logic mờ, số mờ, hệ mờ và ứng dụng

Nếu áp dụng khái niệm tập hợp cổ điển thì ta phải định ra một ranh giới rõ ràng và mang tính chất áp đặt chẳng hạn là 45 để xác định tập hợp những người trẻ.. Và trong thực tế thì có một

LỜI MỞ ĐẦU

Con người giao tiếp bằng ngôn ngữ tự nhiên, mà bản chất của ngôn ngữ tự nhiên

là mơ hồ và không chính xác Tuy vậy, trong hầu hết tình huống, con người vẫn hiểunhững điều mà người khác muốn nói với mình Khả năng hiểu và sử dụng đúngngôn ngữ tự nhiên, thực chất là hiểu và xử lý đúng thông tin không chính xác chứatrong đó, có thể coi là thước đo mức độ hiểu biết, thông minh của con người Conngười cũng luôn mơ ước máy tính, người bạn, người giúp việc đắc lực của mình,ngày càng thông minh và hiểu biết hơn Vì vậy, nhu cầu làm cho máy tính hiểu và

xử lý được những thông tin không chính xác, xấp xỉ, áng chừng là một nhu cầu bứcthiết

Logic mờ ra đời đã cung cấp một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và xây dựngcác hệ thống có khả năng xử lý thông tin không chính xác Nhờ có logic mờ mà conngười xây dựng được những hệ điều khiển có tính linh động rất cao Chúng có thểhoạt động tốt ngay trong điều kiện có nhiều nhiễu hoặc những tình huống chưa đượchọc trước Nhờ có logic mờ mà con người xây dựng được những hệ chuyên gia cókhả năng suy luận như những chuyên gia hàng đầu và có khả năng tự hoàn thiệnthông qua việc thu nhận tri thức mới

Ngày nay logic mờ có phạm vi ứng dụng rộng rãi trên thế giới, từ những hệ thốngcao cấp phức tạp như những hệ dự báo, nhận dạng, robos, vệ tinh, du thuyền, máybay,… đến những đồ dùng hằng ngày như máy giặt, máy điều hoà không khí, máychụp hình tự động,… Những trung tâm lớn về lý thuyết cũng như ứng dụng củalogic mờ hiện nay là Mỹ, Nhật, và Châu Âu

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

MỤC LỤC 2

LOGIC MỜ 3

TẬP MỜ 3

Khái niệm tập mờ 3

Các dạng hàm thuộc tiêu biểu 4

Nhóm hàm đơn điệu 4

Nhóm hàm hình chuông 5

Các khái niệm liên quan 5

Các phép toán trên tập mờ 6

Các phép toán mở rộng 7

SỐ MỜ 11

Định nghĩa 11

Các phép toán 12

Nguyên lý suy rộng của Zadeh 12

LOGIC MỜ 13

Biến ngôn ngữ 13

Mệnh đề mờ 14

Các phép toán mệnh đề mờ 15

Phép toán kéo theo mờ – luật if-then mờ thông dụng 16

Luật modus-ponens tổng quát 17

HỆ MỜ 19

KIẾN TRÚC CỦA HỆ MỜ TỔNG QUÁT 19

CƠ SỞ LUẬT MỜ 20

BỘ SUY DIỄN MỜ 21

Trường hợp một đầu vào và một luật 21

Trường hợp hai đầu vào và một luật 22

Trường hợp nhiều đầu vào và nhiều luật 23

BỘ MỜ HOÁ 23

Mờ hoá đơn trị 23

Mờ hoá Gaus 24

Mờ hoá tam giác 24

BỘ GIẢI MỜ 24

Phương pháp lấy max 24

Phương pháp lấy trọng tâm 25

Phương pháp lấy trung bình tâm 25

HỆ MỜ LÀ MỘT HỆ XẤP XỈ VẠN NĂNG 25

SO SÁNH HỆ MỜ VỚI MẠNG NƠRON 26

GIỚI THIỆU MỘT SỐ HỆ MỜ TRONG THỰC TẾ 27

PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ HỆ ĐIỀU KHIỂN MỜ TỪ TẬP DỮ LIỆU VÀO VÀ RA .29

