de thi HSG 6

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1: ( 2 điểm) 1. Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất: A = 2010 x 2011 1005 2010 x 2010 1005 − + 2. Thực hiện phép tính: B =       −       −       − 99 2 1 5 2 1 3 2 133 Bài 2: (2 điểm) Cho M = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 20 a. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5. b. Tìm chữ số tận cùng của M. Bài 3: ( 2 điểm ) 1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho : n + 5  n – 2 2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho : (2x + 1)(y – 3) = 10 Bài 4: ( 3 điểm) 1. Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm của AC , điểm N là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN = 2 a . 2. Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại I. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác BHC. Bài 5 (1 điểm) Cho A = 3.(2 2 +1).(2 4 +1).(2 8 +1).(2 16 +1) Không làm phép tính, hãy rút gọn biểu thức rồi tìm số tận cùng của A HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 2 điểm) 1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất: A = 2010 x 2011 1005 2010 x 2010 1005 − + = 2010 x (2010 1) 1005 2010 x 2010 2010 1005 2010 x 2010 1005 2010 x 2010 1005 + − + − = + + = 2010 x 2010 1005 1 2010 x 2010 1005 + = + 2) Thực hiện phép tính: B =       −       −       − 99 2 1 5 2 1 3 2 133 = 33. 3 1 . 99 97 7 5 . 5 3 = 33. 99 1 = 3 1 Bài 2: (2 điểm) Cho M = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 20 a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 : M = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 20 = (2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 ) + (2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 ) + … + (2 17 + 2 18 + 2 19 + 2 20 ) = 2.(1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + 2 5 .(1 + 2 + 2 2 + 2 3 ) + … +2 17 .(1 + 2 + 2 2 +2 3 ) = 2. 15 + 2 5 .15 + …+ 2 17 .15 = 15. 2(1 + 2 4 + …+ 2 16 ) = 3 . 5 .2 .(1 + 2 4 + …+ 2 16 )  5 b) Tìm chữ số tận cùng của M: Dễ thấy M  2 ; M  5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M  10. Do đó M tận cùng bằng chữ số 0. Bài 3: ( 2 điểm ) 1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7  n – 2 ⇒ 7  n – 2 ⇒ n – 2 ∈ Ư(7) = { } 7;1 ±± n – 2 1 -1 7 -7 n 3 1 9 -5 Vậy : n ∈ { } 5;9;1;3 − 2) Ta có x , y ∈ N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0 và là số lẻ nên 10 = 1 . 10 = 5 . 2 Do đó :    =− =+ 103 112 y x hoặc    =− =+ 23 512 y x Suy ra :    = = 13 0 y x hoặc    = = 5 2 y x Bài 4: ( 3 điểm) 1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC = 2 1 .AC N là trung điểm của CB nên : CN = NB = 2 1 .CB Suy ra : MC + CN = 2 1 ( AC + CB ) C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N . C nằm giữa M và N ⇒ MC + CN = MN C nằm giữa A và B ⇒ AC + CB = AB = a Do đó : MN = 2 a . 2) Nối BD. Ta có : S BDC = S ADC ( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD) S BDH = S DBA (= 2 1 S ABHD ) ; S DBA = S IAD ( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau) Do đó : S BHC = S BDC – S BDH = S BDC - S DBA = S ADC – S IAD = S IDC Vậy : S BHC = S IDC . Bài 5 (1 điểm) Rút gọn A ta có: A = 3(2 2 +1).(2 4 +1).(2 8 +1).(2 16 +1) = (4-1).(2 2 +1).(2 4 + 1).(2 8 +1).(2 16 +1) = [(2 2 - 1).(2 2 +1)] x (2 4 + 1).(2 8 +1).(2 16 +1) = (2 4 -1).(2 4 +1).(2 8 +1).(2 16 +1) = (2 8 -1).(2 8 +1).(2 16 +1) = (2 16 -1)(2 16 +1) = 2 32 - 1 Biết 2 32 tận cùng là 2  A = 2 32 – 1 tận cùng bằng 1 (ĐS) . 3(2 2 +1).(2 4 +1).(2 8 +1).(2 16 +1) = (4-1).(2 2 +1).(2 4 + 1).(2 8 +1).(2 16 +1) = [(2 2 - 1).(2 2 +1)] x (2 4 + 1).(2 8 +1).(2 16 +1) = (2 4 -1).(2 4 +1).(2 8 +1).(2 16 +1) = (2 8 -1).(2 8 +1).(2 16 +1) = (2 16 -1)(2 16 +1) . 2 + 2 2 +2 3 ) = 2. 15 + 2 5 .15 + …+ 2 17 .15 = 15. 2(1 + 2 4 + …+ 2 16 ) = 3 . 5 .2 .(1 + 2 4 + …+ 2 16 )  5 b) Tìm chữ số tận cùng của M: Dễ thấy M  2 ; M  5 mà ƯCLN( 2;. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút (Không kể thời