ĐỀ THI HSG KHHOOIS 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2 điểm) 1) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 2 m = 4x + 3m x -6 2) Xác định các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là số nguyên. Câu II (2 điểm) 1) Chứng minh rằng: sin3x = 3sinx – 4sin 3 x 2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: ( ) 1 2 1 2 m x m x − + < + − . Câu III (3 điểm) 1) Giải các bất phương trình : 2 23 2 2 2 > ++ xx x 2) Tìm m để biểu thức sau luôn dương : mxmxxf 3)2(2)( 2 ++−= 3) Giải hệ phương trình 7 2 5 2 1. x y x y x y x y  + + + =   − + + =   Câu IV (2 điểm) 1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và · 0 60 .BAC = Các điểm M, N được xác định bởi 2MC MB= − uuur uuur và 2NB NA= − uuur uuur . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ ABC có A(1;3), B(2;-4) và C(0;6) a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH b) Tính diện tích của ∆ ABC Câu V (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2 2 2 23 0x y x y+ − + − = . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(7 ; 3) và cắt (C) tại hai điểm B, C sao cho AB = 3AC. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: ĐÁP ÁN CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu I 1) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 2 m = 4x + 3m x -6 2) Xác định các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là số nguyên. 2 đ I.1 (1đ) Tập xác định của PT là ¡ . PT ⇔ (m 2 - 4)x = 3m + 6 ( ) ( ) ( ) m - 2 m + 2 x = 3 m + 2⇔ Khi m -2 m 2≠ ∧ ≠ thì PT có nghiệm duy nhất 3 x = m - 2 Khi m = 2 thì phương trình trở thành 0x = 12 nên vô nghiệm Khi m = -2 thì phương trình trở thành 0x = 0 nên có nghiệm tuỳ ý I.2 (1đ) Khi m -2 m 2≠ ∧ ≠ thì PT có nghiệm duy nhất 3 x = m - 2 ( ) 3 x = m - 2 3 m - 2 ∈ ⇔¢ m -2 = -1; 1; -3; 3⇔ m =1; 3; -1; 5⇔ ( thoả mãn đk) Vậy các giá trị của m thỏa mãn ycbt : m = -1, m = 1, m = 3, m = 5 CâuII 1) Chứng minh rằng: Sin3x = 3sinx – 4sin 3 x 2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: ( ) 1 2 1 2 m x m x − + < + − . 2,0 đ II.1 (1,00đ) Sin( x + 2x) =sinx.cos2x + sin2x.cosx 0,25 = sinx(1-2sin 2 x) + 2sinx.cos 2 x 0,25 = sinx – 2sin 3 x + 2sinx(1 – sin 2 x) 0,25 = 3sinx – 4sin 3 x 0,25 II.2 (1,00đ) BPT ⇔ ( 1)( 2) (1 ) 2 0 2 m x m x x + − + − − > − ⇔ ( 2) 0 2 x m x − + > − 0,25 Nếu m = 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi x ≠ 2 0,25 Nếu m > 0 thì m + 2 > 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi ( ;2) ( 2; )x m∈ −∞ ∪ + +∞ 0,25 Nếu m < 0 thì m + 2 < 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi ( ; 2) (2; )x m∈ −∞ + ∪ +∞ 0,25 Câu III 1) Giải các bất phương trình : 2 23 2 2 2 > ++ xx x 2) Tìm m để biểu thức sau luôn dương : mxmxxf 3)2(2)( 2 ++−= 3) Giải hệ phương trình 7 2 5 2 1. x y x y x y x y  + + + =   − + + =   3 đ III.1,2 (1,75đ) +Đưa về bpt thương (VP=0) 0,5 +Lập bảng xét dấu 0,25 +Kết luận nghiệm 0,25 +Chỉ ra được 0 <∆ +Lập được ∆ 0,25 +Giải được 0,25 III.3 (1,25đ) Điều kiện 7 0 2 0 x y x y + ≥   + ≥  ; Đặt 7 0 2 0 u x y v x y  = + ≥   = + ≥   ⇒ 2 2 7 2 u x y v x y  = +   = +   ⇒ 2 2 5 u v x − = và 2 2 7 2 5 v u y − = 0,25 HPT trở thành: 2 2 2 2 5 7 2 5 5 u v u v v u v + =    − − + + =   ⇔ 2 2 5 3 8 5 5 0 u v u v v + =    − + − =   0,25 ⇔ 2 2 5 3(5 ) 8 5 5 0 u v v v v = −    − − + − =   ⇔ 2 5 5 25 70 0 u v v v = −    − − + =   ⇔ 2 5 5 14 0 (*) u v v v = −    + − =   0,25 (*) ⇔ v = 2 (nhận) hoặc v = −7 (loại) ; nên HPT trên ⇔ 3 2 u v =   =  0,25 Do đó HPT đã cho trở thành 7 9 1 2 4 2 x y x x y y + = =   ⇔   + = =   (phù hợp) 0,25 Câu IV 1)Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và · 0 60 .BAC = Các điểm M, N được xác định bởi 2MC MB= − uuur uuur và 2NB NA= − uuur uuur . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. 2)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ ABC có A(1;3), B(2;-4) và C(0;6) a) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao BH b) Tính diện tích của ∆ ABC 2,0 đ IV.1 (1đ) Ta có: 2 2( ) 3 2MC MB AC AM AB AM AM AB AC= − ⇔ − = − − ⇔ = + uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur 0,50 Tương tự ta cũng có: 3 2CN CA CB= + uuur uuur uuur 0,25 Vậy: 0 (2 )(2 ) 0AM CN AM CN AB AC CA CB⊥ ⇔ × = ⇔ + + = uuuur uuur uuur uuur uuur uuur 0,25 ⇔ (2 )( 3 ) 0AB AC AB AC+ − = uuur uuur uuur uuur ⇔ 2 2 2 3 5 . 0AB AC AB AC− − = uuur uuur 0,25 ⇔ 2 2 5 2 3 0 2 bc c b− − = ⇔ 2 2 4 6 5 0c b bc− − = 0,25 IV.2 (1đ) * Pt đường cao AH: AH ⊥ BC nên nhận BC uuur làm vtpt 0,25 Đường cao AH đi qua A(1;3) có vtpt BC uuur =(-2;10) nên có pttq: -2(x-1) + 10(y-3)=0 5 14 0x y⇔ − + − = 0,25 Độ dài đường cao AH của tam giác chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC. Ta có: 2 5.1 3 6 2 26 ( ; ) 13 26 5 1 d A BC + − = = = + ; 2 26BC = . Suy ra S = 2 (đvdt) 0,5 Câu V Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2 2 2 23 0x y x y+ − + − = . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(7 ; 3) và cắt (C) tại hai điểm B, C sao cho AB = 3AC. 1,0 đ V (1,00đ) (C) có tâm I (1 ;-1), bán kính R = 5. 0,25 52 5AI = > ⇒ A nằm ngoài (C). Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó HB HC AC= = và IH BC⊥ . Từ các ∆ vuông IHB và IHA ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 IH IB HB IB HB IA HA R AC IA AC IH IA HA  = −  ⇒ − = − ⇔ − = −  = −   2 2 2 9 3 3, 4 3 AI R AC AC HB IH − ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = 0,25 Đt ∆ đi qua A(7 ;3) và có VTPT n r (a ; b), 2 2 0a b+ ≠ có pt 2 2 ( 7) ( 3) 0. ( , ) 4 3 2 2a x b y d I a b a b− + − = ∆ = ⇔ + = + 2 2 2 2 2 12 9 12 4 4( ) 5 12 0 0, 5 a ab b a b a ab a a b⇔ + + = + ⇔ + = ⇔ = = − 0,25 Với a = 0, chọn b = 1 ta được : 3 0y∆ − = Với 12 5 a b= − , chọn b = 5 ta được a = -12. Pt : 12 5 69 0x y∆ − + + = A H I C B 0,25 . TẠO PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT TRẦN SUYỀN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2 điểm) 1) Giải và. nên nhận BC uuur làm vtpt 0,25 Đường cao AH đi qua A(1;3) có vtpt BC uuur =(-2 ;10) nên có pttq: -2(x-1) + 10( y-3)=0 5 14 0x y⇔ − + − = 0,25 Độ dài đường cao AH của tam giác chính là khoảng