẳng AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I (I A). Đờng thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K ; đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. 1.Chứng minh rằng: a) Tứ giác CPKB nội tiếp đợc trong đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn đó. b)Tam giác ABP l tam giác vuông. 2. Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất. Câu 5 : (1 điểm)Cho a, b, c l ba số thực dơng thỏa mãn a+b+c = 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: P= bca ca abc bc cab ab 222 Hết (cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ v tên thí sinh Số báo danh Chữ ký của giám thị số 1: chữ ký của giám thị số 2 Đề CHíNH THứC www.VNMATH.com Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá §¸p ¸n C©u1 : Rút gọn biÓu thøc A 3 32 1 23 32 1115 x x x x xx x A= 3 32 1 23 )3)(1( 1115 x x x x xx x = )3)(1( )1)(32()3)(23(1115 xx xxxxx A= )3)(1( 332262931115 xx xxxxxxx = )3)(1( 527 xx xx = )3)(1( )52)(1( xx xx A= )3( )52( x x 2- với A 3 2 ta có )3( )52( x x 3 2 nên 3 2 - )3( )52( x x 0 )3.(3 )52.(3)3(2 x xx 0 )3.(3 15662 x xx 0 )3.(3 17 x x 0 là đúng vì x 0 nên 17 x 0 và 3.( x +3) > 0 vậy A 3 2 được chứng minh C©u 5- a)V× a + b+ c = 2 2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c 2 + ab = (ca+ c 2 )+( bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b) vì a ; b ; c > 0 nên 0 1 ca và 0 1 cb áp dụng cosi ta có ca 1 cb 1 2. ))(( 1 cbca dấu (=) khi ca 1 cb 1 a + c = b + c a = b hay ) 11 ( 2 1 ))(( 1 bcac bcac bc ab ac ab bcac ab abc ab 2 1 )(2 (1) Chøng minh t−¬ng tù ; ca bc ba cb abc bc 2 1 2 (2) dấu = khi b = c ab ca bc ca cab ac 2 1 2 (3) dấu = khi a = c cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có : P= bca ca abc bc cab ab 222 2 1 ( bc ab ac ab + ac cb ab cb + bc ac ab ac ) P 2 1 ba ac ba cb bc ac cb ab ac cb ac ab ()()( = 2 1 ba abc cb cba ac bca ).().().( P= bca ca abc bc cab ab 222 12. 2 1 2 1 cba min P = 1 khi a = b = c = 3 2 C©u 2 :Cho parabol (P): 2 2 1 xy vμ ®−êng th¼ng (d): y= mx –m +2 (víi m lμ tham sè) www.VNMATH.com Nguyn Vn Thu- Sm Sn Thanh Hoỏ y P A B x K C I O O' 3. Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có honh độ x=4 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Gii : a) to giao im ca parabol (P): 2 2 1 xy v đờng thẳng (d): y= mx m +2 l nghim ca h 2. 2 1 2 mxmy xy phng trỡnh honh giao im l : 2. 2 1 2 mxmx vi (d) cắt (P ) tại điểm có honh độ x=4 thay vo ta cú : 8 = 4m - m +2 3m = 6 m = 2 vy thỡ (d) cắt (P ) tại điểm có honh độ x=4 b) (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi v ch khi h 2. 2 1 2 mxmy xy hay 2. 2 1 2 mxmx x 2 -2mx +2m - 4 = 0 cú 2 nghim phõn bit > 0 m = 4m 2 -4(2m - 4 ) = 4m 2 -8m + 16 = (2m) 2 2.2m.2+ 4+12 = ( 2m 2) 2 + 12 > 0 vi mi giỏ tr ca m .Vy với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Câu 3 : 1- Gii h phng trỡnh : 19 25 12 32 yx yx t a = y 1 v b = x 1 ta cú h 1925 1232 ab ab 57615 2464 ab ab 3311 1232 b ab 3 1232 b ab 3 2 b a y 1 =2 y = 2 1 v x 1 = 3 x = 3 1 vy nghim ca h 2 1 3 1 y x 2-Giải phơng trình 26 9 3 2 x x x iu kin x >3 hoc x <-3 ta thy x = 0 khụng phi l nghim nờn x x 26 9 3 1 2 1 26 9 3 2 x x 1 21272 9 3 22 x x x Câu 4: 1.Chứng minh rằng: a) Tứ giác CPKB nội tiếp đợc trong đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn đó. Xột ng trũn tõm O ng kớnh IC ta cú P (O) Nờn CPI = 90 0 do ú CPK = 90 0 ( k bự vi CPK = 90 0 ) theo bi ra ta cú By AB m K By ; C AB CBK = 90 0 CPK + CBK = 180 0 m CBK v CPK www.VNMATH.com Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá là hai góc đối của tứ giác CPKB vậy CPKB néi tiÕp ®−îc trong ®−êng trßn mà CBK ˆ = 90 0 nên KC là đường kính b)Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng. Xét ( O ; 2 IC ) ta có PICCAP ˆ ˆ ( nội tếp cùng chắn cung PC ) (1) Xét ( O ’ ; 2 KC ) ta có CBPCKP ˆˆ ( nội tếp cùng chắn cung PC ) (2) Theo bài ra thì IC KC tại C nên KCI ˆ = 1V nên IKCPIC ˆˆ = 1V (3) thay (1) ; (2) vào (3) ta có CAP ˆ + CBP ˆ = 1V vậy Tam gi¸c ABP lμ tam gi¸c vu«ng.tại P 2-Cho A, I, B cè ®Þnh. T×m vÞ trÝ cña ®iÓm C trªn ®o¹n th¼ng AB sao cho tø gi¸c ABKI cã diÖn tÝch lín nhÊt . Ta có tứ giác ABKI có AI//BK ( cùng AB) và B ˆ = 1V nên ABKI là hình thang vuông nhận AI và BK là hai đáy và AB là đường cao S ABKI = 2 1 (AI+ BK) . AB mà A ; B ; I cố đinh nên AI ; AB không đổi nên để S ABKI đạt Max khi BK đạt Max BK =AI lúc bấy giờ (O) và (O’) bằng nhau nên CI = CK CIK cân CP và đường cao nên PI = PK mà PC // BK ( cùng vuông góc AB) nên PC là đường trung bình của hình thang ABKI nên C là trung điểm của AB . Kỳ thi tuyển sinh vo lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012 Môn : Toán (dùng chung cho tất cả thí sinh) Thời gian lm bi 120 phút không kể thời gian phát đề Ngy thi: . ký của giám thị số 1: chữ ký của giám thị số 2 Đề CHíNH THứC www.VNMATH.com Nguyễn Văn Thuỷ- Sầm Sơn – Thanh Hoá §¸p ¸n C©u1 : Rút gọn biÓu thøc A 3 32 1 23 32 1115 x x x x xx x . b, c l ba số thực dơng thỏa mãn a+b+c = 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: P= bca ca abc bc cab ab 222 Hết (cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ v tên thí sinh Số báo danh