SỞ GD&ĐT SÓC TRĂNG KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2012-2013 TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI Môn: TOÁN – Lớp 12 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm) Câu I. (3,0 điểm) Cho hàm số 4 2 4 1 y x x = − + . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 0 4 3 x = − . Tìm tọa độ giao điểm của d và (C). Câu II. (3,0 điểm) 1) Tính tích phân ( ) 3 4 2 0 tan 1 cos x I dx x π + = ∫ . 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ln , 0, 1 y x y x = = = và x e = . 3) Cho số phức z thoả mãn (2 ) 7 z i z i + + = + . Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Câu III (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 3 1 : 1 1 2 x y z d − − = = − và 2 3 2 : 1 1 2 x t d y t z t = + = − = − . Chứng minh hai đường thẳng đã cho cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng. II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Học sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu IVa. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm (3;1;1), A ( 1; 3; 3) B − − và mặt phẳng ( ) : 2 6 3 11 0 P x y z + − − = . 1) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B . Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( ) P . 2) Viết phương trình mặt cầu ( ) S có đường kính AB . Chứng minh ( ) P tiếp xúc với ( ) S . Câu Va. (1,0 điểm) Gọi 1 z và 2 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 8 25 0 z z − + = . Tính giá trị của biểu thức 1 2 A z z = + . B. Theo chương trình Nâng cao Câu IVb. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm (1; 4; 1), (0;2;1) A B − đường thẳng ∆ : 1 2 3 1 4 x y z + − = = − . 1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) P qua A và vuông góc với ∆ . Tìm tọa độ giao điểm H của ( ) P và ∆ . 2) Viết phương trình mặt cầu ( ) S tâm A và đi qua B . Chứng minh ∆ tiếp xúc với ( ) S . Câu Vb. (1,0 điểm) Gọi 1 z và 2 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 4 0 z iz − − = . Tính giá trị của biểu thức 1 2 A z z = + . H ẾT Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên học sinh: Lớp: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2: 1 TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2012-2013 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – Lớp 12 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (Đáp án này có 04 trang) CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Câu I (3 điểm) 1) (2 điểm) 4 2 4 1 y x x = − + a) Tập xác định: » . 0.25 b) Sự biến thiên o Đạo hàm: 3 4 8 y x x ′ = − ; 0 0 2 x y x = ′ = ⇔ = ± . 0.25 o Giới hạn: lim ; lim . x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = +∞ 0.25 o Bảng biến thiên x −∞ 2 − 0 2 +∞ y ′ − 0 + 0 − 0 + y +∞ 1 +∞ 3 − 3 − 0.25 o Chiều biến thiên: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 0) − và ( 2; ) +∞ . + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 2) −∞ − và (0; 2) . 0.25 o Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại 0 x = ; (0) 1 y y = = CĐ . + Hàm số đạt cực tiểu tại 2 x = ± ; CT ( 2) 3 y y = ± = − . 0.25 c) Đồ thị 0.5 2. (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến … 2 Khi 0 4 3 x = − thì ( ) 0 239 81 y x = − và ( ) 0 32 27 y x ′ = . 0.25 Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 0 4 3 x = − là 32 4 239 ( ) 27 3 81 y x= + − hay 32 37 27 27 y x= − . 0.25 Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của pt: 4 2 32 37 4 1 27 27 x x x− + = − (1). Ta có: 4 2 32 64 (1) 4 0 27 27 x x x ⇔ − − + = 2 2 4 8 4 0 3 3 3 x x x ⇔ + − + = 4 3 2 2 3 x x x = − ⇔ = = 0.25 Suy ra tọa độ các giao điểm của d và (C) là : 4 239 ; 3 81 − − , ( ) 2;1 và 2 47 ; 3 81 − . 0.25 Câu II. (3 điểm) 1. (1 điểm) Tính tích phân ( ) 3 4 2 0 tan 1 cos x I dx x π + = ∫ . Đặt 2 1 tan 1 cos t x dt dx x = + ⇒ = . Đổi cận : 0 1 x t = ⇒ = ; 2 4 x t π = ⇒ = . 0.25 Ta có: 2 3 1 I t dt = ∫ 0.25 2 4 1 4 t = 0.25 15 4 = . 0.25 2. (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ln , 0, 1 y x y x = = = , x e = . Diện tích cần tính: 1 1 ln ln e e S x dx xdx = = ∫ ∫ 0.25 Chọn 1 lnu x du dx x dv dx v x = = ⇒ = = . 0.25 Theo công thức tích phần từng phần ta có: ( ) 1 1 1 ln e e e S x x dx e dx = − = − ∫ ∫ 0.25 ( ) 1 ( 1) 1 e e x e e = − = − − = . 0.25 3 3. (1 điểm) (2 ) 7 z i z i + + = + . Đặt z a bi = + ( , ) a b ∈ » . Ta có: (2 ) 7 z i z i + + = + ( ) (2 )( ) 7 a bi i a bi i ⇔ − + + + = + 0.25 ( ) 3 ( ) 7 a b a b i i ⇔ − + + = + 0.25 3 7 2 1 1 a b a a b b − = = ⇔ ⇔ + = = − . Vậy 2 z i = − . 0.25 Điểm biểu diễn z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là (2; 1) − . 0.25 Câu III . ( 1.0 điểm) 1 3 1 : 1 1 2 x y z d − − = = − , 2 3 2 : 1 1 2 x t d y t z t = + = − = − 1 d có phương trình tham số là 3 1 2 x t y t z t ′ = ′ = − ′ = + . 0.25 1 d cắt 2 d khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3 2 1 3 1 2 1 2 t t t t t t ′ + = ′ − = − ′ − = + . 0.25 Giải hệ phương trình trên, ta được nghiệm duy nhất của hệ là ( ) ; ( 1;1) t t ′ = − . Vậy 1 d cắt 2 d . 0.25 Thay 1 t = − vào pt của 2 d , ta được tọa độ giao điểm của 1 d và 2 d là ( ) 1;2;3 . 0.25 Câu IVa. (2 điểm) (3;1;1), A ( 1; 3;3) B − − , ( ) : 2 6 3 11 0 P x y z + − − = 1. (1 điểm) Vì ∆ đi qua (3;1;1) A và có véctơ chỉ phương ( ) 4; 4;2 AB = − − 0.25 nên ∆ có phương trình tham số là 3 4 1 4 1 2 x t y t z t = − = − = + . 0.25 Vì M ∈ ∆ nên (3 4 ;1 4 ;1 2 ) M t t t − − + . Vì ( ) M P ∈ nên 2 6 3 11 0 M M M x y z + − − = hay ( ) ( ) ( ) 2 3 4 6 1 4 3 1 2 11 0 t t t − + − − + − = 0.25 1 19 t⇔ = − . Suy ra 61 23 17 ; ; 19 19 19 M . 0.25 2. (1 điểm) Mặt cầu ( ) S có tâm là trung điểm (1; 1;2) I − của đoạn AB và có bán kính 3 2 AB r = = . 0.25 Ph ương trình của ( ) S là 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) 9 x y z − + + + − = . 0.25 4 Ta có 2 2 2 2 2 2 2 6 3 11 2.1 6( 1) 3.2 11 ( ,( )) 3 2 6 ( 3) 2 6 ( 3) I I I x y z d I P + − − + − − − = = = + + − + + − . 0.25 Vì ( ,( )) d I P r = nên ( ) P tiếp xúc với ( ) S . 0.25 Câu Va. (1 điểm) Gọi 1 z và 2 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 8 25 0 z z − + = . Tính giá trị của biểu thức 1 2 A z z = + . Phương trình đã cho có biệt thức 2 36 (6 ) i ∆ = − = . 0.25 Suy ra 1 8 6 4 3 2 i z i + = = + ; 0.25 2 8 6 4 3 2 i z i − = = − . 0.25 2 2 2 2 4 3 4 ( 3) 10 A = + + + − = . 0.25 Câu IVb. (2 điểm) (1;4; 1), (0;2;1) A B − , ∆ : 1 2 3 1 4 x y z + − = = − 1. (1 điểm) Đường thẳng ∆ có một véctơ chỉ phương là (3; 1;4) u ∆ = − . Vì ( ) P ⊥ ∆ nên ( ) P nhận (3; 1;4) u ∆ = − làm véctơ pháp tuyến. 0.25 Vì ( ) P qua (1;4; 1) A − và có véctơ pháp tuyến là (3; 1;4) u ∆ = − nên ( ) P có phương trình là 3( 1) 1( 4) 4( 1) 0 x y z − − − + + = hay 3 4 5 0 x y z − + + = . 0.25 +) Vì H ∈ ∆ nên ( 1 3 ;2 ;4 ) H t t t − + − . +) Vì ( ) H P ∈ nên 3 4 5 0 H H H x y z − + + = hay ( ) ( ) 3 1 3 2 4.4 5 0 t t t − + − − + + = 0.25 0 t ⇔ = . Suy ra ( ) 1;2;0 H − 0.25 2. (1 điểm) Bán kính của ( ) S là 3 r AB = = . 0.25 Phương trình của ( ) S là 2 2 2 ( 1) ( 4) ( 1) 9 x y z − + − + + = . 0.25 Ta có 2 2 2 ( , ) ( 1 1) (2 4) (0 1) 3 d A AH ∆ = = − − + − + + = . 0.25 Vì ( , ) d A r ∆ = nên ∆ tiếp xúc với ( ) S . 0.25 Câu Vb. (1 điểm) Gọi 1 z và 2 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 4 0 z iz − − = . Tính giá trị của biểu thức 1 2 A z z = + . Phương trình đã cho có biệt thức 4 ∆ = . 0.25 Suy ra 1 2 3 2 1 3 2 i z i + = = + ; 0.25 2 2 3 2 1 3 2 i z i − = = − + . 0.25 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 1 3 4 A = + + − + = . 0.25 H ết . SỞ GD&ĐT SÓC TRĂNG KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2012-2013 TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI Môn: TOÁN – Lớp 12 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN. TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2012-2013 TỔ TOÁN Môn: TOÁN – Lớp 12 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM (Đáp án này có 04 trang) CÂU Ý