ĐẶT VẤN ĐỀ 29

THIẾT KẾ HỆ ĐIỀU KIỆN MỜ BẰNG BẢNG DỮ LIỆU VÀO 29

MINH HOẠ HỆ MỜ: HỆ ĐIỀU KHIỂN MÁY BƠM NƯỚC TỰ ĐỘNG 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

Ta xét tập hợp những người trẻ Ta thấy rằng người dưới 26 tuổi thì rõ ràng là trẻ

và người trên 60 tuổi thì rõ ràng là không trẻ Nhưng những người có tuổi từ 26 đến

60 thì có thuộc tập hợp những người trẻ hay không? Nếu áp dụng khái niệm tập hợp

cổ điển thì ta phải định ra một ranh giới rõ ràng và mang tính chất áp đặt chẳng hạn

là 45 để xác định tập hợp những người trẻ Và trong thực tế thì có một ranh giới mờ

để ngăn cách những người trẻ và những người không trẻ đó là những người trungniên Như vậy, những người trung niên là những người có một “độ trẻ” nào đó Nếucoi “độ trẻ” của người dưới 26 tuổi là hoàn toàn đúng tức là có giá trị là 1 và coi “độtrẻ” của người trên 60 tuổi là hoàn toàn sai tức là có giá trị là 0, thì “độ trẻ” củangười trung niên sẽ có giá trị p nào đó thoả 0 < p < 1

Như vậy nhu cầu mở rộng khái niệm tập hợp và lý thuyết tập hợp là hoàn toàn tựnhiên Các công trình nghiên cứu về lý thuyết tập mờ và logic mờ đã được L.Zadehcông bố đầu tiên năm 1965, và sau đó liên tục phát triển mạnh mẽ

Định nghĩa: Cho không gian nền U, tập A ⊂ U được gọi là tập mờ nếu A đượcxác định bởi hàm − ε<

Như vậy ta có thể coi tập rõ là một trường hợp đặc biệt của tập mờ, trong đó hàmthuộc chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1.

Ký hiệu tập mờ, ta có các dạng ký hiệu sau:

 Liệt kê phần tử: giả sử U={a,b,c,d} ta co thể xác định một tập mờ A=

d c b a

0 2 0 3 0 1

µ trong trường hợp U là không gian liên tục

Lưu ý là các ký hiệu ∑ và ∫ không phải là các phép tính tổng hay tích phân,

Theo lý thuyết thì hàm thuộc có thể là một hàm bất kỳ thoả − ε<

∈ )(

sup xf xF

Ux :X->[0,1] Nhưngtrong thực tế thì có các dạng hàm thuộc sau đây là quan trọng và có tính ứng dụngcao hơn cả

Nhóm hàm đơn điệu

Nhóm này gồm đơn điệu tăng và đơn điệu giảm Ví dụ tập hợp người già có hàmthuộc đơn điệu tăng theo tuổi trong khi đó tập hợp người trẻ có hàm thuộc đơn điệugiảm theo tuổi Ta xét thêm ví dụ minh hoạ sau: Cho tập vũ trụ E = Tốc độ =

} {20,50,80,100,120 đơn vị là km/h Xét tập mờ F=Tốc độ nhanh xác định bởi hàmthuộc µnhanh như đồ thị

Như vậy tốc độ dưới 20km/h được coi là không nhanh Tốc độ càng cao thì độthuộc của nó vào tập F càng cao Khi tốc độ là 100km/h trở lên thì độ thuộc là 1

50/)100(

5020

30/)20(

10020

0

x khi

x

x khi

x

x x

khi

trungbình

µ

Các khái niệm liên quan

Giả sử A là tập mờ trên vũ trụ U, có hàm thuộc µA thì ta có các khái niệm sau:

10.850.5

 Giá đỡ của A, ký hiệu supp(A) là một tập rõ bao gồm tất cả các phần tử x

A được gọi là bằng B khi và chỉ khi ∀x∈U, µA(x) = µB(x)

