http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 MÔN: TOÁN; KHỐI: A, A1 Câu Nội dung Điểm 1.(1,0 điểm) Với m=1, Hàm số có dạng 3 3 2 y x x = − + • Tập xác định: ℝ • Sự biến thiên lim , lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = −∞ 0,25 Chi ề u bi ế n thiên: 2 ' 3 3 0 1 y x x = − = ⇔ = ± B ả ng bi ế n thiên x −∞ -1 1 +∞ y’ + 0 - 0 + 4 +∞ y −∞ 0 0,25 Hàm s ố đồ ng bi ế n trên các kho ả ng ( ) ( ) ; 1 và 1; −∞ − +∞ , ngh ị ch bi ế n trên kho ả ng (-1;1) Hàm s ố đạ t c ự c đạ i t ạ i 1, 4 CD x y = − = . Hàm s ố đạ t c ự c ti ể u t ạ i 1, 0 CT x y = = 0,25 + V ẽ đ úng đồ th ị 0,25 2.(1,0 điểm) Ta có 2 ' 3 3 y x m = − Hàm s ố có c ự c đạ i, c ự c ti ể u khi và ch ỉ khi ph ươ ng trình ' 0 y = có hai nghiệm phân biệt 0 m ⇔ > 0,25 Vì 1 . ' 2 2 3 y x y mx = − + nên đườ ng th ẳ ng ∆ đ i qua đ i ể m c ự c đạ i, c ự c ti ể u c ủ a đồ th ị hàm s ố có ph ươ ng trình là 2 2 y mx = − + 0,25 Ta có ( ) 2 2 1 , 1 4 1 m d I R m − ∆ = < = + (vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng ∆ luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt Với 1 2 m ≠ , đường thẳng ∆ không đi qua I, ta có: 2 1 1 1 . .sin 2 2 2 ABI S IA IB AIB R ∆ = ≤ = 0,25 I (2điểm) Nên IAB S ∆ đạt giá trị lớn nhất bằng 1 2 khi sinAIB = 1 hay tam giác AIB vuông cân tại I 1 2 2 R IH⇔ = = (H là trung điểm của AB) 2 2 1 1 2 3 2 2 4 1 m m m − ± ⇔ = ⇔ = + 0,25 1.(1,0 điểm) Giải phương trình 3 3 2 os sin 2sin 1 c x x x + + = (cos sin )(1 sin cos ) os2 0 (cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0 Pt x x x x c x x x x x x x ⇔ + − − = ⇔ + − + − = 0,25 II ( 2điểm) cos sin 0 (1 sin )(1 cos ) 0 x x x x + = ⇔ + − = 0,25 http://toanhocmuonmau.violet.vn l H M C A B S 4 2 (k ) 2 2 x k x k x k π π π π π = − + ⇔ = − + ∈ = ℤ 0,25 KL 0,25 2.(1điểm) Giải phương trình 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2 x x x x x − + − = − + − + ĐK: 1 x ≥ 0,25 Đặ t 2 2 3 2 1 (t>0) 4x+2 3 5 2 3 t x x x x t = − + − ⇒ − + = + Thay vào pt đ ã cho ta đượ c: 2 3 6 0 2 t t t t = − − = ⇔ = − , suy ra đượ c t=3 th ỏ a mãn. 0,5 + v ớ i 2 3 3 4 +2 3 5 2 12 2 17 2 x t x x x x x x ≤ = ⇒ − + = ⇔ ⇔ = = = KL: 0,25 3 1 3 3 1 3 x I dx x x − − = + + + ∫ Đặt 2 1 1 2 t x t x tdt dx = + ⇒ = + ⇒ = Khi 1 0; 3 2 x t x t = − ⇒ = = ⇒ = 0,25 3 2 2 2 0 0 ) 2 . 2 . 4 3 ( 3 3 2 1 I dt dt t t t t t t ⇒ = = ∫ ∫ − − + + + + 0,25 2 2 6 6ln | 1|) 0 ( t t I t − + + = ⇒ = 0,25 III (1điểm) KL: I = 8 6ln 3 − + 0,25 IV (1điểm) Hình chiếu của SB và SC trên (ABC) là AB và AC, mà SB = SC nên AB = AC. Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABC ta có : BC 2 = 2AB 2 – 2AB 2 cos120 0 ⇔ a 2 = 3AB 2 ⇔ 3 a AB = Mà 2 2 2 2 2 2 3 3 a a SA =SB -AB = a SA = − ⇒ ; 2 2 0 1 1 3 3 . .sin120 2 2 3 2 12 ∆ABC a a S = AB AC = = 0,25 http://toanhocmuonmau.violet.vn ⇒ 2 3 . 1 2 3 2 3 12 36 3 S ABC a a a V = = (dvtt) 0,25 Áp dụng định lí hàm cosin vào tam giác ABM ta có: 2 2 2 2 0 2 . cos120 9 3 a a AM AB MB AB MB AM = + − = ⇒ = 3 a AM BM ⇒ = = . Do đ ó tam giác AMB cân t ạ i M nên 0 0 30 90 (1) BAM ABM MAC AM AC∠ = ∠ = ⇒ ∠ = ⇒ ⊥ M ặ t khác: ( ) (2) SA ABC SA AC ⊥ ⇒ ⊥ Từ (1) và (2) ta có: ( ) (3) AC SAM ⊥ Kẻ ( ) AH SM H SM ⊥ ∈ (4) 0,25 Từ (3) và (4) ta được: ( ) 2 2 . 2 , ( ) 21 SA AM d AC SM AH a dvdd SA AM = = = + (có thể giải bằng phương pháp gắn hệ trục toạ độ) 0,25 Do a, b, c > 0 và 2 2 2 1 a b c + + = nên ( ) , , 0;1 a b c∈ Ta có ( ) 2 2 1 5 3 2 3 2 2 2 1 a a a a a a a b c a − − + = = − + + − Bất đẳng thức trở thành ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 3 3 a a b b c c− + + − + + − + ≤ 0,5 V ( 1điểm) Xét hàm s ố ( ) ( ) ( ) 3 0;1 f x x x x= − + ∈ . Ta có: ( ) ( ) 0;1 2 3 ax 9 M f x = ( ) ( ) ( ) 2 3 3 f a f b f c⇒ + + ≤ D ấ u “=” x ả y ra khi và ch ỉ khi a = b = c= 1 3 0,5 1.(1,0 điểm) T ọ a d ộ giao đ i ể m I c ủ a d và d’ là nghi ệ m c ủ a h ệ ph ươ ng trình 9 3 0 9 3 2 ; 6 0 3 2 2 2 x x y I x y y = − − = ⇔ ⇒ + − = = Do vai trò c ủ a A, B, C, D là nh ư nhau nên gi ả s ử M là trung đ i ể m c ủ a AD ( ) Ox 3;0 M d M⇒ = ∩ ⇒ 0,25 Ta có: 2 3 2 AB IM= = Theo gi ả thi ế t . 12 2 2 ABCD S AB AD AD= = ⇒ = Vì I, M thu ộ c d : 3 0 d AD AD x y ⇒ ⊥ ⇒ + − = 0,25 VIa ( 2điểm) L ạ i có 2 MA MD = = ⇒ t ọ a độ đ i ể m A, D là nghi ệ m cu ẩ h ệ ph ươ ng trình ( ) 2 2 2 3 0 1 4 3 2 1 x x y y x x y y = + − = = ⇔ = − + = = − Không m ấ t tính t ổ ng quát, gi ả s ử ( ) ( ) 2;1 ; 4; 1 A D − 0,25 http://toanhocmuonmau.violet.vn Do I là trung điểm của AC nên C(7; 2) Tương tự: I là trung điểm của BD nên B(5; 4) KL 0,25 2.(1,0 điểm) Tìm được điểm A(0;-1;4) 0,5 Tìm được vtcp của đường thẳng ∆ là [ , ] (5;0;5) P d u n u= = 0,25 Viết được phương trình đường thẳng ∆ 1 4 x t y z t = = − = + 0,25 ĐK 4 4 6 log 6 2 2 x x x > ⇔ > ≠ 0,25 Khi đ ó bpt 2 4 4 6 5 2 2 1 2 2 x x x x > − > ⇔ − < < 0,25 VIIa ( 1điểm) Tìm đượ c x>2 và k ế t lu ậ n 0,5 1.(1,0 điểm) Đườ ng tròn có tâm (1;3), I bán kính 2 R = 0,25 M là đ i ể m n ằ m trong đườ ng tròn, M là trung đ i ể m AB suy ra AB vuông góc v ớ i IM 0,25 Ta có (1;1) IM = là VTPT 0,25 Đường thẳng cần tìm có PTTS: 2 4 x t y t = + = + 0,25 2.(1,0 điểm) I ( ) ; ; x y z là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi ( ) , AI BI CI I ABC = = ∈ 0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 2 1 1 ( 2) 1 2 2 8 3 5 1 0 , 0 x y z x y z AI BI CI BI x y z x y z x y z AI AB AC − + − + − = + + − + = ⇔ = ⇔ − + − + + = + + − + − − − + − = = 0,5 VIb (2điểm) 14 15 61 14 61 1 , , 30 15 30 3 1 3 x y I z = ⇔ = ⇒ − = − 0,25 Ta có ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 2 1 1 1 log 3 1 log 9 7 1 1 5 3 5 2 9 7 ,2 3 1 x x x x − − − + − + − − = + = + 0,25 S ố h ạ ng th ứ 6 c ủ a khai tri ể n ứ ng v ớ i k = 5 là ( ) ( ) ( )( ) 3 5 1 1 1 5 1 1 1 1 3 5 8 9 7 . 3 1 56 9 7 3 1 x x x x C − − − − − − + + = + + 0,25 VIIb ( 1điểm) Treo gi ả thi ế t ta có 0,25 http://toanhocmuonmau.violet.vn ( ) ( ) 1 1 1 1 1 56 9 7 3 1 224 9 7 4 3 1 x x x x − − − − − + + = + ⇔ = + 1 2 x x = ⇔ = và KL 0,25 Hết . http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 MÔN: TOÁN; KHỐI: A, A1 Câu Nội dung Điểm 1.(1,0 điểm) Với m=1,. • Tập xác định: ℝ • Sự biến thi n lim , lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = −∞ 0,25 Chi ề u bi ế n thi n: 2 ' 3 3 0 1 y x x = − = ⇔ = ± B ả ng bi ế n thi n x −∞ -1 1 +∞ y’ + 0. R m − ∆ = < = + (vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng ∆ luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt Với 1 2 m ≠ , đường thẳng ∆ không đi qua I, ta có: 2 1