TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM HỌC 2012 - 2013 ( Thời gian : 180 phút không kể thời gian giao đề ) Bài 1: (2 điểm) Tìm cặp số (x , y) nghiệm đúng phương trình : y.x 2 – 4x + y – 3 = 0 sao cho. a) y đạt giá trị lớn nhất có thể b) y đạt giá trị nhỏ nhất có thể Bài 2: (4 điểm) Cho Parabol (P m ) : y = x 2 + (2m + 1)x + m 2 - 1 trong đó m là tham số . a) Tìm quĩ tích đỉnh của (P m ) khi m biến thiên. b) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với (P m ) không phụ thuộc vào m. c) Chứng minh rằng : Với mọi giá trị của m Parabol ( P m ) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Bài 3: (6 điểm) 1. Giải hệ phương trình : −=−− =−+ 22 2 1 2 22 2 yxyy y xx 2. Giải bất phương trình : 22 291 xxx +−>+ Bài 4: (6 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho điểm ( ) I 1; 1− là tâm của một hình vuông, một trong các cạnh của nó có phương trình x – 2y + 12 = 0.Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông. 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho Parabol (P) : y = x 2 – 2x và elip (E): 1 9 2 2 =+ y x Chứng minh rằng ( P) giao (E) tại bốn điểm phân biệt nằm trên một đường tròn. Viết phương trình đường tròn đó. B à i 5: (2 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 32 1 32 1 32 1 222222 ++ + ++ + ++ = accbba P ================= Hết ================== Họ và tên thí sinh Số báo danh Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 1 ĐỀ CHÍNH THỨC TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : MÔN TOÁN KHỐI 10 NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài Nội dung Điểm 1 2đ a) b) Coi phương trình : y.x 2 – 4x + y – 3 = 0 (*) là phương trình bậc hai, ẩn là x, y là tham số . =∆' 4 – y(y – 3) = 4 – y 2 + 3y = - y 2 + 3y + 4 = - y 2 + 4y – y + 4 = ( 4 – y)( y + 1) Tồn tại cặp số ( x , y) ⇔ phương trình (*) có nghiệm ⇔ 0'≥∆ ⇔ ( 4 – y)( y + 1) 0≥ ⇔ -1 4≤≤ y GTLN : của y = 4 khi đó =∆' 0 nên x = 2 1 4 22 == y GTNN : của y = - 1 khi đó =∆' 0 nên x 2 1 2 −= − Kết luận : Max y = 4 khi x = 2 1 Min y = - 2 khi x = - 2 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0, 25đ 2 4đ a) 1đ Tìm quỹ tích đỉnh S của Parabol P(m) : y = x 2 + (2m + 1)x + m 2 – 1 • Tọa độ đỉnh S : −+++= +− = )2(1)12( )1( 2 )12( 22 mxmxy m x SSS S • Khử m giữa (1) và (2) ta được : y S = x S - 4 3 • Không có giới hạn • Vậy quỹ tích của đỉnh S là đường thẳng : y = x - 4 3 0,25đ 0,5đ 0,25đ b) 1,5 đ CMR: khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với (P m ) không phụ thuộc vào m. */ Giao điểm A , B của P(m) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương trình: x 2 + ( 2m +1)x + m 2 – 1 = x ⇔ x 2 + 2mx + m 2 – 1 = 0 (3) */ PT (3) có '∆ = 1 nên (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt x A , x B */ Ta có : AB 2 = ( x B – x A ) 2 + ( y B – y A ) 2 ⇔ AB 2 = 2.( x B – x A ) 2 = 2. ( 2 '∆ ) 2 = 8 */ Nên AB = 2 2 không phụ thuộc m 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ c) 1,5 đ CMR : Với mọi giá trị của m Parabol ( P m ) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. */ (P m ) : y = x 2 + ( 2m + 1)x + m 2 – 1 ⇔ y = ( x + m) 2 + x – 1 */ Coi đường thẳng (D) : y = x – 1 Ta có PT hoành độ điểm chung của (P m ) và (D) : ( x + m) 2 + x – 1 = x -1 ⇔ ( x + m) 2 = 0 luôn có nghiệm kép x = -m */ Nên (P m ) luôn tiếp xúc với (D) : y = x -1. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2 3 6đ 1) 3đ ĐK : 0y ≠ hệ 2 2 1 2 2 0 2 1 2 0 x x y x y y + − − = ⇔ + − − = đưa hệ về dạng 2 2 2 2 0 2 2 0 u u v v v u + − − = + − − = 2 1 1 1 2 2 0 3 7 3 7 2 2 , 1 7 1 7 2 2 u v u v u v u v v v u u u v v = = = = − ⇔ ⇔ = = − + − − = − + = = − + − − = = Từ đó ta có nghiệm của hệ ( x ; y) = { (-1 ;-1),(1 ;1), ( 3 7 2 ; 2 7 1 − − ), ( 3 7 2 ; 2 7 1 + + ) } 1đ 1,5đ 0,5đ 2) 3đ Giải bất phương trình : 2 2 x 91 x 2 x+ > − + Điều kiện x 2≥ Phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) ( ) 2 2 x 91 10 x 2 1 x 9 0+ − − − − − − > 2 2 x 9 x 3 (x 3)(x 3) 0 x 2 1 x 91 10 − − ⇔ − − + − > − + + + ( ) x 3⇔ − 2 x 3 1 (x 3) 0 x 2 1 x 91 10 + − − + > ÷ − + + + (*) Ta có : 2 x 3 1 (x 3) 0 x 2 1 x 91 10 + − + − < − + + + với mọi x 2≥ . Do đó (*) ⇔ x < 3. Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là : 32 <≤ x 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 4 6đ 1) 3đ Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông Lập phương trình các cạnh… Gọi hình vuông đã cho là ABCD . Giả sử pt cạnh AB là 2 12 0x y− + = . Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng AB . Suy ra ( ) 2;5H − ,A B thuộc đường tròn tâm H , bán kính 45=IH có pt: ( ) ( ) 2 2 2 5 45x y+ + − = Toạ độ hai điểm ,A B là nghiệm của hệ: ( ) ( ) 2 2 2 12 0 2 5 45 x y x y − + = + + − = . Giải hệ tìm được ( ) ( ) 4;8 , 8;2A B − . Suy ra ( ) 2; 10C − − 1đ 1đ 0,5đ 3 : 2 16 0AD x y+ − = ; : 2 14 0BC x y+ + = ; : 2 18 0CD x y− − = 0,5đ 2) 3đ Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của(E) và (P) Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phương trình 09x37x36x91)x2x( 9 x 23422 2 =−+−⇔=−+ (*) Xét 9x37x36x9)x(f 234 −+−= , f(x) Có Tập xác định R Có : f(-1)f(0) < 0 ; f(0)f(1) < 0; f(1)f(2) < 0; f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, Do đó (E) cắt (P) tại 4 điểm phân biệt Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) t/m hệ =+ −= 1y 9 x x2xy 2 2 2 09y8x16y9x9 9y9x y8x16x8 22 22 2 =−−−+⇒ =+ =− ⇔ (**) (**) là phương trình của đường tròn có tâm = 9 4 ; 9 8 I , bán kính R = 9 161 Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đường tròn có phương trình (**) 0,5đ 1đ 1đ 0,5đ 5 2đ 2đ Tìm giá trị lớn nhất Ta có : a 2 +b 2 ≥ 2ab , b 2 + 1 ≥ 2b ⇒ 1bab 1 2 1 21bba 1 3b2a 1 22222 ++ ≤ ++++ = ++ Dấu bằng khi a = b = 1 Tương tự 1aca 1 2 1 3a2c 1 , 1cbc 1 2 1 3c2b 1 2222 ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ 2 1 bab1 b ab1b ab 1bab 1 2 1 1aca 1 1cbc 1 1bab 1 2 1 P = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ ≤ 2 1 P = khi a = b = c = 1. Vậy MaxP = 2 1 khi a = b = c = 1. 0,5đ 1đ 0,5đ ( Nếu thí sinh làm theo cách khác ,lí luận chặt chẻ đúng kết quả - cho điểm tối đa) 4 CẤU TRÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN : KHỐI 10 Câu Nội dung Điểm 1 Vận dụng sự có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm Max , min 2 điểm 2 Các bài toán liên quan đến hàm số bậc hai 4 điểm 3 a)Vận dụng các kiến thức đã học giải hệ phương trình b)Vận dụng các kiến thức đã học giải bất phương trình 3 điểm 3 điểm 4 a) Bài toán viết phương trình đường thẳng b) Bài toán liên quan đến đường tròn và ba đường Cônic 3 điểm 3 điểm 5 Sử dụng bát đẳng thức để xác định giá trị Max ,min của biểu thức 2 điểm Tổng : 20 điểm 5 . Ta có : a 2 +b 2 ≥ 2ab , b 2 + 1 ≥ 2b ⇒ 1bab 1 2 1 21bba 1 3b2a 1 22222 ++ ≤ ++ ++ = ++ Dấu bằng khi a = b = 1 Tương tự 1aca 1 2 1 3a2c 1 , 1cbc 1 2 1 3c2b 1 2222 ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ 2 1 bab1 b ab1b ab 1bab 1 2 1 1aca 1 1cbc 1 1bab 1 2 1 P = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ ≤ 2 1 P. 1aca 1 2 1 3a2c 1 , 1cbc 1 2 1 3c2b 1 2222 ++ ≤ ++ ++ ≤ ++ 2 1 bab1 b ab1b ab 1bab 1 2 1 1aca 1 1cbc 1 1bab 1 2 1 P = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ ≤ 2 1 P = khi a = b = c = 1. Vậy MaxP = 2 1 khi a = b. thức 32 1 32 1 32 1 222222 ++ + ++ + ++ = accbba P ================= Hết ================== Họ và tên thí sinh Số báo danh Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 1 ĐỀ CHÍNH THỨC TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I ĐÁP ÁN ĐỀ THI