Nguyn Thanh Dng – K19 Nhóm gii c 0 Trong phn này chúng ta s nghiên cu lp các nhóm mà chúng có th c xây dng t nhóm aben bng cách lp li nhng hình thc m rng, s lý nhng nhóm hu hn mà nhng nhóm hu hn này c xây dng t nhng nhóm n gin. NHÓM GII C nh ngha Cho G là mt nhóm. Mt dãy aben trong G là dãy các nhóm con = = tha iu kin + là nhóm aben ∀ = . nh ngha Nhóm G c gi là gii c nu nó có mt dãy aben. Ví d: 1) Rõ ràng mi nhóm aben u gii c. 2) Nhóm là gii c (nhng không aben) vi dãy aben . Cm: − − − +∀ ∈ ∀ ∈ = = ∈ = + = nh ngha Cho G là mt nhóm gii c. dài ngn nht ca các dãy aben trong G c gi là dài dn xut ca G. c bit, nu dài dn xut cùa G nh hn hoc bng 2 thì ta gi G là nhóm metabelian. Nhn xét: Cho G là nhóm gii c. 1) dài dn xut ca G bng 0 khi và ch khi G có cp 1 2) dài dn xut ca G nh hn hoc bng 1 khi và ch khi G là nhóm aben Tính cht ca nhóm gii c nh lý 1 Cho G là nhóm gii c, N là nhóm con ca G. Ta có các khng nh i) N gii c. ii) Nu thì gii c. iii) Nu và c N và gii c thì G gii c. Chng minh Gi s = = là dãy Abel ca G. Nguyn Thanh Dng – K19 Nhóm gii c 1 i) Xét dãy nhóm con ∩ = . D thy rng = ∩ ∩ ∩ = . Ta ch còn phi chng minh + ∩ ∩ là nhóm Abel. Tht vy, theo nh lý ng cu nhóm ta có + + + + + + + + + ∩ ∩ ∩ = ≅ ∩ ∩ ∩ ∩ ⊂ ∩ ∩ ⊂ ⊂ + − + ∩ − ∩ . ii) Do nên . Xét dãy nhóm con = . Vì + nên + , do ó, ta có dãy = = . Cui cùng ta ch cn chng minh là nhóm Abel. Theo nh lý ng cu nhóm ta có + + + ≅ ∩ ⊂ ⊂ ∩ iii) Gi s là nhng nhóm gii c vi các chui Abel tng ng là: = = và = = . Khi ó, = = là chui Abel ca G. Vy G là nhóm gii c. nh lý 2 Tích ca hai nhóm con chun tc gii c là gii c. Nguyn Thanh Dng – K19 Nhóm gii c 2 Chng minh Gi s và N, M là hai nhóm gii c. Vì nên . Mt khác, ≅ ∩ mà ∩ gii c nên gii c. Vy MN gii c. NHÓM LY LINH nh ngha Cho nhóm G. Tâm ca G là nhóm = ∈ = ∀ ∈ . Nhn xét: 1) Tâm ca G là nhóm con giao hoán, chun t c ca G. 2) ( ) − − ⊂ ⇔ ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ nh ngha Mt nhóm G c gi là nhóm ly linh nu nó có mt chui tâm. Ngha là, có mt dãy các nhóm con = ≤ ≤ ≤ = Tha mãn hai iu kin: 1) ∀ = 2) + ⊂ ∀ = dài ca chui tâm ngn nht trong G c gi là lp ly linh ca G. Nhn xét: 1) Nhóm có lp l!y linh 0 là nhóm n v 2) Nhóm có lp l!y linh bé hn 2 là nhóm Abel 3) Nhóm l!y linh là nhóm gii c. Ngc li không úng, ví nh S 3 . nh lý 3 p nhóm hu hn là nhóm ly linh. Chng minh Gi s G là mt p – nhóm. Ta xét hai tr"ng hp Trng hp 1: Cp ca G bng mt thì G = 1, suy ra G l!y linh. Trng hp 2: Cp ca G ln hn mt. Khi ó, = ≥ . Ta s chng minh mi nhóm có cp ≥ là l!y linh bng quy np theo . • = , suy ra cp ca nhóm là nên nó abel và do ó nó l!y linh. • Gi s mi nhóm có cp ≤ < u l!y linh . Ta cn chng minh nhóm cp c!ng là nhóm l!y linh. Tht vy, gi s là nhóm cp > . Ta có: ( ) > > ≠ Nguyn Thanh Dng – K19 Nhóm gii c 3 Do ó, ( ) = < ( vì ( ) ( ) = ). Theo gi thi#t quy np ( ) l!y linh. Suy ra t$n ti dãy tâm ( ) = ≤ ≤ ≤ = , sao cho ( ) và ( ) + ⊂ Xét toàn cu chi#u ( ) φ → . %t ( ) φ − + = = , = . Khi ó ta có dãy nhóm con ( ) + = ≤ = ≤ ≤ = (*) th&a = . Ta còn phi chng minh (*) là dãy tâm, ngh'a là + ⊂ ∀ = . Tht vy, + ∀ ∈ ∀ ∈ . Ta có ( ) ( ) ( ) φ φ ∈ ∈ . Do ó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ φ φ φ − − − − − = ∈ (vì ( ) − − ⊂ ) Suy ra ( ) φ − − − − ∈ = . Vy (*) là dãy tâm, nên G là nhóm l!y linh. nh lý 4 Lp các nhóm ly linh óng i vi phép ly nhóm con, nhóm thng và tng tr c tip hu hn. Ngha là, 1) G ly linh, ≤ N ly linh 2) G ly linh, ly linh 3) A, B ly linh ⊕ ly linh Chng minh 1) Gi s = ≤ ≤ ≤ ≤ = là chui tâm ca G. Khi ó, dãy nhóm con = ∩ ≤ ∩ ≤ ∩ ≤ ≤ ∩ = Là chui tâm ca N. Tht vy, rõ ràng ∩ ∀ . Ta ch còn phi chng minh ∀ = , + ∩ ⊂ ∩ ∩ . Vi + ∈ ∩ ∈ , ta có Nguyn Thanh Dng – K19 Nhóm gii c 4 − − − − − − + ∈ ∈ ∩ ∈ ⊂ + ∩ ⊂ ∩ ∩ . 2) Gi s = ≤ ≤ ≤ ≤ = là chui tâm ca G. Vì nên ∀ . Xét dãy các nhóm con = (*). Khi ó, +) ∀ ∈ ∈ ta có: − − − − = ∈ ∈ +) + ∀ ∈ ∈ ta có: − − − − − − − − − − − − − + − = = ⊂ ∈ ∈ ∈ + + ≅ ⊂ ≅ . Vy (*) là chui tâm ca , tc, là nhóm l!y linh. 3)Nhn xét rng n#u = ≤ ≤ ≤ = là chui tâm ca G thì chui + + = ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ = vi + = , c!ng là chui tâm ca G. Do vy, vi hai nhóm l!y linh ta có th gi s chui tâm ca chúng có dài bng nhau. Gi s A, B là hai nhóm l!y linh vi chui tâm tng ng = ≤ ≤ ≤ = và = ≤ ≤ ≤ = . Xét dãy các nhóm con = ⊕ ≤ ⊕ ≤ ≤ ⊕ = ⊕ . Ta thy, Nguyn Thanh Dng – K19 Nhóm gii c 5 +) Vì nên ⊕ ⊕ . +) Vi mi + + ∈ ⊕ ∈ ⊕ , ta có − − − − − − − − − − − − + − − + = ⊂ ∈ ∈ ⊕ ⊂ ∈ + + ⊕ ⊕ ⊂ ⊕ ⊕ Vy (*) là chui tâm ca ⊕ , hay ⊕ là nhóm l!y linh. . mà nhng nhóm hu hn này c xây dng t nhng nhóm n gin. NHÓM GII C nh ngha Cho G là mt nhóm. Mt dãy aben trong G là dãy các nhóm con = = tha. = + = nh ngha Cho G là mt nhóm gii c. dài ngn nht ca các dãy aben trong G c gi là dài dn xut. bit, nu dài dn xut cùa G nh hn hoc bng 2 thì ta gi G là nhóm metabelian. Nhn xét: Cho G là nhóm gii c. 1) dài dn xut ca G bng 0 khi và ch khi G có cp 1 2) dài dn