chuyên đề phương pháp động lực học chất điểm

Mở đầu - Cơ học lý thuyết là một môn khoa học nghiên cứu quy luật chung nhất về chuyển động, nghiên cứu chuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên nhân gây ra chuyển động., sự tư

KHOA VẬT LÝ

Chuyên đề: Phương pháp Động lực học



Môn học: Cơ học 1 Sinh viên: Huỳnh Thị Tám Lớp: Lý 1B

Khóa học: 2011-2015 Giáo viên hướng dẫn: Đoàn Tử Nghĩa

Huế, 1/2012

MỤC LỤC



Mở đầu 03

Phần A: Cơ sở lý thuyết I Các định luật Newton 04

1 Định luật I Newton 04

2 Định luật II Newton 04

3 Định luật II Newton 06

II Nguyên lý tương đối Galileo 06

1 Phép biến đổi Galileo 06

2 Định lý cộng vận tốc 07

3 Nguyên lý tương đối Galileo 07

III Phương pháp động lực học 07

1 Phương pháp động lực học-các nguyên tắc cơ bản 08

2 Trình tự giải các bài toán bằng phương pháp động lực học 08

IV Các bài toán động lực học 09

1 Các bài toán thuận của động lực học 09

2 Các bài toán ngược của động lực học 09

Phần B: Một số bài tập ví dụ Bài 1 10

Bài 2 11

Bài 3 12

Bài 4 13

Bài 5 14

Bài 6 16

Bài 7 17

Bài 8 19

Bài 9 20

Bài 10 22

Kết luận 23

Mở đầu

- Cơ học lý thuyết là một môn khoa học nghiên cứu quy luật chung nhất về chuyển động, nghiên cứu chuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên nhân gây ra chuyển động., sự tương tác của các lực trong không gian theo thời gian Tất cả các nguyên lý của các ngành cơ học ứng dụng khác đều dựa trên phương pháp và kết quả của cơ học lý thuyết Trong đó động lực học nói chung và động lực học chất điểm nói riêng là một nhánh quan trọng của cơ học Chuyên nghiên cứu về chuyển động và nguyên nhân gây ra những chuyển động đó

- Bằng cách sử dụng các phương pháp động lực học, phương pháp năng lượng và ứng dụng một số các nguyên lý, định lý, định luật như: nguyên lý Galileo, các định luật Newton, các định luật bảo toàn năng lượng,… Chúng ta xác định được các hiện tượng cơ học của chuyển động đó và một số đại lượng có liên quan

- Bản thân là sinh viên Sư phạm,chuyên nghành sư pham Vật Lý nên không chỉ dừng lại ở việc học tập và nghiên cứu chương trình phổ thông mà cần phải đi sâu vào nghiên cứu

cá hiện tượng cơ học của chuyển động, đồng thời khám phá ra nội dung quan trọng của phần

“động lực học chất điểm”, mở rộng sự hiểu biết và tiếp cận những vấn đề mới Hiểu rõ được tầm quan trọng cũng như sự cần thiết của phần động lực học chất điểm với sinh viên khoa Vật Lý nên tôi chọn vào việc đi sâu nghiên cứu lý thuyết và phương pháp giải bài tập động lực học chất điểm

Phần A: Cơ sở lý thuyết:

Động lực học nghiên cứu mối quan hệ giữa sự biến đổi trạng thái chuyển động của vật

và nguyên nhân làm biến đổi trạng thái của chuỵển động đó Phần này nghiên cứu đến mối quan hệ giữa gia tốc hướng tâm của chất điểm, hệ chất điểm với các lực tác dụng lên nó Các phương pháp động lực học rút ra chỉ được áp dụng lên nó Vì thế, khi nói “vật”, ta hiểu vật

đó là chất điểm Cơ sở của động lực học vĩ mô là các định luật Newton và nguyên lí Galileo

- Chất điểm đứng yên: v = 0

- Chất điểm chuyển động thẳng đều: v=const

Cả hai trạng thái trên vận tốc của chất điểm đều không thay đổi

Tổng quát: v=const

Ý nghĩa của định luật I Newton: Định luật I Newton cho ta cách tìm, xác định hệ quy chiếu quán tính-đó là hệ quy chiếu mà trong đó định luật I Newton được nghiệm đúng Rõ ràng cách xác định hệ quy chiếu theo cách này đơn giản hơn là dựa vào các định luật cơ bản

về năng lượng Do đó, định luật I Newton còn được gọi là định luật quán tính

Còn xu hướng bảo toàn vận tốc của vật được gọi là quán tính

2 Định luật II Newtơn:

a) Khái niệm về lực:

Trong cuộc sống ta thấy rõ hiện tượng vật này tác dụng và vật kia Chẳng hạn như: khi nâng một vật lên cao, tay ta đã tác dụng vào vật và vật đã đè lên tay ta; khi ta để nam châm gần dinh sát thì nó sẽ hút đinh sắt;… Để đặc trung cho các tác dụng đó, người ta đưa ra khái niệm về lực

Lực là đại lượng vật lý đặc trung cho tác dụng của vật này vào vật khác, là số đo của tác động cơ học do các đối tượng khác tác động vào vật Số đo ấy đặc trung cho hướng và

độ lớn của lực tác dụng.

Lực được kí hiệu là F (Force) Trong hệ SI, lực có đơn vị là Newtơn (N) Lực là một đại lượng vectơ (F)và là một khái niệm cơ bản của động lực học

-Công thức định nghĩa lực: F =m a

- Phương của lực F : cho biết phương tác dụng

-Chiều của lực F : cho biết chiều tác dụng

-Độ lớn của F : cho biết độ anh yếu (cường độ) tác dụng

-Điểm đặt F : cho biết vị trí (điểm) chịu tác dụng

Dưới tác dụng của lực, vật có thế thu gia tốc hoặc bị biến dạng Phần này không nghiên cứu sự biến dạng của vật, chỉ nghiên cứu quan hệ giữa gia tốc của chất điểm với các lực tác dụng vào nó.

Nếu tổng vecto của hai lực đặt vào chất điểm bằng không thì sự có mặt của các tác động đo bởi các lực đó không được phản ánh trong chuyển động của chất điểm hai lực như vậy gọi hai lực cân bằng

Trong cơ học, ta phân biệt ba loại lực:

+Các lực hút tương hỗ giữa các vật gọi là lực hấp dẫn

+Các lực xuất hiện khi các vật tiếp xúc trực tiếp tác dụng lên nhau, các lực này có chung bản chất là lực đàn hồi

+Các lực là kết quả của của sự tương tác giữa hai vật tiếp xúc nhau, chuyển động tương đối với nhau, các lực này gọi là lực ma sát

b) Khái niệm về khối lượng

Mọi vật đều có xu hướng bảo toàn trạng thái chuyển động ban đầu của mình Thuộc tính đó gọi là quán tính của vật Mức quán tính của vật được đặt trưng bởi một đại lượng vật

lý, đó là khối lượng Ta nói, khối lượng là số đo mức quán tính của vật

Quán tính của vật thể hiện ở gia tốc mà nó thu được khi có ngoại lực tác dụng và được định lượng bởi định luật II Newton: F=ma Ta thấy, cùng với một lực tác dụng, trạng thái chuyển động biến đổi càng nhỏ (gia tốc cầng nhỏ) khi khối lượng (quán tính) của vật càng lớn, và ngược lại

Khối lượng còn là đại lượng đặc trung cho mức hấp dẫn giữa vật này và vật khác Theo Newton, lực hấp dẫn giữa Trái Đất và vật là F=mg Như vậy, đối với cùng một vật, ta có thể viết F=mia và F=mgg Trường hợp thứ nhất, khối lượng là số đo quán tính của vật, nê gọi là khối lượng quán tính và được ks hiệu là mi Trường hợp thứ hai, khối lượng là số đo tương tác hấp dẫn của vật với Trái Đất, nên gọi là khối lượng hấp dẫn và được kí hiệu là mg

Tuy nhiên, trong sự rơi tự do mọi vật đều có cùng gia tốc a=g, suy ra khối lượng quán tính và khói lượng hấp dẫn bằng nhau về trị số mi=mg=m

Hệ thức trên là một trong những kết luận vững chắc nhất của vật lý hiện đại Trên cơ sở

đó, ta đi đến khái niệm về khối lượng như sau: Khối lượng là số đo mức quán tính của vật và mức hấp dẫn của vật đối với vật khác Trong hệ SI, đơn vị đo khối lượng là kilogam (kg) và

là một trong 7 đơn vị cơ bản

c)Phát biểu định luật II Newton:

Khi vật chịu tác dụng của ngoại lực F , nó sẽ thu một gia tốc a theo hướng của lực, tỉ

lệ thuận với lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật

m

F a

F m

F m

F

i hl

Định luật II Newton được phát biểu ở trên được coi là cơ sở của động lực học chất điểm

Về phương diện logic, định luật II Newton bao quát cả định luật I Newton và coi rằng định luật 1 là một trương hợp riên của định luật 2 Thật vậy, xét trường hợp hợp lực tác dụng

lên hạt bằng 0 thì từ phương trình trên suy ra a là vecto không hay v=const, nghĩa là hạt đứng yên hay chuyển động thẳng đều Tuy nhiên, do vai trò quan trọng của định luật I

Newton là giúp ta xác định các hệ quy chiếu quán tính nên định luạt I Newton có thể được coi là một dịnh luật riêng biệt

Trong vật lý, người ta coi phương trình định luạt II Newton là phương trình cơ bản của

cơ học Tính cơ bản của nó được thể hiện ở hai điểm sau:

+Trước hết, vì nó mô tả mối quan hệ giữa tương tác (lực) và chuyển động (gia tốc)

Từ phương trình này ta sẽ xác định được kết quả chuyển động (vị trí hạt, vận tốc, gia tốc, ) nếu tìn được lực tương tác đặt vào hai hạt Nói cách khác nó cho ta xác định được nhiệm vụ

cơ bản của mọi bài toán cơ học là xác định được kết quả của chuyển động trong mối tương

quan động lực học Cho nên người ta gọi phương trình này là phương trình động lực học chất điểm.

+Một hệ dù phức tạp đều là tổng hợp của các hạt Vận dụng phương trình định luật II Newton cho mỗi hạt trong hệ, ta sẽ tìm được quy luật chuyển động của hạt trong hệ từ đó xác định được các đặt tính của hệ Đo đó, về nguyên tắc chỉ cần vận dụng phương trình đó cho mỗi hạt ta sẽ xác định được trạng thái tương lai của hệ nếu biết được trạng thái ban đầu và

các lực đặt vào hệ Từ đó, trong vật lý xuấ hiện một phương pháp rất cơ bản gọi là phương pháp độn lực học.

3 Định luật III Newtơn:

Phát biểu: Lực tương tác lẫn nhau giữa hai vật là một cặp lực trực đối, nghĩa là chúng cùng giá, ngược chiều và bằng nhau về độ lớn

Định luật 3 Newton chỉ ra rằng lực không xuất hiện riêng lẻ mà xuất hiện theo từng cặp động lực-phản lực (cặp lực trực đối) Nói cách khác, lực chỉ xuất hiện khi có sự tương tác qua lại giữa hai hay nhiều vật với nhau

Trong tương tác giữa hai vật A và B Nếu A tác dụng một lực FABlên B, thì B cũng gây ra một lực FBAlên A và FAB = −FBA

Hơn nữa, trong tương tác, A làm thay đổi động lượng của B bao nhiêu thì động lượng của A cũng bị thay đổi bấy nhiêu theo chiều ngược lại

II Nguyên lý tương đối Galileo

1 Phép biến đổi Galileo

Cho hai hệ quy chiếu Oxyz và O'x'y'z' với các giả thiết: các trục Ox', Oy', Oz' theo thứ

tự song song và cùng chiều với các trục Ox, Oy,Oz khi t=0, O'

trùng với O Hệ O' chuyển động với vận tốc v0 (đối với hệ O

đứng yên) theo phương Ox Với mỗi hệ tọa độ ta gắn vào một

đồng hồ để chỉ thời gian

Xét một hệ chất điểm M bất kì: tại thời điểm t chỉ bởi

đồng hồ của hệ O, M có tọa độ trong hệ O là x, y,z; các tọa độ

thời gian và không gian tương ứng của M trong hệ O' là t', x',

y', z' Theo các quan điểm của Newton:

*Thời gian có tính tương đối độc lập đối với mọi hệ quy chiếu:

t=t'

*Vị trí của M trong không gian được xác định tùy theo hệ quy chiếu Từ hình vẽ, ta có:

M O OO

z

MO'

Hay dưới dạng tọa độ:

t v x

x = ' + 0 ; y =y'; z =z'

và ngược lại: x' =x−v0t; y' =y ; z'=z; t' =t

Các công thức trên gọi là các phép biến đổi Galileo, chúng cho ta cách chuyển tọa độ trong không gian, thời gian từ hệ quy chiếu O' sang hệ quy chiếu O và ngược lại

Từ phép biến đổi Galileo, ta suy ra các tính chất sau đây:

-Vị trí không gian có tính chất tương đối phụ thuộc hệ quy chiếu, do đó chuyển động có tính tương đối phụ thuộc hệ quy chiếu

-Khoảng cách khong gian có tính tuyệt đối, khong phụ thuộc hệ quy chiếu

-Tính chất tuyệt đối của thời gian: khoảng thời gian mà mội sự kiện xảy ra khong thay đổi không phụ thuộc hệ quy chiếu

Nếu hệ O' chuyển động tịnh tiến đối với hệ O thì đạo hàm

theo thời gian đẳng thức này, với chú ý rằng dt=dt' ta được:

dt

OO d dt

r d dt

v là vận tốc của O' đói với hệ O

Định lý cộng vận tốc biểu thị mối quan hệ của vận tốc đối với hai hệ quy chiếu

3 Nguyên lý tương đối Galileo

Xét chuyển động của một chất điểm trong hai hệ quy chiếu O và O' đã nói ở trên Giả thiết rằng hệ O là một hệ quán tính Hệ quy chiếu O' chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu O với vận tốc v0 Theo trên, trong hệ O' các định luật Newton được thỏa mãn Vì vậy,

ta viết phương trình dịnh luật II Newton trong hệ O:

F a

m = Trong đó:a là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O

F là tổng hợp lực tác dugj lên chất điểm

Gọi a' là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O'

Từ định lý cộng vận tốc và từ t=t', ta có:

dt

v d dt

v d dt

v d dt

v

d (' ) 0 '

= +

= nghĩa là a' =a

Vậy: m a =F ⇔m a' =F

Phương trình trên chính là phương trình động lực học của chất điểm trong hệ O' Như vậy, định luật II Newton cũng thỏa mãn trong hệ O' Điều đó chứng tỏ hệ O' cũng là hệ quán tính Từ đó ta có thể phát biểu:

Mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều với một hệ quy chiếu quán tính cũng là hệ quy chiếu quán tính.

Hay: Các định luật cơ học đều được phát bêu như nhau trong mọi hệ quy chiếu.

Đó là những phát biểu khác nhau trong nguyên lý tương đối Galileo

III.Phương pháp động lực học

1.Phương pháp động lực học - các nguyên tắc cơ bản

Phương pháp động lực học là phương pháp sử dụng các phương trình động lực học để giải các bài toán chuyển động Đối với chất điểm, trong hệ quy chiếu quán tính, đó chính là các định luật Newton

Khi sử dụng các phương pháp định luật Newton thì định luật II là phương trình cơ bản (định luật I coi là trường hợp riêng của định luật II), còn định luật III được sử dụng như những phương trình phụ giúp ta loại bỏ các cặp lực tương hỗ để đơn giản hóa cách giải.Nếu hệ gồm nhiều hạt, ta phải viết cho mỗi hạt một phương trình định luật II Newton

hệ phương trình vô hướng

2 Trình tự giải bài toán bằng phương pháp động lực học

Để giải bài toán động lực học ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đọc kỹ bài ra, phân tích hiện tượng cơ học xảy ra trong bài toán để thấy được mối liên hệ giữa các lực, để vẽ đúng chiều các lực (ví dụ nếu không biết được chiều trượt của vật, ta không biết được chiều của lực ma sát trượt) Xác định cá dữ kiện và ẩn số

Vẽ hình và biểu diễn đầy đủ các lực tác dụng lên từng hạt trên hình vẽ

Bước 2: Viết cho mỗi hạt một phương trình động lực học dạng vecto (tức là phương trình định luật 2 Newton) Trong mỗi phương trình phải viết đầy đủ các lực tác dụng lên hạt.Bước 3: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp rồi chiếu các phương trình vecto lên trục tọa độ,

ta được hệ phương trình vô hướng Việc chon hệ trục tọa độ về nguyên tắc là tùy ý, song nên chọn sa cho khi chiếu các phương trình vecto xuống các trục đã chọn có dạng đơn giản nhất Nếu ẩn số nhiều hơn số phương trình vô hướng thu được thì ta phải tìm thêm các phương trình phụ Đó là các phương trình liên hệ các lực hoặc các phương trình liên hệ giữa các đặc trưng động học như vận tốc, gia tốc, quãng đường, giữa các hạt hoặc cùng một hạt Việc tìm ra các phương trình phụ này sẽ dể dang nếu bước phân tíc các hiện tượng cơ học xảy ra tiến hành kỹ lưỡng

Bước 4: Khi tổng số phương trình vô hướng và các phương trình phụ bằng ẩn số của bài toán thì ta tiến hành giải các phương trình đó để tìm ẩn số

-Nếu biết các lực, ta xác đình được các đại lượng động học (bài toán thuận): Tính gia tốc rồi suy ra vận tốc và vị trí bằng phương pháp tích phân

-Nếu biết chuyển động, ta tính được các lực tác dụng (bài toán nghịch)

Bước 5: Kiểm tra và biện luận

IV Các bài toán động lực học:

Trong động lực học, người ta chia làm hai loại bài toán sau đây:

Bài toán thuận của động lực học là biết chuyển động của chất điểm, xác định lực gây

Để giải loại bài toán này, trước tiên cần phải xác định gia tốc của chất điểm, sau đó sẽ

áp dụng công thức để tìm lực tác dụng lên chất điểm

2 Bài toán ngược của động lực học

Để giải bài toán ngược cần xác định cụ thể các lực tác động lên từng chất điểm, sau

đó áp dụng tìm gia tốc mà chất điểm thu được Nếu biết vận tốc và vị trí ban đầu của chất điểm thì bằng cách lấy tích phân của gia tốc a ta có thể xác định được vận tốc và tọa độ của chất điểm theo thời gian, nghĩa là có thể biết được phương trình chuyển động cũng như phương trình quĩ đạo của chất điểm

Phần B: Một số bài tập ví dụ:

không giãn, khối lượng không đáng kể Khối lượng 2 vật là mA = 2kg, mB = 1kg, ta tác dụng vào vật A một lực F = 9N theo phương song song với mặt bàn Hệ số ma sát giữa hai vật với mặt bàn là m= 0,2 Lấy g = 10m/s2 Hãy tính gia tốc chuyển động

- Chiếu (1) lên Ox, ta được: F − T1− F1ms = m1a1 ⇔ F- T - k1g = m1a (3)

- Chiếu (1) lên Oy, ta được: -P1+N1 = 0 ⇔ −m1g + N1 = 0 (4)

- Chiếu (2) lên Ox, ta có: T2− F2ms = m2a2 ⇔ T- F2ms = m2a (5)

- Chiếu (2) lên Oy, ta được: -P2 + N2 = 0 ⇔ −m2g + N2 = 0 (6)

Bước 4: Cộng (3) và (5) ta được:

F − k(m1 + m2)g = (m1+ m2)a

2 2

1

2

1 2

10 ).

1 2 ( 2 , 0 9 ).

(

s m m

m

g m m k

Bài 2 :Hai vật cùng khối lượng m = 1kg được nối với nhau bằng

sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể Một trong 2

vật chịu tác động của lực kéo →F hợp với phương ngang góc α

= 300 Hai vật có thể trượt trên mặt bàn nằm ngang góc α = 300

Hệ số ma sát giữa vật và bàn là 0,268 Biết rằng dây chỉ chịu được lực căng lớn nhất là 10 N Tính lực kéo lớn nhất để dây không đứt Lấy 3 = 1,732

Bài giải:

Bước 1: Hiện tượng cơ học: Hai vật được

nối với nhau bằng dây không giãn và có

thể cùng trượt trên mặt phẳng nằm ngang

Vì dây không giãn, nên 2 vật chuyển động cùng gia tốc Bỏ qua khối lượng dây, nên các lực căng tác dụng lên 2 vật bằng nhau

Chiều chuyển động là chiều mà lực F tác dụng lên vật Do đó, lực ma sát có chiều như hình vẽ

Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto:

Chiếu (1) lên Oy, ta được: Fsin 300− P1 + N1 = 0

Chiếu (1) xuống Ox, ta được: F.cos 300− T1 − F1ms = m1a1

Mà F1ms = k N1 = k(mg − Fsin 300)

⇒ F.cos 300 −T1=k(mg − Fsin 300) = m1a1

ma F

mg k T