Đề kiểm tra học kỳ II ( PCT năm học 2008 – 2009) Câu I ( 2 điểm ) 1. Xét tính tăng, giảm của dãy số ( ) n u , với 1 2 n n n u + = . 2. Cho cấp số cộng ( ) n u biết: 2 6 4 8 7 2 6 2 u u u u u u − + = − − = . Tìm công sai và tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Câu II ( 4 điểm ) 1. Tìm giới hạn của các dãy số sau: a. ( ) n u với 4 2 3 2 1 1 3 n n n u n − + = − b. ( ) n u với 3.7 2.5 2.5 3 n n n n n u − + = + 2. Tìm các giới hạn sau: a. 3 2 2 8 lim 5 6 x x x x →− + + + b. 2 4 4 9 5 lim 16 x x x → + − − 3. Cho hàm số ( ) 2 2 ax 1 x x f x + = + Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1 Câu III (1 điểm): Tìm đạo hàm của hàm số 2 1 cot sinx y x= + . Từ đó giải phương trình ' y = 0 Câu IV ( 3 điểm): 1. Cho lăng trụ tam giác BAC.A ’ B ’ C ’ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và A ’ C ’ . Chứng minh ba vector ' ,AAMN uuuur uuuur và BC uuur đồng phẳng 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc · ABC = 60 o . Tam giác SAC đều , tam giác SBD cân tại S. a. Chứng minh: ( )SO ABCD⊥ b. Chứng minh: (SAC) ( ) SBD⊥ c. Xác định và tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD). 1 nếu x ≥ 1 nếu x<1 Đề kiểm tra học kỳ II ( PCT năm học 2009– 2010) Câu 1: CMR với mọi số nguyên dương n ta có: (3. 2 1 + 3.1 + 1) + (3. 2 2 + 3.2 + 1) +…+(3. 2 n + 3n + 1) = 3 ( 1)n + -1 Câu 2: 1. Tìm 2 1 2 3 lim 1 3 2 x x x x x → + − − + 2. Cho hàm số ( ) 2 1 ax 3 x f x + = + Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1 Câu 3: 1. Cho hàm số ( ) 2 3 1 2 3 1 n x x x f x x n + = + + + + + Tìm ( ) ' 3 lim x f x → 2. Chứng minh rằng hàm số ( ) 4 4 1 sin cos os4 4 f x x x c x= + + có đạo hàm bằng 0 Câu 4: Cho hàm số 1 2 x y x − = − có đồ thị (C) 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. 2. Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc 45 o . Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mp (ABC) ; Cho biết SA = AB = a, · 60 o BAC = 1. Chứng minh rằng tam giác SBC vuông 2. Mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với SB tại M, SC tại N. Chứng minh rằng MN song song với BC và tính diện tích tam giác AMN 3. Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của SA và BC; P thuộc cạnh SB sao cho 2PS PB= − uuur uuur , Q thuộc cạnh AC sao cho 2QA QC= − uuur uuur . Chứng minh rằng IS 2 3 IB IP + = uur uur uur và 2 3 IA IC IQ + = uur uur uur . Từ đó suy ra bốn điểm A, J, P, Q nằm ttrong một mặt phẳng. 2 nếu x ≥ 1 nếu x<1 Đề kiểm tra học kỳ II ( PCT năm học 2010– 2011) Câu I(1,5đ). Cho cấp số cộng ( ) n a thỏa: 1 5 13 1 6 15 12 a a a a a + − = − + = Tìm số hạng đầu, công sai và tính tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Câu II(2,5đ). 1. Tìm các giới hạn sau: a. ( ) ( ) 4 2 lim 2 1 3 2 n n n n + + + b. 1 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n − + − + 2. Tìm các giới hạn sau: a. 2 2 2 4 lim 5 6 x x x x →− − + + b. ( ) 2 lim 4 2 x x x x →−∞ − + Câu III(1,5đ). 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 6 8 2 ( ) 2 3 x x f x x mx − − = − + liên tục tại điểm x = 2 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, phương trình sau: 4 5 3 2 1 0m x mx x− + − + = có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). Câu IV(1đ). 1. Cho hàm số 2 sin ( ) 1 cos x f x x = + . Tính / 3 f π ÷ . 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1 1 x y x − = + , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d có phương trình: 1 2011 3 y x= + . Câu V(3,5đ). 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và SD. Chứng minh ba véc tơ SA uur , MN uuuur , CD uuur đồng phẳng. 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, 2AB a= , 4 5 5 a AC = và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. a. Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). c. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). 3 với x > 2 với x 2 Đề kiểm tra học kỳ II (1) Câu 1: 1) Cho cấp số cộng ( ) n u . Biết 1 4 7 10 13 16 147u u u u u u+ + + + + = . Tính 1 6 11 16 u u u u+ + + ? 2) Xét tính tăng, giảm của dãy số (u n ) sau với 2012 n n u n − = Câu 2: 1)Tìm giới hạn của các dãy số sau a) 1 3 9 3 lim 1 4 16 4 n n + + + + + + + + b) ( ) 2 lim 2 1 4 1n n n+ − + + 2) Tìm giới hạn các hàm số sau: a) 2 3 3 lim 3 6 x x x x − → − − − b) 3 0 1 1 lim 1 1 x x x → + − + − 3) Cho hàm số y = ( ) 2 5 6 1 ax 2 x x f x x − − = − − Tìm a để hàm số sau liên tục trên R: Câu III: 1) Tìm đạo hàm / ( )f x của hàm số: sin3 os3 ( ) cos 3(sin ) 3 3 x c x f x x x= + − + . Từ đó giải phương trình / ( ) 0f x = . 2) Cho hàm số 2 1y x= + (C). Viết pt tiếp tuyến với đường cong (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 6 1 0x y− + = 3) Cho hàm số 2 ( ) 3 4f x x x= − − . Giải bất phương trình / ( ) ( )f x f x≥ . Câu IV: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và cạnh bằng a. SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = 3a . 1) Tính góc giữa SC và mp(SAB),(SCD) và (SAD) 2) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD). 3) Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AD. Xác định và tính diện tích thiết diện bị cắt bởi hình chóp và mặt phẳng (P) 4 Nếu x > 1 Nếu x ≤ 1 Đề kiểm tra học kỳ II (2) Câu 1: 1) Cho dãy số (u n ) biết: 1 1 2 3 2 n n u u u n − = = ∀ ≥ a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n ) b) Tính tổng 10 số hạng đầu của dãy (u n ). 2) Một cấp số cộng có năm số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộng đó. Câu 2: 1) Tìm giới hạn các dãy số sau: a) 2 (3 2)( 1)( 4) lim (2 5) n n n n n n − + − + − b) 1 3 5 7 (2 1) lim 2 4 6 2 n n + + + + + − + + + + 2) Tìm giới hạn các hàm số sau: a) ( ) 3 2 1 lim 2012 2 x x x x x →−∞ + + + + b) 2 0 1 2 1 lim 1 cos x x x → − + − c) Xét tính liên tục của hàm số ( ) 1 2 1 2 x f x x m x − = − − − Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x = 1 Câu 3: 1) Cho hàm số ( ) ( ) 9 8 ( ) 2 1 2 5f x x x= + − . Tính / (1)f . 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2 1 1 x x + + tại điểm có hoành độ x = 1 2 − .Tính diện tích tam giác chắn bởi tiếp tuyến trên hai trục tọa độ . 3) Tính / ( )f π nếu sin cos ( ) cos sin x x x f x x x x − = − Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a , AD = 2 a , SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = 2a . a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tính góc giữa SO và BC. c) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBD). d) Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua SB và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tính diện tích thiết diện 5 nếu x ≠ 1 nếu x = 1 . đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a , AD = 2 a , SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = 2a . a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Gọi O là giao điểm. là tam giác ABC vuông tại B, 2AB a= , 4 5 5 a AC = và SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. a. Chứng minh đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). b. Tính khoảng cách từ điểm A đến. đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mp (ABC) ; Cho biết SA = AB = a, · 60 o BAC = 1. Chứng minh rằng tam giác SBC vuông 2. Mặt phẳng (P) qua A, vuông góc với SB tại M,