Bộ đề thi học sinh giỏi lớp 6 môn toán

Bộ đề thi học sinh giỏi lớp mơn tốn Đề số Thời gian làm 120 phút Câu : (2 điểm) Cho biểu thức A = a + 2a − a + 2a + 2a + a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm câu a, phân số tối giản Câu 2: (1 điểm) Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho abc = n − cba = (n − 2) Câu 3: (2 điểm) a Tìm n để n2 + 2006 số phương b Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số Câu 4: (2 điểm) a+n a b+n b 10 10 + B = 11 So sánh A B 10 + a Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh b Cho A = 1011 − ; 1012 − Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên : a 1, a2, ., a10 Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng đườngthẳng cắt Khơng có đường thẳng đồng qui Tính số giao điểm chúng Đề số Thời gian làm 120 phút Câu1: a Tìm số tự nhiên x, y cho (2x + 1)(y – 5) = 12 b.Tìm số tự nhiên cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c Tìm tất số B = 62xy427 , biết số B chia hết cho 99 Câu 12n + phân số tối giản 30n + 1 1 b Chứng minh : + + + + (p – 1) (p+1) M (0,25đ) 2 + Do p số lẻ nên p số lẻ -> p +1 M (0,25đ) - p > nên p có dạng: + p = 3k +1 > p – = 3k + – = 3k M > p4 – M + p = 3k + > p + = 3k + + = 3k +3 M > p4 – M (0,25đ) - Mặt khác, p dạng: + P = 5k +1 > p – = 5k + – = 5k M > p4 – M + p = k+ > p2 + = (5k +2)2 +1 = 25k2 + 20k +5 M > p4 – M (0,25 đ) + p = 5k +3 > p2 +1 = 25k2 + 30k +10 M > p4 –1 M + p = 5k +4 > p + = 5k +5 M > p4 – M (0,25đ) M hay p4 – M 240 Vậy p – Tương tự ta có q4 – M 240 (0,25đ) 4 4 M 240 Vậy: (p – 1) – (q –1) = p – q 4 Câu 2: (2đ) Phạm Bá Thanh 33 Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp mơn tốn 8n + 193 2(4n + 3) + 187 187 = = 2+ 4n + 4n + 4n + ∈ N 187 M 4n + => 4n +3 ∈ {17;11;187} Để A a) A = (0,5đ) + 4n + = 11 -> n = + 4n +3 = 187 > n = 46 + 4n + = 17 -> 4n = 14 -> n ∈ N Vậy n = ; 46 b) A tối giản 187 4n + có UCLN -> n ≠ 11k + (k ∈ N) -> n ≠ 17m + 12 (m ∈ N) (0,5đ) (0,5đ) 77 c) n = 156 -> A = ; 19 89 n = 165 -> A = 39 139 n = 167 -> A = 61 (0,5đ) Câu 3: (2đ) Do –4 = 12 (- 4) = 22.(-1) nê có trường hợp sau: ( x − 2) =  x − =  x = ⇒ ⇒ a)  y − = −4  y = −1  y = −1   x − = −1  x = ⇒   y = −1  y = −1 (0,5đ) (0,5đ) ( x − 2) = 2 x − = x = ⇒ ⇒ y = y =  y − = −1  x − = −2  x = ⇒  y = y = b)  (0,5đ) (0,5đ) A Câu 4: (3đ) a) M, B thuộc tia đối CB CM -> C nằm B M ->BM = BC + CM = (cm) (0,5đ) M B x K C b) C nằm B,M -> Tia AC nằm tia AB, AM -> ∠ CAM = ∠ BAM - ∠ BAC = 200 1 ∠ BAC + ∠ CAM 2 1 = ( ∠ BAC + ∠ CAM) = ∠ BAM = 80 = 400 2 ∈ tia CM -> C nằm B K1 d + Nếu K y (0,75đ) c Có ∠ xAy = ∠ x AC + ∠ CAy = -> BK1 = BC + CK1 = (cm) + Nếu K∈ tia CB -> K2 nằm B C -> BK2 = BC = CK2 =4 (cm) Câu 5: (1đ) Phạm Bá Thanh (0,75đ) (0,5đ) (0,5đ) 34 Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp môn toán 1 1 2 1 2 1 2 1 = ( − )⇒ = ( − )⇒ = ( − ); = ( − ) ; ; 4.7 7.10 10 1.4 1.4 2 1 = ( − ) 97.100 99 100 1 1 1 1 1 99 33 ⇒ B = ( − + − + − + + − )⇒ B= ( − )= = 4 7 10 99 100 100 100 50 Ta có (0,5đ) (0,5đ) Đáp án đề số 20 Câu a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho thì: + + + * chia hết cho 3; từ tìm * ∈ {0; 3; 6; 9} (1đ) b) Để 261* chia hết cho chia dư thì: * chẵn + + + * chia dư 1; từ tìm * = (1đ) Câu S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 (0,5đ) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5đ) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101 S = 99.100.101: = 33 100 101 = 333300 (0,5đ) Câu Thời gian từ A đến C Hùng là: 11 - = (giờ) Thời gian từ B đến C Dũng là: 11 - = (giờ) Quãng đường AB 30 km khoảng cách Hùng Dũng bớt 10 km Vì lúc Hùng cịn cách Dũng 20 km, lúc Ninh gặp Dũng nên Ninh cách Hùng 20 km Đến 24 phút, Ninh gặp Hùng tổng vận tốc Ninh Hùng là: 20 : 24 20.60 = = 50( km / h) 60 24 Do vận tốc Ninh 1/4 vận tốc Hùng nên vận tốc Hùng là: [50 : (1 + 4)] = 40 (km/h) Từ suy quãng đường BC là: 40 - 30 = 90 (km) Đáp số: BC = 90 km Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB có điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B đó, tổng số điểm AB 2006 điểm suy có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến điểm Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) kết hợp với 2005 đoạn thẳng lại đoạn thẳng tương ứng AB để tạo thành 2005 tam giác Do 2006 đoạn thẳng tạo thành 2005 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý MA kết hợp với MA1 để tam giác MA1 kết hợp với MA tam giác hai tam giác 1) Do số tam giác thực có là: 4022030 : = 2011015 Câu 5: (1đ) Phạm Bá Thanh 35 Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp môn toán 56 Thêm đơn vị vào phân số thứ tích 15 15 56 48 suy tích tích cũ = lần phân số thứ hai Suy 15 15 15 48 12 phân số thứ hai :4= = 15 15 Từ suy phân số thứ là: : = 15 Tích hai phân số Đáp án đề số 21 Câu 1: 2525 25.101 25 = = 5353 53.101 53 252525 25.10101 25 = = 535353 53.10101 53 25 2525 252525 = = Vậy 53 5353 535353 (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) Câu 2: 300 300 300 30 30 300 > = ⇒ > mà 670 677 670 67 67 677 37 30 377 300 = Ta có : − = − 67 67 677 677 377 37 > Từ (1) (2) ⇒ 677 67 (1) (0.5đ) (2) (0.5đ) (0.5đ) Câu 4: Giả sử đội văn nghệ có n người Tổng số tuổi đội văn nghệ trừ người huy m m + 17 m = 11 (1) = 10 (2) n n −1 Từ (1) ⇒ m = 11n – 17 (3) (2) ⇒ m = 10n – 10 (4) Từ (3) (4) ⇒ 11n – 17 = 10n –10 n =7 Ta có: (1đ) (1đ) (1đ) Đáp số: Số người đội văn nghệ là: Câu 5: a.Tính ∠yOn = 150 ; ∠mOy = 750 Chỉ cách vẽ vẽ b.Tính ∠mOn = 900 m (1đ) (0.5đ) (0.5đ) y n x Phạm Bá Thanh O 36 z Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp môn toán Đáp án đề số 22 Câu : 636363.37 − 373737.63 37.63.(10101 − 10101) 63.(10101.37) − 37.(10101.63) = = = + + + + 2006 + + + + 2006 + + + + 2006 12 12 12 4   − 4+ + +  12 + −   19 37 53 : 17 19 2006  124242423 2) B = 3 5  237373735 41  − 5+ + +  3+ −  37 53 17 19 2006     1 1  1   12.1 + − −  41 + + +  47   19 37 53   17 19 2006   41.3.1010101 : =  1 1 1   47.5.1010101 41   −  51 − − +   31 + −  17 19 2006     19 37 53  47 41.3 = (4 ) = (1,5đ) 41 47.5 1) A = Câu 2: 2đ b = => 9+a M => a = b =5 => 14+a M9 => a = Câu 3: đ a) A = 31 +32+33 + .+ 32006 ⇒ 3A =32+33 +34+ .+ 32007 ⇒ 3A – A = 32007 -3 ⇒ A = b) Ta có : 2007 − (1đ) 2007 − +3 = 3x ⇒ 32007 -3 +3 = 3x ⇒ 32007 = 3x ⇒ x = 2007 (1đ) Câu 4: 1đ 2004 + 1) 2005 2004 + 2005 2005 + 2005 2005 + + 2004 2005(2005 A= < = = = B Vậy A < B 2005 + 1) 2005 2005 + 2005 2006 + 2005 2006 + + 2004 2005(2005 Câu : 2đ Gọi x số trang sách, x ∈ N x trang Số trang lại x- x = x trang 5 3 x trang Ngày đọc x = 5 25 x = x trang Số trang lại x 25 25 24x x 80% +30 = Ngày thứ đọc : + 30 25 125 24x x+ Hay : x + + 30 =x => x =625 trang 25 125 Ngày đọc ĐS 625 trang Phạm Bá Thanh 37 Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp môn toán Đáp án đề số 23 Bài (1,5đ): a 308; 380; 830 b 380 830 c 803 Bài (2đ): a) (1đ) (0,5đ) (0,5đ)   { { 33 { 123 A = 333 1 00 -1÷ = 33 300 - 50 chu so { 50 chu so 50 chu so 50 chu so =  50 chu so  33 33 00 00 − 33 33 33 32 662 36 { 49 chu so (0,5đ) .32 { (0,25đ) Vậy A = 33chu so 662 36 49 49 chu so (0,25đ) 49 chu so B = + 32 + 33 + + 399 + 3100 3B = 32 + 33 + + 3100 + 3101 Lấy (2) trừ (1) ta được: 2B = 3101 - Do đó: 2B + = 3101 Theo đề 3B + = 3n Vậy n = 101 Bài (1,5đ): b) (1 đ) a) (0,75đ) C = (1) (2) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) 101 + 100 + 99 + 98 + + + + 101 − 100 + 99 − 98 + + − + Ta có: TS = 101 + (100 + 99 + + + + 1) =101 + 101.100 : = 101 + 5050 = 5151 MS = 101 - 100 + 99 - 98 + + – + (0,25đ) (101 - 100) + (99 - 98) + + (3 - 2) + 24 = 4 4 450 cap 4 4 = 50 + = 51 5151 = 101 51 3737.43 − 4343.37 b) (0,75đ) B = + + + + 100 (0,25đ) Vậy C = (0,25đ) Ta có: 3737.43 - 4343.37 = 34.43.101 - 43.101.37 = Vậy B = ( = + + + 100 ≠ 0) Bài ( 1,5đ): Ta có: 210 = 1024 10 2100 = ( 210 ) = 102410 = ( 10242 ) = ( 76)5 = 76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 Bài (1,5đ): Nếu từ A đến D đường a1: a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; Đi từ A đến D đường a2: a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; Đi từ A đến D đường a3: a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3; (0,5đ) (0,25đ) Phạm Bá Thanh 38 (0,25đ) (0,75đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) (0,5đ) Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp mơn tốn Vậy tập hợp M: M = { a1 b1 c1; a1 b1 c2; a1 b1 c3; a1 b2 c1; a1 b2 c2; a1 b2 c3; a2 b1 c1; a2 b1 c2; a2 b1 c3; a2 b2 c1; a2 b2 c2; a2 b2 c3; a3 b1 c1; a3 b1 c2; a3 b1 c3; a3 b2 c1; a3 b2 c2; a3 b2 c3;} Bài ( 2đ): Chọn điểm Qua điểm điểm 99 điểm lại, ta vẽ 99 đường thằng (0,5đ) Làm với 100 điểm ta 99.100 đường thẳng (0,5đ) Nhưng đường thẳng tính lần, tất có 99.100 : = 4950 đường thẳng (1đ) Đáp án đề số 24 Bài 270.450 + 270.550 270(450 + 550) 270000 = = = 3000 (2 + 18).9 a S = 90 90 a a a+n (n ∈ N * ) b Ta có < < b b b+n 2006 2005 