TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2012- 2013 TỔ TOÁN – TIN MÔN TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I: (2.0 điểm) Cho hàm số y = 2x+4 x-1 có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi M là một điểm trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M. Câu II: (3.0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 xy x y x y x y x y + + = + + = − 2. Giải phương trình: 2 sin 2 (x- 4 π ) = 2sin 2 x - tanx. 3. Tính tích phân: I = 4 2 4 sinx x 1 d x x π π − + + ∫ Câu III: (2.0 điểm) 1. Cho tập hợp A= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó phải có chữ số 0 và 3. 2. Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và đáy là 30 0 . Hình chiếu H của A trên (A’B’C’) thuộc đường thẳng B’C’. Tính khoảng cách giữa AA’ và B’C’ theo a. II. PHẦN RIÊNG (3 điểm). THÍ SINH CHỌN MỘT TRONG HAI PHẦN SAU: 1. Theo chương trình chuẩn Câu IVa: (2.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác cân ABC tại A, có trọng tâm G( 4 1 ; 3 3 ), phương trình đường thẳng BC là: x - 2y - 4 = 0, đường thẳng BG: 7x - 4y - 8 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4z – 4 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x + 2y – 2z + 2013 = 0 và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có đường kính bằng 4. Câu Va: (1.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 0z z+ = 2. Theo chương trình nâng cao Câu IVb: (2.0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn có phương trình (C): (x-1) 2 + (y+2) 2 = 9 và đường thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm A mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d 2 1 4 6 8 x y z− + = = − − và hai điểm A(1;-1;2), B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất . Câu Vb: (1.0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 4 3 1 0 2 z z z z− + + + = hết (Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm!) Họ và tên thí sinh: , số báo danh: ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Ý Nội dung Điểm I Cho hàm số 2 4 1 x y x + = − 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1,00 điểm) -Tập xác định 0.25 - Sự biến thiên 0.5 - Đồ thị 0.25 2 Gọi ( ) 2 4 ; 1 1 a M a C a a + ∈ ≠ ÷ − Tiếp tuyến tại M có phương trình: ( ) ( ) 2 6 2 4 1 1 a y x a a a − + = − + − − Giao điểm với tiệm cận đứng 1x = là 2 10 1; 1 a A a + ÷ − Giao điểm với tiệm cận ngang 2y = là ( ) 2 1;2B a − Giao hai tiệm cận I(1; 2) ( ) ( ) 12 1 1 ; 2 1 . .24 12 1 2 2 IAB IA IB a S IA AB dvdt a = = − ⇒ = = = − Suy ra đpcm 0.25 0.25 0.25 0.25 II 1 Giải hệ …(1 điểm) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0 2 xy x y x y dk x y x y x y + + = + + > + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 0 2 2 0 xy x y xy x y xy x y xy x y x y ⇔ + − + − = ⇔ + − + + − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 0 1 1 2 0 1 3 0 4 x y x y xy x y x y x y x y xy x y x y x y ⇔ + + − − + − = ⇔ + − + + + − = + = ⇔ + + + = 0.5 Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0 Thế (3) vào (2) ta được 2 1x y − = Giải hệ 2 1 1; 0 2; 3 1 x y x y x y x y + = = = ⇒ = − = − = …… 0.5 2 Giải phương trình….(1 điểm) Đk: cos 0x ≠ (*) 2 2 2 sinx 2sin 2sin t anx 1 cos 2 2sin 4 2 cos x x x x x π π − = − ⇔ − − = − ÷ ÷ 0.25 ( ) 2 cos sin 2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin 2 cos sinx 0x x x x x x x x ⇔ − − + ⇔ + − + = 0.25 cos 0 sinx cos tanx 1 4 4 2 sin 2 1 2 2 2 4 x x x k x k x x l x l π π π π π π π π ≠ = − → = − ⇔ = − + ⇔ → = + = ⇔ = + ⇔ = + (tm(*))… 0.5 3 / 4 / 4 / 4 2 1 2 2 / 4 / 4 / 4 sin 1 sin sin 1 x I dx x xdx x xdx I I x x π π π π π π − − − = = + − = + + + ∫ ∫ ∫ Vì hàm số y = 2 1 x+ sinx là hàm số lẻ nên I 1 = 0. Tính: I 2 = 2( 4) 4 π − Vậy : I = 2( 4) 4 π − 0.25x4 III 1 -Gọi số cần tìm là ( ) 0abcde a ≠ -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a. Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: 2 5 A cách 3 vị trí còn lại có 3 4 A cách Suy ra có 2 3 5 4 A A số -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0. Xếp 3 có 4 cách 3 vị trí còn lại có 3 4 A cách Suy ra có 3 4 4.A số Vậy số các số cần tìm tmycbt là: 2 3 5 4 A A - 3 4 4.A = 384 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Do ' ' ' ( )AH A B C⊥ nªn gãc ' AA H∠ lµ gãc gi÷a AA ’ vµ (A ’ B ’ C ’ ), theo gi¶ thiÕt th× gãc ' AA H∠ b»ng 30 0 . XÐt tam gi¸c vu«ng AHA ’ cã AA ’ = a, gãc ' AA H∠ =30 0 ' 3 2 a A H⇒ = . Do tam gi¸c A ’ B ’ C ’ lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, H thuéc B ’ C ’ vµ ' 3 2 a A H = nªn A ’ H vu«ng gãc víi B ’ C ’ . MÆt kh¸c ' ' AH B C⊥ nªn ' ' ' ( )B C AA H⊥ KÎ ®êng cao HK cña tam gi¸c AA ’ H th× HK chÝnh lµ kho¶ng c¸ch gi÷a AA ’ vµ B ’ C ’ A ’ A B C C ’ B ’ K H Ta cã AA ’ .HK = A ’ H.AH ' ' . 3 4 A H AH a HK AA ⇒ = = IVa 1 (0; 2)BC BG B∩ = − 0,25 Gọi M là trung điểm của BC thì M nằm trên đường thẳng qua G và vuông góc với BC. Đường thẳng AG có phương trình : 2x+y-3=0 nên M(2 ;-1) 0,25 Ta có: M là trung điểm BC nên C(4;0) 0,25 Mà 2 3 AG AM= uuur uuuur nên A(0;3) 0.25 2 + (S) có tâm )2,0,1( −J bán kính R = 3 + (P) có phương trình dạng : 022 =+−+ Dzyx + (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = 2 nên d( J , (P) ) = 5 22 =− rR nên ta có : 5 3 )2.(20.21 = +−−+ D −−= +−= ↔ 535 535 D D + KL : Có 2 mặt phẳng : (P 1 ): 053522 =+−−+ zyx và (P 2 ) : 053522 =−−−+ zyx 0.25x4 Va z = x + iy ( ,x y R∈ ), z 2 + 2 2 2 2 0 2 0z x y x y xyi= ⇔ − + + + = 0.25 2 2 2 2 2 0 0 xy x y x y = ⇔ − + + = 0.25 0 0 0 1 0 1 x y x y x y = = = ⇔ = = = − 0.25 Vậy: z = 0, z = i, z = - i 0.25 Vb 1 Tõ ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña ®êng trßn ta cã t©m I(1;-2), R = 3, tõ A kÎ ®îc 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tíi ®êng trßn vµ ACAB ⊥ => tø gi¸c ABIC lµ h×nh vu«ng c¹nh b»ng 3 23=⇒ IA 0,5 = −= ⇔=−⇔= − ⇔ 7 5 6123 2 1 m m m m 0,5 2 Véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là: 1 u ur (4; - 6; - 8) và 2 u uur ( - 6; 9; 12) +) 1 u ur và 2 u uur cùng phương 0,25đ +) M( 2; 0; - 1) ∈ d 1 ; M( 2; 0; - 1) ∉ d 2 Vậy d 1 // d 2 0,25đ *) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là n r = ( 5; - 22; 19); (P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0 AB uuur = ( 2; - 3; - 4); AB // d 1 Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua d 1 . Ta có: IA + IB = IA 1 + IB ≥ A 1 B IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A 1 B Khi A 1 , I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A 1 B và d Do AB // d 1 nên I là trung điểm của A 1 B. *) Gọi H là hình chiếu của A lên d 1 . Tìm được H 36 33 15 ; ; 29 29 29 ÷ 0,25đ A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95 28 ; ; 29 29 29 − ÷ I là trung điểm của A’B suy ra I 65 21 43 ; ; 29 58 29 − − ÷ 0,25đ Vb Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0≠ Chia hai vế PT (1) cho z 2 ta được : ( 0 2 1 ) 1 () 1 2 2 =+−−+ z z z z (2) 0.25đ Đặt t=z- z 1 Khi đó 2 1 2 22 −+= z zt 2 1 2 2 2 +=+⇔ t z z Phương trình (2) có dạng : t 2 -t+ 0 2 5 = (3) 2 99 2 5 .41 i=−=−=∆ PT (3) có 2 nghiệm t= 2 31 i+ ,t= 2 31 i− 0.25đ Với t= 2 31 i+ ta có 02)31(2 2 311 2 =−+−⇔ + =− ziz i z z (4) Có 222 )3(696816)31( iiiii +=++=+=++=∆ PT(4) có 2 nghiệm : z= i ii += +++ 1 4 )3()31( ,z= 2 1 4 )3()31( − = +−+ iii 0.25đ Với t= 2 31 i− ta có 02)31(2 2 311 2 =−−−⇔ − =− ziz i z z (4) Có 222 )3(696816)31( iiiii −=+−=−=+−=∆ PT(4) có 2 nghiệm : z= i ii −= −+− 1 4 )3()31( ,z= 2 1 4 )3()31( −− = −−− iii Vậy PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= 2 1−i ; z= 2 1−− i 0.25đ . 2 1 2 22 −+= z zt 2 1 2 2 2 +=+⇔ t z z Phương trình (2) có dạng : t 2 -t+ 0 2 5 = (3) 2 99 2 5 .41 i=−=−=∆ PT (3) có 2 nghiệm t= 2 31 i+ ,t= 2 31 i− 0 .25 đ Với t= 2 31 i+ ta có 02) 31 (2 2 311 2 =−+−⇔ + =−. cận I(1; 2) ( ) ( ) 12 1 1 ; 2 1 . .24 12 1 2 2 IAB IA IB a S IA AB dvdt a = = − ⇒ = = = − Suy ra đpcm 0 .25 0 .25 0 .25 0 .25 II 1 Giải hệ …(1 điểm) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0 2 xy x y x y dk x y x. R∈ ), z 2 + 2 2 2 2 0 2 0z x y x y xyi= ⇔ − + + + = 0 .25 2 2 2 2 2 0 0 xy x y x y = ⇔ − + + = 0 .25 0 0 0 1 0 1 x y x y x y = = = ⇔ = = = − 0 .25 Vậy: