Nguyn Thanh Dng – K19 nh lý Sylow và áp dng 1 Trc ht ta a ra mt s khái nim c bn nh: tác ng ca mt nhóm lên tp hp, nhóm con n nh, qu o, nhm phc v cho vic chng minh nh lý Sylow. Tác ng ca mt nhóm lên mt tp hp nh ngha Cho (G,.) là mt nhóm , X là mt tp khác rng. Tác ng (trái) ca nhóm G lên tp X là mt ánh x × → tha hai iu kin: i) = ∀ ∈ ii) ∀ ∈ ∀ ∈ , ta có = Cho X là mt tp khác rng, (G,.) là mt nhóm và “*” là mt tác ng ca nhóm G lên tp X. Vi mi ∈ , ký hiu = ∈ = . Khi ó, là mt nhóm con ca nhóm G. Tht vy, rõ ràng là tp con cha n v ca G. Mt khác, ∀ ∈ , ta có: − − − − = = = = = = Suy ra − ∈ . nh ngha Mi ∈ , c gi là nhóm con n nh ca x. nh ngha Vi mi ∈ , tp con = ∈ ∈ ca X c gi là qu o ca x trong X. Tip n ta xem xét mt s tính cht ca và G(x). Mnh 1 Cho tp ≠ ∅ , tp các qu o ∈ lp thành mt phân hoch trên X. Tc vi ∈ thì hoc = hoc ∩ = ∅ Chng minh Gi s ∩ ≠ ∅ th th ∃ ∈ ∩ . Ta có: ∈ ∃ ∈ = ′ = ′ ′ ∀ ∈ ∃ ∈ = ⊂ . Ngc li, ′′ ′′ ∀ ∈ ∃ ∈ = . Nhng theo trên − = = , do ó, − ′′ = ∈ ⊂ . Suy ra = . Lp lun hoàn toàn tng t, = . Vy ta c = . Nguyn Thanh Dng – K19 nh lý Sylow và áp dng 2 Nhn xét 2 i) Theo mnh 1.4, = ⇔ ∈ ∨ ∈ ii) Ta có ∈ = , nhng hai qu o hoc ri nhau hoc trùng nhau nênta suy ra ∈ = (hp ri). c bit, nu X là tp hu hn thì ta có công thc ∈ = Mnh 3 C nh ∈ , ánh x θ θ → = là mt song ánh. Chng minh Trc ht ta chng minh θ là ánh x. Vi mi ′ ∈ , gi s θ θ − − − − ′ ′ ′ = ⇔ = ⇔ = ′ ′ ⇔ ∈ ⇔ = ′ ⇔ = . Tc θ là n ánh. Cách xây dng θ ã khng nh θ là toàn ánh. Vy θ song ánh. Nhn xét 2 T mnh 1.6 cho ta = = , kt hp vi mnh 1.5, công thc phân tích X thành qu o tr thành ∈ = . Nhc li: Cho G là mt nhóm và ≤ . 1. Nhóm con E ca G c gi là liên hp vi H nu − ∈ = 2. Ký hiu − = ∈ = . Ta s chng minh c là nhóm con ln nht trong G mà . Ta gi là cái chun tc ca H trong G. Ví d Cho G là mt nhóm, gi X là tp tt cà các nhóm con ca G. Khi ó, − × → = là mt tác ng ca G lên X (tác ng liên hp). Vi mi ∈ , ta có: Qu o ca H trong X: − = ∈ = ∈ . Nh vy, qu o ca H là tp tt c các nhóm con ca G liên hp vi H. Nhóm con n nh ca H: − = ∈ = = ∈ = = Nh vy, nhóm con n nh ca H là cái chun tc hóa ca H trong G. Nguyn Thanh Dng – K19 nh lý Sylow và áp dng 3 Nhn xét 3 T ví d trên, ta suy ra: = = = Ngha là s tt c các nhóm con liên hp vi H bng ch s ca cái chu!n tc hóa ca H trong G. nh ngha Cho G là mt nhóm, p là mt s nguyên t. Ta nh ngha: i) G c gi là mt p – nhóm nu mi ph"n t# ca G u có cp là l$y tha ca p. ii) Trong trng hp G hu hn, nhóm con H ca G c gi là p – nhóm con Sylow (p – nhóm con ti i) ca G nu H là ph"n t# ti i trong tp các p – nhóm con ca G (theo quan h% bao hàm). Ngha là: 1) H là mt p – nhóm 2) Nu có p – nhóm K mà ⊂ thì = Mc cui cùng ca ph n này giành ! nhc li nh lý Lagrage nói lên mi lin h gi"a cp ca nhóm