2005 20062006 + 20062006 + + 2005 2006 + 2006 2006(2006 + 1) 2006 + = = = = B A= < 2007 2006 2006 20062007 + 20062007 + 2005 + 2006 + 2006 2006(2006 + 1) 2006 + Vậy A < B Bài a C = + 22 + 23 + …… + 299 + 2100 = 2(1 +2 + 22+ 23+ 24) + 26(1 + + 22+ 23+ 24)+…+ (1 + + 22+ 23+ 24).296 = 31 + 26 31 + … + 296 31 = 31(2 + 26 +…+296) Vậy C chia hết cho 31 b C = + 22 + 23 + …… + 299 + 2100  2C = 22 + 23 + 24 + …+ 2100 + 2101 Ta có 2C – C = 2101 –  2101 = 22x-1 2x – = 101  2x = 102  x = 51 Bài 3: Gọi số cần tìm A: A = 4q1 + = 17q2 + = 19q3 + 13 (q1, q2, q3 thuộc N)  A + 25 = 4(q1 +7) = 17(q2 +2) = 19(q3 + 2)  A + 25 chia hết cho 4; 17; 19  A + 25 =1292k  A = 1292k – 25 = 1292(k + 1) + 1267 chia A cho 1292 dư 1267 Bài Tổng số điểm 10 lớp 6A (42 - 39) + (39 - 14) + (14 - 5) + = 100(điểm 10) Bài 5: Có 24 × 25 n(n − 1) = 300 đường thẳng Với n điểm có đường thẳng 2 Phạm Bá Thanh 39 Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp mơn tốn Đáp án đề số 25 Câu : Tính giá trị biểu thức : a) Tổng : S =1 +2 +3 + +100 có 100 số hạng S = ( 1+ 100) + (2 +99) + (3 + 98) + + 950 + 51) có 50 cặp = 50 10 = 5050 3 4 − − ) 4+ + + 37 53 : 17 19 2003 b) A = − 3 5 5 (3 + − − ) 5+ + + 37 53 17 19 2003 1 4(1 + + + ) 6 4 4.5 17 19 2003 : Ta có : A = = - : = − = −6 1 5 5 5(1 + + + ) 17 19 2003 1 1 c) B = + + + + + 2.3 3.4 4.5 5.6 99.100 1 1 1 1 99 Ta có : B = - + - + - + + =1= 2 3 99 100 100 100 4(3 + 2) Câu So sánh a) Ta có : 3200 =(32)100 = 9100 ; 2300 =(23)100 = 8100 Vì 9100 > 8100 Nên 3200 > 2300 121212 404 121212 : 10101 404 : 101 12 12 + − + − + + − ⇒ A= + − = 171717 17 1717 171717 : 10101 17 1717 : 101 17 17 17 17 10 10 Vậy A = hay A =B = 17 17 3) Bài Để số có chử số *26* , 4chữ số khác mà chữ số *26* chia hết cho b) A = số 2; 5; 3; Ta cần thoả mản : Số đảm bảo chia hết số số chẳn Số chia hết số phải có chữ số tận số 5.Số vừa chia hết cho 9.Nên số phải có tổng chữ số chia hết cho Vậy : Chữ số tận số ⇒ *260 Chữ số đầu số Do số cho 1260 Bài Tìm số tự nhiên n Mà 1! +2!+3! + +n! bình phương số tự nhiên Xét : n = 1! = 12 n = ⇒ 1! +2! = n=3 ⇒ 1! + 2! + 3! = =32 n = ⇒ 1!+ 2! +3! + 4! =33 Với n >4 n! = 1.2.3 .n mội số chẳn Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với số chẳn sốcó chữ số tận tổng chữ số Nên khơng phải số phương Vậy có hai giá trị n=1 n=3 1! +2! + 3! +4! + .+n!là số phương Bài Giải xe thứ đươc xe thứ quảng đường AB quảng đường AB Phạm Bá Thanh 40 Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp mơn tốn xe Sau 10 phút = 1 + = quảng đương AB : Xe thứ 1 = quảng đường AB 12 Quảng đường lại là: 1- = 12 11 12 (của AB) Thời gian hai xe quảng đường lại là: 11 11 : = = phút 12 10 Hai xe gặp lúc 10 phút + phút = 16 phút Đáp án : 16 phút (0,25đ) Bài Hình học (tự vẽ hình) (2đ) 0 · · Vì : xOy = 120 , AOy = 75 , điểm A nằm góc xOy nên tia OA nằm hai tia Ox Oy · · · Ta có : xOA = xOy - AOy =1200 - 750 = 450 Điểm B hai vị trí : B B’ (0,75đ) 0 · · +, Tại B tia OB nằm ngồi hai tia Ox, OA nên BOx + xOA = 135 + 45 = 1800 Do · · ·BOA = BOx + xOA =1800 Nên điểm A,O,B thẳng hàng (0,75đ) ’ 0 · · · · +, Cịn B : xOB' = 135 < 180 , AOB' = xOB' - xOA = 1350 - 450 = 900 Nên điểm A,O, B’ không thẳng hàng (0,5đ) Đáp án đề số 26 Câu 1: Ta có 3A = + 1/3 + 1/3 + + 1/399 Vậy: 3A – A = (1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399) - (1/3 + 1/32 + + 1/3100) 2A= 1-1/3100 = (3100-1)/ 3100 Suy ra: A= (3100-1)/ 2.3100 Câu 2: Ta có 12/21= 4/7, phân số 3/5, 4/5, 6/11 tối giản nên tồn số tự nhiên k, l, m cho a = 3k, b = 5k, b = 4n, c = 7n, c = 6m, d = 11m Từ đẳng thức 5k = 4n, 7k = 6m ta có 4n M5 7n M mà (4,5) = 1; (7,6) = Nên n M 5, n M mặt khác (5,6) =1 n M 30 để số tự nhiên a, b, c, d nhỏ phải khác 0, ta chọn n nhỏ 30 suy ra: k = 24, m = 35 Vậy a = 72, b = 120, c = 210, d = 385 Câu 3: Gọi a b hai số thuộc dãy 1, 2, 3, , 50 Giả sử a > b a) Gọi d thuộc ƯC(a,b) a – b M d ta chứng minh d ≤ 25 giả sử d > 25 b>25 ta có a ≤ 50 mà b >25 nên 0< a – b < 25, xảy a – bM d ; d = 25 xảy a = 50; b = 25 hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn 50 25 c) BCNN(a,b) ≤ a.b ≤ 50.49=2450 Vậy hai số có BCNN đạt giá trị lớn 50 49 Câu 4: (Học sinh tự vẽ hình) · · · Ta thấy : AOB + BOC + AOD >1800 · trái lại góc AOD có điểm chung với ba góc Đặt AOB = α ⇒ · · · · ta có: AOB + BOC + AOD + COD = 3600 ⇒ α +3α+5α+6α=360 α = 240 · · · · Vậy: AOB = 240 ; BOC =720 ; COD = 120 ; DOA = 1440 Phạm Bá Thanh 41 Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp mơn tốn Đáp án đề số 27 Câu 1: (3đ) a Vẽ sơ đồ cho (1,5đ) - Số học sinh thích mơn bóng đá bơi: 14 – 10 = (hs) - Số học sinh thích hai mơn bơi bóng chuyền: 13 – 10 = (hs) - Số học sinh thích hai mơn bóng đá bóng chuyền: 15 – 10 = (hs) - Số học sinh thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = (hs) - Số học sinh thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = (hs) - Số học sinh thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (hs) Vậy: Số học sinh lớp là: + + 18 + + 10 + + + 12 + = 53 (hs) b (1,5 đ) A = 10 11 12 …… 58 59 60 * Từ đến có : chữ số Từ 10 đến 60 có: 51 = 102 chữ số Vậy: Số A có + 102 = 111 chữ số (0,5đ) * Nếu xóa 100 chữ số số A số A cịn 11 chữ số Trong số A có chữ số có chữ số đứng trước chữ số 51 52 53 … 58 59 60 ⇒ Trong số nhỏ có chữ số đứng trước ⇒ số nhỏ số có chữ số ⇒ Số nhỏ 00000123450 = 123450 (0,5đ) * Trong số A có chữ số Nếu số lớn có chữ số đứng liền số là: 99999960 ⇒ Số có chữ só khơng thỏa mãn ⇒ Số lớn có chữ số liền số có dạng 99999… ⇒ Các chữ số lại 78 59 60 Vậy số lớn nhất: 99999785860 Câu 2: (2,5đ) a.(1,5đ) ⇒ A = + 52 + …… + 596 ⇒ 5A =52 + 53 + …… + 596 + 597 ⇒ 5A – A = 597 - ⇒ A = 597 - Tacó: 597 có chữ số tận → 597 – có chữ số tận Vậy: Chữ số tận A b (1đ) Có: 6n + = 2(3n + 6) – ⇒ 6n + chia hết 3n + ⇒ 2(3n + 6) – chia hết 3n + ⇒ chia hết 3n + ⇒ 3n + = ±1 ; ± ; ±9 3n + - -3 -1 n -5 - - 7/3 - 5/3 - 1 Vậy; Với n = 6n + chia hết cho 3n + Câu 3: (2,5đ) a (1đ) Gọi số tự nhiên cần tìm a (a > 0, a ∈ N) Theo ta có: - a chia cho dư ⇒ a – chia hết cho - a chia cho dư ⇒ a – chia hết cho - a chia cho dư ⇒ a – chia hết cho - a chia cho 10 dư ⇒ a – chia hết cho 10 Phạm Bá Thanh 42 Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp mơn tốn ⇒ a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60 b.(1,5đ) 11n + + 122n + = 121 11n + 12 144n =(133 – 12) 11n + 12 144n = 133 11n + (144n – 11n) 12 Tacó: 133 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11) ⇒ 144n – 11n chia hết 133 ⇒ 11n + + 122n + Câu 4: (2đ) Số đường thẳng vẽ qua n điểm: n ( n − 1) = 105 ⇒ n (n – 1) = 210 = = 10 14 ⇒ n (n – 1) = 35 = 15 14 Vì n n – số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14 Đáp án đề số 28 Bài 1:(2,25 điểm) a) x= − = ; 25 25 b) x= 45 + 44 89 − = = ; 11 99 99 c) x = 32 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau cách hợp lý nhất: a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) = 31 + 31 + 31 +31+ 31 = 31.5= 155 b) B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144 c) C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152 Bài 3:(2,25 điểm) Tính: 1 1 1 1 1 − + − + − + + − = − = 11 16 16 21 21 26 61 66 11 66 66 1 1 1 1 1 1 B= − + − + − + − + − + − = − = 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2006 − + + − = 1− = C = − + − + + 2 1989 1990 2006 2007 2007 2007 A= Bài 4:(1 điểm) 102002 + 10 = + 2002 (1) 2002 10 + 10 + 102003 + 10 = + 2003 Tương tự: 10B = 2003 (2) 10 + 10 + 9 Từ (1) (2) ta thấy : 2002 > 2003 ⇒ 10A > 10B ⇒ A > B 10 + 10 + Ta có: 10A = Bài 5:(2,25 điểm) A a) Trên tia BA ta có BK = cm BA = 7cm nên BK< BA điểm K nằm A B Suy AK + KB = AB hay AK + = ⇒ AK = cm Trên tia AB có điểm I K mà AI < AK (và n+2 ∈ ( 18) = {1;2;3;6;9;18} +, n + 2= ⇔ n= - (loại) +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= ⇔ n= +, n + 2= 18 ⇔ n= 16 Vậy n ∈ { 0;1;4;7;16} B ∈ N B= c (1 điểm) Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ( 1)  CM Do C = x1995 y M 55  C M ( 2)  11 (1) => y = y = +, y= : (2) => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) M11 => x = +, y =5 : (2) = > x+9 +5 – (1+9+5 ) M 11 => x = (0,25đ) (0.25đ) (0,25đ) (0,25đ) Baì (2 điểm) a( 1điểm) 10 10 10 10 5 5 + + + + + + + + = 56 140 260 1400 4.7 7.10 10.13 25.28 1 1 1 1  =  − + − + − + + −   7 10 10 13 25 28  1  =  −  = =  28  28 14 M= (0,25đ) (0,25đ) (0,5đ) b (1 điểm) 3 3 3 3 3 15 + + + + > + + + + => S > = (1) 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 15 20 + + + + < + + + + < = (2) => S < 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 10 10 S= (0,5đ) S= (0,5đ) Từ (1) (2) => < S < Phạm Bá Thanh 44 Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp môn toán Bài 3: Gọi giá gạo nếp a (đồng/kg) ; khối lượng gạo nếp mua b (kg) Suy giá gạo tẻ 80 120 a ; khối lượng gạo tẻ mua b 10 100 Số tiền người thứ phải trả a.b (đồng) Số tiềng người thứ hai phải trả (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) 80 120 96 a .b = a.b 100 100 100 (0.75đ) Vậy người thứ hai trả tiền người thứ Tỉ lệ % là: 96   a.b  : a.b = 4%  a.b − 100   (0,5đ) Bài Vẽ hình xác (0,5 điểm) a Bốn điểm A,B, M, N thẳng hàng chúng nằm đường thẳng MN (0,5 điểm) b (1 điểm) BM = AB – AM = (cm) (0,25đ) ∈ tia AB mà BM > BN ( > 1) => N năm B M M,N ( 0,25đ) MN = BM – BN = cm = BN.=> N đường trung điểm BM (0,5đ) c Đường tròn tâm N qua B nên CN = NB = cm (0,25đ) Đường tròn tâm A qua N nên AC = AN = AM + MN = cm (0.25đ) Chu vi ΔCAN = AC + CN = NA = + 4+1= (cm) (0,5đ) Đáp án đề số 30 Bài 1( điểm): 1  a)- Từ giả thiết ta có:  x −  = (1) (0,25đ) 3  1 1 x− = x − = − (0,25đ) 3 - Từ tìm kết x = ; x = − (0,5đ) 6 b) Nếu x = 5y = 20 + 624 = + 624 = 625 = 54 ⇒ y = ( y ∈ N) (0,5đ) Nếu x ≠ vế trái số chẵn, vế phải số lẻ với x, y ∈ N : vô lý (0,25đ) Vậy: x = 0, y = (0,25đ) Bài 2( điểm): 22 22 51 51 22 51 − 22 − 51 < = = < ⇒ < ⇒ > a) (1đ) 45 44 102 101 45 101 45 101 20092010 − 20092010 − 20092010 − + 2011 20092010 + 2009 B (1đ) 2009(20092010 + 1) 20092010 + Bài 3( điểm): Gọi số tự nhiên phải tìm x 25 28 35 - Từ giả thiết suy (x + 20) M (x + 20) M (x + 20) M ⇒ x+ 20 bội chung 25; 28 35 (0,5đ) Phạm Bá Thanh 45 Trường THCS Thiết Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp mơn tốn - Tìm BCNN (25; 28; 35) = 700 suy (x + 20) = k.700 ( k ∈ N ) (0,5đ) - Vì x số tự nhiên có ba chữ số suy x ≤ 999 ⇒ x + 20 ≤ 1019 ⇒ k = (0,5đ) ⇒ x + 20 = 700 ⇒ x = 680 (0,5đ) Bài 4( điểm): đầy bể nên máy Máy máy hai bơm 20 phút hay hai bơm bể (0,25đ) đầy bể nên máy hai ba Máy hai máy ba bơm 30 phút hay bơm bể (0,25đ) Máy máy ba bơm 24 phút hay bơm x 12 đầy bể nên máy ba 5 bể 12 (0,25đ) 11 3  ⇒ Một ba máy bơm  + +  : = bể (0,25đ) 12  12  11 − = bể Máy ba bơm đầy bể Một giờ:máy ba bơm 12 (0,25đ) 11 − = bể ⇒ Máy bơm đầy bể (0,25đ) máy bơm 12 11 − = bể ⇒ Máy hai bơm đầy bể(0,25 đ) máy hai bơm 12 12 Kết luận (0,25 đ) Bài 4( điểm): Hình vẽ (0,25đ) a)Lập luận được: xÔm + mÔy = xÔy hay:90 +mÔy = xÔy (0,25đ) yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy xÔn = yÔm b) Lập luận : xÔt = tÔy xÔt = xÔn + nÔt tÔy = yÔm + mÔt nÔt = mÔt Ot tia phân giác góc mOn Phạm Bá Thanh (0,2đ) (0,25 đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25 đ) 46 Trường THCS Thiết Kế ... O 36 z Trường THCS Thi? ??t Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp mơn tốn Đáp án đề số 22 Câu : 63 6 363 .37 − 373737 .63 37 .63 .(10101 − 10101) 63 .(10101.37) − 37.(10101 .63 ) = = = + + + + 20 06 + + + + 20 06. .. THCS Thi? ??t Kế Bộ đề thi học sinh giỏi lớp mơn tốn Đề số 27 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3đ) a Kết điều tra lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh. .. chuyền, 14 học sinh thích đá bóng bơi, 13 học sinh thích bơi bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền, 10 học sinh thích ba mơn, 12 học sinh khơng thích mơn Tính xem lớp học có học sinh?