Đang tải... (xem toàn văn)
Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE.. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác củ[r]
(1)Bài Tính: Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 S = 23 + 43 + 63 + + 203 Bài 1 1 1 Cho B= + + + + + 2004 + 2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B< 1 1 2012 P 2011 2010 2009 2011 Bài : TÝnh Bài : 11 − 15 −6 31 19 14 31 A= −1 93 50 1 + 12−5 6 1 1 > Bài : Chøng tá r»ng: B=1 − − − − .− 2 3 2004 2004 2 a c a c a 2 b Bài : Cho c b Chứng minh rằng: b c Bài : Cho a,b,c R và a,b,c thoả mãn b = ac Chứng minh rằng: (a 2012b) a c = (b 2012c) [ Bài : Chøng minh r»ng nÕu ( ( a c = b d ) ) th× ( ) ] a+3 b c +3 d = a − b c −3 d a b ab 2 cd với a,b,c, d 0 Chứng minh : Bài BiÕt c d a c a d b d b c a c = Bài 10 Cho tØ lÖ thøc Chøng minh r»ng: b d 2 2 ab a −b a+b a +b vµ = 2 = 2 cd c − d c+ d c +d Bài 11 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau: a+ b+c +d a+2 b+ c+ d a+ b+2 c+ d a+b+ c+2 d = = = a b c d a+b b+c c +d d +a TÝnh M = + + + c+ d d +a a+b b+c ( ) Bài 12 : a) Chøng minh r»ng: x y z NÕu = = a+2 b+c a+b −c a −4 b+c a b c Th× = = x +2 y + z x+ y − z x − y + z (2) b) Cho: a b c = = b c d Chøng minh: ( a+ b+c a = b+c +d d ) y z x z x y x y z x y z Bài 13 : Cho số x , y , z khác thỏa mãn điều kiện : x y z 1 1 1 y z x Hãy tính giá trị biểu thức : B = Bài 14 : Cho các số a,b,c,d khác Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 2010 2010 2010 x y z t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010 a2 b2 c2 d a b c d Biết x,y,z,t thỏa mãn: a b c Bài 15 : Cho số a, b, c thỏa mãn : 2009 2010 2011 Tính giá trị biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x Bài 16: Tìm cặp số (x;y) biết : a b c Bài 17 : Cho b c a và a + b + c ≠ 0; a = 2012 Tính b, c Bài 18 : Tìm các số x,y,z biết : y x 1 x z x y x y z xyz 1 y 1 y 1 y 24 6x Bài 19 : Tìm x, biết rằng: 18 x y z = = =x + y + z Bài 20: T×m x, y, z biÕt: (x, y, z ) z + y +1 x+ z +1 x+ y − 3x 3y 3z = = Bài 21 : T×m x, y, z biÕt vµ x +2 y − z 2=1 64 216 x 1 y x y 7x Bài 22 : Tìm x , y biết : Bài 23: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 x x x x b) 2011 2010 2009 2008 Bài 24 Tìm x nguyên biết 1 1 49 (2 x 1)(2 x 1) 99 a) 1.3 3.5 5.7 91006 b) 1- + 32 – 33 + ….+ (-3)x = Bài 25 : Tìm x biết : a) x 2011 x 2012 b) x 2010 x 2011 2012 Bài 26 : a.T×m x biÕt |x − 1|+|x +3|=4 b T×m x biÕt: c T×m x biÕt: |2 x+3|− 2|4 − x|=5 Bài 27 : a)Tìm các giá trị x để: |x +3|+|x +1|=3 x 2x x x b) Tìm x biết: Bài 28 : tìm x biết : |x 2+|6 x − 2||=x +4 (3) a) x 4 b) x 2011 2012 x x x x 8 Bài 29 : a) Tìm x ngyên biết : x 2010 x 2012 x 2014 2 b) Tìm x biết : x x x 100 2500 Bài 30 : Tìm x nguyên biết : x x x 100 605 x Bài 31 : Tìm x biết x 1 x y x Bài 32 : T×m x, y tho¶ m·n: = x 2006 y x 2012 0 Bài 33 : Tìm x, y biết : Bài 34 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n 2004 x x 10 x 101 x 990 x 1000 Bài 35: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 Bài 36 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 Bài 37 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết: a) 2x + 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y x 7 Bài 38 : Tìm x , biết : x 1 x 7 x 11 0 x 2011y ( y 1)2012 0 Bài 39 : Tìm x, y biết : Bài 40: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y cho: 51x + 26y = 2000 2 b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: x − 2004 ¿ =23 − y 7¿ c) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = d) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2-2y2=1 Bài 41 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = 2 b) Tìm x, y biết: 25 y 8( x 2012) 1 x y Bài 42 a) T×m gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x vµ y, cho: b) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d¬ng tho¶ m·n : b c a +3 a +5=5 vµ a+3=5 Bài 43 : T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng n cho: 2n − chia hÕt cho Bài 44: T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 52 p 2013 52 p q Bài 45 Tìm số nguyên m để: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + b) |3 m− 1|<3 Bài 46 a) Tìm x nguyên để √ x+1 chia hết cho √ x −3 b) Tìm x ∈ Z để A Z và tìm giá trị đó −2 x Bài 47: Tìm x nguyên để A= có giá trị nguyên x+3 Bài 48: Tìm giá trị nhỏ các đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 Bài 49 : Tìm giá trị nhỏ các biểu thức sau: a) A = - a2 + 3a + b) B = x – x2 (4) Bài 50 : Tìm giá trị lớn các biểu thức sau: 2012 a 2012 2013 2012 a) P = x x 2013 b) Q = a 2011 * Dạng vận dụng A2n với A, - A2n với A Bài 51 : Tìm GTNN biểu thức : a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 2013 Bài 52 : Tìm GTLN R = ( x 2) ( x y ) 3|x|+2 Bài 53 : Cho ph©n sè: C= (x Z) 4|x|−5 a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó b) Tìm x Z để C là số tự nhiên n− Bài 54 : Tìm số tự nhiên n để phân số cã gi¸ trÞ lín nhÊt 2n − Bài 55: Tìm giá trị nhỏ biểu thức y x a) A = ( x – 2)2 + +3 2011 x x x 100 2012 x 2010 b) B = c) C = Bài 56 : Tìm giá trị nhỏ các biểu thức B x 2010 x 2011 x 2012 A x 2011 x 2012 b) a) a b c + + Bài 57: Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M = kh«ng lµ sè nguyªn a+b b+c c+ a Bài 58 : Với a, b, c là các số dương Chứng minh 1 1 (a b)( ) 4 (a b c)( ) 9 a b a b c a) (1) b) (2) Bài 59 : a) Cho z, y, z lµ c¸c sè d¬ng x y z Chøng minh r»ng: + + ≤ x + y + z y + z + x z+ x + y b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab+ bc+ ca ≤ Bài 60 : Cho f (x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ Chøng tá r»ng: f (−2) f (3)≤ BiÕt r»ng 13 a+b+ 2c =0 Bài 61 Cho ®a thøc f ( x)=ax2 + bx+ c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn Bài 62 Chøng minh r»ng: f(x) ¿ ax 3+ bx +cx+ d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn vµ chØ 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn Bài 63 : Cho x = 2011 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2011 x 2012 x 2010 2012 x 2009 2012 x 2008 2012 x 2012 x Bài 64 : Tìm tổng các hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = 3+4 x+ x ¿2005 −4 x+ x ¿2004 ¿ ¿ Bài 65 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây (5) Bài 66 : Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y Mçi häc sinh líp 7A trång đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh Biết số cây lớp trồng đợc nh Bài 67 : Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đó đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Bài 68 : Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình lµ 2: §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: Tính quãng đờng ngời tới lúc gặp ? Bài 69 : Ba đội công nhân làm công việc có khối lượng Thời gian hoàn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ là 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ là người và suất công nhân là Hỏi đội có bao nhiêu công nhân ? Bài 70 : Ba ô tô cùng khởi hành từ A phía B Vận tốc ô tô thứ kém ô tô thứ hai là Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba hết quãng đường AB là : 40 phút, giờ, Tính vận tốc ô tô ? PPHẦN HÌNH HỌC Bài 71 : Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC Chøng minh: DC = BE vµ DC BE Bài 72: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC Từ B kẻ BK CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng Bài 73: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC Gọi M là trung điểm DE kẻ tia M A Chứng minh : MA BC Bài 74 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lợt M, N Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN c) Đờng thẳng vuông góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi trên cạnh BC Bài 75 : Cho ∆ABC vuông A, K là trung điểm BC Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC D và E Gọi I là trung điểm DE a) Chứng minh : AI BC b) Có thể nói DE nhỏ BC không ? vì sao? Bài 76: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm BC Đường thẳng qua M và vuông góc với tia phân giác góc A H cắt hai tia AB, AC E và F Chứng minh rằng: EF AH AE a) b) 2BME ACB B c) BE = CF Bài 77 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh : BE = CD b) Gọi M là trung điểm BE , N là trung điểm CB Chứng minh M,A,N thẳng hàng (6) c)Ax là tia nằm hai tia AB và AC Gọi H,K là hình chiếu B và C trên tia Ax Chứng minh BH + CK BC d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn Bài 78 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền ngoài tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuéc AH) a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM Bài 79 : Cho tam ABC vuụng A , đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đ ờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chøng minh: AE = BC Bài 80 Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF AB+ AC c) AE= Bài 81 Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đờng cao AH Vẽ các điểm D, E cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE Gäi I, K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC a) Chứng minh : Tam giác ADE cân A b) TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bài 82 Cho ∆ ABC với góc A không vuông và góc B khác 135 o Gọi M là trung điểm BC Về phía ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua C song song với MD cắt E Đường thẳng AB cắt CE P và DM Q Chứng minh Q là trung điểm BP Bài 83 Cho tam giác ABC cân A có A 20 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM = BC Bài 84 Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vuông góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vuông góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh : a) BA = BH b) DBK 45 c) Cho AB = cm, tính chu vi tam giác DEK (7)