mệnh đề trong toán học

1 Phần I.Mệnh đề Biên sọan : TS.NguyễnViết Đông 1 Tài liệu tham khảo • Toán rờirạc, GS.TS. NguyễnHữuAnh • Michael P.Frank ‘s slides • NguyễnViếtHưng ‘s slides • Toán rờirạc, TS. TrầnNgọcHội 2 Mệnh đề và chân trị • Khái niệmvề mệnh đề: Mệnh đề toán họclàkháiniệmcơ bảncủatoán học không được định nghĩamàchỉđượcmôtả. Mệ h đề á h ( i ắ là ệ h đề ) là ộ Mệ n h đề to á n h ọc ( gọ i t ắ t là m ệ n h đề ) là m ộ t khẳng định có giá trị chân lý xác định(đúng hoặcsai, nhưng không thể vừa đúng vừasai). 3 Mệnh đề và chân trị • Ví dụ: – “Số 123 chia hết cho 3” là 1 mệnh đề đúng – “Thành phố Hồ Chí Minh là thủđôcủanướcViệt Nam ” là một mệnh đề sai Nam là một mệnh đề sai . – “Bạncókhỏe không ? ” không phảilàmộtmệnh đề toán họcvìđây là một câu hỏi không thể phản ánh một điều đúng hay một điềusai 4 2 Mệnh đề và chân trị • Kiểm tra xem các khẳng định sau có là mệnh đề không? Nếucó, đólàmệnh đề đúng hay sai? Môn Toán rời rạc là môn bắt buộc chung cho – Môn Toán rời rạc là môn bắt buộc chung cho ngành tin học. – 97 là số nguyên tố. – N là số nguyên tố 5 Mệnh đề và chân trị • Ký hiệumệnh đề : Ngườitathường dùng các ký hiệu: P, Q, R, … • Chú ý: Mệnh đề phứchợplàmệnh đề được â d từ á ệ h đề khá hờ liê kết x â y d ựng từ c á cm ệ n h đề khá cn hờ liê n kết chúng lạibằng các liên từ(và, hay, nếu…thì…) hoặctrạng từ “không” – Ví dụ : Nếutrờitốtthìtôiđidạo. 6 Mệnh đề và chân trị • Chân trị củamệnh đề: Mộtmệnh đề chỉ có thểđúng hoặc sai, không thể đồng thờivừa đúng vừasai. Khimệnh đề P đúng ta nói P có chân tr ị đún g , n g ư ợ cl ạ i ta nói P có ị g , g ợ ạ chân trị sai. Chân trịđúng và chân trị sai sẽđượckýhiệulầnlượt là 1(hay Đ,T) và 0(hay S,F) 7 Phép tính mệnh đề • Mục đích của phép tính mệnh đề: Nghiên cứuchântrị củamộtmệnh đề phứchợptừ chân trị của các mệnh đề đơngiảnhơn và các phép n ố inhữn g m ệ nh đ ề nà y b i ể uhi ệ n q ua liên từ ho ặ c g ệ y ệ q ặ trạng từ “không” 8 3 Some Popular Boolean Operators Formal Name Nickname Arity Symbol Negation operator NOT Unary ¬ Conjunction operato r AND Binary ∧ Disjunction operator OR Binary ∨ Exclusive-OR operator XOR Binary ⊕ Implication operator IMPLIES Binary → Biconditional operator IFF Binary ↔ Phép tính mệnh đề Phủ định của mệnh đề The unary negation operator “¬” (NOT) transforms a prop. into its logical negation. E.g. If p = “I have brown hair.” h “d hb hi” Phép tính mệnh đề t h en ¬p = “ I d o not h ave b rown h a i r. ” 11 Phép tính mệnh đề p ¬p T F T F FT 4 Phép tính mệnh đề • Phép nốiliền(phép hội; phép giao): Mệnh đề nốiliền củahaimệnh đề P, Q đượckíhiệu bởiP ∧ Q (đọclà“P vàQ”), làmệnh đề được định b ởi: P ∧ Q đúng khi và chỉ khi P và Q đồng thời đúng 13 Phép tính mệnh đề • Ví dụ: Mệnh đề “Hơm nay, cơ ấy đẹp và thơng minh ” chỉđượcxemlàmệnh đề đúng khi cả hai điềukiện“cơấy đẹp” và “cơ ấy thơng minh ” đều xảy ra Ngược lại chỉ 1 trong 2 minh đều xảy ra . Ngược lại , chỉ 1 trong 2 điềukiệntrênsaithìmệnh đề trên sẽ sai. 14 • Mệnh đề “Hôm nay, An giúp mẹ lau nhà và rửa chén” chỉ đúng khi hôm nay An giúp mẹ cả hai công việc lau nhà và rửa chén. Ngược lai ne á uho â m nay An chỉ giu ù p me một trong Phép tính mệnh đề la ï i , neu hom nay An chỉ giup me ï một trong hai công việc trên, hoặc không giúp mẹ cả hai thì mệnh đề trên sai. 15 The Conjunction Operator Thebinaryconjunctionoperator “∧”(AND) combinestwopropositionstoform theirlogicalconjunction. ∧∧ NDND E.g. Ifp=“Iwillhavesaladforlunch.”andq=“I willhavesteak fordinner.”,thenp∧q=“Iwill havesaladforlunchand Iwillhavesteakfordinner.” Remember: “∧∧” points up like an “A”, and it means “” points up like an “A”, and it means “∧∧NDND”” 16 5 • Notethata conjunction p 1 ∧ p 2 ∧ …∧ p n ofn p ro p ositions Conjunction Truth Table pq p ∧ q FF F FT F T F F pp willhave2 n rows initstruthtable. • Also:¬and∧ operationstogetheraresuffi‐ cienttoexpr essany Booleantruthtable! T F F TT T Operand columns 17 Phép tính mệnh đề 18 Phép tính mệnh đề • Phép nốirời(phép tuyển; phép hợp) Mệnh đề nốirời củahaimệnh đề P, Q đượckíhiệu bởiP ∨ Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề được đ ị nh b ởi: ị P ∨ Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thờisai 19 Phép tính mệnh đề • Ví dụ: Mệnh đề “Tôi đang chơi bóng đáhay bóng rổ”. Mệnh đề này chỉ sai khi tôi vừa không đang chơi bóng đá cũng như vừa không đang chơi bóng rổ bóng đá cũng như vừa không đang chơi bóng rổ . Ngượclại, tôi chơi bóng đáhay đang chơi bóng rổ hay đang chơicả hai thì mệnh đề trên đúng. 20 6 The Disjunction Operator The binary disjunction operator “∨” (OR) combines two propositions to form their logical disjunction. p =“My car has a bad engine ” p =“My car has a bad engine . ” q=“My car has a bad carburetor.” p∨q=“Either my car has a bad engine, or my car has a bad carburetor.” After the downward- pointing “axe” of “∨∨”” splits the wood, yousplits the wood, you can take 1 piece OR can take 1 piece OR the other, or both.the other, or both. ∨∨ Meaning is like “and/or” in English. 21 • Note that p∨q means that p is true, or q is true , or both are true! Disjunction Truth Table pq p∨q FFF F T T Note , • So, this operation is also called inclusive or, because it includes the possibility that both p and q are true. • “¬” and “∨” together are also universal. F T T TF T TTT Note difference from AND 22 Phép tính mệnh đề 23 Phép tính mệnh đề • Chú ý : Cần phân biệt “hay” và “hoặc”. Đưa ra phép toán để thể hiện trường Đưa ra phép toán để thể hiện trường hợploạitrừ Ký hiệu : , ⊕ P Q sai ⇔ P và Q đồng thời cùng đúng hoặc cùng sai. ∨ ∨ 7 The Exclusive Or Operator The binary exclusive-or operator “⊕” (XOR) combines two propositions to form their logical “exclusive or” (exjunction?). p = “I will earn an A in this course ” p = “I will earn an A in this course , ” q = “I will drop this course,” p ⊕ q = “I will either earn an A for this course, or I will drop it (but not both!)” 25 • Note that p⊕q means that p is true, or q is true , but not both! Exclusive-Or Truth Table pq p ⊕ q FF F , • This operation is called exclusive or, because it excludes the possibility that both p and q are true. • “¬” and “⊕” together are not universal. FT T TF T TT F Note difference from OR. 26 Phép tính mệnh đề • Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q củahaimệnh đề P và Q, kí hiệubởiP → Q(đọc là “P kéo theo Q” hay “NếuP thì Q ” ha y “P là đi ề uki ệ n đủ của Q ” ha y “ Q là Qy ệ QyQ điềukiệncầncủaP”) làmệnh đề được định bởi: P → Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai . 27 Phép tính mệnh đề • Ví dụ: Xét mệnh đề sau : “Nếutôiđẹp trai thì tôi có nhiềubạngái” Ta có các trường hợpsau: • Tôi đẹp trai và có nhiềubạngái: Mệnh đề rõ ràng đúng • Tôi đẹp trai và không có nhiềubạngái: Mệnh đề rõ ràng sai • Tôi không đẹptraimàvẫn có nhiềubạngái: Mệnh đề vẫn đúng • Tôi không đẹp trai và không có nhiềubạngái: Mệnh đề vẫn đúng 28 8 Phép tính mệnh đề • Mệnh đề “Chiều nay, nếu rảnh tôi sẽ ghé thăm bạn” chỉ sai khi chiều nay tôi rảnh nhưng tôi không ghé thăm bạn. • Ngươc lai ne á uchie à unayto â i bận thì du ø to â ico ù • Ngươ ï c la ï i , neu chieu nay toi bận thì du toi co ghé thăm bạn hay không, mệnh đề trên vẫn đúng. Ngoài ra, tất nhiên nếu chiều nay tôi có ghé thăm bạn thì mệnh đề trên đúng (dù tôi có rảnh hay không!). 29 The Implication Operator The implication p → q states that p implies q. I.e., If p is true, then q is true; but if p is not true, h ld b i h f l antecedent consequent t h en q cou ld b e e i t h er true or f a l se. E.g., let p = “You study hard.” q = “You will get a good grade.” p → q = “If you study hard, then you will get a good grade.” (else, it could go either way) 30 Implication Truth Table • p → q is false only when p is true but q is not true. • p → q does not say that p causes q ! p q p→q F F T F T T that p causes q ! • p → q does not require that p or q are ever true ! • E.g. “(1=0) → pigs can fly” is TRUE! F T T T F F T T T The only False case! 31 Examples of Implications • “If this lecture ends, then the sun will rise tomorrow.” True or False? • “ If Tuesday is a day of the week then I am If Tuesday is a day of the week , then I am a penguin.” True or False? • “If 1+1=6, then Bush is president.” True or False? • “If the moon is made of green cheese, then I am richer than Bill Gates.” True or False? 32 9 Phép tính mệnh đề 33 Phép tính mệnh đề • Pheùp keùo theo hai chieàu : Mệnh đề P kéo theo Q và ngượclại củahaimệnhđề P và Q, ký hiệubởiP ↔ Q (đọclà“P nếuvàchỉ nếu Q” ha P khi à chỉ khi Q” ha “P là điề kiện cần Q” ha y P khi v à chỉ khi Q” ha y “P là điề u kiện cần và đủ củaQ”), làmệnh đề xác định bởi: P ↔ Q đúng khi v àchỉ khi P và Q có cùng chân trị 34 Phép tính mệnh đề 35 Phép tính mệnh đề 36 10 The biconditional operator The biconditional p ↔ q states that p is true if and only if (IFF) q is true. p = “Bush wins the 2004 election.” q = “Bush will be president for all of 2005.” p ↔ q = “If, and only if, Bush wins the 2004 election, Bush will be president for all of 2005.” 2004 I’m still here! 2005 Biconditional Truth Table • p ↔ q means that p and q have the same truth value. • Note this truth table is the exact opposite of ⊕ ’s! p q p ↔ q F F T exact opposite of ⊕ ’s! – p ↔ q means ¬(p ⊕ q) • p ↔ q does not imply p and q are true, or cause each other. F T F T F F T T T 38 Boolean Operations Summary • We have seen 1 unary operator and 5 binary operators . Their truth tables are below. pq ¬pp∧qp∨qp⊕qp→qp ↔ q FF T F F F T T FT T F T T T F TF F F T T F F TT F T T F T T 39 Some Alternative Notations Name: not and or xor implies iff Propositional logic: ¬∧∨⊕ → ↔ Bl lb B oo l ean a l ge b ra: p p q + ⊕ C/C++/Java (wordwise): !&&||!= == C/C++/Java (bitwise): ~&|^ Logic gates: [...]...Dạng mệnh đề Dạng mệnh đề • Dạng mệnh đề là một biểu thức được cấu tạo từ: • Với E là một dạng mệnh đề các biến mệnh đề p, q, r ứng với mỗi giá trị cụ thể P, Q, R (là các mệnh đề) của p, q, r thì ta có duy nhất một mệnh đề E(P, Q, R) Ta viết E = E(p, q, r) • Bảng chân trị là bảng ghi tất cả các trường hợp chân trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề E theo chân trị của các biến mệnh đề p, q, r... mệnh đề p, q, r Nếu có n biến, bảng này sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề - Các hằng mệnh đề, tức là các mệnh đề đã xét ở trên - Các biến mệnh đề, tức là các biến lấy giá trò là các mệnh đề, thông qua các phép toán mệnh đề đã xét ở mục trên theo một trình tự nhất