SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi : TOÁN – THPT (Bảng B) Ngày thi : 15/3/2013 (Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề) Bài 1: (3,00 điểm) Cho hàm số 2 2 2 x x y x + − = − .Tìm 2 điểm trên 2 nhánh của đồ thị mà tiếp tuyến tại 2 điểm đó song song với nhau và có khoảng cách lớn nhất . Bài 2: (2,5 điểm) Giải phương trình sin3x = cosx.cos2x(tan 2 x + tan2x). Bài 3: (3,0 điểm) Tính tích phân 2 2 2 2 2 2 2 ln( 1 ) 4ln( 1 ) 2 (4 ) x x x x x I dx x − + − + + − + = + ∫ Bài 4: (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E): 2 2 1 16 1 x y + = và (P): y = 2 3 3 9 4 2 4 x x + − .Chứng minh rằng (E) cắt (P) 4 điểm nằm trên một đường tròn . Bài 5:(3,0 điểm ) Giải bất phương trình 2 12 8 2 4 2 2 16 9 x x x x − < + − − + Bài 6:( 3,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình bình hành .Gọi K là trung điểm SC .Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N .Gọi V 1 , V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AMKN và S.ABCD .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tỉ số 1 V V Bài 7: (3,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 5 4 ( )(2 2 2 3) 6ln 4 3 1 0 y y x y x xy y x x x y xy + + ÷ − + + − = ÷ + + − − = HẾT - Đề thi có 01 trang; - Giám thị không giải thích gì thêm. ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN GIẢI : Bài 1: +Để ý : M( x; y) ∈(C) thì M'(x' = 4-x; y' = 10- y) ∈(C) và tiếp tuyến tại M và M' có hệ số góc bằng nhau nên // nhau , M và M' đxứng nhau qua I(2;5) + Khoảng cách giũa 2 t 2 : d = 2 | ( ' ) ( ' ) | 1 a x x y y a − − − + với a = 1- 2 4 ( 2)x − , thì d = 2 2 16 16 2( 2) 8 ( 2) x x − + − − ≤ 16 4 8 8− ; x = 2± 8 Bài 2: (2,5 điểm) Giải phương trình sin3x = cosx.cos2x(tan 2 x + tan2x).Chia 2 vế cho cos 3 x + T a có : Bài 3: (3,0 điểm) Tính tích phân 2 2 2 2 2 2 2 0 ln( 1 ) 1 4 4 (4 ) x x I dx x x − + − = + + + ∫ ∫ Đặt : I 1 = 2 2 2 2 ln( 1 ) 4 x x x − + − + ∫ Đặt t = - x và I 2 = 2 2 2 0 1 4 (4 ) dx x+ ∫ Đặt : x = 2tant Bài 4: (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E): 2 2 1 16 1 x y + = và (P): y = 2 3 3 9 4 2 4 x x + − .Chứng minh rằng (E) cắt (P) 4 điểm nằm trên một đường tròn . +Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình : 2 2 2 1 16 1 3 3 9 4 2 4 x y y x x + = = + − .Từ đây chứng minh được phương trình : f(x) = 2 2 3 3 9 1 0 16 4 2 4 x x x+ + − − = có 4 nghiệm bằng phương pháp dựa tính liên tục của hàm số : f(a)f(b) < 0 . Hoặc (P) có đỉnh nằm ngoài (E) và cắt Ox tại 2 điểm nằm trong (- a;a) .a và -a là hai hoành độ 2 đỉnh của ( E). + Chuyển hệ thành : 2 2 2 1 16 1 5 15 15 45 4 16 10 16 x y y x x + = = + − cộng theo vế : x 2 + y 2 + 15 5 45 1 0 10 4 16 x y+ − − = là phương trình của đường tròn (đpcm) Bài 5:(3,0 điểm ) Giải bất phương trình 2 2 12 8 2 4 2 2 (3 2)( 2 4 2 2 16 9 ) 0 16 9 x x x x x x x x − < + − − ⇔ − + + − − + < + M N I K O D A B C S Xét f(x) = 2 2 4 2 2 16 9x x x+ + − − + trên [ - 2 ; Bài 6:( 3,0 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD , ABCD là hình bình hành .Gọi K là trung điểm SC .Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N .Gọi V 1 , V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AMKN và S.ABCD .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tỉ số 1 V V + . 2 . 3 SIM SBO S SI SM SM S SO SB SB = = và 2. 2 . 3 SIN SBO S SI SN SN S SO SD SD = = ⇒ 1 . ( ) 3 SMN SBD S SM SN SM SN S SB SD SB SD = = + + Mà : 1 1 ( ) 4 V SM SN V SB SD = + + Đặt : ; SB SD x y SM SN = = + Ta có : 1 1 1 1 ( ) 3xy x y = + ⇒ x + y = 3 + Xét hàm số : f(x) = 3 4 (3 )x x− và 1 ≤ x ≤ 2 đi đến KQ: 1 1 3 3 8 V V ≤ ≤ Bài 7: (3,0 điểm) hệ phương trình ⇔ 3 2 3 2 5 2 3 6ln( 4 ) 2 3 6ln( 4 ) 3 1 0 x x x x y y y y x y xy − + + + = − + + + − − = + Xét hàm số : f(x) = 3 2 2 3 6ln( 4 )t t t t− + + + trên R . + f '(x) = 6.t 2 -3 + 6. 2 1 4t + Đặt : u = 2 4t + ≥ 2 , ta có : g(u) = 6(u 2 - 4) + 6 u -3 trên [ 2 ; +∞) , g'(u) = 12u - 2 6 u = 3 6 (2 1)u u − > 0 , ∀u≥2 g(u) ĐB /[2; +∞) , mà g(2) = 0 nên g(u) ≥ 0 , ∀u≥2.Hay f'(x) ≥ 0, ∀t ⇒ f(x) đồng biến trên R x = y ⇒ x 6 - 3x 2 - 1 = 0 ; ta có : x 2 = 2cos∝ từ đó giải , vì x thuộc [ 1;2] . khối chóp S.AMKN và S.ABCD .Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tỉ số 1 V V + . 2 . 3 SIM SBO S SI SM SM S SO SB SB = = và 2. 2 . 3 SIN SBO S SI SN SN S SO SD SD = = ⇒ 1 . ( ) 3 SMN SBD S SM SN. hình chóp S.ABCD , ABCD là hình b nh hành .Gọi K là trung điểm SC .Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N .Gọi V 1 , V lần lượt là thể tích của khối chóp S.AMKN và S.ABCD .Tìm giá. DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn thi : TOÁN – THPT (B ng B) Ngày thi : 15/3/2013 (Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát