luận văn sư phạm vật lý ứng dụng thuyết nhiễu loạn trong hiệu ứng zeemann

Trị riêng của toán tử năng lượng của nguyên tử Hidro đặt trong từ trường ngoài ……37 4.3.2... Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ “ r – biểu diễn” Để biểu diễn trạng thái của hệ lượng tử, ngư

Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện:

Nguyễn Thị Thúy Hằng

Cần Thơ

2009

LỜI CẢM ƠN!

Ñ*Ð

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại Học Cần Thơ, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm, các thầy cô trong bộ môn Vật Lí, các thầy cô ở các phòng ban

đã tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Xuân Tư

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, đôn đốc và tạo điều kiện

để em hoàn thành luận văn này

Xin cảm ơn các bạn cùng lớp đã,quan tâm, động viên, hỗ trợ để tôi có thêm nghị lực hoàn thành luận văn này

{|{|{

˜-™

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Cần Thơ, ngày….tháng….năm 2009

Giáo viên hướng dẫn

Nguyễn Xuân Tư

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Cần Thơ, ngày….tháng….năm 2009

Giáo viên phản biện

TÓM TẮT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU ……… vii

Phần I: MỞ ĐẦU.………… ………viii

1 Lí do chọn đề tài….……… viii

2 Các giả thuyết của đề tài……… ……….viii

3 Phương pháp nghiên cứu……… viii

4 Các bước thực hiện đề tài ……… ix

Phần II: NỘI DUNG ……… 1

Chương 1 SƠ LƯỢC VỀ LÍ THUYẾT BIỂU DIỄN ………1

1.1 Biểu diễn các trạng thái lượng tử…….………1

1.1.1 Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ (“ r – biểu diễn”) ……….2

1.1.2 Hàm sóng trong biểu diễn năng lượng (“E – biểu diễn”)……….2

1.1.3 Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng ……….3

1.2 Dạng toán tử trong các biểu diễn ………3

1.2.1 Toán tử năng lượng trong biểu diễn năng lượng……… 5

1.2.2 Toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng ……….6

1.2.3 Toán tử tọa độ trong biểu diễn xung lượng……… 7

1.3 Biểu diễn giá trị trung bình của biến số động lực dưới dạng ma trận ……….…8

1.4 Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian, phương trình Heisenberg viết dưới dạng ma trận………9

Chương 2 NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA NGUYÊN TỬ HIDRÔ………13

2.1 Chuyển động của hạt trong trường thế xuyên tâm ………13

2.1.1 Chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối trong cơ học cổ điển …………13

2.1.2 Sự tách phương trình trị riêng của toán tử Hamiltonian trong cơ học lượng tử……….14

2.1.3 Hamiltonian lượng tử của hạt chuyển động trong trường thế xuyên tâm ……… 16

2.2 Chuyển động của elec tron trong nguyên tử Hidrô ………16

2.2.1 Chuyển động của elec tron trong nguyên tử Hidrô… ……….16

2.2.2 Năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hidrô ………17

2.2.3 Kết luận ……… 22

Chương 3 LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN ……… 24

3.1 Bài toán nhiễu loạn dừng ……… 24

3.2 Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến………26

3.2.1 Trong gần đúng bậc 0 (không có nhiễu loạn)……….27

3.2.2 Trong gần đúng bậc một……….28

3.2.3 Trong gần đúng bậc hai… ……….29

3.3 Lí thuyết nhiễu loạn dừng có suy biến………31

Chương 4 HIỆU ỨNG ZEEMANN VÀ NĂNG LƯỢNG NGUYÊN TỬ HIDRO TRONG TỪ TRƯỜNG……… 35

4.1 Hiệu ứng Zeeman ……… 35

4.2 Năng lượng của nguyên tử Hidro trong từ trường ………36

4.3 Ứng dụng lí thuyết nhiễu loạn để giải bài toán hiệu ứng Zeemann ……….37

4.3.1 Trị riêng của toán tử năng lượng của nguyên tử Hidro đặt trong từ trường ngoài ……37

4.3.2 Tìm hàm sóng tương ứng với năng lượng bị tách ra khi đặt trong từ trường ngoài … 46

Phần III: KẾT LUẬN CHUNG……… 49

1 Kết quả đạt được……… 49

2 Nhận xét – kiến nghị………49

2.1 Nhận xét……….49

2.2 Kiến nghị………50

Tài liệu tham khảo……….51

Tên đề tài: “Ứng dụng thuyết nhiễu loạn trong hiệu ứng Zeemann”

Khi nghiên cứu đề tài, tôi đã nghiên cứu các nội dung sau:

Chương 1 Sơ lược về lí thuyết biểu diễn

¨ 1.1 Biểu diễn các trạng thái lượng tử

ù 1.1.1 Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ (“ r – biểu diễn”)

ù 1.1.2 Hàm sóng trong biểu diễn năng lượng (“E – biểu diễn”)

ù 1.1.3 Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng

¨ 1.2 Dạng toán tử trong các biểu diễn

ù 1.2.1 Toán tử năng lượng trong biểu diễn năng lượng

ù 1.2.2 Toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng

ù 1.2.3 Toán tử tọa độ trong biểu diễn xung lượng

¨ 1.3 Biểu diễn giá trị trung bình của biến số động lực dưới dạng ma trận

¨ 1.4 Phương trình schrodinger phụ thuộc thời gian, phương trình Heisenberg viết dưới dạng ma trận

Chương 2 Năng lượng và hàm sóng cửa nguyên tử Hidrô

¨ 2.1 Chuyển động của hạt trong trường thế xuyên tâm

ù 2.1.1 Chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối trong cơ học cổ điển

ù 2.1.2 Sự tách phương trình trị riêng của toán tử Hamiltonian trong cơ học lượng

tử

ù 2.1.3 Hamiltonian lượng tử của hạt chuyển động trong trường thế xuyên tâm

¨ 2.2 Chuyển động của elec tron trong nguyên tử Hidrô

ù 2.2.1 Chuyển động của elec tron trong nguyên tử Hidrô

ù 2.2.2 Năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hidrô

Chương 3 Lí thuyết nhiễu loạn

¨ 3.1 Bài toán nhiễu loạn dừng

¨ 3.2 Nhiễu loạn dừng khi không có suy biến

ù 3.2.1 Trong gần đúng bậc 0 (không có nhiễu loạn)

ù 3.2.2 Trong gần đúng bậc một

ù 3.2.3 Trong gần đúng bậc hai

¨ 3.3 Lí thuyết nhiễu loạn dừng có suy biến

Chương 4 Hiệu ứng zeemann và năng lượng nguyên tử Hidro trong từ trường

¨ 4.1 Hiệu ứng Zeeman

¨ 4.2 Năng lượng của nguyên tử Hidro trong từ trường

ngoài

ù 4.3.2 Tìm hàm sóng tương ứng với năng lượng bị tách ra khi đặt trong từ trường ngoài

Chương 1 Lí do chọn đề tài

Từ khi đặt nền mống cho khoa học, các nhà Vật Lí học đã đưa ra một hệ thống lý thuyết dựa trên nền tảng vững chắc của cơ học Newton và lý thuyết điện từ của Maxwell Vật Lí học cổ điển cho kết quả phù hợp với thực nghiệm Nó là hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh và chặt chẽ Nhưng đến thế kỉ XIX, vật lí học cổ điển không thể giải thích các hiện tượng vật lí như: bức xạ của vật đen tuyệt đối, sự tách vạch quang phổ của nguyên tử Hidro trong từ trường ngoài…

Sự ra đời của cơ học lượng tử chính là lý thuyết cơ sở đầu tiên giúp con người tìm hiểu và chinh phục thế giới vi mô Ngày nay, một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng của vật lí hiện đại là thế giới vi mô Chính vì vậy, môn cơ học lượng tử đã trở thành một học phần quan trọng không thể thiếu đối với sinh viên chuyên ngành vật lí Trong thời gian học môn này có một vấn đề đã thật sự thu hút tôi Đó là khi đặt nguyên tử Hidro trong từ trường ngoài thì mức năng lượng của nó bị tách thành nhiều mức khác nhau và gây ra sự tách vạch quang phổ Hiện tượng đó được gọi là “hiệu ứng Zeemann” Vấn đề này có đề cập đến trong chương trình học, nhưng chưa đáp ứng những vấn đề mà tôi cần biết như: mức năng lượng và hàm sóng của nó được tính cụ thể như thế

nào? Để giải quyết vấn đề trên, tôi quyết định chọn và nghiên cứu đề tài: “ứng dụng

thuyết nhiễu loạn trong hiệu ứng Zeemann”

v Nắm vững lí thuyết nhiễu loạn

v Hiểu lí thuyết biểu diễn

v Vận dụng lí thuyết nhiễu loạn để giải bài toán hiệu ứng Zeemann

Đây là một đề tài thuần túy về lí thuyết Do đó phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp lí thuyết:

v Phương pháp toán học

v Phương pháp phân tích và tổng hợp lí thuyết

v Phương pháp gần đúng

Nghiên cứu lí thuyết: lí thuyết nhiễu loạn và lí thuyết biểu diễn

Tìm mức năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hidrô khi đặt trong từ trường

Viết báo cáo

Bảo vệ luận văn

1.1.1 Hàm sóng trong biểu diễn tọa độ (“ r – biểu diễn”)

Để biểu diễn trạng thái của hệ lượng tử, người ta sử dụng hàm Ya ( t rr, )

Trong đó chỉ số a xác định trạng thái của hệ lượng tử ( trạng thái a) Dó đó, chỉ số a được gọi là chỉ số trạng thái

Việc mô tả trạng thái nhờ hàm sóng phụ thuộc tọa độ được gọi là hàm sóng trong biểu diễn tọa độ hay “ r – biểu diễn” Bình phương mođun hàm sóng trong biểu diễn tọa

độ bằng mật độ xác xuất tìm thấy hạt ở tọa độ đang xét Đầu tiên ta nghiên cứu trạng thái

ở một thời điểm nhất định nên trong biểu diễn hàm sóng ta không cần viết phần phụ thuộc vào thời gian mà chỉ cần viết phần phụ thuộc tọa độ Ya (rr) mà thôi

Nếu toán tử Lˆ biểu diễn biến số động lực L thì các hàm riêng của nó lập thành một

hệ đầy đủ:

å

= Y

n n n

a(rr) C U (rr)Với C n: hệ số phân tích

U n (rr): hàm riêng của toán tử Lˆ

Các hàm riêng này là đã biết, do đó nếu ta biết được tất cả các hệ số C n thì hàm sóng Ya (rr) hoàn toàn xác định Nghĩa là tập hợp các hệ số của

Như vậy, để mô tả trạng thái của hệ lượng tử ta có thể mô tả bằng hàm sóng trong biểu diễn tọa dộ hay trong các biểu diễn khác

Sau đây ta sẽ xét hàm sóng trong biểu diễn xung lượng và biểu diễn năng lượng

1.1.2 Hàm sóng trong biểu diễn năng lượng (“E – biểu diễn”)

Để đơn giản, ta xét trạng thái của hạt chuyển động trong từ trường ngoài, năng lượng của hạt là âm và do đó giá trị của năng lượng là gián đoạn

Nếu E n: là trị riêng của toán tử năng lượng

U n (rr): là hàm riêng tương ứng trị riêng

n

E Thì theo tính chất của hệ hàm riêng ta có:

å

= Y

n n n

a(rr) C U (rr)Các hệ số phân tích C n là hàm sóng mô tả trạng thái a của hạt trong “E – biểu diễn”

Từ tính chất đầy đủ của hệ hàm riêng, ta có công thức chuyển đổi hàm sóng trong

“E - biểu diễn” sang “r – biểu diễn” là:

å

= Y

n

n n a

m

r r r r

U*( r ) ( r ) ( r ) j ( )d

Với

n m khi

n m khi

mn

¹

=

= 0

(E m U m* r a r d r

a

r r r

j (1.3) (1.3)chính là dạng chuyển đổi hàm sóng trong : “r – biểu diễn” sang “E - biểu diễn”

1.1.2.2 Điều kiện chuẩn hóa trong “E – biểu diễn”

Nếu hàm sóng trong biểu diễn tọa dộ được chuẩn hóa thì:

1 ) ( ) ( ) (

òya rrya rr d rr (1.4)

) ( ) ( )

*

r U E

m a a

r

r =å

Mà: Y =å

n

n n a

a(rr) j (E ).U (rr)Thay vào (1.4) ta được:

n m n a m

=Û

m

m a m a

mn n a m a

E E

E E

1(

)(

1)

()(

)

*

*

jj

dj

1.1.3 Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng

Trị riêng của toán tử xung lượng có phổ liên tục nên hàm riêng ứng với trị riêng Prcủa toán tử Pˆr trong “ r – biểu diễn” được viết tắt là: YPr(rr ) và hàm được chuẩn hóa về hàm delta Tức là:

a

r r r

(p P* r a r d r

a

r r r

i

r h r

h

ø

öçè

æ

=Y

1.2 Dạng toán tử trong các biểu diễn

Cho các toán tử tuyến tính Aˆ tác dụng lên hàm Ya (rr) (trạng thái a) sẽ cho

hàmYb (rr) (trạng thái b) như sau:

)()(

b a

r

r Y=Y

Xét phương trình (1.6) trong “ L – biểu diễn”

Phân tích Ya (rr) và (r)

b

r

Y theo hàm riêng U n (rr) của toán tử Lˆ

å

å

= Y

= Y

n

n n b b

n

n n a a

r U L r

r U L r

) ( ) ( )

(

) ( ) ( )

(

r r

r r

j j

Trong đó Ya (L ) , Yb (L ) là hàm sóng mô tả trạng thái a và trạng thái b trong

“ L – biểu diễn” Thay vào (1.6) ta được: å =å A n n n n b n n a(L )U (r) (L )U (r) ˆ j r j r (1.7) Nhân hai vế phương trình (1.7) với U m*(rr ) và lấy tích phân theo rr ta được: [U*(r)ˆU (r)d(r)] (L ) (L n)U m*(r)U n(r)d(r) n n b n a n m r r r r r r åò A j =åòj Đặt A = ò A ) ( * ) ( ) ( ˆ ) ( ˆ r n m mn U r U r d r r r r r

åA =å n n n b mn n a mnj (L ) d j (L ) åA = Û n m b n a mnj (L ) j (L ) (1.8) Phương trình (1.8) mô tả tác dụng của toán tử Aˆ trong “ L – biểu diễn” Nếu ta kí hiệu: ) ( n a n L a =j ; b m =jb(L m) (1.8) ÛåA = n m n mn a b

Với m, n là chỉ số hàm riêng của toán tử Lˆ Nếu Lˆ có k hàm riêng thì ta có: å = = A k n m n mn a b 1 (m=1,2,3,….k) Ta có hệ phương trình: ï ï î ï ï í ì = = A + + A + A + A = = A + + A + A + A = = A + + A + A + A ) (

) 2 (

) 1 (

3 3 2 2 1 1

2 2

3 23 2 22 1 21

1 1

3 13 2 12 1 11

k m b a a

a a

m b a a

a a

m b a a

a a

k k kk k

k k

k k

k k

(1.9)

Các hệ số Amn đặc trưng cho toán tử Aˆ, được gọi là phần tử ma trận Aˆ trong “L – biểu diễn” Như vậy, toán tử Aˆ được biểu diễn bằng một ma trận vuông có số hàng bằng

số cột, bằng số hàm riêng hoặc trị riêng k của toán tử Lˆ

kk k

k

k k

AA

A

AA

A

AA

A

=A

=A

2 1

2 22

21

1 12

11

Hàm sóng ja(L n) và jb(L m) trong “L – biểu diễn” được biểu diễn dưới dạng ma trận k hàng, một cột

úúúú

û

ù

êêêê

a

a a

L a

))(()

1

j

úúúú

û

ù

êêêê

b

b b

L b

))(()

( A ja L n = jb L m

Hay phương trình biến đổi hàm sóng có dạng:

Aˆja(L n)=jb(L m) (1.10) Với Aˆ,ja(L n),jb(L m) là các ma trận

Bây giờ ta xét toán tử Aˆ trong biểu diễn của chính nó

Lúc này U n (rr) là hệ hàm riêng của toán tử Aˆ Ta sẽ có:

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ˆ ) (

*

*

r d r U r U

r d r U r U

n m n mn

n m

mn

r r r

r r r

ò

ò

A

= A

A

= A

n m khi

n m khi

n mn

mn n mn

¹

=A

=AÞ

A

=AÞ

0d

Vậy, trong biểu diễn của chính mình, toán tử Aˆ là một ma trận chéo (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính là khác 0) Các phần tử ma trận là trị riêng của toán tử Tức là:

=A

00

0

0

0)

(

1

Sau đây ta nghiên cứu toán tử năng lượng trong biểu diễn của chính nó

1.2.1 Toán tử năng lượng trong biểu diễn năng lượng

Lập luận tương tự như trên ta có:

ò H

=

Hmn U m*(rr )ˆU n(rr )d(rr )

Þ Hmn =E ndmn

Nghĩa là trong biểu diễn năng lượng, toán tử Hˆ là một ma trận chéo, có các phần

tử trên đường chéo là trị riêng của năng lượng

k

E

E E

H H

000

0

0

0)

n

m b n a

mnj (E ) j (E ) (1.12)

Trong åH

n

n a

mnj (E ) tất cả các số hạng đều bằng 0 trừ số hạng có m=n

(1.12)

) ( ) (

) ( )

( )

(

m b m a m

m a m m a m m

b

E E

E

E E E E

jj

jj

j

= Û

= H

= Û

Hay Eja(E) =jb(E) (1.13)

Từ (1.11) và (1.13) suy ra:

)()

1.2.2 Toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng

Phương trình biến đổi hàm sóng của toán tử xung lượng trong biểu diễn xung lượng là:

)()(ˆ

p

a

rr

r

j

RMặt khác, mối liên hệ các hàm sóng trong biểu diễn xung lượng cho ta:

òR ¢

=

¢

P a P

r r

rr

jTrong đó:

rrrrrrrr

) ( )

( ) ( )

(ˆ

p

a

rrr

R

=R

Tức là trong biểu diễn xung lượng, toán tử xung lượng chỉ là phép nhân với xung lượng mà thôi Ta lưu ý rằng toán tử xung lượng có phổ liên tục nên nó là một ma tận chéo liên tục trong biểu diễn xung lượng

1.2.3 Toán tử tọa độ trong biểu diễn xung lượng

Xét hạt chuyển động trên trục ox Trong “px – biểu diễn” phương trình biến đổi hàm sóng của toán tử tọa độ xˆ

là:

) ( ) (

ˆ a p x b p x

xj =j (1.14) Mối liên hệ hàm sóng cho ta:

òC ¢

=

¢

X x x

P

x x a P P x

b(p ) j (p )dp

j

Với C ¢ =òY ¢ x xY x dx

x x

x

X x e

p2

1 ) ( = Y

÷÷ø

ö çç

è

æ

¶

¶ -

X

p i x x

p2

1 )

Y

¶

¶ -

= h

¶

¶ -

= ú û

ù ê

è

æ

¶

¶ - Y

= C

( )

(

P P

x P

x P

P

p i dx x p

i x

X X

X X

X

( - ¢ )

¶

¶ -

x

p p p

=

X

P

x x x x x

a x

p i p

x

x a P

x x x a x

p

p i

p p p i p

X ( ) ( ) ( ))

()()

( ' ' a 'x

x x

p i

p i

¶

¶

= h ˆ

Tương tự các toán tử tọa độ khác ta có:

z y x

p i z

p i y

p i x

ˆ ˆ ˆ

Từ đó ta dễ dàng suy ra: r i rPr

h

r= Ñ

ˆ

1.3 Biểu diễn giá trị trung bình của biến số động lực dưới dạng ma trận

Giá trị trung bình L của toán tử Lˆ ở trạng thái a biểu diễn bởi hàm sóng Ycó dạng

Nếu xét hàm sóng đã chuẩn hóa thì:

òY Y

=

) (

*

) ( ) ( ˆ ) (

r

a

a r L r d r L

r

r r

r (1.15)

Trong “M – biểu diễn” Ya (rr) có thể viết dưới dạng:

= Y

m m m

a(rr) C U (rr)Thay vào (1.15) ta được:

=òå å

m m n

n U r L C U r d r C

n m

m n m n

L C C

r d r U L U C C

(1.16)

Vậy (1.16) có thể viết dưới dạng ma trận:

) )(

k

k k

L L

L

L L

L

L L

2 1

2 22

21

1 12

) (

) (

)) ( ( ) (

) ( ) ( ˆ ) (

2 1

) (

*

k a

a a

a a

r

j i

ij

M

M M M

r d r U L r U L

j

j

jj

j

r

r r r

n

n

n t U r C

t

r, ) ( ) ( ) (r r (1.17) Trong đó: U n (rr) là phần phụ thuộc vào tọa độ

Sự phụ thuộc vào thời gian thể hiện C n (t), phương trình Schrodinger có dạng:

) , ( )

, (

t i t r

n

r h

¶

¶

= Y

HThay vào (1.17) ta có:

å

¶

¶

= Y

H

n

n n

t i t

n m

t i x d r U r U t

C ( ) *(r)ˆ (r) ( ) h ( ) *(r) (r) (r)

åH = ¶¶

n

m n

t i t

dt

d i t

C ( ) h ( ) (1.18) (vì Cm chỉ phụ thuộc thời gian)

Nếu Un(r) là các hệ hàm riêng của toán tử năng lượng thì (1.18) trở thành:

dt

t dC i t C

E m m( ) = h m( )

) 0 ( ln )

( ln

) (

) (

m m

m

m m

m

C t iE t

C

dt iE t

C

t dC

+ -

= Û

-= Û

h h

t iE m

m

m

e C t

-Û ( ) ( 0 ). (1.19) Vậy ở trạng thái dừng hàm sóng phụ thuộc thời gian có dạng (1.19)

Bây giờ ta sẽ tìm phương trình Heisenberg viết dưới dạng ma trận

Lấy đạo hàm của (L) theo công thức (1.16) theo thời gian:

nm n m

nm n

dt

dC L C C

L dt

dC C

t

L C dt

å

å

-= H

= H

l

n l

nl l

m l

ml

dt

dC i C

dt

dC i C

*

*

*

h h

Vì Hˆ là toàn tử liên hợp, nên H *nl = Hln

Nên:

åH =

-l

n l

dt

dC i C

*

*

ln hThay các giá trị vào (1.20):

Số hạng 2:

m nm l

m nm n

C L C i

C L dt

Số hạng 3:

l nm ml n m

nm

i dt

dC L

hHoán vị 2 chỉ số l và n trong số hạng thứ 2, ta được:

m lm nl l m

nm n

C L C i

C L dt

hHoán vị 2 chỉ số l và m trong số hạng thứ 3, ta được:

m nl lm n m

nm

i dt

dC L

n m l

m lm nl n

m lm nl n m

nm

i C L C i

C t

L C dt

L

h h

î í

lm nl lm nl nm

i t

L C dt

L d

) (

L C

þ ý

ü î

Trong đó L và H là những ma trận biểu diễn các toán tử Lˆ và Hˆ

Theo công thức trị trung bình:

Y Y

=

dt

L d dt

L

Vậy ta có phương trình ma trận:

nm nm

L L

i dt

dL dt

L d

þ ý

ü î

æ

(

1

h (1.21a) Hay

nm nm

nm

L L

i dt

dL dt

L d

) (

1

H - H +

÷ ø

ö ç è

æ

h (1.21b) (1.21a) và (1.21b) chính là phương trình Heisenberg viết dưới dạng ma trận

Lý thuyết biểu diễn mà chúng ta vừa sơ lược ở phần trên là một trong những phần quan trọng của cơ học lượng tử Nó là nền tảng để nghiên cứu những lý thuyết khác, một trong số đó là lý thuyết nhiễu loạn Ta sẽ nghiên cứu một phần lý thuyết đó ở phần sau

Chương 2

NĂNG LƯỢNG VÀ HÀM SÓNG CỦA NGUYÊN TỬ HIDRÔ

2.1 Chuyển động của hạt trong trường thế xuyên tâm

Do toán tử Hˆ và Lˆ 2 giao hoán với nhau trong trường thế xuyên tâm, nên bài toán thế xuyên tâm trở thành bài toán tìm các trạng thái riêng đồng thời của cả Hamiltonian và các toán tử momen xung lượng quỹ đạo

Rất nhiều bài toán xuyên tâm lượng tử trong thực tế cũng là các bài toán hệ hai hạt Nhưng ta mới chỉ biết cách giải chính xác phương trình Schrodinger đối với hệ một hạt

Do vậy, ta phải tìm cách biến đổi bài toán hai hạt về bài toán một hạt

2.1.1 Chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối trong cơ học cổ

2 1

2

2m m V r r

rrr

r

+

-R +

R

= H

Để nghiên cứu chuyển động của hai hạt này, ta thay tọa độ rr1, rr2 bởi tọa độ khối

tâm G

2 1

2 1

1

m m

r m r m

Và tọa độ tương đối: rr=rr1-rr2 (2.2)

Chuyển động của hệ một hạt (m1,m2) được nghiên cứu bởi chuyển động của khối tâm có khối lượng bằng khối lượng toàn phần của hệ M=(m1+m2) và chuyển động tương đối của hạt có khối lượng e0 bằng khối lượng rút gọn của hệ:

2 1

2 1 0

m m

m m

+

=e

Trong thế xuyên tâm: V(r)=V(rr -1 rr2 )

Từ (2.1) và (2.2) suy ra:

2 1

1 2

2 1

2

m m

m r

r

r m m

m r

r

G G

+ -

=

+ +

= r r

r r

r

Do đó xung lượng toàn phần của hệ RrG

được xác định bởi:

2 1 2 2 1

2 1 1 2

m m

p m p m r

Hay:

2 2 1

1

m m

R -

2 2

r V M

r

+

R+

R

=H

e

m

(2.5)

Đó là Hamiltonian của hai hạt chuyển động độc lập

2.1.2 Sự tách phương trình trị riêng của toán tử Hamiltonian trong cơ học

lượng tử

Trong cơ học lượng tử, chuyển động của khối tâm và chuyển động tương đối của hệ hai hạt được xác định bởi toán tử tọa độ khối tâm RˆrG và toán tử tọa độ tương đối Rˆr có dạng tương ứng (2.1) và (2.2):

2 1

2 1

2 1 1

ˆ

ˆ

r r R

m m

r m r m

R G

rr

rrr

Tương tự đối với các thành phần khác của rr1 xˆ1,yˆ1,zˆ1) và ˆ (ˆ , ˆ , ˆ )

1 1 1

1 p x p y p z

Các toán tử xung lượng toàn phần RrG

và xung lượng tương đối R r

có dạng tương tự (2.3) , (2.4):

2 1

2 1 1 2

2 1

.

m m

p m p m

G

+

-= R

R + R

= R

rr

r

rrr

(2.6)

Từ (2.6) toán tử Hamiltonian có dạng:

( )r V P M

PrG + v + r

= H

0

2 2

2

ˆ 2

ˆ ˆ

=

Hˆ ˆ ˆ (2.8) Trong đó:

2 r

r+

= H

( ˆ

) ( )

( ˆ

r E r

r E r

r r

G G

r r

r r

Y

= Y H

Y

= Y H

E = + (2.10)

2.1.3 Hamiltonian lượng tử của hạt chuyển động trong trường thế xuyên tâm

Ta đã biết, khi hệ hai hạt tương tác nếu không có ngoại lực tác dụng lên hệ thì khối tâm của hệ đứng yên (hoặc chuyển động thẳng đều), còn chuyển động tương đối xung quanh khối tâm giống như chuyển động một hạt có khối lượng rút gọn e0 dưới tác dụng của lực xuyên tâm

Hamiltonian của chuyển động tương đối có dạng:

( ) ( )

2 2

ˆ

0 2

0

2

r V r

V

= H

ùê

÷ø

öç

sin

112

1

jqq

qqq

r

r r

Mặt khác, toán tử Lˆ 2 được xác định:

j q

jqq

qq

2 2

2 2 2

2

sin

1sin

÷ø

öç

L

Do đó, Hamiltonian lượng tử ở (2.11) có thể viết lại:

) ( sin

1 sin

sin

1 1 1

2

ˆ

2 2 2 2

2

2 2

r V r

r r

ø

ö çç

è

æ

ú û

ù ê

÷ ø

ö ç

¶

¶

× -

= H

jqq

qqqm

2

0

2

r V r

L r r

¶

¶

× -

=

ee

h

2.2 Chuyển động của electron trong nguyên tử Hidrô

2.2.1 Chuyển động của electron trong nguyên tử Hidrô

Nguyên tử Hidrô gồm có một hạt nhân mang điện tích +e và một electron mang điện tích –e chuyển động quanh hạt nhân Ta có thể nghiên cứu bài toán tổng quát của các ion như He+

và Li++…

Tương tự như nguyên tử Hidrô vì các ion đó chỉ có một electron ở lớp vỏ ngoài cùng nên có thể bỏ qua tương tác của các electron với nhau Vì thế, thế năng tương tác giữa hạt nhân và electron duy nhất có thể biểu diễn là:

r

Ze r

Ze e V

0 2

) )(

( 4

1

pe

-+ -

Trong đó Z là điện tích hạt nhân của các ion Khi Z=1 ta trở về bài toán nguyên tử Hidrô Với ion He+ thì Z=3; r là khoảng cách trung bình từ electron đến hạt nhân

Như vậy, phương trình Schrodinger có dạng:

0 ) , , ( 4

2 ) , , (

è

æ - - +

r

ze E

m z y x

pe

Trong đó m là khối lượng của electron

2.2.2 Năng lượng và hàm sóng của nguyên tử Hidro

2.2.2.1 Hàm sóng của nguyên tử Hidro

Bài toán có tính đối xứng cầu nên ta có thể chuyển sang tọa độ cầu (r,q ,j) và hàm sóng sẽ là hàm của các biến số Y(r,q,j) Hàm Y được thay thế cho hàm j vì lí do tránh nhầm lẫn và toán tử Laplace trong tọa độ cầu có:

2 2 2 2 2

2 2

sin

1 sin

sin

1 1

jqq

qq

¶ +

÷ ø

ö ç

÷ ø

ö ç è

r

r r r

Trong tọa độ cầu, phương trình Schodinger có dạng:

( , , ) 0 4

2

, , sin

1 ,

, sin

sin

1 ,

, 1

0

2 2

2 2 2 2 2

2

2

= ú

û

ù ê

÷ ø

ö ç

÷ ø

ö ç

ze

E

m

r r

r r

r

r r

r

r

ype

j

jqyqq

jqyfqf

fqy

úû

ùê

ë

é

¶

¶+

÷ø

öç

=

÷÷

ø

öçç

è

æ++

÷ø

öç

è

æ

2 2 2 0

2 2

2

sin

1sin

sin

14

21

jqq

qqqpe

Y Y

Y Y

r

ze E m dr

dR r

( )

( )1 sin

1 sin

sin 1

1 4

2 1

2 2 2 0

2 2

2

+ -

= ú û

ù ê

ë

é

¶

¶ +

÷ ø

ö ç

è

æ + +

÷ ø

ö ç

è æ

l l Y Y

Y Y

l l r

ze E m dr

dR r dr

d R

jqq

qqq

peh

(2.17)

Dùng phương pháp phân li biến số một lần nữa cho hàm Y =Y( )q,j ta có:

( )q,j =D( ) ( )0Fj

Y ( ) sin sin ( )1sin 1( ) ( ) 0

+þý

üî

í

ì

++úû

ùê

ë

é

÷ø

öç

qq

qq

q

D

Có thể viết thành hai phương trình:

( ) sin sin ( )1 sin2 2

1

m l

l D

û

ù ê

ë

é

÷ ø

ö ç

m= ± ± ± (2.22) Với điều kiện (2.22), nghiệm của phương trình (2.19) sẽ là:

( )q AP l m(cosq)

D = (2.23) Trong đó P l m(cosq) là các hàm Legendre có liên hệ với các đa thức Legendre theo

công thức định nghĩa như sau:

( ) ( ) l m( )

m m m

l

dx

x P d x x

P = 1 - 2 2 (2.24) Trong đó đa tức Legendre hạng thứ l được xác định như sau:

l

l l

l l

dx

x d l x

!2

x d x

112

.4

2

2 2 2

-dx

x d x

P

Để tính được hàm Legendre ta thay các đa thức Legendre vào biểu thức (2.24)

1 2 1

1 3 2

1

dx

x d x x

Lưu ý rằng l là các số nguyên không âm: l=0,1,2,3,……

Dùng hàm Legendre và nghiệm của phương trình F( )j ta có thể viết nghiệm của hàm Y l m( )q,j = D( ) ( )q Fj như sau:

( )

pj

q

pj

q

cos 4

3 ,

4

1 ,

2 1 0

1

2 1 0

0

÷ ø

ö ç è

æ

=

÷ ø

ö ç è

j

cos 3 cos 5 16 7

sin 32

15

3 2 1 0

3

2 2

1 2

2

-÷ ø

ö ç è

æ

=

÷ ø

ö ç è

1

j

qp

i

e

1 2

q

pj

q

i

e Y

ö ç è

æ

=

cos sin 8

15 ,

1 cos 3 16

5 ,

2 1 1

2

2 2 1 0

p

qp

i i

e Y

e Y

ö ç è

æ

±

=

÷ ø

ö ç è

æ

±

=

1 cos 5 sin 64

21

sin 64

35

2 2

1 1

3

3 3 2 1 3

!4

!1

m l l

+

+

Trong đó: ( )m

1 -

=

e với m³ 0

Sau khi giải các phương trình này người ta nhận được hàm R( )r phải là hàm số phụ thuộc vào hai biến số lượng n và l, nghĩa là:

( )r R

R = n, l (2.27)

n được gọi là lượng tử số chính, l là lượng tử số quĩ đạo và m là lượng tử số từ Các

lượng tử số bị chi phối bởi quy luật sau:

n= 1,2,3,…

l= 0,1,2,2,…n-1 (0£l£n-1) (2.27’)

m=0,± 1 , ± 2 , ± 3 , , ±l (l ³m³-l)Dưới đây là một vài dạng cụ thể của hàm R n,l(r)đối với nguyên tử Hidro:

a

r a

R 2 (1) 2 exp( )

3 0

,

-a

r a

r a

2

exp(

2 1 )

1 ( 2

1 23

0 ,

2 = êë é - úûù

-a

r a

r a

2 exp(

) ( )

1 ( 24

1 23

0 ,

-a

r a

r a

r a

3 exp(

) ( 27

2 3

2 1 )

1 ( 27

3 0

,

-úû

ù êë

é - +

=

a

r a

r a

r a

3

exp(

6 1 )

1 ( 6 27

1 ,

-ø

ö ç è

æ úû

ù êë

é

-=

e m

a

e

10 2

2 0

10 529 , 0

-=

= pe h

được gọi là bán kính quĩ đạo Bohr

Trong trường hợp z ¹ 1, ta vẫn có thể sử dụng các hàm R n,l(R)trên nhưng phải thay giá trị của a là:

2

2 0

4

e Zm

a

e

hpe

=Nghiệm tổng quát của phương trình Schodinger (2.14) sẽ là tích của một hằng số chuẩn hóa và hàm , ( ) ( )m q,j

l l

n r Y

( ) ( ) ( )q j

yn l,m x,y,z = AR n,l r Y l m , (2.28)