đònh nào đó, thường được chỉ rõ bởi các dấu ngoặc 41 42 Dạng mệnh đề 43 44 11 Tautologies and Contradictions Logical Equivalence A tautology... Truth Tables Dạng mệnh đề Ex Prove that p∨q ⇔ ¬(¬p ∧ ¬q) p F F T T q F T F T p ∨q F T T T ¬p T T F F 46 1 Quy tắc thay thế thứ 1: Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic ạ g ệ ợ g g thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương logic với E ¬ q ¬ p ∧ ¬ q ¬ (¬ p ∧ ¬ q ) T T F F F T T F T F F T 2 Quy tắc thay thế thứ 2: Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r…) là... ta thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p’,q’,r’) thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r…,p’,q’,r’,… vẫn còn là 1 hằng đúng 47 48 12 Dạng mệnh đề Dạng mệnh đề Các luật logic : Với p, q, r là các biến mệnh đề, 1 là một hằng đúng và 0 là một hằng sai, ta có các tương đương logic sau đây: 1) Luật luỹ đẳng ẳ p∧p⇔p p∨p⇔p 49 50 51 52 13 53 54 Dạng mệnh đề Equivalence Laws - Examples • •... Dạng mệnh đề End of Long Example q ∨ (¬p ∨ ¬(p ∧ r)) [DeMorgan’s] ⇔ q ∨ (¬p ∨ (¬p ∨ ¬r)) [Assoc.]          ⇔ q ∨ ((¬p ∨ ¬p) ∨ ¬r) [Idempotent]   ⇔ q ∨ (¬p ∨ ¬r) [Assoc.]          ⇔ (q ∨ ¬p) ∨ ¬r  [Commut.]      ⇔ ¬p ∨ q ∨ ¬r  Q.E.D. (quod erat demonstrandum) • Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề là tương đương lơgic, dạng mệnh đề này là hệ quả logic của dạng mệnh đề. .. Suy Diễn 87 88 22 Qui Tắc Suy Diễn Qui Tắc Suy Diễn 89 90 Bài tập 1) Đề thi ĐHBK2000 Kiểm tra lại dạng mệnh đề sau là hằng đúng [p→(q ∨ r)] →[(p →q) ∨(p →r)] 2) Đề thi KHTN 2001 Kiểm tra lại tính đúng đắn của suy luận sau p q→r p→¬r _ ∴¬q à 91 92 23 Bài tập Bài tập • 3 Cho p, q, r là các biến mệnh đề Chứng minh các dạng mệnh đề sau là các hằng đúng: a) ((p → q) ∧ p) → q b) ((p → q) ∧¬q ) →¬p ... shown.) 61 62 Ví dụ Cho p, q, r là các biến mệnh đề Chứng minh rằng: (¬p→ r) ∧ (q → r) ⇔ (p → q) → r (1) Chúng ta có thể chứng minh (1) bằng hai cách Cách 1: Lập bảng chân trò 63 64 16 Qui tắc suy diễn Qui Tắc Suy Diễn • Trong các chứng minh tốn học, xuất phát từ một số khẳng định đúng p, q, r…(tiền đề) , ta áp dụng các qui tắc suy diễn để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà ta gọi là kết luận • Nói cách... q r … ∴h  65 Qui Tắc Suy Diễn • QUI TẮC MODUS PONENS(Phương pháp khẳng định) Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng: ⎡( p → q ) ∧ p ⎤ → q ⎣ ⎦ Hoặc dưới dạng sơ đồ 66 •Nếu An học chăm thì An học tốt •Mà An học chăm Suy ra An học tốt •Hình vng là hình bình hành •Mà hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Suy ra hình vng có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường p→q... ⎣ ⎦ ⎡( p1 ∧ p2 ∧ ∧ pn ) → q ⎤ ⇔ ⎡( p1 ∧ p2 ∧ ∧ pn ∧ ¬q ) → 0⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có thể xảy ra, chúng ta biết có một trường hợp sai thì chắc chắn trường hợp còn lại sẽ đúng • Để chứng minh vế trái g là một hằng đúng ta chứng minh nếu thêm phủ định của q vào các tiền đề thì được một mâu thuẫn VÍ DỤ • Hãy chứng minh: p→r ¬p → q q→s ∴¬r → s Qui Tắc Suy Diễn • Cm bằng... q) ∧¬q ) →¬p c) ((p ∨ q) ∧ ¬q) → p q) p d) (p → q) ↔ ((p ∧¬q ) → 0) e) ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) f) ((p ∨ q) → r) ↔ ((p → r) ∧ (q → r)) g) (p → q) → ((q → r) → (p → r)) 4 Cho p, q, r là các biến mệnh đề Chứng minh: a) ((p → r) ∨ (q → r))→(p →r)⇔ p → (q ∨ r) b) ((¬p∧ q ∧¬r) →¬q ) →(p ∨ r)⇔p∨q ∨ r c) ((p → r)∧(q → r))→(p→q) ⇔¬p∨ q ∨ ¬r d) (p → q) ∧ (p → r) ⇔ p → (q ∧ r) 93 94 Bài tập Bài tập 5 Hãy