SỞ GD – ĐT SÓC TRĂNG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II, NĂM HỌC 2010 – 2011 TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI Môn: Toán 12 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề I. PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm) Câu I. (3,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2 1 4 20 9 3 3 9 y x x x= - - + . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 8 3 . Câu II. (3,0 điểm) 1) Tính tích phân ( ) 1 4 0 3 1I x x dx= + ò . 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( 1) , 0, 0 x y x e y x= - = = . 3) Cho số phức 3 2z i= + . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 2 z i z+ × . Câu III. (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng 1 1 1 : 2 1 1 x y z d - + = = - và 2 3 2 : 1 3 x t d y t z t ì ï = + ï ï ï = - í ï ï = - + ï ï î . Chứng minh rằng: 1 d vuông góc với 2 d và 1 d cắt 2 d . II. PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Học sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu IVa. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) ( ) 2 2 2 ( ) : 1 1 25S x y z+ + + - = mặt phẳng ( ) : 2 2 6 0P x y z+ - - = . 1) Xác định tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S). Tính khoảng cách từ I đến ( )P . 2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua I và vuông góc với ( )P . Tìm tọa độ giao điểm của d và ( )P . Câu Va. (1,0 điểm) Gọi 1 z và 2 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 6 25 0z z- + = . Hãy tính giá trị của biểu thức 1 2 A z z= + . B. Theo chương trình Nâng cao Câu IVb. (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho điểm (0; 1;2)A - đường thẳng D : 1 2 1 2 3 x y z+ - = = - . 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng D . 2) Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa điểm A và đường thẳng D . Câu Vb. (1,0 điểm) Tìm môđun của số phức 7 (1 3 )z i= - . HẾT Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. SỞ GD – ĐT SÓC TRĂNG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II, NĂM HỌC 2010 – 2011 TRƯỜNG THPT ĐẠI NGÃI Môn: Toán 12 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN (Đáp án này có 05 trang) CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM Câu I (3 điểm) 1) (2 điểm) 3 2 2 1 4 20 9 3 3 9 y x x x= - - + a) Tập xác định: ¡ . 0.25 b) Sự biến thiên o Đạo hàm: 2 2 2 4 3 3 3 y x x ¢ = - - ; 1 0 2 x y x é = - ê ¢ = Û ê = ê ë . 0.25 o Giới hạn: lim ; lim . x x y y + ¥ - ¥® ® = + ¥ = - ¥ 0.25 o Bảng biến thiên x - ¥ 1- 2 + ¥ y ¢ + 0 - 0 + y 3 + ¥ - ¥ 0 0.25 o Chiều biến thiên: + Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1)- ¥ - và (2; )+ ¥ ; + Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;2)- . 0.25 o Cực trị: + Hàm số đạt cực đại tại 1x = - và ( 1) 3y y= - = CĐ ; + Hàm số đạt cực tiểu tại 2x = và CT (2) 0y y= = . 0.25 c) Đồ thị 0.5 2. (1 điểm) Viết phương trình các tiếp tuyến … Cách 1 1/5 Kớ hiu d l tip tuyn ca (C) v 0 0 ( ; )x y l ta tip im. Ta cú: H s gúc ca d bng 8 3 0 8 ( ) 3 y x  = 0.25 02 0 0 0 3 2 2 4 8 2 3 3 3 3 x x x x ộ = ờ - - = ờ = - ờ ở . 0.25 0 0 11 3 9 x y= =ị ; 0 0 16 2 9 x y= - =ị . 0.25 T ú ta c phng trỡnh cỏc tip tuyn theo yờu cu ca bi l: 8 61 3 9 y x= - v 8 64 3 9 y x= + . 0.25 Cỏch 2 ng thng d cú h s gúc bng 8 3 cú phng trỡnh dng: 8 3 y x b= + . d l tip tuyn ca (C) khi v ch khi h phng trỡnh sau cú nghim: 3 2 2 2 1 4 20 8 (1) 9 3 3 9 3 2 2 4 8 (2) 3 3 3 3 x x x x b x x ỡ ù ù - - + = + ù ù ù ớ ù ù - - = ù ù ù ợ 0.25 3 (2) 2 x x ộ = ờ ờ = - ờ ở . 0.25 H cú nghim khi (1) cú nghim l 3 hoc 2- 61 9 b = - hoc 64 9 b = . 0.25 T ú ta c phng trỡnh cỏc tip tuyn theo yờu cu ca bi l: 8 61 3 9 y x= - v 8 64 3 9 y x= + . 0.25 Cõu II. (3 im) 1. (1 im) Tớnh tớch phõn ( ) 1 4 0 3 1I x x dx= + ũ . t 3 1t x= + 1 1 ; 3 3 t x dx dt - = =ị . x 0 1 t 1 4 0.25 Ta cú: 4 4 1 1 1 3 3 t I t dt - = ì ì ũ 0.25 4 5 4 1 1 ( ) 9 t t dt= - ũ 4 6 5 1 1 9 6 5 t t ổ ử ữ ỗ ữ = - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0.25 531 10 = 0.25 2/5 2. (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( 1) , 0, 0 x y x e y x= - = = . Ta có: ( 1) 0 1 x x e x- = =Û . Diện tích S của hình phẳng cần tính là: 1 1 0 0 ( 1) (1 ) x x S x e dx x e dx= - = - ò ò 0.25 Ta tính S bằng phương pháp tích phân từng phần. Chọn 1 x x u x du dx dv e dx v e ì ì ï ï = - = - ï ï ï ï Þ í í ï ï = = ï ï ï ï î î . Ta có: ( ) 1 1 0 0 1 x x S x e e dx é ù = - + ê ú ë û ò 0.25 1 0 0 1 ( ) x e= - + 0.25 2e= - . 0.25 3. (1 điểm) Cho 3 2z i= + . Xác định phần thực và phần ảo của số phức 2 z i z+ × Ta có: 2 5 12z i= + ; 0,25 (3 2 ) 2 3i z i i i× = - = + ; 0.25 2 7 15z i z i+ × = + . 0.25 Do đó, số phức 2 z i z+ × có phần thực bằng 7 và phần ảo bằng 15. 0.25 Câu III .( 1 điểm) + Chứng minh 1 2 d d^ : 1 d có véctơ chỉ phương 1 (2;1; 1)u = - ur , 2 d có véctơ chỉ phương 2 (2; 1; 3)u = - uur . 0,25 Vì 1 2 . 2.2 1( 1) ( 1)( 3) 0u u = + - + - - = ur uur nên 1 2 d d^ . 0,25 + Chứng minh 1 d cắt 2 d : Cách 1 Ta có: 1 1 2 2 (1; 1;0) , (3;0; 1)M d M d- -Î Î ; Do 1 2 d d^ nên 1 d cắt 2 d khi và chỉ khi 1 d và 2 d đồng phẳng, hay 1 2 1 2 , . 0u u M M é ù = ê ú ë û ur uur uuuuur . 0.25 Ta có: 1 2 1 2 (2;1; 1), , (2; 8; 4)M M u u é ù = - = - - ê ú ë û uuuuur ur uur , 1 2 1 2 , . 2.2 1( 8) ( 1)( 4) 0u u M M é ù = + - + - - = ê ú ë û ur uur uuuuur . 0.25 Cách 2 1 d có phương trình tham số là 1 2 1 x t y t z t ì ï ¢ = + ï ï ï ¢ = - + í ï ï ¢ = - ï ï î . 1 d cắt 2 d khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 3 2 1 2 1 1 3 t t t t t t ì ï ¢ + = + ï ï ï ¢ - = - + í ï ï ¢ - + = - ï ï î . 0.25 3/5 Giải hệ phương trình trên, ta được nghiệm duy nhất của hệ là ( ) ; (0;1)t t ¢ = . 0.25 Câu IVa. (2 điểm) … ( ) ( ) 2 2 2 ( ) : 1 1 25S x y z+ + + - = , ( ) : 2 2 6 0P x y z+ - - = 1. (1 điểm) Mặt cầu (S) có tâm (0; 1;1)I - 0.25 và bán kính 5r = . 