Hơn nữa trong chương trình sách giáo khoa đại số 9 hiện hành chỉ giới thiệu một số ví dụ cơ bản về bài tập giải phương trình vô tỉ và không đưa ra được phương pháp giải cho từng dạng bài, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác bài toán giải phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục. Do đó việc vận dụng các giải pháp để rèn luyện, phát huy năng lực sáng tạo của học sinh là một việc cực kỳ cấp thiết. Tôi đã suy nghĩ, trăn trở về vấn đề này và đã tìm được một số giải pháp có hiệu quả. Trong bài viết này, tôi xin mạnh dạn trình bày một số giải pháp đó với mong muốn góp thêm một vài kinh nghiệm nhỏ để dạy toán đạt hiệu quả tốt hơn. Đồng thời góp phần làm cho các em học sinh yêu thích môn Toán hơn, nâng cao vị trí, vai trò của môn toán trong nhà trường.
Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com A- ĐẶT VẤN ĐỀ: I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình toán đại số 9, các em học sinh đã được tiếp cận với loại bài tập giải phương trình vô tỉ đa số là những bài tập đơn giản. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán đó rất phong phú và đa dạng mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Hơn nữa trong chương trình sách giáo khoa đại số 9 hiện hành chỉ giới thiệu một số ví dụ cơ bản về bài tập giải phương trình vô tỉ và không đưa ra được phương pháp giải cho từng dạng bài, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác bài toán giải phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư duy ở mức độ cao và phải có năng lực biến đổi toán học nhanh nhẹn thuần thục. Do đó việc vận dụng các giải pháp để rèn luyện, phát huy năng lực sáng tạo của học sinh là một việc cực kỳ cấp thiết. Tôi đã suy nghĩ, trăn trở về vấn đề này và đã tìm được một số giải pháp có hiệu quả. Trong bài viết này, tôi xin mạnh dạn trình bày một số giải pháp đó với mong muốn góp thêm một vài kinh nghiệm nhỏ để dạy toán đạt hiệu quả tốt hơn. Đồng thời góp phần làm cho các em học sinh yêu thích môn Toán hơn, nâng cao vị trí, vai trò của môn toán trong nhà trường. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Từ lý do chọn đề tài như trên và từ cơ sở thực tiễn giảng dạy toán 9 ở trường THCS AN TIẾN, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ’’. III. GIỚI HẠN VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: 1 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com - Một số bài toán cơ bản, nâng cao về giải phương trình vô tỉ trong chương trình đại số 9. - Đề tài được áp dụng thực hiện trong năm 2012 2013 trong quá trình giảng toán của tôi đối với lớp 9B trường THCS AN TIẾN IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát, điều tra từ thực tế dạy và học. - Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh. - Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học. - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm tìm ra những khó khan, thuận lợi khi giải quyết các bài toán ở các lớp trước. - Lựa chọn các ví dụ và các bài tập cụ thể để phân tích tỉ mỉ những sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải. Từ đó phát huy năng lực tư duy, kỹ năng vận dụng kiến thức để học sinh đưa ra lời giải đúng cho bài toán. - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến của các giáo viên cùng bộ môn. 2 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com B- NỘI DUNG ĐỀ TÀI: Tên đề tài: “Một số phương pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ’’. I. CƠ SỞ LÝ LUẬN: Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. Vì vậy muốn học tốt môn Toán, các em cần biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập. Giáo viên cần định hướng, giúp các em học sinh có những kỹ năng trình bày chặt chẽ, suy luận logic, biết