Đề HSG Toán 6 2012-2013

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN 6 Thời gian làm bài:120 phút Câu 1: (4 điểm). Thực hiện phép tính a) A = 2 2 9 2 6 2 14 4 28 18 29 18 5.(2 .3 ) .(2 ) 2.(2 .3) .3 5.2 .3 7.2 .3 − − b) B = 81. 12 12 12 5 5 5 12 5 158158158 7 289 85 13 169 91 : . 4 4 4 6 6 6 711711711 4 6 7 289 85 13 169 91   − − − + + +       − − − + + +   Câu 2: (4 điểm) a) So sánh P và Q Biết P = 2010 2011 2012 2011 2012 2013 + + và Q = 2010 2011 2012 2011 2012 2013 + + + + b) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b) = 420; ƯCLN(a,b)=21 và a +21 = b. Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y M 37 thì 13x +18y M 37 b) Cho A = 2 3 4 2012 1 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 + + + + + + và B = 2013 3 ( ) : 2 2 Tính B – A Câu 4. (6 điểm). Cho · xAy , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm. a) Tính BD. b) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết · BCD = 80 0 , · BCA = 45 0 . Tính · ACD . c) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK Câu 5: (2 điểm) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x 2 – 2x + 1 = 6y 2 -2x + 2 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………. Số báo danh :……… ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 6 Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4đ) a) Ta có: 2 2 9 2 6 2 14 4 28 18 29 18 5.(2 .3 ) .(2 ) 2.(2 .3) .3 A 5.2 .3 7.2 .3 − = − 18 18 12 28 14 4 28 18 29 18 5.2 .3 .2 2.2 .3 .3 5.2 .3 7.2 .3 − = − 30 18 29 18 28 18 5.2 .3 2 .3 2 .3 (5 7.2) − = − 29 18 28 18 2 .3 (5.2 1) 2.9 2 2 .3 (5 14) 9 − = = = − − − KL:… 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ b) Ta có: . 12 12 12 5 5 5 12 5 158158158 7 289 85 13 169 91 81. : . 4 4 4 6 6 6 711711711 4 6 7 289 85 13 169 91 B   − − − + + +   =     − − − + + +   1 1 1 1 1 1 12 1 5 1 158.1001001 7 289 85 13 169 91 81. : . 1 1 1 1 1 1 711.1001001 4 1 6 1 7 289 85 13 169 91       − − − + + +  ÷  ÷         =       − − − + + +  ÷  ÷         12 5 158 81. : . 4 6 711   =  ÷   18 2 324 81. . 64,8 5 9 5 = = = KL:………… 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 2 (4đ) a) Ta có: Q = 2010 2011 2012 2011 2012 2013 + + + + = 2010 2011 2012 2013+ + + 2011 2011 2012 2013+ + + + 2012 2011 2012 2013+ + Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2010; 2011; 2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q Kết luận: P > Q 1 đ 0,75 đ 0,25 đ b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 21m; b = 21n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) + Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra : ( ) ( ) BCNN 21m; 21n 420 21.20 BCNN m; n 20 (3) ⇒ = = ⇒ = + Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra : 21m 21 21n⇒ + = ( ) 21. m 1 21n m 1 n (4)⇒ + = ⇒ + = 0.5đ 0.5đ Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có Trường hợp : m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện (4). Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là : a = 21 . 4 = 84; b = 21 . 5 = 105 0.5đ 0.5đ Câu 3 (4đ) a) Ta có: 5(13 18 ) 4(7 4 ) 65 90 28 16x y x y x y x y+ − + = + − − 37 74 37( 2 ) 37x y x y= + = + M Hay 5(13 18 ) 4(7 4 ) 37x y x y+ − + M (*) Vì 7 4 37x y+ M , mà (4;37) = 1 nên 4(7 4 ) 37x y+ M Do đó, từ (*) suy ra: 5(13 18 ) 37x y+ M , mà (5; 37) = 1 nên 13 18 37x y+ M 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ b)Ta có: 2 3 4 2012 2 3 4 2013 1 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 2 4 2 2 2 2 A A = + + + + + + => = + + + + + Lấy (2) – (1), ta được: 2013 3 3 3 1 3 ( ) 2 2 4 2 2 A A− = + − − 2013 2013 2012 1 3 1 3 1 ( ) 2 2 4 2 2 A A= + => = + Vậy 2013 2013 2014 2012 3 3 5 2 2 2 B A− = − + . 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ Câu 4 (6đ) Hình vẽ: . a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax ⇒ A nằm giữa D và B ⇒ BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm) KL:… b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD · · · · · · 0 0 0 80 45 35 ACD ACB BCD ACD BCD ACB ⇒ + = ⇒ = − = − = KL:…. c) * Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ y C A BD x - Suy ra: AK + KB = AB ⇒ KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm) A x D B K * Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B - Suy ra: KB = KA + AB ⇒ KB = 6 + 2 = 8 (cm) A D B x K * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Câu 5 (2đ) Ta có: x 2 – 2x + 1 = 6y 2 -2x + 2 => x 2 – 1 = 6y 2 ⇒ 6y 2 = (x-1).(x+1) M 2 , do 6y 2 M 2 Mặt khác x-1 + x +1 = 2x M 2 ⇒ (x-1) và (x+1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Vậy (x-1) và (x+1) cùng chẵn ⇒ (x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp ⇒ (x-1).(x+1) M 8 ⇒ 6y 2 M 8 ⇒ 3y 2 M 4 ⇒ y 2 M 4 ⇒ y M 2 ⇒ y = 2 ( y là số nguyên tố) , tìm được x = 5. Kết luận:……. 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm. - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ). . 5 158158158 7 289 85 13 169 91 81. : . 4 4 4 6 6 6 711711711 4 6 7 289 85 13 169 91 B   − − − + + +   =     − − − + + +   1 1 1 1 1 1 12 1 5 1 158.1001001 7 289 85 13 169 91 81. : . 1 1. .3 5.2 .3 7.2 .3 − − b) B = 81. 12 12 12 5 5 5 12 5 158158158 7 289 85 13 169 91 : . 4 4 4 6 6 6 711711711 4 6 7 289 85 13 169 91   − − − + + +       − − − + + +   Câu 2: (4 điểm) a) So. DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN 6 Thời gian làm bài:120 phút Câu 1: (4 điểm). Thực hiện phép tính a) A = 2 2 9 2 6 2 14 4 28 18 29 18 5.(2