1 / 5 Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác (phần 1) I.L ời g i ới t h i ệ u Trong môn hình học ởtrườngphổ thông, hình học phẳng cókhánhiều phân môn, thểloại, vàhình tamgiác, có vaitròr ấ t đặc biệt. Việc chứng minh nhiều định lý vàgiải r ấ t nhiều bài toán hình học đòi hỏi phải vậndụng h ợ p lý nhiều kiếnthứcvềhình tamgiác(tam giác bằng nhau, tamgiác đồng dạng, cácđường thẳng đặc biệt trong tamgiác, v.v…) Hìnhtamgiác đ ã đ ư ợ c nhiều nhà toán học trênthếg i ớ i nghiên cứutừhàng nghìn năm nay vàmãi chođến những năm gần đây, nhiều tính chất, định lý mớ i, hoặc nhiều cách chứng minh mớ i củacácđịnh lý đ ã biết lần lượt r a đ ờ i . Ở bài viếtnày, tácg i ả xing i ớ i thiệu đến bạn đọc những định lý, những bài toán hay vềđẳng thức lượng giác trong tamgiác, bao gồm định lý Stewart, định lý Morley, định lý SteinerLenmus vềtamgiác cân, bài toán Napoleon … vànhững mở rộng, chúý,cách chứng minh độc đáo củanhiều nhà toán học cũng đ ư ợ c nêu r a trong bài viếtnày, chúng tahãy cùng tìm hiểu. II. ĐịnhlýSTEWART Bàitoán: Cho . là một điểm trêncạnh .Đặt .Khi đ ó tacócông thứcsau: Lời giải. Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 2 / 5 Kẻ đường cao .Xét hai tamgiác và vàtheo định lý hàm số ,tacó: Nhân từngvế theo thứtựvới và r ồ i cộng lại, tacó: Do ,nên từ tacó: Địnhlý Stewart chứng minh xong. Chúý : Stewart(1717 – 1785) là nhà toán học vàthiên vănhọc người Scotland. Nếutrong h ệ thứcStewart xét là đường trung tuyến, thìtừh ệ thứcStewart có: Hệthứctrênchính là h ệ thứcxácđịnh trung tuyến quen biết trong tamgiác. Nếutrong h ệ thứcStewart xét là phân giác. Khi đ ó theo tính chất đường phân giác trong tacó: Từ h ệ thứcStewart có: à Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 3 / 5 Chúýrằng: Từ và suyr a : Hệthứctrênchính là h ệ thứcxácđịnh đường phân giác. Vậy hệ t h ứ c Stewart làtổng quát hoá c ủ a các h ệ t h ứ c xác định đường trung tuyến v à đường phân g i ác đã quen b i ết. III. ĐịnhlýMORLE Y Bàitoán: Cho .Ở mỗi góc củatamgiác vẽhai đường chiagóc đ ó r a làm b a phần bằng nhau. Các đường ấ y cắtnhau tại (hình vẽ).Chứng minh rằng đều. Lời giải. Đặt , , .G ọ i cáccạnh vàđường kínhđường trònngoại tiếp là .Theo định lý hàm số trong ,tacó: Do ,vậytừ suyr a Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 4 / 5 Ta có: Thay vào có: L í luận tươngtựcó: Trong ,á p dụng định lý hàm số ,tacó: Do ,nên xét G ọ i là đường kínhđường trònngoại tiếptamgiác này. Theo định lý hàm số trong tamgiác này có: Vậy thay vào ,tacó: ớ Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping 5 / 5 Dovaitròbình đẳng, tacũng có Vậy là tamgiác đều (đpcm). Chúý : Frank Morl ey (1860 – 1937) sinhtạiAnh, nhưng hầu như suốt đ ờ i sống ởMĩ. Trong vàichục năm ông là giáo sưtoán học ởtrườngđại học tổng h ợ p thuộc bang Baltimore. Bản thân học cách chứng minh củaông r ấ t phức tạp. Cáchchứng minh ở trênlà củanhà toán học Ấn ĐộNaranengar tìm r a vàonăm 1909. Một nhà toán học Ấn Độkhác là Xachianarian chocách giải "phi lượng giác" ( c h ỉ dùng đến kiếnthứchình học lớp 9 ) Địnhlý vềđường chiab a góc đ ư ợ c Morley tìm r a từ1899, nhưng mãi đến năm 1914 ông mới công b ố cách chứng minh vàmở rộng định lý vớiviệcxétkhông chỉcácđường chiab a góc trong mà cảcácđường chiab a góc ngoài củatamgiác. Địnhlý Morley đ ã hấp dẫn nhiều người, trong đ ó cónhà toán học Pháp nổi tiếng Henri Lebesgue (1875 – 1941). Năm1939, Lebesgue công b ố chứng minh sơ cấp của định lý này. Ô n g xét các đường chiab a cácgóc trong vàngoài củatamgiác ( c ó tấtcả1 2 đường), vàđ ã chứng minh đ ư ợ c rằng trong cácgiao điểm củacácđường đ ó có2 7 b ộ b a điểm là cácđỉnh củatamgiác đều. Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping . / 5 Vài bài toán hay về Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác (phần 1) I.L ời g i ới t h i ệ u Trong môn hình học ởtrườngphổ thông, hình học phẳng cókhánhiều phân môn, thểloại, vàhình tamgiác,. r ấ t nhiều bài toán hình học đòi hỏi phải vậndụng h ợ p lý nhiều kiếnthứcvềhình tamgiác (tam giác bằng nhau, tamgiác đồng dạng, cácđường thẳng đặc biệt trong tamgiác, v.v…) Hìnhtamgiác đ ã đ ư. Ở bài viếtnày, tácg i ả xing i ớ i thiệu đến bạn đọc những định lý, những bài toán hay về ẳng thức lượng giác trong tamgiác, bao gồm định lý Stewart, định lý Morley, định lý SteinerLenmus vềtamgiác