A được gọi là tập con của B, ký hiệu A⊆B khi và chỉ khi ∀x∈U, µA(x) ≤ µB(x)

Giả sử A là tập mờ trên không gian tích U1× U2 Hình chiếu của A trên U1 là tập

mờ A1với hàm thuộc được xác định bởi:

Giả sử xét hàm C:[0,1] -> [0,1] cho bởi công thức C(a) = 1 – a, ∀a ∈ [0,1] Khi

đó hàm thuộc của phần bù chuẩn trở thành µA(x) = C(µA(x)) Nếu tổng quát hoátính chất của hàm C thì ta sẽ có tổng quát hoá định nghĩa của phần bù mờ Từ đó ta

có định nghĩa:

Phần bù mờ của tập mờ A là tập mờ A với hàm thuộc được xác định bởi µA(x)

= C(µA(x)), trong đó C là một hàm số thoả các điều kiện sau:

i Tiên đề C1 (điều kiện biên): C(0) = 1, C(1) = 0

ii Tiên đề C2 (đơn điệu giảm): ∀a, b ∈ [0,1] Nếu a < b thì C(a) ≥ C(b)

Hàm C thoả các điều kiện trên được gọi là hàm phần bù.

Ta thấy rằng hàm thuộc của phần bù chuẩn là một hàm đặc biệt trong họ các hàmphần bù

i Tiên đề S1 (điều kiện biên): S(0,a) = a, ∀a∈[0,1]

ii Tiên đề S2 (giao hoán): S(a,b) = S(b,a), ∀a,b∈[0,1]

iii Tiên đề S3 (kết hợp): S(S(a,b),c) = S(a,S(b,c)), ∀a,b,c∈[0,1]

iv Tiên đề S4 (đơn điệu tăng): Nếu a≤b và c≤d thì S(a,c)≤S(b,d), ∀a,b,c,d∈[0,1]

S-norm còn được gọi là co-norm hoặc T-đối chuẩn

Hợp của tập mờ A và tập mờ B là tập mờ A∪B với hàm thuộc được xác địnhbởi:

B

A∪

µ (x) = S(µA(x), µB(x))trong đó S là một S-norm

Ngoài hàm max, ta có một số hàm S-norm quan trọng sau đây:

00

b a if

a if

b

b if

a b a

, 1 min ) , (

Trong đó w là tham số thoả w > 0

Giao mờ – các phép toán T-norm

Ta có định nghĩa hàm T-norm là tổng quát hoá của hàm min:

Một hàm số T: [0,1]x[0,1] -> [0,1] được gọi là một T-norm nếu thoả các điềukiện:

i Tiên đề T1 (điều kiện biên): T(1,a) = a, ∀a∈[0,1]

ii Tiên đề T2 (giao hoán): T(a,b) = T(b,a), ∀a,b∈[0,1]

iii Tiên đề T3 (kết hợp): T(T(a,b),c) = T(a,T(b,c)), ∀a,b,c∈[0,1]

iv Tiên đề T4 (đơn điệu tăng): Nếu a≤b và c≤d thì T(a,c)≤T(b,d), ∀a,b,c,d∈[0,1]

T-norm còn được gọi là T-chuẩn hoặc chuẩn tam giác

Giao của tập mờ A và tập mờ B là tập mờ A∩B với hàm thuộc được xác địnhnhư sau:

B

A∩

µ (x) = T(µA(x), µB(x))Trong đó T là một T-norm

Ngoài hàm min, ta có một số hàm T-norm quan trọng sau đây:

11

b a if

a if b

b if a b a

, 1 min 1 ) , (

Trong đó w là tham số thoả w>0

Định lý: Với mọi T-norm bất kỳ T và S-norm bất kỳ S ta có:

a∧b ≤ T(a,b) ≤ min(a,b) ≤ max(a,b) ≤ S(a,b) ≤ a∨b

Tích đề-các mờ

Tích đề-các của tập mờ A1, A2, …, A n trên các vũ trụ U1, U2, …, U n tương ứng làtập mờ A = A1 × A2× … × A n trên không gian tích U1× U2× …× U n với hàmthuộc được xác định như sau:

Cho U và V là các vũ trụ Khi đó một quan hệ mờ hai ngôi R giữa U và V là mộttập mờ trong tích đề-các UxV Như vậy ta có thể xác định hàm thuộc cho quan hệ

mờ theo cách tính hàm thuộc cho tích đề-các mờ

Khi U = V ta nói R là quan hệ trên U

Tổng quát một quan hệ mờ R giữa các tập U1, U2, …, U n là tập mờ A = A1 × A2

× … × A n trên không gian tích U1× U2× …× U n Trong đó A i⊆U i, i = 1 n

µ (u,w) =maxv∈V { min(µR(u,v), µZ(v,w)) }

 Hàm hợp max-tích (hay max-prod):

Tập mờ M trên đương thẳng thực R là tập số mờ nếu:

a) M là chuẩn hoá, tức là có điểm x sao cho µM(x) = 1

b) Ứng với mỗi a α ∈ R, tập mức {x: M(x) ≥ α } là đoạn đóng

Người ta thường dùng các số mờ tam giác, hình thang và dạng Gauss

[a,b] / [d,e] = [min(a/d,a/e, b/d, b/e), max(a/d,a/e, b/d, b/e)]

Nguyên lý suy rộng của Zadeh

Để làm việc với các hệ thống có nhiều biến vào, nguyên lý suy rộng của Zadeh làrất quan trọng

Định nghĩa: Cho Ai là tập mờ với các hàm thuộc µAi trên không gian nền Xi,(i=1 n) Khi đó tích A1xA2x An là tập mờ trên X=X1xX2x Xn với hàm thuộc:

µA(x)=min{µAi(xi); i=1 n} Trong đó x=(x1,x2, xn)

Giả sử mỗi biến đầu vào xi lấy giá trị là Ai(i=1 n) Hàm f:X->Y chuyển các giátrị đầu vào là Ai thành giá trị đầu ra B Khi đó B là tập mờ trên Y với hàm thuộc xácđịnh bởi:

µB(x)=max{min(µAi(xi)); i=1 n : x∈f− 1(y)} nếu f− 1(y) ≠ φ

µB(x)=0 nếu f− 1(y) =φ

Trong đó f− 1(y) = {x ∈X : f(x)=y}

Ta có thể áp dụng nguyên lý suy rộng cho định nghĩa suy rộng của phép cộngnhư một hàm 2 biến mờ Tương tự cho các phép toán trừ, nhân, chia

Từ các phép toán cơ bản người ta xây dựng nên số học mờ Có nhiều cách xâydựng một số học mờ Sau đây là số học mờ dựa trên khái niêm α -cuts (lát cắt

alpha) α -cuts của số mờ là khoảng đóng thực với mọi 0< α <=1

Các tính chất số học mờ dựa trên khoảng đóng:

Gọi A=[a1,a2], B=[b1,b2], C=[c1, c2], O=[0,0], 1=[1,1] ta có:

1 A+B=B+A; A.B=B.A

Ta xét một biến nhận giá trị trong một miền giá trị nào đó , chẳng hạn “nhiệt độ”

có thể nhận giá trị số là 1C, 2C,… là các giá trị chính xác Khi đó, với một giá trị

cụ thể gán vào biến sẽ giúp chúng ta xác định được tính chất, quy mô của biến.Ngoài ra chúng ta còn biết được những thông tin khác liên quan đến biến đó Ví dụchúng ta hiểu là không nên chạm tay trần vào vật có “nhiệt độ” là 80C trở lên.Nhưng trong thực tế thì chúng ta thường nói “không nên chạm vào vật có nhiệt độcao” chứ ít khi nói “không nên chạm vào vật có nhiệt độ là 80C trở lên” Thực tế

là lời khuyên đầu thì có ích hơn bởi vì nếu nhận được lời khuyên sau thì ta dễ bị ngộnhận là có thể chạm tay vào vật có nhiệt độ là 79C trong khi đó vật có nhiệt độ 80

C trở lên thì không Nhưng vấn đề đặt ra là nếu nghe theo lời khuyên đầu thì ta cóthể xác định rõ là nhiệt độ bằng bao nhiêu thì có thể chạm tay vào? Câu trả lời là tuỳvào ý kiến của từng người Với nhiệt độ là 60C thì có người cho là cao trong khingười khác thì không Tuy các ý kiến là khác nhau nhưng có một điều chắc chắn làkhi giá trị của biến nhiệt độ càng tăng thì càng dễ dàng được chấp nhận là “cao”.Như vậy nếu xét hàm µcao nhận biến nhiệt độ và trả về tỷ lệ ý kiến đồng ý là “cao”

thì µcao sẽ là hàm thuộc của tập mờ “nhiệt độ cao” trên vũ trụ “nhiệt độ”

Biến nhiệt độ có thể nhận giá trị “cao” là một giá trị của ngôn ngữ tự nhiên nên

nó được gọi là một biến ngôn ngữ (linguistic variable)

Khái niệm biến ngôn ngữ đã được Zadeh đưa ra năm 1973 như sau:

 Một biến ngôn ngữ được xác định bởi bộ (x, T, U, M) trong đó:

 x là tên biến Ví dụ “nhiệt độ”, “tốc độ”, “độ ẩm”,…

 T là tập các từ là các giá trị ngôn ngữ tự nhiên mà x có thể nhận Ví dụ

x là “tốc độ” thì T có thể là {“chậm”, “trung bình”, “nhanh”}

 U là miền các giá trị vật lý mà x có thể nhận Ví dụ x là “tốc độ” thì U

có thể là {0km/h,1km/h, …150km/h}

 M là luật ngữ nghĩa, ứng mỗi từ trong T với một tập mờ At trong U

Từ định nghĩa trên chúng ta có thể nói rằng biến ngôn ngữ là biến có thể nhận giátrị là các tập mờ trên một vũ trụ nào đó

Mệnh đề mờ

Trong logic cổ điển (logic vị từ cấp một), một mệnh đề phân tử P(x) là một phátbiểu có dạng “x là P” trong đó x là một đối tượng trong một vũ trụ U nào đó thoảtính chất P Ví dụ “x là số chẵn” thì U là tập các số nguyên và P là tính chất chia hếtcho 2 Như vậy ta có thể đồng nhất một mệnh đề phân tử “x là P” với một tập (rõ) A

= { x∈U | P(x) }

Từ đó ta có:

P(x) = λ(x)

10.9

Trong đó λlà hàm đặc trưng của tập A ( x∈A  λ(x) = 1) Giá trị chân lý củaP(x) chỉ nhận một trong hai giá trị 1 và 0 (true và false) tương ứng với sự kiện xthuộc A hoặc không

Trong trường hợp P là một tính chất mờ chẳng hạn như “số lớn” thì ta sẽ có mộtmệnh đề logic mờ phân tử Khi đó tập hợp các phần tử trong vũ trụ U thoả P là mộttập mờ B có hàm thuộc µBsao cho:

P(x)=>Q(y) = ¬ P(x) ∨ Q(y) = max(1-P(x), Q(y))

P(x)=>Q(y) = ¬ P(x) ∨ (P(x) ∧ Q(y)) = max(1-P(x), min(P(x), Q(y)))

Như vậy, ta sẽ có mở rộng một cách tự nhiên từ logic cổ điển sang logic mờ vớiquy tắc tổng quát hoá dùng hàm bù mờ cho phép phủ định, hàm T-norm cho phépgiao và S-norm cho phép hợp Sự mở rộng này dựa trên sự tương quan giữa mệnh

đề logic mờ với hàm mờ và các phép toán trên tập mờ Ta có:

S-Phép toán kéo theo mờ – luật if-then mờ thông dụng

Các phép toán kéo theo có vai trò quan trọng trong logic mờ Chúng tạo nên cácluật mờ để thực hiện các phép suy diễn trong tất cả các hệ mờ Do một mệnh đề mờtương ứng với một tập mờ nên ta có thể dùng hàm thuộc thay cho các mệnh đề.Sau đây là một số phép kéo theo quan trọng được sử dụng rộng rãi:

Phép kéo theo Dienes – Rescher

Nếu áp dụng công thức (1) với S-norm max và C là hàm bù chuẩn cho ta có phépkéo theo Dienes – Rescher

A

µ (x) =>µB(y) = max(1-µA(x), µB(y))

Phép kéo theo Lukasiewicz

Nếu áp dụng công thức (1) với S-norm là hàm hợp Yager với w=1 và C là hàm

bù chuẩn cho ta có phép kéo theo Lukasiewicz:

A

µ (x) =>µB(y) = min(1, 1-µA(x)+µB(y))

Phép kéo theo Zadeh

Nếu áp dụng công thức (2) với S-norm là max, T-norm min hoặc tích và C là hàm

bù chuẩn cho ta có phép kéo theo Zadeh:

A

µ (x) =>µB(y) = max( 1-µA(x), min(µA(x),µB(y))) (a)

A

µ (x) =>µB(y) = max( 1-µA(x), µA(x).µB(y)) (b)

Kéo theo Mamdani

Ta có thể coi mệnh đề µA(x) =>µB(y) xác định một quan hệ 2 ngôi R ⊆ UxV.Trong đó U là không gian nền của x (vũ trụ chứa x), V là không gian nền của y (vũtrụ chứa y) Khi đó giá trị chân lý của mệnh đề µA(x) =>µB(y) là giá trị hàm thuộccủa cặp (x,y) vào R Theo công thức xác định hàm thuộc của quan hệ mờ ta có

A

µ (x) =>µB(y) = T(µA(x),µB(y))

Trong đó T là một T-norm Khi chọn T là min hoặc tích ta có các phép kéotheo Mamdani:

µ (x) =>µB(y) = min(µA(x),µB(y)) (a)

A

µ (x) =>µB(y) = µA(x).µB(y) (b)

Luật modus-ponens tổng quát

Tương tự logic cổ điển, trong logic mờ cũng có luật modus-ponens như sau:GT1 (luật) : if “x là A” then “y là B”

GT2 (sự kiện) : “x là A’”

Trong đó A, B, A’, B’ là các biến ngôn ngữ (có nghĩa là các tập mờ)

Công thức tính kết luận của luật modus-ponens như sau:

'

B

µ (y) = sup

x T(µR(x,y), µA'(x)) (*)Trong đó T là một hàm T-norm và R là quan hệ hai ngôi xác định bởi phép kéotheo Cách tính µR(x,y), chính là cách tính giá trị chân lý của phép kéo theo trình

bày ở phần trước Như vậy tuỳ theo cách chọn cách tính luật kéo theo khác nhau mà

ta có cách tính kết quả của luật modus-ponens khác nhau

Ví dụ: Giả sử quan hệ giữa nhiệt độ và áp suất cho bởi luật sau:

Nếu nhiệt độ là cao thì áp suất là lớn.

Nhiệt độ nhận các giá trị trong U = {30, 35, 40, 45}

Ap suất nhận các giá trị trong V = {50,55,60,65}

Ta có các tập mờ xác định bởi các biến ngôn ngữ nhiệt độ và áp suất như sau:

A = “nhiệt độ cao” =

45

1 40

9 0 35

3 0 30

B = “áp suất lớn” =

65

1 60

1 55

5 0 50

Áp dụng luật kéo theo Mamdani tích ta có quan hệ mờ sau (giá trị dòng i, cột j làgiá trị hàm thuộc của cặp nhiệt độ i và áp suất j vào quan hệ)

R=

65605550

45403530

115.00

9.09.045.00

3.03.015.00

0000

Bây giờ, giả sử ta biết sự kiện “nhiệt độ là trung bình” và

A’ = “nhiệt độ trung bình” =

45

1 0 40

8 0 35

1 30

6

Áp dụng công thức (*) ta suy ra B’ =

65

8 0 60

8 0 55

45 0 50