84 Bài tập ôn thi học sinh giỏi Toán 7 Bài 1 Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 Bài 2 Cho 20052004432 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 ++++++=B Chøng minh r»ng 2 1 <B . Bài 3 : TÝnh 1 1 1 1 2 3 4 2012 2011 2010 2009 1 1 2 3 2011 P + + + + = + + + + Bài 4 : 50 31 . 93 14 1. 3 1 512 6 1 6 5 4 19 2 . 3 1 615 7 3 4. 31 11 1 − −+ −− =A Bài 5 : Chøng tá r»ng: 2004 1 2004 1 3 1 3 1 2 1 1 2222 >−−−−−=B Bài 6 : Cho a c c b = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a c a b c b + = + Bài 7 : Cho a,b,c ∈ R và a,b,c ≠ 0 thoả mãn b 2 = ac. Chứng minh rằng: c a = 2 2 ( 2012 ) ( 2012 ) a b b c + + Bài 8 : Chøng minh r»ng nÕu d c b a = th× dc dc ba ba 35 35 35 35 − + = − + Bài 9 BiÕt 2 2 2 2 a b ab c d cd + = + với a,b,c, d ≠ 0 Chứng minh rằng : a c b d = hoặc a d b c = Bài 10 Cho tØ lÖ thøc d c b a = . Chøng minh r»ng: 22 22 dc ba cd ab − − = vµ 22 22 2 dc ba dc ba + + = + + Bài 11 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau: d dcba c dcba b dcba a dcba 2222 +++ = +++ = +++ = +++ TÝnh cb ad ba dc ad cb dc ba M + + + + + + + + + + + = Bài 12 : a) Chøng minh r»ng: NÕu cba z cba y cba x +− = −+ = ++ 4422 Th× zyx c zyx b zyx a +− = −+ = ++ 4422 Biên soạn : Nguyễn Như Quảng – THCS Hợp Thanh - 1 - 84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7 b) Cho: d c c b b a == . Chứng minh: d a dcb cba = ++ ++ 3 Bi 13 : Cho 3 s x , y , z khỏc 0 tha món iu kin : y z x z x y x y z x y z + + + = = Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc : B = 1 1 1 x y z y z x + + + ữ ữ ữ Bi 14 : Cho cỏc s a,b,c,d khỏc 0 . Tớnh T =x 2011 + y 2011 + z 2011 + t 2011 Bit x,y,z,t tha món: 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z t x y z t a b c d a b c d + + + = + + + + + + Bi 15 : Cho 3 s a, b, c tha món : 2009 2010 2011 a b c = = . Tớnh giỏ tr ca biu thc : M = 4( a - b)( b c) ( c a ) 2 Bi 16: Tỡm cp s (x;y) bit : = = 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x Bi 17 : Cho a b c b c a = = v a + b + c 0; a = 2012. Tớnh b, c. Bi 18 : Tỡm cỏc s x,y,z bit : 1 2 3 1y x x z x y x y z x y z + + + + + = = = + + Bi 19 : Tỡm x, bit rng: 1 2 1 4 1 6 18 24 6 y y y x + + + = = Bi 20: Tìm x, y, z biết: zyx yx z zx y yz x ++= + = ++ = ++ 211 (x, y, z 0 ) Bi 21 : Tìm x, y, z biết 216 3 64 3 8 3 zyx == và 122 222 =+ zyx Bi 22 : Tỡm x , y bit : 2 1 4 5 2 4 4 5 9 7 x y x y x + + = = Bi 23: Tỡm x bit a) x + 2x + 3x + 4x + + 2011x = 2012.2013 b) 1 2 3 4 2011 2010 2009 2008 x x x x + = Bi 24 Tỡm x nguyờn bit a) 1 1 1 1 49 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99x x + + + + = + b) 1- 3 + 3 2 3 3 + .+ (-3) x = 1006 9 1 4 Bi 25 : Tỡm x bit : a) 2011 2012x x = b) 2010 2011 2012x x + = Bi 26 : a.Tìm x biết 431 =++ xx b. Tìm x biết: 426 22 +=+ xxx c. Tìm x biết: 54232 =+ xx Bi 27 : a)Tìm các giá trị của x để: xxx 313 =+++ Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 2 - 84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7 b) Tỡm x bit: 2 3 2x x x = Bi 28 : tỡm x bit : a) 1 4x b) 2011 2012x Bi 29 : a) Tỡm x ngyờn bit : 1 3 5 7 8x x x x + + + = b) Tỡm x bit : 2010 2012 2014 2x x x + + = Bi 30 : Tỡm x nguyờn bit : 1 2 100 2500x x x + + + = Bi 31 : Tỡm x bit 1 2 100 605x x x x+ + + + + + = Bi 32 : Tìm x, y thoả mãn: x 1 x 2 y 3 x 4 + + + = 3 Bi 33 : Tỡm x, y bit : 2006 2012 0x y x + Bi 34 : Tìm các số nguyên x thoả mãn. 2004 4 10 101 990 1000x x x x x= + + + + + + + Bi 35: Tỡm s t nhiờn x, bit : a) 5 x + 5 x+2 = 650 b) 3 x-1 + 5.3 x-1 = 162 Bi 36 : Tỡm m , n nguyờn dng tha món : a) 2 m + 2 n = 2 m +n b) 2 m 2 n = 256 Bi 37 : Tỡm cỏc s t nhiờn x, y , bit: a) 2 x + 1 . 3 y = 12 x b) 10 x : 5 y = 20 y Bi 38 : Tỡm x , bit : ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + = Bi 39 : Tỡm x, y bit : 2012 2011 ( 1) 0x y y + = Bi 40: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 22 23)2004(7 yx = c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x 2 -2y 2 =1 Bi 41 a) Tỡm cỏc s nguyờn tha món : x y + 2xy = 7 b) Tỡm ,x y Ơ bit: 2 2 25 8( 2012)y x = Bi 42 a) Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho: 1 1 1 x y 5 + = b) Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mãn : b aa 553 23 =++ và c a 53 =+ Bi 43 : Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho: 12 n chia hết cho 7. Bi 44: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn: 2 2 2 2 5 2013 5 p p q+ = + Bi 45 Tìm số nguyên m để: a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1. b) 313 <m Bi 46 a) Tìm x nguyên để 6 1+x chia hết cho 2 3x b) Tìm Zx để A Z và tìm giá trị đó. Bi 47: Tỡm x nguyờn A = 3 21 + x x cú giỏ tr nguyờn. Bi 48: Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc a thc sau: Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 3 - 84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7 a) P(x) = 2x 2 4x + 2012 b) Q(x) = x 2 + 100x 1000 Bi 49 : Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau: a) A = - a 2 + 3a + 4 b) B = 2 x x 2 Bi 50 : Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc sau: a) P = 2 2012 4 2013x x+ + b) Q = 2012 2012 2013 2011 a a + + * Dng vn dng A 2n 0 vi mi A, - A 2n 0 vi mi A. Bi 51 : Tỡm GTNN ca biu thc : a) P = ( x 2y) 2 + ( y 2012) 2012 b) Q = ( x + y 3) 4 + ( x 2y) 2 + 2012 Bi 52 : Tỡm GTLN ca R = 4 2 2013 ( 2) ( ) 3x x y + + Bi 53 : Cho phân số: 54 23 + = x x C (x Z) a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó. b) Tìm x Z để C là số tự nhiên. Bi 54 : Tìm số tự nhiên n để phân số 32 87 n n có giá trị lớn nhất. Bi 55: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc a) A = ( x 2) 2 + y x + 3 b) B = 2011 2012 2010x c) C = 1 2 100x x x + + + Bi 56 : Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc b) 2010 2011 2012B x x x= + + a) 2011 2012A x x= + Bi 57: Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: ac c cb b ba a M + + + + + = không là số nguyên. Bi 58 : Vi a, b, c l cỏc s dng . Chng minh rng a) 1 1 ( )( ) 4a b a b + + (1) b) 1 1 1 ( )( ) 9a b c a b c + + + + (2) Bi 59 : a) Cho z, y, z là các số dơng. Chứng minh rằng: 4 3 222 ++ + ++ + ++ yxz z xzy y zyx x b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 0 ++ cabcab . Bi 60 : Cho cbxaxxf ++= 2 )( với a, b, c là các số hữu tỉ. Chứng tỏ rằng: 0)3().2( ff . Biết rằng 0213 =++ cba Bi 61 Cho đa thức cbxaxxf ++= 2 )( với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên. Bi 62 Chứng minh rằng: f(x) dcxbxax +++= 23 có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên. Bi 63 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức: 2011 2010 2009 2008 2 2012 2012 2012 2012 2012 1x x x x x x + + + Bi 64 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) = 2005220042 )43(.)43( xxxx +++ Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 4 - 84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7 Bi 65 : Mt vt chuyn ng trờn cỏc cnh hỡnh vuụng. Trờn hai cnh u vt chuyn ng vi vn tc 5m/s, trờn cnh th ba vi vn tc 4m/s, trờn cnh th t vi vn tc 3m/s. Hi di cnh hỡnh vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy Bi 66 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau. Bi 67 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian ô tô đi từ A đến B. Bi 68 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4. Tính quãng đờng mỗi ngời đi tới lúc gặp nhau ? Bi 69 : Ba i cụng nhõn lm 3 cụng vic cú khi lng nh nhau. Thi gian hon thnh cụng vic ca i , , ln lt l 3, 5, 6 ngy. Biờt i nhiu hn i l 2 ngi v nng sut ca mi cụng nhõn l bng nhau. Hi mi i cú bao nhiờu cụng nhõn ? Bi 70 : Ba ụ tụ cựng khi hnh i t A v phớa B . Vn tc ụ tụ th nht kộm ụ tụ th hai l 3 Km/h . Bit thi gian ụ tụ th nht, th hai v th ba i ht quóng ng AB ln lt l : 40 phỳt, 5 8 gi, 5 9 gi . Tớnh vn tc mi ụ tụ ? PPHN HèNH HC Bi 71 : Cho tam giác ABC có Â < 90 0 . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. Chứng minh: DC = BE và DC BE Bi 72: Cho tam giác ABC có Â < 90 0 . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . T B k BK CD ti K Chng minh rng ba im E, K, B thng hng Bi 73: Cho tam giác ABC có Â < 90 0 . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gi M l trung im ca DE k tia M A . Chng minh rng : MA BC Bi 74 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lợt ở M, N. Chứng minh rằng: a) DM = EN b) Đờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN. c) Đờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC Bi 75 : Cho ABC vuụng ti A, K l trung im ca BC . Qua K k ng thng vuụng gúc vi AK , ng thng ny ct cỏc ng thng AB v AC ln lt D v E Gi I l trung im ca DE . a) Chng minh rng : AI BC b) Cú th núi DE nh hn BC c khụng ? vỡ sao? Bi 76: Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M l trung im ca BC. ng thng i qua M v vuụng gúc vi tia phõn giỏc ca gúc A ti H ct hai tia AB, AC ln lt ti E v F. Chng minh rng: a) 2 2 2 4 EF AH AE + = b) ã ã à 2BME ACB B = . c) BE = CF Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 5 - 84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7 Bi 77 : Cho tam giỏc ABC cú gúc B v gúc C l hai gúc nhn .Trờn tia i ca tia AB ly im D sao cho AD = AB , trờn tia i ca tia AC ly im E sao cho AE = AC. a) Chng minh rng : BE = CD. b) Gi M l trung im ca BE , N l trung im ca CB. Chng minh M,A,N thng hng. c)Ax l tia bt k nm gia hai tia AB v AC. Gi H,K ln lt l hỡnh chiu ca B v C trờn tia Ax . Chng minh BH + CK BC. d) Xỏc nh v trớ ca tia Ax tng BH + CK cú giỏ tr ln nht. Bi 78 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH). a) Chứng minh: EM + HC = NH. b) Chứng minh: EN // FM. Bi 79 : Cho tam ABC vuụng ti A , đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC Bi 80 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: a) AE = AF b) BE = CF c) 2 ACAB AE + = Bi 81 Cho tam giác ABC có góc A khác 90 0 , góc B và C nhọn, đờng cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lợt là giao điểm của DE với AB và AC. a) Chng minh : Tam giỏc ADE cõn ti A b) Tính số đo các góc AIC và AKB ? Bi 82. Cho ABC vi gúc A khụng vuụng v gúc B khỏc 135 o . Gi M l trung im ca BC. V phớa ngoi ABC v ABD vuụng cõn ỏy AB. ng thng qua A vuụng gúc vi AB v ng thng qua C song song vi MD ct nhau ti E. ng thng AB ct CE ti P v DM ti Q . Chng minh rng Q l trung im ca BP. Bi 83. Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú à 0 A 20= , v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh: a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC b) AM = BC Bi 84 Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ( AB > AC) . Tia phõn giỏc gúc B ct AC D. K DH vuụng gúc vi BC. Trờn tia AC ly im E sao cho AE = AB . ng thng vuụng gúc vi AE ti E ct tia DH K . Chng minh rng : a) BA = BH b) ã 0 45DBK = c) Cho AB = 4 cm, tớnh chu vi tam giỏc DEK Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 6 - . tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy Bi 66 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh. 84 Bài tập ôn thi học sinh giỏi Toán 7 Bài 1 Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 Bài 2 Cho 20052004432 3 1 3 1 . ã ã à 2BME ACB B = . c) BE = CF Biờn son : Nguyn Nh Qung THCS Hp Thanh - 5 - 84 Bi tp ụn thi hc sinh gii Toỏn 7 Bi 77 : Cho tam giỏc ABC cú gúc B v gúc C l hai gúc nhn .Trờn tia i ca tia AB ly