cách tổng kết sâu sắc các dạng toán. Đồng thời giúp các em phát hiện hướng mở rộng, nâng cao nhằm gây hứng thú, tìm tòi, phát huy tính chủ động sáng tạo… Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra một số giải pháp với mục đích giúp cho học sinh THCS vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình vô tỉ Trong giới hạn của Sáng kiến kinh nghiệm, tôi hướng dẫn học sinh các dạng thường gặp sau: 3 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com * Dạng I: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cơ bản 1. Phương trình có dạng: ( )f x = g(x) (1) Để tìm được x thì bài toán trên quy về giải hệ: Phương trình (1) ⇔ 2 ( ) 0 ( ) ( ) g x f x g x ≥ = Điều kiện g(x) ≥ 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) sau khi giải phương trình f(x)= g 2 (x) chỉ cần so sánh các nghiệm vừa nhận được với điều kiện g(x) ≥ 0 để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm. 4 Phương trình vô tỉ cơ bản dạng: Dạng 1 = g(x) Dạng 2 Dạng 3 Dạng 4 Dạng 5 Dạng 6 Dạng 7 Dạng 8 Dạng 9 Dạng 10 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com 2. Phương trình có dạng: ( ) ( )f x g x = (2) ( ) 0 (2) ( ) ( ) f x f x g x ≥ ⇔ = Điều kiện f(x) ≥ 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (2). Chú ý ở đây không nhất thiết phải đặt điều kiện đồng thời cả f(x) và g(x) không âm vì f(x) = g(x) 3 Phương trình có dạng: ( )f x k= (k là hằng số) (3) +) TH1 :nếu k =0 khi đó (3) ⇔ ( ) 0f x = ( ) 0f x⇔ = +) TH2: nếu k <0 khi đó phưong trình (3) vô nghiệm +) TH3: nếu k >0 khi đó (3) 2 ( )f x k⇔ = 4.Phương trình có dạng: ( )f x k= (k là hằng số) (4) 2 2 ( ) ( ) f x k f x k ⇔ = ⇔ = 5. Phương trình có dạng: )()( 2 xgxf = (5) Phương trình (5) )()( xgxf =⇔ ⇔ ≥ = 0)( )()( xf xgxf hoặc < −= 0)( )()( xf xgxf 6. Phương trình có dạng: kxf =)( 2 (6) ( k ≥ 0) Phương trình (6) ⇔ ( )f x k= ⇔ f(x) = ± k 7. Phương trình có dạng: ( ( ) ( )f x g x c+ = (c là hằng số) (7) +) TH1: nếu k <0: (7) vô nghiệm +) TH2: nếu k=0, ta có: ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 f x f x g x g x = + = ⇔ = 5 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com +) TH3: nếu k >0 thì buộc điều kiện ( ) 0 ( ) 0 f x g x ≥ ≥ Bình phương hai vế phương trình (7) ta có: ] 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x c f x g x c f x g x f x g x c f x g x + + = ⇔ = − − ⇔ = − − 8.Phương trình dạng : ( ) ( ) ( )f x g x h x+ = (8) điều kiện phương trình (8) : ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 f x g x h x ≥ ≥ ≥ sau đó bình phương hai vế của (8) ta có: [ ] 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x h x f x g x h x f x g x f x g x h x f x g x + + = ⇔ = − − ⇔ = − − 9. Phương trình dạng : ( ) ( ) f x k g x = (k 0≥ ) (9) tìm điều kiện để ( ) 0 ( ) f x g x ≥ ( ( ) 0g x ≠ ) 2 ( ) (9) ( ) f x k g x ⇔ = 2 ( ) ( ).f x g x k⇔ = 10. Phương trình dạng: ( ). ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 P x Q x Q x P x Q x = ≥ = ⇔ = • Dạng II: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ khác 6 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com PPP Loại này được thực hiện qua các ví dụ cụ thể. II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI: Học sinh đa số nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài tập về giải phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi, trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình đại số 9 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít. Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này. 7 Phương pháp giải phương trình vô tỉ khác dạng khác Phân tích biểu thức dưới dấu căn thành nhân tử Đưa về bình phương của một tổng Nhân biểu thức liên hợp Phương pháp đối lập Sử dụng tính đơn điệu của hàm số Sử dụng bất đẳng thức Phương pháp đặt ẩn phụ Đưa phương trình về dạng tích Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: 1. Bài toán: Giải phương trình 2 3x − = x – 2. (1) Học sinh thường giải như sau: Điều kiện của phương trình (1) là x ≥ 3 2 (*) (1) ⇒ 2x - 3 = x 2 - 4x + 4 ⇒ x 2 - 6x + 7 = 0. Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + 2 và x = 3 - 2 . Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 - 2 bị loại . Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 + 2 . Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện x ≥ 3 2 (*) để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là x = 3 + 2 và x = 3 - 2 . Theo tôi cách giải vừa nêu trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm của một số học sinh khi lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện x ≥ 3 2 là điều kiện cần và đủ. 2. Bài toán: Giải phương trình 2 5 6 7x x + − = 3x + Khi gặp bài toán này học sinh thường đặt điều kiện 2 5 6 7 0 3 0 x x x + − ≥ + ≥ sau đó bình phương hai vế để giải phương trình. 8 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com Điều chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x + 3 ≥ 0 là điều kiện cần và đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện. 3. Bài toán: Giải phương trình (x + 4) 2−x = 0 Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: (x + 4) 2 − x = 0 = −= ⇔ =+ 2 4 0 = 2-x 04 x x x Nhận xét. Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì đã mắc một sai lầm mà không đáng có. Rõ ràng x = - 4 không phải là nghiệm của phương trình trên. Chú ý rằng: = = ≥ ⇔= 0 0 0 0 B A B BA ở đây đã bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2) 4. Bài toán: Giải phương trình 5 2 4 12 11x x − + = 4x 2 - 12x + 15 Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến một phương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc trung học. 5. Bài toán: Giải phương trình ( ) .5 + x 2 5 2 += + − x x x Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: 2 ( 5). 2 ( 5)( 2) 2 5 x x x x x x x − + = + ⇔ + − = + + ( )( ) ( ) ++=−+ −≥ ⇔ +=−+ ≥+ ⇔ 44103 2 225 02 22 2 xxxx x xxx x 9 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com −= −≥ ⇔ +=− −≥ ⇔ 14 2 10443 2 x x xx x Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Nhận xét. Rõ ràng x = - 14 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm. Cần chú ý rằng: <<− >≥ = 0;0 0;0 . BAkhiAB BAkhiAB B A B Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A < 0; B < 0. 6.Bài toán : Giải phương trình: 2 9x = 2x - 1 Học sinh thường giải như sau: 9x 2 = (2x - 1) 2 ⇔ 9x 2 = 4x 2 - 4x + 1 ⇔ 5x 2 + 4x – 1 = 0 ⇔ −= = 1 1 5 1 2 x x Nhưng thực tế cả hai nghiệm đều không phải nghiệm của Phương trình. Đó là do học sinh đã không đặt điều kiện để hai vế không âm trước khi bình phương hai vế. 7.Bài toán: Giải phương trình: 614 2 4 =++ xx Các em học sinh thường không nhận ra biểu thức dưới dấu căn là hằng đẳng thức để có cách giải đơn giản mà thường bính phương hai vế dẫn đến giải phương trình đã cho phức tạp hơn. 10 [...]... vấn đề trên của học sinh với những giải pháp: Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình th nh kĩ năng khi biến đổi và giải phương trình vô tỉ Dạng I: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạng cơ bản: 1 Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng: f ( x) = g(x) (1) a Phương pháp: Giáo viên chỉ cho học sinh th y được rằng khi bình phương hai vế để đi đến phương trình tương đương th hai vế đó phải... hungtetieu1978@gmail.com * Sau khi ra bài tập giải phương trình vô tỉ và hướng dẫn học sinh giải Giáo viên ra dạng bài tập tương tự để học sinh giải Qua đó học sinh rèn luyện phương pháp giải hình th nh kỹ năng giải phương trình vô tỉ Bài tập 1 Giải