vi nhóm con ca nó. # ây chúng ta không chng minh nh lý này vì nó là mt kt qu ca i s i c&ng và ã c chng minh chi tit trong nhi$u sách ph bin, chng hn i s i c&ng ca GS. TS Hoàng Xuân Sính. nh lý 1(nh lý Lagrage) Cho G là mt nhóm hu hn và H là mt nhóm con ca nó. Khi ó, = . Tip ta s phát bi!u mt nh lý c bn trong lý thuyt nhóm h"u hn, nh lý Sylow và vn dng nh"ng kin thc ã nêu trên ! chng minh chi tit nó. nh lý 2(nh lý Sylow) Cho G là mt nhóm hu hn, = = . i) Vi mi ∈ ≤ ≤ , t'n ti p – nhóm con ca G có cp . Nói riêng, t'n ti p – nhóm Sylow ca G và mi p – nhóm con Sylow u có cp . ii) Mi p – nhóm u nm trong mt p – nhóm con Sylow. iii) Mi p – nhóm con Sylow u liên hp vi nhau. iv) S các p – nhóm con Sylow là c ca m và 'ng d vi 1 mod p. Chng minh i) Gi S là tp tt c các nhóm con ca G có ph n t. Khi ó, = − − − = − + = = − − − + = − − − − + = − − = ∏ ∏ Nguyn Thanh Dng – K19 nh lý Sylow và áp dng 4 Ta s chng minh − + . Tht vy, tr%ng hp thì rõ ràng − + , còn nu = = thì − − − − = = ∀ = − suy ra − + . Xét ánh x × → = ∀ ∈ ∀ ∈ . Ki!m tra trc tip ta c * là mt tác ng ca G lên S. Theo công thc khai tri!n thành qu o ca S, − + ∈ − + = ∃ ∈ &t ′ ′ = ≤ ≤ − = . Ta s chng minh = . Tht vy, theo nh lý 1 ta có; − = = = = ′ = ≥ − ≥ Mt khác, ∀ ∈ = , mà = ∈ = = ⊂ suy ra = ≤ = . T' ó suy ra = suy ra là p – nhóm. Vy t(n ti p – nhóm con ca G th)a = . Cui cùng ta chng minh t(n ti p – nhóm con Sylow ca G. Theo chng minh trên, t(n ti p – nhóm con H ca G mà = . Gi s K là p – nhóm con ca G th)a ⊆ . Ta có ≥ , gi s = = . Nu > , t(n ti s nguyên t q sao cho ⇔ = ∈ = . Khi ó, = = . Li theo chng minh trên, t(n ti q - nhóm con F ca K mà = , suy ra trong K có ph n t a cp q. &i$u này không th! xy ra vì K là p – nhóm. Do ó, t = 1, tc = suy ra = . Vy H là p – nhom con Sylow và mi p – nhóm con Sylow $u có cp . ii) Gi s H là mt p – nhóm con ca G; K là p – nhóm con Sylow. Theo chng minh câu (i), = . Ký hiu là tp các lp ghép trái, th thì = . Nhóm H tác ng lên tp theo quy tc = ∀ ∈ ∈ . Khi ó = = ( là nhóm con n nh ca = ) Nguyn Thanh Dng – K19 nh lý Sylow và áp dng 5 Do H là p – nhóm nên gi s = . Ta có: = = ≤ ≤ ∃ = ∃ = = = = − − ∀ ∈ = = ∈ ⊂ − − − ⊂ = = !!"#!$ nm trong mt p – nhóm con Sylow. iii) Gi H, K là hai nhóm con sylow. Lp lun tng t nh (ii), ta c: − − − ∃ ∈ ⊂ = = = = Vy H và K liên hp vi nhau. iv) Ta chú ý rng nu H là nhóm con ca G thì s các nhóm con liên hp vi H bng: . Gi r là s các nhóm con Sylow ca G và H là mt nhóm con Sylow bt k* ca G. Do (iii), mi nhóm con liên hp vi H $u liên hp vi nhau nên suy ra: = Theo nh lý Lagrange, ta có: ′ = ⇔ = ( vì ′ = = ) . Cui cùng ta còn phi chng minh ≡ !% hay − . Gi X là tp các nhóm con Sylow ca G, ta có = . C nh mt ∈ , H tác ng liên hp lên X theo quy tc: − = ∀ ∈ ∈ . Ta có = = . Vì H là p – nhóm con Sylow nên = , do ó t' = = ≤ ≤ . Nguyn Thanh Dng – K19 nh lý Sylow và áp dng 6 Vi K = H thì − = ∈ = = , ta s chng minh nu ≠ trong X thì = ≠ . Tht vy, gi s có ∈ = thì lúc ó − − = ∈ = = ∀ ∈ = Suy ra KH là mt nhóm. Mt khác, theo công thc ch s nhóm ta có = = ∩ ∩ Suy ra KH là các p – nhóm hay cp ca KH là l+y th'a ca p. Nhng H, K là nh"ng p – nhóm con sylow ca G và ⊂ ⊂ nên H = KH = K. Nh vy trong X ch có H th)a tính cht = , còn = ≤ ≤ ∀ ≠ . Tóm li, ta có: ∈ ≠ ≠ ≠ = = = + = + − . BÀI TP Bài 1: Cho G là mt nhóm n và H là mt nhóm con ch s n trong G. Chng minh rng G là nhóm h"u hn và & Gii &t = ∈ , suy ra = . Vi mi ∈ , xét tng ng: → = Vi mi ∈ , ta có Nguyn Thanh Dng – K19 nh lý Sylow và áp dng 7 − − − − = ⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔ = ⇔ = Suy ra là n ánh, mà X h"u hn nên là song ánh, tc ∈ ( là nhóm các phép th). T' ó ta có ánh x: σ σ → = Vi mi ∈ , ta có: σ σ σ σ σ σ = ∀ ∈ = = = σ σ σ = Suy ra σ là (ng cu. Hn n+a, σ còn là n cu. Tht vy, vì σ ≤ mà G là nhóm n nên hoc σ = hoc σ = . Nu σ = thì σ = = ∀ ∈ . Khi ó, = = = ∀ ∈ = ∈ = ∀ ∈ = (mâu thu,n) Do ó, σ = hay σ là n cu. T' ó suy ra σ ≅ ≤ . &i$u này có ngh-a là G là nhóm h"u hn và σ = = & hay & . Bài 2: Cho G là mt nhóm h"u hn. Chng minh rng: = + Trong ó, = ∈ = ∀ ∈ = ∈ = . Gii Xét ánh x − × → = ∀ ∈ . Ki!m tra trc tip ta c * là mt tác ng ca nhóm G lên tp G (tác ng liên hp). Theo công thc phân tích thành qu o, ta có: ∈ = Mt khác, − = ∈ = = ∈ = = ∈ = = ∈ ⇔ = nên suy ra Nguyn Thanh Dng – K19 nh lý Sylow và áp dng 8 ∈ = + . Trong ó, ∈ là các ph n t không nm trong tâm. Bài 3 Chng minh rng mi nhóm cp > và cp ≠ $u không là nhóm n. Gii Xét nhóm G có cp > . Ta chng minh G không là nhóm n. Cách 1: Gi s G là nhóm n. Theo nh lý Sylow G có nhóm con H cp − và rõ ràng ch s ca H trong G bng p. Khi ó, theo bài 1, & hay & . &i$u này không th! xy ra khi n > 1. Vy G là nhóm không n. Cách 2: Theo công thc lp, ta có: = + Trong ó, = suy ra tc là nhóm con tht s khác 1 ca G. Hn n"a, là nhóm con chun tc ca G. Vy G không là nhóm n. Xét nhóm G có cp ≠ . Gi s q < p và gi là s tt c các p – nhóm con Sylow ca G. Khi ó, theo nh lý Sylow = − Gi H là p - nhóm con Sylow duy nht ca G. Khi ó, c+ng theo nh lý Sylow, mi p – nhóm con Sylow ca G $u liên hp vi nhau nên suy ra: − = ∀ ∈ . Nói cách khác, H là nhóm con chun tc ca G. Vy G không là nhóm n. Bài 4 Chng minh rng mi nhóm cp ≠ không là nhóm n. Gii Xét G là nhóm cp ≠ . Gi l n lt là s các p, q – nhóm con Sylow ca G. Gi s G là nhóm n. Khi ó, > > . Mt khác, > = ≡ > !% và > = ≡ !% Ta có = ngh-a là, s các q – nhóm con Sylow ca G là , mà mi q – nhóm con Sylow $u có cp q nên suy ra s các ph n t cp q trong G là − = − . (1) Ngoài ra, do ≥ và mi p – nhóm con Sylow có cp là nên s các ph n t cp là l+y th'a cùa p trong G phi ln hn − .(2) Nguyn Thanh Dng – K19 nh lý Sylow và áp dng 9 T' (1) và (2) suy ra > − + − + = Vy G không là nhóm n. Bài 5 Chng minh rng nhóm cp pqr (p,q,r là các s nguyên t ôi mt khác nhau) không là nhóm n. Gii Không mt tính tng quát ta gi s p < q < r. Xét G là nhóm cp qpr. Gi l n lt là s các p – nhóm con Sylow, q – nhóm con Sylow, r – nhóm con Sylow ca G. Gi s G là nhóm n, th thì > > > . Theo nh lý Sylow, ta có: < = = ≡ = !% < < = = ≡ !% < < = ≡ !% Khi ó, s các ph n t cp r trong G bng − = − . Theo (a) thì ≥ nên s các ph n t cp p ít nht là − Theo (b) thì ≥ nên s các ph n t cp q ít nht là − Suy ra ≥ − + − + − + = + − − > Vy G là không là nhóm n. Bài 6 Chng minh rng nhóm cp 24, 36 không là nhóm n. Gii Xét G là nhóm cp 24: Ta có = ' . Gi l n lt là s các 2 – nhóm con Sylow, 3 – nhóm con Sylow ca G. Gi s G là nhóm n th thì > > . Theo nh lý Sylow, ta c > = ≡ !% Mt khác, gi H là mt 2 – nhóm con Sylow ca G. Khi ó. = = & (mt) Vy G là không là nhóm n. Nguyn Thanh Dng – K19 nh lý Sylow và áp dng 10 Xét H là nhóm cp 36: Ta có = ( . Gi l n lt là s các 2 – nhóm con Sylow, 3 – nhóm con Sylow ca H. Gi s H là nhóm n th thì > > . Theo nh lý Sylow, ta c > = ≡ ' ' !% Mt khác, gi I là mt 2 – nhóm con Sylow ca H. Khi ó. = = ' '& (mt) Vy H không là nhóm n. Bài 7 Chng minh rng nhóm cp 56 không là nhóm n. Gii Xét G là nhóm cp 56. Ta có = )( * . Gi * l n lt là s các 2 – nhóm con Sylow, 7 – nhóm con Sylow ca G. Gi s G là nhóm n th thì > > * . Theo nh lý Sylow, ta có > = ≡ * * * * + + !% * Suy ra s ph n t cp 7 trong G là − = * * '+ . Mt khác, ≥ nên, s các ph n t cp là l+y th'a ca 2 ln hn − = * . Do ó, > + + = '+ * )( (mt) Vy G không là nhóm n. Bài 8 Chng minh nhóm cp 72, 80, 96, 108, 150, 154, 160 không là nhóm n. Gii Gi s G là nhóm cp n. Ta xét các tr%ng hp n = 72: Ta có = * . Gi là s các 3 – nhóm con Sylow ca G. Gi s G là nhóm n, th thì > . Theo nh lý Sylow, ta c: > = ≡ + ' !% Mt khác, gi H là mt 3 – nhóm con Sylow ca G. Khi ó, = = ' . Theo bài tp 1, '& (mt). Vy G không là nhóm n. n = 80: Ta có = ' + ) . Gi ) l n lt là s các 2 – nhóm con Sylow, 5 – nhóm con Sylow ca G. Gi s G là nhóm n, th thì > > ) . Theo nh lý Sylow, ta c: . lên tp hp, nhóm con n nh, qu o, nhm phc v cho vic chng minh nh lý Sylow. Tác ng ca mt nhóm lên mt tp hp nh ngha Cho (G,.) là mt nhóm , X là mt tp khác rng. Tác. xét 2 T mnh 1.6 cho ta = = , kt hp vi mnh 1.5, công thc phân tích X thành qu o tr thành ∈ = . Nhc li: Cho G là mt nhóm và. qu o ca x trong X. Tip n ta xem xét mt s tính cht ca và G(x). Mnh 1 Cho tp ≠ ∅ , tp các qu o ∈ lp thành mt phân hoch trên X. Tc vi ∈