Xác định công thức số phần được chia ra của mặt phẳng từ n đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đôi một cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy.. Các mặt phẳng SAB, SAC, SBC đều tạo
Trang 1SỞ GD & ĐT NGHỆ AN CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG THPT-DTNT CON CUÔNG Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013
(Thời gian làm bài 150 phút).
Câu I Cho phương trình: cosx +(1-cosx ) =m
a Giải phương trình với m =
b Tìm m để phương trình có nghiệm
CâuII
a Tim giới hạn:
2 1 3
1 2 1
2 lim
2012
2013 2
x x
x
b Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = sinx.cosx
( Với 0< x< n, m là các số tự nhiên lớn hơn 1)
Câu III
a Cho dãy số xác định bởi công thức sau:
u u
5 24 1 0
2 1 1
nN, n 1
Chứng minh dãy số có các số hạng đều là số nguyên
b Xác định công thức số phần được chia ra của mặt phẳng từ n đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đôi một cắt nhau và không có ba đường thẳng nào đồng quy
Câu IV Cho hình chóp S.ABC Các mặt phẳng (SAB), (SAC), (SBC) đều tạo với mặt
phẳng (ABC) một góc bằng nhau và bằng 60 Biết tam giác ABC có các cạnh
là AB = 7, AC = 8, BC = 9 Tìm tổng diện tích các mặt của hình chóp
Câu V Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Lấy điểm M trên đường thẳng AC,
lấy N trên đường thẳng DC’ Biết MN// BD’ Tính tỉ số :
(Hết)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 11
Câu I: ( 4 điểm)
a
Trang 2Đặt cosx = - t 1- cosx = + t
0,5 Phương trình có dạng: ( -t) + ( +t) = 2t +3t =0
0,5
2
2
0 3 (loai) 2
t
t
0,5
2 3
2 3 2
1
k x
k x
x 0,5
b
Đặt cosx = - t 1- cosx = + t
Phương trình có dạng: ( -t) + ( +t) = m 2t + 3t + - m=0
0,5
Đặt y = t =( -cosx) ( )
4
9
8
1 3
2y2 y m (1) phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong 0 ;94
0,5 phương trình (1) có nghiệm khi 0 8 8m 0 m 1 0,25
các nghiệm là:
4 3 4 3
2
1
y
y
để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong
4
9
;
0
0,25
8
1 12 3
4
9 4
3
0 m Vậy phương đã cho có nghiệm khi 17
8
1
m
0,25
Câu II ( 4 điểm)
a
Tim giới hạn:
2 1 3
1 2 1
2
2013 2
x x
1 1 2 lim
2013 2
x
1 1 2 lim
2012
x
-B
0,5
1
2013 2
) 2 1 3 )(
1 )(
1 ( 2 lim
2 1 3
1 1 2 lim
x x
x x
x A
x x
0,25
16 )
1
1 1 1 ( 3
16 1
) 1 2 ( )
1 2
(
3
) 2 1 3 )(
1 ( 2 lim
x x
x
0,25
2012
) 2 1 3 )(
1 ( 2 lim
2 1 3
1 1 2 lim
x x
x
x B
x
8 1
) 1 2 ( )
1 2 ( 3
) 2 1 3 ( 2 lim
x
Trang 3Vậy
2013 2012 3
2012 8 2012
1 2013
2 3
8 2
1 3
1 2 1
2
2013 2
x x
b
Đặt a = cosx ( 0 < a < 1) Vậy y = (1-a) a 0,25
y = (1-a) a =n m
( có n thừa số , và m thừa số )
m n m
n
m n
m n m n n
m
m
a m
a m
a n
a n
a n
a m
) (
1
1 1
n n m n n m mm
.
m n
n m
m n
m
n
dấu bằng xảy ra khi cosx = cosx =
0,25
Câu III ( 4 điểm)
a
1 2
2 1
2
1
2
Trong (1) thay n bằng n-1 ta có 10 2 1 0
1
2
Vậy từ (1) và (2) u và u là hai nghiệm của phương trình
x2 10u n xu n2 1 0
0,5
Theo định lí Viet suy ra u + u = 10u
Ta có (*)
0,5
Mà u= 0, u = 5u + = 1
Từ (*) ta có các số hạng của dãy số đều là số nguyên
0,5
b
Ta gọi P(n) là số phần mặt phẳng do n đường thỏa mãn bài ra tạo thành Ta xét
n+1 đường thẳng bất kỳ thỏa mãn bài ra theo giả thiết n đường thẳng đầu chia
mặt phẳng thành P(n) phần
0,25
Còn đường thẳng dthứ n+1 bị cắt tại n điểm khác nhau với n đường thẳng đầu
Như vậy d được chia ra n+1 phần hay d đi qua n+ 1 phần và mỗi phần được chia
làm đôi do đó d tạo thêm n+1 phần mới,
0,25
Trong () thay n +1 bởi n, n-1,n-2, n-3, ,2,1
Ta có P(n) = P(n-1) + n
P(n-1) = P(n-2) + n-1
P(n-2) = P(n-3) + n-2
0,5
Trang 4P(n-3)= P(n-4) + n-3
P(3) = P(2) + 3
P(2) = P(1) +2
P(1) = 2
Cộng các vế tương ứng P(n) = 1+(1+2+3+ + n-1+n =1+
Vậy P(n) =
0,5
CâuIV ( 4 điểm)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
(ABC)
0,5
Từ H Hạ vuông góc với AB, BC, AC lần lượt tại
các tam giác SHM SHN, SHP là các tam
H là tâm đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC 0,5
S = =12
0,5
r = SH = =
0,5
Ta có SM, SN, SP là đường cao các mặt bên, SM = SN = SP = = 2 0,5
Câu V ( 4 điểm)
Chọn hệ véc tơ cơ sở:
0,5
S
C A
B
P
N M
H
’ B’
A
D B
C’
C M
N
Trang 5Ta có BD' abc 0,5 MN//BD’ Nên MN k.BD' k ak b c (1)
0,5
M nằm trên AC MC m AC
=m + +n =m(-)++n( -)=(n-m)+m+(1-n) (2)
0,5
Từ (1) và (2) ta có
0,5