phương trình a 3x − 2 = 1 - 2x b 5 − 2x = c 3x 2 − 9 x + 1 + x - 2 = 0 x −1 HD: Biến đổi theo dạng 1 và dạng 2 2 Giải phương trình x2 - 3x + HD: Đặt ĐS: x = -1 v... đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại trường THCS AN TIẾN Sau khi vận dụng tôi nhận th y học sinh hứng th học tập hơn, có kỹ năng khá vững vàng khi giải các bải tập giải phương trình vô tỉ Phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 9 nói riêng và bậc THCS nói chung và là nền tảng cho học sinh bước vào môn toán bậc THPT Đề tài... rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như th nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên cơ sở đó hình th nh cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán giải phương trình vô tỉ III MỘT SỐ GIẢI PHÁP: Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ th c tế... Nghiệm của phương trình là x = 14 6 Giải phương trình x + 1 + x + 10 = x + 2 + x + 5 7 Giải phương trình x +1 + x+ 1 1 + x+ 2 4 x −1 = 4 8 Giải phương trình x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 + 1 9 Giải phương trình (4x - 1) x3 + 1 = 2x3 + 2x +1 10 Giải phương trình x2 - 1 = 2x x 2 − 2 x 11 Giải phương trình x2 + 4x = (x + 2) x 2 − 2 x + 4 IV KẾT QUẢ: Sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy th số học sinh biết... của phương trình +Ví dụ 2: Giải phương trình ( x 2 − 9) x − 8 = 0 (2) Giải: (2) ⇔ ( x − 3)( x + 3) x − 8 = 0 x ≥ 8 x − 8 ≥ 0 x = 3(loai ) ⇔ ( x − 3)( x + 3) = 0 ⇔ x − 8 = 0 x = −3(loai ) x = 8(tm) Vậy x=8 là nghiệm của phương trình Dạng II :Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ khác: 1 .Phương pháp phân tích biểu th c duới dấu căn th nh nhân tử + Ví dụ 1 Giải phương. .. được kiểm nghiệm trong năm học giảng dạy toán lớp 9, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, số lượng học sinh hiểu và biết áp dụng giải các phương pháp giải với từng dạng bài tăng rõ rệt Như vậy tôi th y các phương pháp có hiệu quả tương đối Theo tôi khi dạy phần toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn... của phương trình 4.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng: f ( x) = k (k là hằng số) (4) 16 Liên hệ: Nguyễn Văn Hùng ĐT:0946734736; Mail: hungtetieu1978@gmail.com a) Phương pháp giải: (4) ⇔ f 2 ( x) = k 2 ⇔ f ( x) = k b) Các ví dụ: +Ví dụ 1: Giải phương trình x + 2 3 + 4 = 4 (1) (1) ⇔ ( ) =( 2 x+2 3+4 4 ) 2 ⇔ x+2 3+4=4 ⇔ x = −2 3 Vậy phương trình có nghiệm là x = −2 3 +Ví dụ 2: Giải phương trình. .. Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 hoặc x=4 3.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x) = k (k là hằng số) (3) a) Phương pháp giải: +) TH1 : Nếu k =0 khi đó (3) ⇔ f ( x) = 0 ⇔ f ( x) = 0 +) TH2 : Nếu k 0 khi đó (3) ⇔ f ( x) = k 2 b)Các ví dụ: +Ví dụ 1: Giải phương trình. .. 2 x+1=6 2 x+1=−6 ⇔ x=5 2 x =− 7 2 Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 5/2; x = -7/2 +Ví dụ 2: Giải phương trình x 4 = 7 (2) 2) ⇔ ( x 2 ) 2 = 7 ⇔ x2 = 7 ⇔x=± 7 Vậy x = ± 7 là nghiệm của phương trình 7.Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng: f ( x) + g ( x) = c (c là hằng số) (7) a) Phương pháp giải: -Nếu k . trên của học sinh với những giải pháp: Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình th nh kĩ năng khi biến đổi và giải phương trình vô tỉ Dạng I: Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ dạng. tài: Một số phương pháp giúp học sinh có kỹ năng giải phương trình vô tỉ ’. I. CƠ SỞ LÝ LUẬN: Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến th c rộng, đa phần các em ngại học môn. vì phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ th đối với học sinh bậc trung học. 5. Bài toán: Giải phương trình ( ) .5 + x 2 5 2 += + − x x x Một số HS đã có lời giải sai như sau: Ta có: