Ứng dụng mạng tính toán trong một số bài toán hình học

Ứng dụng mạng tính toán trong một số bài toán hình học

CHƯƠNG IV. ỨNG DỤNG MẠNG TÍNH TOÁNPHẦN IVa. ỨNG DỤNG MẠNG TÍNH TOÁNTRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌCI.- CÁC TAM GIÁC :1. tam giác :Về mặt tính toán, chúng ta có thể xem tam giác là một mạng tính toán (hay một đối tượng tính toán) bao gồm các biến ghi nhận giá trò của các yếu tố trong tam giác, và các quan hệ là các công thức thể hiện mối liên hệ tính toán giữa các yếu tố đó. Tập các biến trong tam giác gồm :• a, b, c : 3 cạnh của tam giác (Hình 1.1).• α, β, γ : 3 góc đối diện với 3 cạnh tương ứng trong tam giác (Hình 1.1).• ha, hb, hc : 3 đường cao tương ứng với 3 cạnh của tam giác (Hình 1.2a).• ma, mb, mc : 3 đường trung tuyến tương ứng với 3 cạnh của tam giác (Hình 1.2b). • pa, pb, pc : 3 đường phân giác trong tương ứng với 3 cạnh của tam giác.• S : diện tích tam giác.• p : nửa chu vi của tam giác.• R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.• r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.• ra, rb, rc : các bán kính của các đường tròn bàng tiếp tam giác.47 Hình 1.1Hình 1.2a. 3 đường cao Hình 1.2b. 3 đường trung tuyếnCác hệ thức cơ bản giữa các yếu tố của tam giác :• Liên hệ giữa 3 góc :f1 : α + β + γ = π (radian).• Đònh lý cosin :f2 : a2 = b2 + c2 - 2.b.c.cosαf3 : b2 = a2 + c2 - 2.a.c.cosβf4 : c2 = a2 + b2 - 2.a.b.cosγ• Đònh lý Sin :f5 :asinbsinα β=f6 :csinbsinγ β=f7 :asincsinα γ=f8 :asin2Rα=f9 :bsin2Rβ=f10 :csin2Rγ=• Liên hệ giữa nửa chu vi và 3 cạnh :f11 : 2.p = a + b + c48 • Các công thức tính diện tích :f12 : S = a.ha/2f13 : S = b.hb/2f14 : S = c.hc/2f15 : S = p.rf16 : S = p(p a)(p b)(p c)− − −f17 : S = b.c.sinα / 2f18 : S = c.a.sinβ / 2f19 : S = a.b.sinγ / 2• Các công thức tính đường cao theo cạnh và góc :f20 : ha = b.sinγf21 : ha = c.sinβf22 : hb = a.sinγf23 : hb = c.sinαf24 : hc = a.sinβf25 : hc = b.sinα• Các công thức tính các đường trung tuyến :f26 : 4.ma2 = 2.b2 + 2.c2 - a2f27 : 4.mb2 = 2.a2 + 2.c2 - b2f28 : 4.mc2 = 2.a2 + 2.b2 - c2• Các công thức tính các đường phân giác trong :f29 : pa = 2b cb.c. p.(p a)+−f30 : pb = 2a ca.c.p.(p b)+−f31 : pc = 2b ab.a.p.(p c)+−• Một số công thức khác liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp, và các đường tròn bàng tiếp :f32 : R = a.b.c4.S49 f33 : ra = Sp - af34 : rb = Sp - bf35 : rc = Sp - cf36 : 4.R = ra + rb + rc - rGhi chú : Trong các công thức trên, có một số công thức có thể được suy ra từ các công thức khác. Do đó ta có thể bỏ bớt một số công thức. Hơn nữa, chúng ta có thể nêu lên một thuật toán để làm tối thiểu hóa các công thức (hay các quan hệ) theo một thứ tự ưu tiên nào đó. Tuy nhiên, nếu có thể nhớ được trực tiếp nhiều công thức thì việc tính toán sẽ có lợi hơn. 2. tam giác cân :Tam giác cân (không làm mất tính tổng quát, ta giả sử cân tại A) là một tam giác có các tính chất sau đây:g1 : b = cg2 : β = γg3 : hb = hcg4 : mb = mcg5 : pb = pcg6 : rb = rcg7 : ma = hag8 : pa = haNgoài ra, Một số quan hệ trong tam giác có thể được viết lại như sau:f1 : α + 2β = π (radian).f2 : a2 = 2b2.(1- cosα)f3 : a = 2.b.cosβf4 : a = 2.c.cosγ50 f11 : 2.p = a + 2bf17 : S = b2.sinα / 2f26 : 4.ma2 = 4.b2 - a2f27 : 4.mb2 = 2.a2 + b2f28 : 4.mc2 = 2.a2 + c2f29 : pa = p.(p a)−f32 : R = a.b4.S2f36 : 4.R = ra + 2.rb - r3. tam giác vuông :Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử tam giác vuông có cạnh huyền là a. Như thế, ngoài những hệ thức đã biết trong tam giác nói chung ta còn có :g1 : α = π/2 (α đã xác đònh)Ngoài ra một số quan hệ có thể được viết lại như sau:f1 : β + γ = π/2 (radian).f2 : a2 = b2 + c2(đònh lý Pitago)f3 : c = a.cosβf4 : b = a.cosγf5 : b = a.sinβf7 : c = a.sinγf8 : a = 2.Rf17 : S = b.c/2f23 : hb = cf25 : hc = bf26 : 2.ma = af27 : 4.mb2 = b2 + 4.c2 f28 : 4.mc2 = c2 + 4.b251 4. tam giác vuông cân :Tam giác vuông cân (với cạnh đáy tam giác cân là a) là một tam giác có :g1 : b = c,g2 : α = π/2.Ngoài ra một số (nhóm) quan hệ trong tam giác có thể được thay thế bởi nhóm quan hệ khác có hiệu quả hơn trong việc sử dụng.Các quan hệ từ f1 đến f10 được thay thế bởi các quan hệ sau :f1 : β = π/4 (radian)f2 : γ = π/4 (radian)f3 : a = b2f4 : a = c2f5 : a = 2.RCác quan hệ từ f11 đến f25 được thay thế bởi các quan hệ sau :f11 : 2.p = a(1+2)f12 : ha = a/2f13 : hb = cf14 : hc = bf15 : S = a2 /4f16 : S = b2 /2f17 : S = c2 /2f18 : S = p.rCác quan hệ từ f26 đến f28 được thay thế bởi các quan hệ sau :f26 : ma = a/2f27 : 4.mb2 = 5a2 /2f28 : mc = mb 52 Quan hệ f29 đến f31 được thay thế bởi:f29 : pa = a/2 f30 : pb = a 2 2 1( )−f31 : pc = pb 5. tam giác đều :Tam giác đều là một tam giác có :g1 : a = bg2 : b = cTất cả các quan hệ từ f1 đến f36 có thể được thay thế bởi các quan hệ sau :f1 : α = π/3 (radian)f2 : β = π/3 (radian)f3 : γ = π/3 (radian)f4 : R = a 33f5 : p = 3a2f6 : S = 2a34f7 : ha = a 32f8 : hb = haf9 : hc = haf10 : ma = a 32f11 : mb = maf12 : mc = maf13 : pa = a 3253 f14 : pb = paf15 : pc = paf16 : r = a 36f17 : ra = a 32f18 : rb = raf19 : rc = raII.- CÁC TỨ GIÁC :1. tứ giác (lồi) tổng quát :Về mặt tính toán, chúng ta có thể xem tứ giác là một mạng tính toán (hay một đối tượng tính toán) bao gồm các biến ghi nhận giá trò của các yếu tố trong tam giác, và các quan hệ là các công thức thể hiện mối liên hệ tính toán giữa các yếu tố đó. Hình 2.1. Tứ giác ABCD.Tập các biến thường được xem xét trong tứ giác gồm :• a, b, c, d : 3 cạnh của tam giác (Hình 2.1).• A, B, C, D : 4 góc trong của tứ giác .• AC, BD : 2 đường chéo của tứ giác.• S : diện tích tứ giác.• p : chu vi của tứ giác.• R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác (nếu có).54 • r : bán kính đường tròn nội tiếp tứ giác (nếu có).Các hệ thức cơ bản giữa các yếu tố của tứ giác :f1 : A + B + C + D = 2πf2 : p = a+b+c+df3 : 2.S = a.d.sinA + b.c.sinCf4 : 2.S = a.b.sinB + c.d.sinDGhi chú : Để có thể giải tứ giác được hiệu quả hơn ta có thể đặt tứ giác trong một mạng liên hệ với 4 tam giác (ABD, CBD, BAC, DAC). Ký hiệu tứ giác là O1, và ký hiệu 4 tam giác lần lượt là O2, O3, O4, O5. Khi đó mạng tính toán gồm 5 đối tượng O1, O2, O3, O4, O5 có các quan hệ sau đây :O2.a = O1.BDO2.b = O1.dO2.c = O1.aO2.α = O1.AO3.a = O1.BDO3.b = O1.cO3.c = O1.bO3.α = O1.CO4.a = O1.ACO4.b = O1.bO4.c = O1.aO4.α = O1.BO5.a = O1.ACO5.b = O1.cO5.c = O1.dO5.α = O1.D55 O1.A = O4.β + O5.βO1.B = O2.β + O3.βO1.C = O4.γ + O5.γO1.D = O2.γ + O3.γO1.S = O2.S + O3.SO1.S = O4.S + O5.SNgoài ra ta còn một cách thứ hai là đặt tứ giác trong mối liên hệ vơí 4 tam giác OAB, OBC, OCD, ODA (trong đó O là giao điểm của 2 đường chéo).2. hình thang, thang cân, thang vuông :a/ Hình thang (với 2 cạnh đáy là AD và BC) là một tứ giác có tính chất sau :g1 : A + B = πg2 : C + D = π(hai tính chất nầy thay thế cho quan hệ f1 trong tứ giác) Hình 2.2. hình thang ABCD.Ngoài ra trong hình thang ta còn quan tâm đến đường cao ha (hình 2.1). Tất nhiên đường cao ha nầy trùng với đường cao hb của tam giác ABD, và cũng trùng với đường cao hb của tam giác BAC. Do đó ta có :g3 : S = (b + d).ha /2Trong mối liên hệ với 4 tam giác như đã nói ở nhận xét phía trên ta còn có :56 [...]... p = 2.(a+b) 6. hình vuông : 60 CHƯƠNG IV. ỨNG DỤNG MẠNG TÍNH TOÁN PHẦN IVa. ỨNG DỤNG MẠNG TÍNH TOÁN TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC I CÁC TAM GIÁC : 1. tam giác : Về mặt tính toán, chúng ta có thể xem tam giác là một mạng tính toán (hay một đối tượng tính toán) bao gồm các biến ghi nhận giá trị của các yếu tố trong tam giác, và các quan hệ là các công thức thể hiện mối liên hệ tính toán giữa các yếu... đôi một là một hình bình hành. L 7 : Một tứ giác có các góc đối diện bằng nhau từng đôi một là một hình bình hành. L 8 : Một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là một hình thoi. L 9 : Một hình bình hành có hai cạnh liên tiếp bằng nhau là một hình thoi. L 10 : Một hình bình hành có một góc vuông là một hình chữ nhật. L 11 : Một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau là một hình vuông. L 12 : Một. .. : L 1 : Một tứ giác có thể được biến đổi thành một mạng gồm tứ giác đó và 4 tam giác. L 2 : Một tứ giác có hai góc kề một cạnh (hay góc liên tiếp) bù nhau là một hình thang. L 3 : Một hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là một hình thang cân. L 4 : Một hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là một hình thang cân. L 5 : Một hình thang có một góc vuông là một hình thang vuông. L 6 : Một. .. hình vuông. L 12 : Một hình thoi có một góc vuông là một hình vuông. IV MỘT SỐ BÀI TOÁN CỤ THỂ : Trong mục nầy chúng ta xét một số bài toán áp dụng lý thuyết mạng tính toán đã trình bày trong chương II và chương III. 62 f 33 : r a = S p - a f 34 : r b = S p - b f 35 : r c = S p - c f 36 : 4.R = r a + r b + r c - r Ghi chuù : Trong các công thức trên, có một số công thức có thể được... góc β. Hãy tính nửa chu vi p và diện tích S của tam giác. Giả thiết : {b, c, β} Yêu cầu tính : {p, S} p dụng thuật toán tìm lời giải ta có lời giải gồm các bước tính toán như sau : Tính : γ (áp dụng f 6 ) Tính : R (áp dụng f 9 ) Tính : h a (áp dụng f 20 ) Tính : α (áp dụng f 1 ) Tính : a (áp dụng f 2 ) Tính : p (áp dụng f 11 ) Tính : S (áp dụng f 12 ) 2. Giải tứ giác : Như đã trình bày trong mục II,... : p a = h a Ngoài ra, Một số quan hệ trong tam giác có thể được viết lại như sau: f 1 : α + 2β = π (radian). f 2 : a 2 = 2b 2 .(1- cosα) f 3 : a = 2.b.cosβ f 4 : a = 2.c.cosγ 50 p dụng thuật toán tìm lời giải ta có lời giải gồm các bước tính toán như sau : Tính : a (áp dụng f 2 ) Tính : m a (áp dụng f 26 ) Tính : m b (áp dụng f 27 ) Tính : m c (áp dụng f 28 ) Ví dụ 3 : Trong tam giác, giả sử... f 21 }. Aùp dụng thuật toán 3.3 chúng ta rút ra được một lời giải tốt như sau : { f 2 , f 3 , f 4 , f 6 , f 7 , O 2 , f 1 , f 5 , O 3 , f 21 }. Theo lời giải nầy, quá trình tính toán diện tích S của tứ giác như sau : Tính O 2 .b, (cạnh AD) áp dụng f 2 Tính O 2 .c, (cạnh AB) áp dụng f 3 Tính O 2 .α, (góc A) áp dụng f 4 Tính O 3 .b, (cạnh CD) áp dụng f 6 Tính O 3 .c, (cạnh CB) áp dụng f 7 Tính O 2 .a,O 2 .S,... ta có lời giải gồm các bước tính toán như sau : Tính : α (áp dụng f 1 ) Tính : b (áp dụng f 5 ) Tính : c (áp dụng f 6 ) Tính : h a (áp dụng f 20 ) Ví dụ 2 : Trong tam giác, giả sử đã biết cạnh b, cạnh c, góc α. Hãy tính các đường trung tuyến trong tam giác : m a , m b , m c . Giả thiết : {b, c, α} Yêu cầu tính : {m a , m b , m c } 63 O 2 .a, O 2 .β, O 2 .γ, O 2 .S, nhờ áp dụng O 2 . Lại xét các quan... trên, chúng ta xét một tam giác bao gồm 22 yếu tố. Giữa các yếu tố của tam giác có các quan hệ cho phép ta có thể tính ra được các yếu tố cần thiết trong tam giác từ giả thiết rằng đã biết một số yếu tố nào đó của tam giác. Nhờ vào lý thuyết về mạng tính toán ta có thể cài đặt một chương trình để giải tam giác. Khi ta cho biết một số yếu tố của tam giác và yêu cầu tính ra một số yếu tố khác, chương... cho chúng ta một lời giải (nếu bài toán là giải được). Trong trường hợp bài toán không giải được thì chương trình sẽ thông báo để ta cho thêm dữ kiện hoặc điều chỉnh lại bài toán. Ví dụ 1 : Trong tam giác ABC giả sử đã biết cạnh a, góc β, góc γ. Hãy tính các cạnh còn lại (cạnh b và cạnh c) và đường cao h a . Như vậy ta có : Giả thiết : {a, β, γ} Tính các biến : {b, c, h a } p dụng thuật toán tìm lời . CHƯƠNG IV. ỨNG DỤNG MẠNG TÍNH TOÁNPHẦN IVa. ỨNG DỤNG MẠNG TÍNH TOÁNTRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌCI.- CÁC TAM GIÁC :1. tam giác :Về mặt tính toán, chúng. nhật.L11 : Một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau là một hình vuông.L12 : Một hình thoi có một góc vuông là một hình vuông.IV.- MỘT SỐ BÀI TOÁN CỤ