Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng- Trong Không Gian

 Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là véctơ có phương vuông góc với đường thẳng .Thường kí hiệu là : n.. d Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC.. Viết pt đường phân g

PHẦN 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

Bài 1: Tọa độ của điểm và véctơ trong mặt phẳng Oxy

B A B

C B A C B

b a b

1//

b

a b

a b

B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải).

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(2;3); B(-2;2); C(1;-1)

a) Chứng minh ∆ABC cân tại A

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh BC⊥MA

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

d) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC Chứng minh

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có A(1;5); B(-3;2); C(4;1)

a) Chứng minh ∆ABC cân tại A

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh BC⊥MA

c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành

d) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC Chứng minh

Bài 2: Phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

A Lí thuyết:

1 Nhắc lại kiến thức về đường thẳng ở lớp 10:

Đường thẳng d có dạng: y = k.x + b, trong đó k gọi là hệ số góc của đường thẳng.

(α là góc hợp bởi d với trục Ox, a=(a1;a2)là VTCP của d).

Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có hsg k1 và k2 Ta có:

 Nếu d1⊥d2 thì : k1.k2 = -1

 Nếu d1 // d2 thì : k1 = k2

2 Véctơ chỉ phương và véctơ pháp tuyến của đường thẳng:

 Véctơ chỉ phương của đường thẳng là véctơ có phương trùng hoặc song song với đường thẳng Thường kí hiệu :a

 Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là véctơ có phương vuông góc với đường thẳng Thường kí hiệu là : n

Cách suy từ a sang n hoặc n sang a :

 Giả sử :a=(a1;a2)là VTCP của d

⇒n=(−a2;a1)hoặc n=(a2;−a1)là véctơ pháp tuyến của d

 Giả sử :n=( B A; )là VTPT của d.

⇒a=(−B;A) hoặc a=(B;−A)là véctơ chỉ phương của d.

(Đảo vị trí và đổi dấu một trong hai tọa độ)

3 Phương trình của đường thẳng :

0

a

y y a

x

 PT tổng quát của d:A(x−x0)+B(y+ y0)=0 hoặc:Ax+By+C =0

 Đặc biệt: Đường thẳng d cắt Ox tại A(a;0) và cắt Oy tại B(o;b) thì ptđt d viết theo đoạn chắn là: + =1

b

y a x

4 Góc và khoảng cách:

 Góc giữa hai đường thẳng:



2 1

2 1 2 1 2

1

2 1 2 1 2

1

.)

;cos(

.)

;cos(

)

;(

a a

a a a a n

n

n n n n d

C By Ax

+++

5 PT hai đường phân giác của các góc tạo bởi :d1= A1x+B1y+C1 =0; d2 = A2x+B2y+C2 =0 là:

2

2 2

2 2 2 2

1

2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x

A

+

++

±

=+

++

Lưu ý: Dấu ±tương ứng với một đường phân giác của góc nhọn và một đường phân giác góc tù

Để phân biệt được dấu nào là của đường phân giác góc nhọn và dấu nào là đường phân giác góc tù thì cần nhớ quy tắc sau:

Đường phân giác góc nhọn luôn nghịch dấu với tích hai pháp véctơ, đường phân giác góc tù

mang dấu còn lại.

B:Bài tập điển hình: (GV trực tiếp giải).

1 Trong mp 0xy cho A(2;4); B(6;2); C(4;-2)

a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân tại B Tính diện tích tam giác ABC

b) Viết phương trình tham số của đt AB; chính tắc của đt AC; tổng quát của BC

c) Viết phương trình đường cao BH của tam giác ABC

d) Viết phương trình đường trung tuyến CM của tam giác ABC

e) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC của tam giác ABC

g) Viết phương trình đường thẳng đi qua C và song song với AB

h) Viết phương trình đường thẳng (h) đi qua A và vuông góc AC

k) Gọi K là giao điểm giữa (h) và trung trực cạnh BC Tìm tọa độ điểm K Chứng minh ABHK là hbh.

l) Tìm tọa độ điểm D thuộc Oy sao cho tam giác ACD vuông tại C

m) Viết phương trình đường thẳng DC Tìm tọa độ giao điểm của DC và trục hoành

2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; 5) và hai đường thẳng: d1: x – 2y + 1 = 0

d2:

3

52

a) Viết phương trình đường thẳng ∆1qua M và song song d1

b) Viết phương trình đường thẳng ∆2qua M và song song d2

c) Viết phương trình đường thẳng ∆3qua M và vuông góc d1

d) Viết phương trình đường thẳng ∆4qua M và vuông góc d2

3 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh lần lượt là:

M(2;1); N(5;3); P(3;4)

4 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 đi qua điểm A(4;1)

a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A và vuông góc d.

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A xuống d

c) Tìm điểm đối xứng với A qua d

5 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng ∆1: x + 2y – 6 = 0 và ∆2: x – 3y + 9 = 0

a) Tính góc tạo bởi ∆1 và ∆2

b) Tính khoảng cách từ M(5;3) đến ∆1 và ∆2

c) Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi ∆1 và ∆2

6 Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABC có cạnh AB: 5x – 3y + 2 = 0 và hai đường cao có phương trình: AH: 4x – 3y + 1 = 0;

BI: 7x + 2y – 22 = 0

Lập phương trình hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba của ∆ABC.

7 Lập ptđt d đi qua M(2;5) đồng thời cách đều hai điểm P(6;2) và Q(5;4)

8 Lập ptđt ∆ đi qua A(2;1) và tạo với đt d: 2x + 3y + 4 = 0 góc 450

9 Lập pt đường thẳng d đi qua A(3 ;1) và cách điểm B(1 ;3) một khoảng bằng 2 2

10 Lập pt các cạnh của ∆ABC biết B(-4 ;-5) và hai đường cao có pt : 5x + 3y – 4 = 0

3 Một hình bình hành có 2 cạnh nằm trên 2 đt : x + 3y – 6 = 0 ; 2x - 5y – 1 = 0 Tâm I(3 ;5)

Viết pt hai cạnh còn lại của hình bình hành

4 Trong mp 0xy cho 3 đt: d1: 3x + 4y – 6 = 0 ; d2: 4x + 3y – 1 = 0 ; d3: y = 0

a Xác định tọa độ 3 đỉnh A,B,C biết: A= d1∩d2 ; B= d2∩d3 ;C= d1∩d3

b Viết pt đường phân giác trong của các góc A,B

c Tìm tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp ∆ABC

5 Tìm quỹ tích các điểm cách đt ∆: 2x - 5y + 1 = 0 một troảng bằng 3

6 Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai đt d1: 4x - 3y + 2 = 0

d2: y – 3 = 0

7 Lập ptđt qua P(2 ;-1) sao cho đt đó cùng với 2 đt d1: 2x - 4y + 5 = 0 ; d2: 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một

∆ cân có đỉnh là giao điểm của d1 và d2

8 Cho ∆ABC cân tại A biết AB : x + y + 1 = 0 và BC : 2x - 3y – 5 = 0

Lập pt cạnh AC biết nó đi qua M(1 ;1)

9 Cho ∆ABC cân tại A(3 ;0) tìm tọa độ B và C biết B,C nằm trên đt d :3x + 4y + 1 = 0 và SABC = 18

10 Cho ∆ABC có B(2 ;-1) Đường cao đi qua A có pt : 3x - 4y + 27 = 0, đường phân giác trong của gód C là : x + 2y – 5 = 0 Hãy tìm tọa độ các đỉnh của ∆ABC

11 Viết pt các cạnh ∆ABC biết tọa độ của chân ba đường cao kẻ từ các đỉnh A,B,C là M(-1 ;-2), N(2 ;2), K(-1 ;2).

 Dạng 2 : x2 +y2−2ax−2by+c=0

Trong đó : R= a2+b2 −c , điều kiện : a2 +b2−c>0

2 Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C):

 d(I;d)>R⇔d∩(C)=φ d không có điểm chung với (C).

 d(I;d)=R⇔d∩(C)={ }A d tiếp xúc với (C)

 d(I;d)<R⇔d∩(C)={A;B} d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

3 Phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm có dạng :

1 1 1 2

4 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M(x0 ;y0) có dạng :

x0x+ y0y−a(x0+x)−b(y0 +y)=0

B Bài tập điển hình : (Giáo viên trực tiếp giải)

1.Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình sau :

b) (C) có tâm I(1;3) đi qua điểm A(3;1)

c) (C) có đường kính AB với A(1;1) , B(7;5)

d) (C) có tâm I(-2;0) và tiếp xúc với d: 2x + y – 1 = 0

e) (C) đi qua 3 điểm M(1;-2), N(1 ;2), P(5 ;2)

f) (C) có tâm là giao điểm của đường thẳng d1 : x – 3y +1 = 0 với đường thẳng d2 : x = -4 đồng thời tiếpxúc với đường thẳng d3 : x + y -1 = 0

3 Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (T) tại A(-1 ;0)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó // d : 2x – y = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đó vuông góc với d’ : 4x – 3y + 1 = 0

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (T), biết tiếp tuyến đi qua B(3 ;-11)

e) Tìm m để đường thẳng d : x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (T)

4 Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 2y - 2 = 0.

a) Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn theo tham số m

b) Chứng tỏ rằng khi m thay đổi, trục đẳng phương luôn đi qua một điểm cố định

7 Lập phương trình đường tròn qua A(1 ;-2) và các giao điểm đường thẳng d: x – 7y + 10 = 0 với đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0

8 Viết phương trình đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường thẳng d1 : x – 3y + 1 = 0 và

d2 : x + 4 = 0 đồng thời tiếp xúc với đường thẳng d : x + y – 1 = 0

9 Viết phương trình đường tròn đi qua M(2 ;1) đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ

10 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng d : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y + 4 = 0, d2 : 7x – y + 4 = 0

11 Cho (Cm) : x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y – m + 6 = 0

a) Tìm m để (Cm) là đường tròn

b) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn

12 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:

(T1) : x2 + y2 – 1 = 0

(T2) : (x−4) (2+ y−3)2 =16

13 Viết phương trình đường tròn (T), biết (T) đi qua hai điểm A(-1 ;2) ; B(-2 ;3) và có tâm ở trên đường thẳng d : 3x – y + 10 = 0

14 Cho điểm M(2 ;4) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 2x - 6y + 6 = 0

a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C)

b) Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d

15 Cho đường tròn (C) : (x−1) (2+ y+3)2 =25

a) Tìm giao điểm A, B của đường tròn với trục ox

b) Gọi B là điểm có hoành độ dương, viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại B

c) Viết phương trình đường thẳng d qua O cắt (C) tạo thành một dây cung có độ dài bằng AB

16 Cho điểm A(8 ;-1) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x - 4y + 4 = 0

a) Tìm tâm và bán kính của (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A.

c) Gọi M, N là các tiếp điểm, tìm độ dài đoạn MN

17 Cho hai đường tròn :

(C1) : x2 + y2 – 2x + 4y - 4 = 0

(C2) : x2 + y2 + 4x - 4y - 56 = 0

a) Tìm tâm và bán kính của (C1) và (C2)

b) Chứng minh (C1) và (C2) tiếp xúc nhau

c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

18 Trong mp Oxy cho điểm A(-1 ;1) và đường thẳng d : x – y + 1 - 2 = 0 Viết phương trình đường tròn qua A, qua gốc O và tiếp xúc với d

C:Bài tập vận dụng :

1 Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(2;1) và bán kính R = 7

b) (C) có tâm I(0;2) và đi qua điểm A(3; 1)

c) (C) có đường kính AB với A(1; 3) và B(5; 1)

d) (C) có tâm I(1; -2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆:x−y=0

e) (C) ngoại tiếp tam giác ABC với A(1; 2), B(5; 2), C(1; -3)

f) (C) có tâm là giao điểm của đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0 với trục Ox đồng thời tiếp xúc với đường thẳngd/: 2x + 3y + 7 = 0

2 Xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau với đường tròn (C): (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4

a) ∆1:x−1=0 b) ∆2:x−2=0 c) ∆3:2x+ y−1=0.

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (T): x2 +y2 = 4 trong mỗi trường hợp sau:

a) Biết tiếp điểm A(0; 2)

b) Biết tt song song ∆:3x−y+17=0

c) Biết tt vuông góc ∆/:x−2y+2=0

d) Biết tt đi qua M(2; 2)

e) Biết tt tạo với trục Ox một góc 450

f) Tìm m để đường thẳng d : x +my – 1 = 0 Tiếp xúc đường tròn (T)

4 Cho đường tròn (T) : x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 Viết pttt của (T) biết tiếp tuyến đó :

a) Tiếp xúc với đương tròn tại A(-1 ; 0)

b) Vuông góc với đường thẳng d: x + 2y = 0

c) Song song với đường thẳng d/: 3x - 4y – 9 = 0

d) Đi qua B(3; -11)

e) Tìm m để đường thẳng ∆:x+(m−1)y+m=0 có điểm chung với (T).

-  -

ĐỀ THI CÓ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy

4 ĐH KA 2005:Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x – y = 0 , d2: 2x + y – 1 = 0 Tìm tọa

độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A∈d1;C∈d2 và B, D thuộc trục hoành

2 2

=+ y

10 ĐH KA 2007 :

Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ABCcó A(0; 2), B(-2;-2), C(4;-2) Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M

và N lâng lượt là trung điểm của AB và BC Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm H, M, N

15 ĐH KD 2008:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 16x và điểm A(1;4) Hai điểm phân biệt

B, C (B và C khác A) di động trên (P) sao cho góc BAC bằng 900 Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm có định

16 ĐH KA 2009:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆:x+ y−5=0. Viết phương trình đường thẳng AB.

17 ĐH KB 2009:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 2)2 + y2 =

5

4

và hai đường thẳng ∆1:x−y=0, ∆2:x−7y=0 Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính của đường tròn (C1); biết đường tròn (C1) tiếp xúc với các đường thẳng ∆1,∆2 và tâm K thuộc đường tròn (C)

18 ĐH KD 2009:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 viết phương trình đường thẳng AC

19 ĐH KA 2010: (chuẩn).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+y=0 và d2: 3x−y=0 Gọi (T) là đường trong tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuuon tại A viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng

22 ĐH KB 2010: (nâng cao).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; 3) và elip (E): 1

23

2 2

=+ y

x

Gọi F1 và F2 là các tiêu điểm của (E) (F1 có hoành độ âm) M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF1 với (E); N là điểm đối xứng của F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2

25 ĐH KA 2011: (chuẩn).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y

= 0 Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆ Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B làcác tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10

26 ĐH KA 2011: (nâng cao).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) :

1

hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất

27 ĐH KB 2011: (chuẩn).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x – y – 4 = 0 và d : 2x – y – 2 = 0 Tìm tọa

ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F Cho D (3; 1) và đường thẳng

EF có phương trình y – 3 = 0 Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương

-PHẦN 2: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Oxyz

Bài 1: Tọa độ của điểm và véctơ trong không gian Oxyz

;2

B A B A B

;3

C B A C B A C B

b a b a

2 1

1//

b

a b

a b

a b

2 ; ;]

;

b

a b

a b

a b

a b

a b b

S∆ABC =  V ABCD.A/B/C/D/ =[AB;AD].AA/  V ABCD [AB;AC].AD

B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải)

1 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm: A(1;-2;4); B(-3;2;0); C(3;-1;0).

a) Tìm tọa độ các véc tơ: AB;BA;AC;CA;BC;CB

b) Tìm tọa độ m=2.AB; n=2.AB+AC; e=2.AC−3.BC+4.AB

c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Tính chu vi của tam giác ABC

d) Tính các góc của tam giác ABC

e) Tìm tọa độ trung điểm I của AB Tính độ dài đường trung tuyến CI của tam giác ABC

f) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh GI CI

3

1

=

g) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

h) Tìm điểm E thuộc 0x để tam giác ACE vuông tại C

2 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm: A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6).

a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện ABCD

d) Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD

C:Bài tập vận dụng :

1 Cũng với yêu cầu như bài 1, phần bài tập điển hình nhưng thay đổi tọa độ các điểm như sau:

A(3;-4;2); B(-1;0;6); C(5;-3;2)

B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải)

1 Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1)

a) Viết phương trình mặt phẳng(α)qua A và vuông góc với BC

b) Viết phương trình mp (ABC)

c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AC

2 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M(5 ;1 ;2) và song song với mp ( )β : x + 2y +3z - 1 = 0

3 Viết phương trình mp(α) chứa MN với M(1 ;0 ;1) ; N(-1 ;3 ;2) và vuông góc với mp( )β : x – 2y +

1 Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) ; B(0;1;0); C(-2;1;-1)

a)Viết phương trình mp(α) qua C và vuông góc với AB

b)Viết phương trình mp(ABC)

c)Viết phương trình mặt phẳng trung trực của BC

2 Viết phương trình mp(α) qua M(2 ;-1 ;0) và song song với mp( )β : x + y + 3z – 1 = 0

3 Viết phương trình mp(α) qua MN với M(1 ;1 ;-2) , N(3 ;1 ;0) và vuông góc với mp ( )β : 5x + 3y - z + 4 = 0

4 Viết phương trình mp(α) qua A(1 ;0 ;1) và vuông góc với hai mp

0 1

0

a

z z a

y y a x