PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7 Năm học 2012-2013 (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1 ( 1điểm): Cho dãy số: 1, -9, 17, -25, 33, -41, … Tính tổng của 2011 số hạng đầu tiên của dãy Câu 2 ( 4 điểm) a) Thực hiện phép tính: A= 12 5 6 2 10 3 5 2 2 6 4 5 3 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 (2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 − − − + + b) Cho hàm số: 2 ( ) axy f x bx c= = + + Cho biết: (0) 2010; (1) 2011; ( 1) 2012f f f= = − = . Tính ( 2)f − ? Câu 3 (2 điểm ) Hiện nay anh hơn em 8 tuổi. Tuổi của anh cách đây 5 năm và tuổi của em sau 8 năm nữa tỉ lệ với 3 và 4. Hỏi hiện nay anh bao nhiêu tuổi? Em bao nhiêu tuổi. Câu 4 ( 4 điểm) Tìm x , y, z biết : a) 1 11 ( 7) ( 7) 0 x x x x + + − − − = b) 372432 242015 =++== zyxvà zyx Câu 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2010 2010 ( 2011) 2011A x y= − + + + và giá trị của x, y tương ứng. Câu 6 ( 8 điểm ) Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng : BE = CD. b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CD. Chứng minh M,A,N thẳng hàng. c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK ≤ BC. Hết ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Câu Ý câu Đáp án Biểu điểm 1 (1đ) Ta có 1 + (-9) + 17 + (-25) + 33 + (-41) … 1 + (-9 + 17) + (-25 + 33) + … 1 + 8 + 8 + … Tổng trên bằng 1 + 8. 1005 = 8041 0,5 0,5 2 (4đ) a(2đ) A 10 12 5 12 4 10 3 4 12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 − − = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 12 4 10 3 12 5 9 3 3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 − − = − + + ( ) 10 3 12 4 12 5 9 3 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 − = − 1 10 7 6 3 2 − = − = 0, 5 0, 5 0, 5 0, 5 b(2đ) Theo giả thiết ta có: (0) 2010 2010f c= ⇒ = (1) 2011 2011 2010 2011 1f a b c a b a b= ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒ + = (1) ( 1) 2012 2012 2010 2012 2f a b c a b a b− = ⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ − = (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: 2a = 3 => a = 3/2 Thay vào (2) ta được: b = - 2 1 Do đó: Hàm số đã cho có dạng: 2 3 1 2 2 ( ) x 2010y f x x−= = + Vậy: 2 3 1 ( 2) .( 2) .( 2) 2010 6 1 2010 2017 2 2 f − = − − − + = + + = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 3 (2đ) - Gọi tuổi anh hiện nay là x (x > 0), tuổi em hiện nay là y (y>0) → tuổi anh cách đây 5 năm là x – 5 Tuổi của em sau 8 năm nữa là y + 8 Theo bài có TLT: 4 8 3 5 + = − yx và x - y = 8 Từ đó tính được: x = 20; y = 12 - Vậy tuổi anh hiện nay là 20 tuổi em là 12 0, 5 0, 5 0,5 0,5 a (2 đ) 1 10 ( 7) 1 ( 7) 0 x x x + ⇔ − − − = 1 10 ( 7) 0 1 ( 7) 0 x x x + − = ⇔ − − = ⇔ 10 7 0 ( 7) 1 x x − = − = 0, 5 0, 5 0,25 0,25 0,25 4 (4đ) 7 8 6 x x x = ⇔ = = 0,25 b (2đ) 372432 242015 =++== zyxvà zyx Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 2 186 372 966030 432 96 4 60 3 30 2 242015 == ++ ++ === =>== zyxzyx zyx Do đó: 2 x = 60 => x = 30 3y = 120 => y= 40 4z = 192 => z= 4 0, 5 0,5 0,5 0,5 5 (1đ) Ta thấy: 2010 0x − ≥ với mọi x và (y + 2011) 2010 ≥ 0 với mọi y Do đó: 2010 2010 ( 2011) 2011A x y = − + + + ≥ 2011 với mọi x, y. Vậy: A Min = 2011. Khi đó: x = 2010 và y = -2011 0,5 0,5 6 (8đ) GT- KL- vẽ hình x k I A B C D E H K N M 1 a c/m được ∆ ABE = ∆ ADC (c.g.c) ⇒ BE = DC ( 2 cạnh tương ứng) 1,5 0,5 b c/m được ∆ ABM = ∆ ADN (g.c.g) ⇒ AM = AN và MAB NAD ∠ = ∠ Mà 0 180BAN NAD∠ + ∠ = ⇒ 0 180BAN BAM∠ + ∠ = Vậy M,A,N thẳng hàng. 1,5 0,5 0,5 0,5 c Gọi I là giao điểm của BC và Ax, ta có ;BH BI CK CI≤ ≤ ⇒ BH + CK ≤ BI + CI = BC. 1 1 (HS có cách giải khác đúng vẫn tính điểm tối đa cho mỗi bài) . DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM BÌNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 7 Năm học 2012-2013 (Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Câu 1 ( 1điểm): Cho dãy số: 1, -9, 17, -25, 33, -41, … Tính. 5 .7 5 .2 .7 − − = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 12 4 10 3 12 5 9 3 3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 − − = − + + ( ) 10 3 12 4 12 5 9 3 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 − = − 1 10 7 6. 0,5 0,5 a (2 đ) 1 10 ( 7) 1 ( 7) 0 x x x + ⇔ − − − = 1 10 ( 7) 0 1 ( 7) 0 x x x + − = ⇔ − − = ⇔ 10 7 0 ( 7) 1 x x − = − = 0, 5 0, 5 0,25 0,25 0,25 4 (4đ) 7 8 6 x x x = ⇔