0.25 2 2 2 2.0 2( 1) 1 6 ( ,( )) 2 2 ( 1) d I P + - - - = + + - . 0.25 3= 0.25 2. (1 điểm) Mặt phẳng (P) có một vtpt (2;2; 1) P n = - uur . Vì d vuông góc với (P) nên (2;2; 1) P n = - uur là véctơ chỉ phương của d. 0.25 Phương trình tham số của đường thẳng d là: 2 1 2 1 x t y t z t ì ï = ï ï ï = - + í ï ï = - ï ï î . 0.25 Gọi H là giao điểm của d và (P). Vì H dÎ nên (2 ; 1 2 ;1 )H t t t= - + - . Vì ( )H PÎ nên: 2(2 ) 2( 1 2 ) (1 ) 6 0t t t+ - + - - - = 0.25 9 9 0 1.t t- = =Û Û Vậy (2;1; 0)H . 0.25 Câu Va. (1 điểm) 2 6 25 0z z- + = Ta có: 2 64 (8 )i= - =D ; 0.25 1 6 8 3 4 2 i z i + = = + ; 0.25 2 6 8 3 4 2 i z i - = = - . 0.25 2 2 2 2 3 4 3 ( 4) 10A = + + + - = . 0.25 Câu IVb. (2 điểm) 1. (1 điểm) … (0; 1;2)A - , D : 1 2 1 2 3 x y z+ - = = - Cách 1 Đường thẳng D đi qua điểm ( 1; 0;2)M - và có vtcp (1; 2;3)u = - r . 0.25 Khoảng cách h từ điểm A đến đường thẳng D được tính bằng công thức: ,u A M h u é ù ê ú ë û = r uuuur r . 0.25 Ta có: ( 1;1; 0)A M = - uuuur , , ( 3; 3; 1)u A M é ù = - - - ê ú ë û r uuuur ; 0.25 2 2 2 2 2 ( 3) ( 3) ( 1) 266 14 1 ( 2) 3 h - + - + - = = + - + . 0.25 4/5 Cỏch 2 Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn D . Vỡ H ẻ D nờn ( 1 ; 2 ;2 3 )H t t t= - + - + . 0.25 Ta cú: ( ) 1 ;1 2 ; 3A H t t t= - + - uuur , (1; 2;3)u = - r l mt vtcp ca D . . 0A H u A H u^ =ị uuur r uuur r ( ) ( ) ( ) 1 .1 1 2 ( 2) 3 .3 0t t t- + + - - + = 3 14 t = 0.25 Vy 11 3 37 ; ; 14 7 14 H ổ ử ữ ỗ ữ = - - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0.25 2 2 2 11 3 37 266 ( , ) 0 1 2 14 7 14 14 d A A H ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ = = - - + - + + - =D ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ 0.25 2. (1 im) Ta cú , ( 3; 3; 1) Q n u A M ộ ự = = - - - ờ ỳ ở ỷ uur r uuuur l mt vtpt ca (Q). 0.5 (Q) cú phng trỡnh: 3( 0) 3( 1) 1( 2) 0x y z- - - + - - = 0.25 3 3 1 0x y z+ + + = . 0.25 Cõu Vb. (1 im) Ta cú: 1 3 2 cos sin 3 3 i i p p ổ ử - - ữ ỗ ữ - = + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ; 0.25 ( ) 7 7 7 7 1 3 2 cos sin 3 3 z i i p p ổ ử - - ữ ỗ ữ = - = + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 0.25 7 1 3 2 64 64 3 2 2 i i ổ ử ữ ỗ ữ ỗ = - = - ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ; 0.25 ( ) 2 2 64 64 3 128z = + - = . 0.25 Ht 5/5 . y z- - - + - - = 0.25 3 3 1 0x y z+ + + = . 0.25 Cõu Vb. (1 im) Ta cú: 1 3 2 cos sin 3 3 i i p p ổ ử - - ữ ỗ ữ - = + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ; 0.25 ( ) 7 7 7 7 1 3 2 cos sin 3 3 z i i p p ổ ử - - ữ ỗ ữ =. )H t t t= - + - . Vì ( )H PÎ nên: 2(2 ) 2( 1 2 ) (1 ) 6 0t t t+ - + - - - = 0.25 9 9 0 1.t t- = =Û Û Vậy (2;1; 0)H . 0.25 Câu Va. (1 điểm) 2 6 25 0z z- + = Ta có: 2 64 (8 )i= - =D ; 0.25 1 6. ( 2) 3 h - + - + - = = + - + . 0.25 4/5 Cỏch 2 Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn D . Vỡ H ẻ D nờn ( 1 ; 2 ;2 3 )H t t t= - + - + . 0.25 Ta cú: ( ) 1 ;1 2 ; 3A H t t t= - + - uuur ,