SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn: TOÁN - LỚP 12 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7.0 điểm) Câu I: (3.0 điểm) Cho hàm số 4 2 2 5y x x= − + + có đồ thị (C). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 ( 2) 7 2 0x x m− − + = Câu II: (2.0 điểm) 1) Tính tích phân: ( ) ∫ +−= 3 0 2 161 dxxxI 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = x 3 + x – 2 và y = 5x – 2. 3) Cho số phức ( ) 2 32 1 5 i i i z −− + − = . Tính |z|. Câu III: (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 4y + 3 = 0, đường thẳng ∆ : 1 5 1 3 2 1 + = − = − zyx và mặt cầu (S): ( ) ( ) 921 2 22 =+−++ zyx . 1) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). 2) Viết phương trình mặt cầu (S’) có bán kính bằng 2, có tâm nằm trên đường thẳng ∆ đồng thời mặt cầu (S’) tiếp xúc với mặt phẳng (P). II. PHẦN RIÊNG: (3.0 điểm) (Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó) 1) Dành cho thí sinh học sách cơ bản: Câu IV.a: (2.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho: điểm A(1; 2; -1), đường thẳng ∆ : 23 3 1 3 zyx = − = − và mặt phẳng (α) : x + y – z + 3 = 0. 1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng ∆. 2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, cắt ∆ và song song với mặt phẳng (α). Câu V.a: (1.0 điểm) Giải phương trình: z 2 - 4z +7 = 0 2) Dành cho thí sinh học sách nâng cao: Câu IV.b: (1.5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho: điểm A(1; 2; -1), đường thẳng ∆ : 23 3 1 3 zyx = − = − và mặt phẳng (α): x + y – z + 3 = 0. 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (α). 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Câu V.b: (1.5 điểm) 1) Giải phương trình sau trên tập số phức: z 2 + (i – 2)z – 2i = 0. 2) Giải bất phương trình: ( ) 3log4loglog 2 12 2 1 >−− xx . Hết 1 ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Điểm I 1 * TXĐ: D = R * ( ) 4 2 x lim -x +2x +5 →±∞ = −∞ * Sự biến thiên: 3 ' 4 4y x x= − + , y’ = 0 0 1 x x = ⇔ = ± * Bảng biến thiên: x - ∞ -1 0 1 + ∞ y' + 0 - 0 + - y 6 6 - ∞ 5 - ∞ * Hàm số đồng biến trên ( ) ( ) ; 1 ; 0;1−∞ − , nghịch biến trên ( ) ( ) 1;0 ; 1;− +∞ * Hàm số đạt cực đại tại x = 1± , y CĐ = 6 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y CT = 5 * Đồ thị: Điểm đặc biệt: 2x = ± => y = -3 -15 -10 -5 5 10 15 6 4 2 -2 -4 -6 -8 2 * 2 2 4 2 4 2 ( 2) 7 2 0 2 7 2 0 2 5 2 2x x m x x m x x m− − + = ⇔ − − + = ⇔ − + + = − P.trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y=2m-2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt. m 8 2m 2 6 7 2m 2 5 m 2 = − = ⇔ ⇔ − < < (sửa m = 8 bằng m = 4) II 1 * I= ∫ 3 0 xdx - dxxx ∫ + 3 0 2 16 = J− 2 9 , với J = 3 2 0 . 16x x dx+ ∫ * Tính J = 3 2 0 . 16x x dx+ ∫ : Đặt t = 2 16x + , tính được J = 5 2 4 61 3 t dt = ∫ Vậy I = 95 6 − 2 *Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình: x 3 + x - 2 = 5x - 2 <=> x 3 – 4x = 0 <=> 2 0 2 2 x x x = = = − * Diện tích hình phẳng cần tìm là: S = 0 2 3 3 2 0 ( 4x)dx ( 4x)dxx x − − + − ∫ ∫ = 0 2 4 4 2 2 2 0 2 2 4 4 x x x x − − + − = ÷ ÷ 8 ( đvdt) 3 * Ta có: ( ) 2 5 i z 2 3i 1 i − = − − + = ( ) 2 (5 i)(1 i) z 2 3i (1 i)(1 i) − − = − − + − = 2-3i – (-5-12i) = 7 + 9i. * |z| = 13097 22 =+ III * (S) có tâm I(-1;2;0) và bán kính R = 3 * Gọi J là tâm mặt cầu (S’) , J thuộc ∆ nên J(1+2t; 3+t; -5+t) (S’) tiếp xúc với (P) nên : ( ) 2 2 2 3(1 2 ) 4(3 ) 3 d I,(P) 2 3 ( 4) 0 t t+ − + + = = + − + −= = ⇔ 2 8 t t * Với t = 8, suy ra J(17;11;3) ⇒ (S’) : (x-17) 2 + (y-11) 2 + (z-3) 2 =4. * Với t = -2 suy ra J(-3 ;1 ;-7) ⇒ (S’) là : ( ) ( ) 2 2 2 3 1 ( 7) 4x x z+ + − + + = IVa 1 * Đường thẳng ∆ có VTCP )2;3;1(= ∆ u . (P) qua A và nhận )2;3;1(= ∆ u làm VTPT nên có phương trình : 1(x-1)+3(y-2)+2(z+1) = 0 ⇔ x + 3y +2z -5 = 0 2 * Viết lại phương trình ( ∆ ) ở dạng tham số: = += += ∆ tz ty tx 2 33 3 : * Gọi M là giao điểm của ∆ và (d) suy ra: M(3+t; 3+3t; 2t) ⇒ )12;13;2( +++= tttAM * Ta có: )1;1;1( −= α n ∆ // (P) nên ta có: 0)12.(1)13.(1)2.(1 0. =+−+++⇔ =⇔⊥ ttt AMnAMn αα 1022 −=⇔=+⇔ tt Suy ra )1;2;1( −−=AM * Vậy (d) qua A(1;2;-1) và có VTCP là )1;2;1( −−=AM nên có phương trình là: 1 1 2 2 1 1 − + = − + = − zyx Va • ∆’ = - 3 < 0 • Phương trình có hai nghiệm phân biệt là 2 ± 3 i. IVb 1 * )( α có VTPT là )1;1;1( −= α n d qua A và nhận )1;1;1( −= α n làm VTCP nên có phương trình: 3 α ∆ d M A 1 1 1 2 1 1 − + = − = − zyx 2 * Gọi H là hình chiếu của A lên (P), K là hình chiếu của A lên ∆ (P) : 3x – y – 6 = 0 Vb 1 2 * Điều kiện: )4;0(∈x Với điều kiện đó bất phương trình tương đương với: ( ) ( ) 1 1 2 2 log 4 log 3 4 3x x x x− > ⇔ − < ( ) ( ) 2 4 3 0 ;1 3;x x x⇔ − + − < ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ Đối chiếu đk ta được tập nghiệm bpt trên là: S = ( ) (0;1) 3;4∪ (Chú ý: Mọi cách giải đúng và hợp lý khác đều cho điểm tối đa) 4 K H P A . 3+3t; 2t) ⇒ ) 12 ;13 ;2( +++= tttAM * Ta có: )1; 1 ;1( −= α n ∆ // (P) nên ta có: 0 ) 12 . (1) 13. (1) 2. (1 0. =+−+++⇔ =⇔⊥ ttt AMnAMn αα 10 22 −=⇔=+⇔ tt Suy ra )1; 2 ;1( −−=AM * Vậy (d) qua A (1; 2; -1) và có VTCP. đặc biệt: 2x = ± => y = -3 -15 -10 -5 5 10 15 6 4 2 -2 -4 -6 -8 2 * 2 2 4 2 4 2 ( 2) 7 2 0 2 7 2 0 2 5 2 2x x m x x m x x m− − + = ⇔ − − + = ⇔ − + + = − P.trình đã cho có 2 nghiệm phân. TRỌNG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II - NĂM HỌC 2 011 - 2 0 12 Môn: TOÁN - LỚP 12 Thời gian: 12 0 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7.0 điểm) Câu I: (3.0 điểm) Cho hàm số