một số dạng toán chứng minh bằng phản chứng và quy nạp toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG ĐÌNH HƯNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG VÀ QUY NẠP TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 TRƯỜNG ĐẠI THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG ĐÌNH HƯNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG VÀ QUY NẠP TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46 .01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2014 Mục lục LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Mệnh đề và các phép toán mệnh đề . . . 4 1.2. Công thức mệnh đề . . . 6 1.3. Hệ quả logic và quy tắc suy luận . . . 8 1.4. Đại số vị từ . . . . . . . . . . . 8 1.5. Tính sắp thứ tự tốt của tập số tự nhiên . . . 11 Chương 2. Phương pháp chứng minh phản chứng . . . . . . . 12 2.1. Một số dạng chứng minh phản chứng . . . . . . . 12 2.2. Một số bài toán chứng minh bằng phản chứng. . . . . 17 Chương 3. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học . 32 3.1. Phương pháp chứng minh quy nạp cơ bản. . . . . 32 3.2. Một số phương pháp quy nạp đặc biệt . . . . . . 38 3.3. Một số sai lầm học sinh hay mắc phải . . . . . . . 46 3.4. Một số bài toán sử dụng phương pháp quy nạp 48 KẾT LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1 LỜI NÓI ĐẦU Logic toán là một ngành kho a học còn non trẻ ra đời từ thế kỷ 17, nhưng nó đóng vai trò quan trọng trong toán học. Nó là phương tiện để xây dựng các kiến thức toán học và là chất keo nối kết các ngành, các vấn đề toán học với nhau làm cho toán học trở thành một thể thống nhất. Logic toán rất quan trọng với các thày giáo dạy toán. Nó tạo cho người thày khả năng đi sâu vào bản chất của sự chứng minh. Nó tạo cho người thày những phương tiện mới để r èn luyện cho học sinh thó i quen suy nghĩ chính xác. Trong luậ n văn này tôi trình bày cơ sở logic cũng như các dạ ng đặc biệt của hai phương pháp chứng minh toán học quen thuộc và quan trọng: phương pháp chứng minh phản chứng và phương pháp quy nạp toán học. Cả hai phương pháp này đã được sử dụng trong chương trình nâng cao ở phổ thông, trong các bài toán thi học sinh giỏi. Điều quan trọng trọng trong phương pháp chứng minh phản chứng là tạo ra mệnh đề phủ định và tìm ra sự vô lý với giả thiết hay vô lý với kiến thức toán học đã biết. Phương pháp quy nạp toán học chứng minh các mệnh đề phụ thuộ c vào số tự nhiên dạng ∀nP (n), n ∈ N. Để chứng minh những mệnh đề như thế hiển nhiên ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên vì tập số tự nhiên là vô hạn. Nguyên lý cơ bản của phương pháp quy nạp toán học là chứng minh mệnh đề đúng với n = 0 sau đó ta chứng minh nếu mệnh đề đúng với một số tự nhiên k thì nó cũng với k + 1. Ở đây ta theo quy ướ c tập các số tự nhiên N là tập các số nguyên không âm: 0, 1, 2, Tuy nhiên chúng ta không hiểu tại sao chúng ta lại chứng minh như vậy. Hơn nữa trong thực tế chứng minh xuấ t hiện rất nhiều các dạng biến thể của hai phương pháp trên. Trong luận văn này trước hết chúng tôi giả i thích cơ sở lo gic của các phương pháp chứng minh trên. Sau đó chúng tôi liệt kê một số dạng chứng minh đặc biệt. Luận văn bao gồm ba chương. Chương 1 trình bày ngắn gọn những kiến thứ cơ bản của đại số mệnh đề, vị từ và tính sắp thứ tự tố t của tập các số tư nhiên làm cơ sở cho việc trình bày các chương sau. Một số khái niệm và kết quả được trình bày trong chương này nhưng không có ví dụ minh họa nhằm mục đí ch cho l uận văn được trình bày cô đọng hơn. Chương 2 và 3 là các chương chính của luận văn. Trong Chương 2, 2 chúng tôi trình bày các dạng toán chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Với những kiến thức về đại số mệnh đề trình bày trong Chương 1 ta có thể hiểu rõ cơ sở logic của phương pháp chứng minh này. Chương 3 dành cho việc trình bày phương pháp q uy nạp toán học. Để hi ểu rõ phương pháp này ta cần tính sắ p thứ tự tốt của tập các số tự nhiên và phương pháp chứng minh phản chứng. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS. Trần Nguyên An. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo của trường Đại H ọc Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành khóa học này! Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014 Tác giả Đặng Đình Hưng 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở cho việc trình bày các chương sau. 1.1. Mệnh đề và các p hép toán mệnh đề Mệnh đề là một khái niệm nguyên thuỷ của toán học. Ta có thể quan niệm mệnh đề là một câu trần thuật biểu thị một ý trọn vẹn mà ta có thể khẳng định một cách khách quan nó là "đúng " hoặc "sai". Tr ong Logic Toán, khi xét một mệnh đề, ta không quan tâm đến cấu trúc ngữ pháp cũng như ý ng hĩa nội dung của nó, mà chỉ quan tâm đến tính đúng sai của nó mà thôi. Giá trị "đúng" hay "sai" của một mệnh đề gọi là g iá trị chân lý của mệnh đề đó. Ta quy ước ký hiệu giá trị chân lý "đúng" bằng số 1, giá trị "sai" bằng số 0. Một mệnh đề mà không một bộ phận thực sự nào của nó cũng là mệnh đề, gọi là mệnh đề đơn giản. Ta ký hiệu cá c mệnh đề đơn giả n bằng các chữ cái la tinh nhỏ (có thể với các chỉ số): a, b, c, . , p, q, r, a 1 , a 2 , Đây là các biến lấy giá trị 1 hoặc 0 khi ta thay chúng bằng các mệnh đề cụ thể. Vì vậy ta gọi chúng là các biến mệnh đề. Từ cá c mệnh đề đơn gi ản nhờ các liên kết lôgic, cũng gọi là các phép toán logic ta lập được các m ệnh đề phức hợp. Sau đây là một số phép toán logic cơ bản. Định nghĩa 1.1.1 (Phép phủ định). Giả sử a là mệnh đề. Phủ định của a là một mện h đề, ký hiệu a (hoặc ¬ a), là một mệnh đề đúng khi a là một mệnh đề sai và là một mệnh đề sai khi a là mệnh đề đúng. Ta có t hể mô tả định nghĩa trên bằng bảng sau, gọi l à bả ng giá trị 4 chân lý của phép toán. a a 0 1 1 0 Định nghĩa 1.1.2 (Phép hội). Giả sử a và b là các mệnh đề. Hội của chúng, ký hiệu là a ∧ b, là một mệnh đề đú ng khi a và b đều đúng, và là một mệnh đề sai trong các trường hợp còn lại. Định nghĩa 1.1.3 (Phép tuyển). Giả sử a và b là các mệnh đề. Tuyển của chúng ký hiệu là a ∨ b, là một mệnh đề sai khi a và b đều sai, và là một mệnh đề đúng trong các trường hợp còn lạ i . Định nghĩa 1.1.4 (Phép kéo theo). Giả sử a và b là các mệnh đề. a kéo theo b là một mệnh đề, ký hiệu a → b, là một mệnh đề sai khi a đúng b sai và là một mệnh đề đúng trong các trường hợp còn lại. Định nghĩa 1.1.5 (Phép tương đương). Giả sử a và b là các mệnh đề. a tương đươn g b là một mệnh đề, ký hiệu là a ↔ b, là một mệnh đề đúng khi a và b cùng đúng hoặc cùng sai và là một mệnh đề sai trong các trường hợp còn lại. Ta có bảng giá trị chân lý của các phép toán hội, tuyển, kéo theo và t ương đương như sau. a b a ∧b a ∨ b a → b a ↔ b 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Chú ý: Tr ong mệnh đề a → b, a được gọi là ti ền đề hay giả thiết, b gọi là kết luận. Mệnh đề a → b được gọi là mệnh đề thuận, mệnh đề b → a được gọi là mệnh đề đảo, mệnh đề a → b được gọi là mệnh đề phản còn mệnh đề b → a đượ c gọi là mệnh đề phản đảo của mệnh đề a → b. Ta có thể thấy được giá trị chân lý của các mệnh đề thuận, đảo, phản và phản đảo qua bảng chân lý sau a b a → b b → a a → b b → a 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 5 Theo bảng giá trị chân lý mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo; mệnh đề đảo và mệnh đề phản luôn có cùng giá trị chân lý với mọi giá trị chân lý của các mệnh đề thành phần a, b. 1.2. Công thức mệnh đề Nhờ các phép toán logic từ cá c mệnh đề đơn giản ta có thể thành lập được những mệnh đề mới, ngày càng phức tạp hơn, bằng cách thực hiện trên các mệnh đề đã cho một số hữu hạn tuỳ ý những phép toán logic. Các mệnh đề thành lập theo cách ấy gọi là công thức của đại số mệnh đề. Để định nghĩa một cách chính xác khái niệm này, ta xuất phát từ một tập hợp ký hiệu cơ bản gọi là bảng chữ cái. Bảng chữ cái t rong Đại số mệnh đề bao gồm: (i) 0, 1 là ký hiệu các mệnh đề sai, tương ứng đúng. Ta g ọi chúng là các hằng. (ii) Các chữ cái la tinh nhỏ a, b, c, là ký hiệu của các biến mệnh đề. (iii) −, ∧, ∨, →, ↔ là ký hiệu của các phép toán logic và (, ) là dấu ngoặc. Định nghĩa 1.2.1. Một dãy hữu hạ n tuỳ ý những ký hiệu trong bảng chữ cái được gọi là một từ trên bảng chữ cá i đó. Ta ký hiệu các từ bằng các chữ cái la tinh lớn A, B, C, P, Q, . Trong lớp t ất cả các từ, ta xét lớp từ gọi là công thức và được định nghĩa bằng quy nạp như sau: (i) Các hằng, các biến mệnh đề là những công thức. (ii) Nếu A là một công thức thì (A) là một công t hức. (iii) Nếu A v à B là những công thức thì (A∧B), (A∨B) , (A → B), (A ↔ B), là những công th ức. (iv) Mọi từ khác kh ông được thành lập theo các quy tắc (i), (ii), (iii) thì không phải là công thức. Công thức A chứ a các biến mệ nh đề a 1 , a 2 , , a n thường được ký hiệu là A = A(a 1 , a 2 , , a n ). Giả sử A = A(a 1 , a 2 , , a n ) là một công thức mệnh đề phụ thuộc n biến mệnh đề a 1 , a 2 , , a n . Đặt I = {0, 1} l à tậ p các giá trị chân lý của các mệnh đề. Dãy e = (e 1 , e 2 , , e n ) ∈ I n được gọi là một dãy giá trị chân lý (d ãy giá trị) cho tương ứng với các bi ến mệnh đề a 1 , a 2 , , a n trong công thức A. 6 Giá trị chân lý của A tại e, ký hiệu A| e và được định nghĩa như sau: (i) Nếu A là một biến mệnh đề a i thì A| e = e i . (ii) Nếu A có dạng B, trong đó B là một công thức và nếu B| e đã được xác định thì A| e =  0 nếu B| e = 1 1 nếu B| e = 0. (iii) Nếu A là một trong các dạng B ∧C, B ∨C, B → C, B ↔ C, trong đó B và C là những công thức, B| e , C| e đã được xác định thì A | e cũng được xác định và việc xác định giá trị của A trên e phù hợp với định nghĩa của các phép toán ∧, ∨, →, ↔ . Cụ thể t a có bảng giá trị chân lý tương ứng sau B| e C| e (B ∧C)| e (B ∨C)| e (B → C)| e (B ↔ C)| e 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Giả A = A(a 1 , a 2 , , a n ) là công thức mệnh đề phụ thuộ c n biến. Tập E A = {e ∈ I n |A| e = 1} ⊆ I n được gọi là miền đúng của công thức A. Định nghĩa 1.2.2. Một công thức A được gọi là hằng đúng nếu nó nhận giá trị 1 trên mọ i dãy giá trị của các biến mệnh đ ề có mặt trong công thức A, tức là A| e = 1 trên m ọi d ãy g i á trị e của A. Nếu A là một công thức hằng đúng thì ta v iết |= A. Các cô ng thức hằng đúng đóng m ột vai trò rất quan trọng trong logic. Chúng là những luật logic. Định nghĩa 1.2.3. Giả s ử A, B là hai công thức. Ta nói A và B là tương đương logi c nếu chúng có cùn g giá trị trên mọi dãy giá trị của các biến mệnh đề, tức là A| e = B| e trên mọi dãy g i á trị e của A và B. Ta ký hiệu hai công thức tương đương logic là A ⇔ B (hoặc A ≡ B ). Ví dụ 1.2.4. (i) A = a ∧ a là công thức hằng đúng. (ii) a → b ⇔ a ∨b. (iii) a → b ⇔ ( a ∨ b) ∧ (c ∨ c). 7 Nhận xét:(i) Quan hệ tương đương logic giữa các công thức là quan hệ tương đương trên tập các công thức của đại số mệnh đề. (ii) Giả sử A , B là hai công thức. Khi đó A ⇔ B nếu và chỉ nếu |= (A ↔ B). Bằng cách lập bảng giá trị chân lý ta có thể chứng minh một số công thức là tương đương logic. 1.3. Hệ quả logic và quy tắc suy luận Định n ghĩa 1.3.1. (i) Giả sử A và B là hai công thức. Công thức B được gọi là hệ quả logic (hay hệ quả ) của công thức A, ký hiệu A ⇒ B (hoặc A |= B) nếu với mọi dãy g i á trị e của các biến mệnh đề có mặt trong A và B, mỗi khi A| e = 1 thì B| e = 1. Khi đó ta cũng nói có một quy tắc suy luận từ tiền đề (hay giả thiết) A đến kết luận (hay hệ quả) B, quy tắc suy luận đó được ký hiệu bởi A B . (ii) Giả sử ∆ = {A 1 , A 2 , , A m } là một dãy hữu hạn những công thức. Công thức B được gọi l à hệ quả logic (hay hệ q uả) của ∆ , ký hiệu ∆ ⇒ B (ta còn viết ∆ |= B, hay A 1 , A 2 , , A m ⇒ B), nếu B là hệ quả logic của công thức A 1 ∧ A 2 ∧ ∧ A m . Khi đó ta cũng nói có một quy tắc suy luận từ các tiền đề (hay các giả thiết A 1 , A 2 , , A m đến kế t luận (hay hệ quả) B, quy tắ c suy luận đó được ký hiệu bởi ∆ B hoặc A 1 , , A m B . Nhận xét. (i) Giả sử A, B là các công thức. Khi đó B là hệ quả logic của A khi và chỉ khi E A ⊆ E B . (ii) B là hệ quả logi c của A hay ta có quy tắc suy luận A B khi và chỉ khi A → B là hằng đúng. 1.4. Đại số vị từ Logic vị từ là sự phát triển của Đại số Mệnh đề. Nó chứa trong bản thân nó toàn bộ Đại số Mệnh đề, nghĩa là các mệnh đề đơn giản, các phép toán logic và do đó tất cả các công thức của Đại số Mệnh đề. 8 [...]... Dạng 1 của phương pháp chứng minh phản chứng ta có điều phải chứng minh Trong phần tiếp theo ta đề cập đến một số bài toán điển hình sử dụng phương pháp phản chứng mà không phân tích quy tắc sử dụng trong đó Trước hết ta đề cập một số bài toán chứng minh phản chứng liên quan đến số nguyên tố Ví dụ 2.2.3 Chứng minh rằng tập các số nguyên tố là vô hạn 18 Chứng minh Trước hết ta chứng minh: Nếu n là một. .. 0 và x + x < 2 Từ đó ta có (x − 1)2 < 0 Điều này là vô lý Do đó ta có điều phải chứng minh 2.2 Một số bài toán chứng minh bằng phản chứng Trong mục này ta phân tích một số bài toán chứng minh bằng phản chứng Một số ví dụ đầu mục được phân tích bởi các luật logic nhằm hiểu cặn kẽ hơn các lập luận Tiếp theo luận văn trình bày một số bài toán về tính vô hạn của số nguyên tố,ứng dụng phần tử cực biên và. .. Chứng minh rằng nếu x ∈ B thì x ∈ A / / Chứng minh Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử x ∈ B và x ∈ A Vì / A ⊆ B nên x ∈ B Điều này là vô lý dẫn đến điều phải chứng minh Chứng minh bằng phản đảo: Giả sử x ∈ A Vì A ⊆ B nên x ∈ B Do đó ta có điều phải chứng minh Tương tự như trong Đại số mệnh đề, phương pháp chứng minh phản chứng có thể được áp dụng cho các công thức trong Đại số vị từ Ta tìm hiểu chứng minh. .. phần tử bé nhất Ta sử dụng một tính chất rất quan trọng của tập các số tự nhiên, thường người ta công nhận như một tiên đề (được gọi là tiên đề thứ tự) Tiên đề 1.5.1 Tập các số tự nhiên là tập sắp thứ tự tốt 11 Chương 2 Phương pháp chứng minh phản chứng 2.1 Một số dạng chứng minh phản chứng Trong toán học phương pháp phản chứng được sử dụng rất sớm Ta bắt đầu bằng việc chứng minh nguyên lý Đirichlê (còn... pháp chứng minh phản chứng trong việc chứng minh bất đẳng thức Ta sẽ thấy rằng việc chứng minh bất 24 đẳng thức bằng phản chứng là mới lạ nhưng rất hiệu quả Điểm đặc biệt của một số bài toán dạng này là có một giả thiết đẳng thức và một kết luận bất đẳng thức Ta hãy xem xét bài toán theo cách ngược lại, biến kết luận làm đẳng thức còn giả thiết lại trở thành bất đẳng thức (ta tạm gọi là bài toán phản chứng) ... biệt chứng minh phản chứng (proof by contradiction) và chứng minh phản đảo (proof by contrapositive) Chứng 15 minh phản đảo mệnh đề p → q là ta giả sử q sai và chứng minh p sai Cơ sở logic của phương pháp là tương đương logic p → q ⇔ q → p Trong khi chứng minh phản chứng dạng mệnh đề này là ta giả sử đồng thời p đúng và q sai rồi dẫn đến điều vô lý Ví dụ 2.1.7 Cho A, B là các tập hợp thỏa mãn A ⊆ B Chứng. .. ta có điều phải chứng minh Bằng chứng minh chi tiết như trên ta có thể thấy bài toán ban đầu và bài toán phản chứng là tương đương Ta phân tích thêm một số ví dụ cho dạng toán đặc biệt này Ví dụ 2.2.15 Giả sử a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 1/a + 1/b + 1/c = 3 Chứng minh bất đẳng thức √ √ √ √ a + b + b + c + c + a ≥ 3 2 27 Chứng minh Đặt x= a+b ,y = 2 a+c ,z = 2 b+c 2 Bài toán trở thành Cho... thức dạng trên ta được n i=1 n (1 − x2) > (n2 − 1) P 2 i Điều này mâu thuẫn với (*), vậy ta có điều phải chứng minh, đẳng thức xảy ra khi chỉ khi a1 = a2 = = an = 1 31 Chương 3 Phương pháp chứng minh quy nạp toán học Ta đã làm quen rất nhiều với tập số tự nhiên N = {0, 1, 2, } Trong nhiều ngành toán học: Số học, Đại số, Hình học, Giải tích, ta thường phải chứng minh các mệnh đề phụ thuộc vào số tự... ab+bc+ca = 3 Hãy chứng minh rằng √ √ √ a + 3 + b + 3 + c + 3 ≥ 6 Chứng minh Phương pháp phản chứng ứng dụng rất rõ vào bài toán này Ta chứng minh một bài toán khác như sau: √ √ √ Bài toán phản chứng: Nếu a, b, c ≥ 0 và a + 3+ b + 3+ c + 3 = 6 thì ab + bc + ca ≤ 3 √ √ √ (Chuyển kết luận a + 3 + b + 3 + c + 3 ≥ 6 thành đẳng thức và chuyển giả thiết thành kết luận, đây chính là ý tưởng phản chứng, các giá... nhiên dạng ∀nP (n), n ∈ N hoặc n ∈ N, n ≥ n0 Để chứng minh những mệnh đề như thế hiển nhiên ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên vì tập số tự nhiên là vô hạn Trong chương này ta tìm hiểu về phương pháp chứng minh các mệnh đề dạng trên gọi là phương pháp quy nạp toán học (hay phép truy chứng) Đặt Nn0 = {n ∈ N, n ≥ n0} 3.1 Phương pháp chứng minh quy nạp cơ bản Định lý 3.1.1 (Nguyên lý quy nạp . pháp chứng minh phản chứng . . . . . . . 12 2.1. Một số dạng chứng minh phản chứng . . . . . . . 12 2.2. Một số bài toán chứng minh bằng phản chứng. . . . . 17 Chương 3. Phương pháp chứng minh quy. KHOA HỌC ĐẶNG ĐÌNH HƯNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG VÀ QUY NẠP TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46 .01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẶNG ĐÌNH HƯNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG VÀ QUY NẠP TOÁN HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 TRƯỜNG ĐẠI THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC