đây là những tài liệu mà mình sưa tập được nên mình đem chia sẻ cho các bạn dùng. Rất mong là sẽ có ích cho các bạn. Mong các bạn có thể chia sẻ tài liệu này với mọi người xung quanh để có thể giúp ích được cho những bạn cũng đang cần tài liệu tham khảo.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ Hà Nội 16/08/2014 2 2 2σ μx e 2πσ 1 y x y 2πσ 1 0 μ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ SINH VIÊN : HOÀNG VĂN TRỌNG LỚP : K54 Địa lý QUÊ QUÁN : Giao Thủy – Nam Định ĐIỆN THOẠI : 0974 971 149 EMAIL : hoangtronghus@gmail.com Hà Nội 16/08/2014 Lời chia sẻ Hầu hết các hiện tƣợng trong cuộc sống đều xảy ra một cách ngẫu nhiên mà chúng ta không thể đoán trƣớc đƣợc. Chúng ta luôn phải đứng trƣớc những lựa chọn và quyết định cho cuộc sống của mình. Và khi ta lựa chọn nhƣ thế thì khả năng thành công là bao nhiêu, phƣơng án ta chọn có phải là tối ƣu nhất? Nên chọn công việc gì, hôm nay xổ số có khả năng về bao nhiêu, “vui chơi có thƣởng” thì đặt cửa nào,…tất cả những tình huống đó đều phải đắn đo suy nghĩ. Môn Xác suất sẽ giúp định lƣợng khả năng thành công của từng phƣơng án để từ đó ra quyết định đúng đắn nhất. Thống kê ứng dụng là môn khoa học về cách thu thập, xử lý và phân tích dữ liệu về hiện tƣợng rồi đƣa ra kết luận có tính quy luật của hiện tƣợng đó. Không thể dựa vào một số trƣờng hợp chúng ta gặp phải mà vội kết luận rằng vùng này có đời sống cao hơn vùng khác, tỉnh X có tỷ lệ trộm cắp cao hơn tỉnh Y,…Dựa trên việc điều tra mẫu đủ để đại diện cho toàn bộ tổng thể, ta có thể tạm thời đƣa ra kết luận về hiện tƣợng nghiên cứu nhƣng với khả năng xảy ra sai lầm đủ nhỏ để chấp nhận đƣợc. Thống kê ứng dụng dựa trên kết quả của lý thuyết xác suất và có quan hệ chặt chẽ với lý thuyết xác suất. Đối với các ngành đào tạo ngoài khoa Toán thì môn Xác suất và môn Thống kê ứng dụng đƣợc gộp chung lại thành môn Xác suất thống kê với những nội dung rút gọn hơn để đáp ứng nhu cầu về toán cho các đối tƣợng không chuyên. Tuy nhiên, file bài tập này bao gồm cả những nội dung của riêng khoa Toán nhƣ: đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục nhiều chiều, luật số lớn và các định lý giới hạn, tƣơng quan và hồi quy nhiều chiều,… Các nội dung chỉ dành cho khoa Toán đƣợc đánh dấu (X) và các bạn khoa ngoài có thể xem thêm. Trƣớc khi học Xác suất thống kê, các bạn nên xem lại nội dung về giải tích tổ hợp (hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) và tích phân suy rộng với cận vô hạn. Nhìn chung, các hàm lấy tích phân trong xác suất đều đơn giản và các tích phân đó đều hội tụ. Theo kinh nghiệm cá nhân thì phƣơng pháp học môn này không giống những môn giải tích, ngoài việc nhớ công thức thì phải hiểu bản chất của các vấn đề xác suất thì khi đó môn học trở nên đơn giản hơn rất nhiều, nếu không sẽ rất hay nhầm lẫn cũng nhƣ khó xác định công thức cần áp dụng. Phần thống kê có khoảng trên 50 công thức cần phải nhớ do đó để tránh nhầm lẫn thì phải hiểu đƣợc phần xác suất, đặc biệt là nội dung về các phân bố của đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục (phân bố chuẩn, phân bố student, phân bố Fisher, phân bố khi bình phƣơng,…) Các nội dung lý thuyết chỉ đƣợc viết lại dƣới dạng tóm tắt, phần bài tập đƣợc tập trung hơn cũng nhƣ chỉ ra phƣơng pháp giải cho từng dạng bài. Các bài tập đƣợc lấy từ những giáo trình quen thuộc và các bài toán thực tế khác để minh họa cho phần lý thuyết. Những bài tập lấy từ bên ngoài sẽ đƣợc chú thích dấu sao (*) để phân biệt, những đoạn màu xanh là phần giải thích thêm chứ không thuộc nội dung lời giải. Phần phụ lục ở cuối file giới thiệu cách sử dụng một số hàm xác suất thống kê trong Microsoft Excel để tính toán nhanh hoặc kiểm tra lại kết quả tính toán thủ công và tra bảng. Ngoài ra, bạn có thể sử dụng các phần mềm thống kê (ví dụ phần mềm R) Bài tập đƣợc lấy trong các giáo trình sau: + Quyển 1 (Q 1 ): Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng, Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo dục 2010. Giáo trình này đƣợc sử dụng phổ biến khi học nội dung Xác suất. + Quyển 2 (Q 2 ): Bài tập Xác suất, Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo dục 2010. Giáo trình thƣờng đƣợc sử dụng cho các lớp khoa Toán khi học môn Xác suất. Tuy các bài tập trong quyển 2 đã bao gồm các bài tập trong quyển 1 nhƣng vẫn đƣợc tách thành 2 phần để thuận tiện cho các bạn khoa ngoài (các bạn khoa ngoài chủ yếu học quyển 1). + Quyển 3 (Q 3 ): Xác suất thống kê, Đào Hữu Hồ, NXB ĐHQGHN 2010. Giáo trình này đƣợc sử dụng phổ biến khi học nội dung Thống kê cho cả khoa Toán và khoa ngoài. + Quyển 4 (Q 4 ): Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất - thống kê, Đào Hữu Hồ, NXB ĐHQGHN 2009. Giáo trình này đƣợc tác giả tổng hợp lại các công thức cần nhớ và hƣớng dẫn giải các dạng bài tập thông dụng. Một số bài tập trong giáo trình trùng với bài tập trong quyển 3. + Quyển 5 (Q 5 ): Thống kê và ứng dụng, Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo dục. Giáo trình đƣợc viết để phục vụ cho các ngành đào tạo của khoa Toán khi học môn “Thống kê ứng dụng”. + Quyển 6 (Q 6 ): Bài tập thống kê, Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo dục. Giáo trình viết bổ sung cho quyển 5 và giới thiệu các dạng bài tập cơ bản của thống kê. + Quyển 7 (Q 7 ): Thống kê toán học, Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Nhƣ; NXB ĐH & TNCN 2004. Giáo trình viết riêng cho khoa Toán – Cơ – Tin ở bậc đào tạo đại học. Đây là giáo trình thích hợp để tìm hiểu về cơ sở toán học của các phƣơng pháp thống kê. + Quyển 8 (Q 8 ): Thống kê xã hội học, Đào Hữu Hồ, NXB Giáo dục 2010. Giáo trình đƣợc viết cho khối khoa học xã hội và nhân văn, các trƣờng cao đẳng nên nội dung đã đƣợc giản lƣợc. Phần xác suất chỉ giới thiệu nội dung cơ bản nhất và các phân phối hay sử dụng trong phần thống kê. Sau phần giải bài tập trong các giáo trình là phần giới thiệu một số đề thi của những kỳ gần đây để mọi ngƣời tham khảo. Các đề thi Toán cao cấp thống kê chỉ dành cho những bạn ôn thi cao học (ví dụ các bạn khoa Sinh học). Trên đây là chút kiến thức ít ỏi mà mình muốn chia sẻ cùng các bạn. Do hạn chế nhận thức về môn học nên chắc chắn còn nội dung nào đó viết chƣa đúng hoặc chƣa đầy đủ, rất mong các bạn thông cảm và góp ý để mình hoàn thiện thêm. Mọi thắc mắc xin gửi về địa chỉ email: hoangtronghus@yahoo.com.vn hoặc hoangtronghus@gmail.com Hoàng Văn Trọng Cập nhật 16/08/2014 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 1 MỤC LỤC PHẦN I: XÁC SUẤT 3 MỞ ĐẦU: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 A. LÝ THUYẾT 3 1. Giải tích tổ hợp 3 2. Tích phân và tích phân suy rộng 4 B. BÀI TẬP (*) 5 CHƢƠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 7 A. LÝ THUYẾT 7 1. Các khái niệm 7 2. Xác suất của biến cố A 8 3. Các quy tắc tính xác suất 9 4. Công thức Bernoulli 9 5. Xác suất có điều kiện. Công thức nhân tổng quát 9 6. Công thức xác suất đầy đủ 10 7. Công thức Bayes 10 B. BÀI TẬP 10 1. Bài tập trong giáo trình 1 (Q 1 ) 10 2. Bài tập trong giáo trình 2 (Q 2 ) 25 3. Bài tập trong giáo trình 3 (Q 3 ) 39 4. Bài tập trong giáo trình 4 (Q 4 ) 65 5. Bài tập trong giáo trình 8 (Q 8 ) 84 6. Bài tập khác (*) 90 CHƢƠNG 2: ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 93 A. LÝ THUYẾT 93 1. Phân bố xác suất và hàm phân bố 93 2. Các đặc trƣng số của đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc 93 3. Phân bố đồng thời và hệ số tƣơng quan 94 4. Hàm của hai đại lƣợng ngẫu nhiên rời rạc 96 5. Phân bố nhị thức 96 6. Phân bố Poisson 97 B. BÀI TẬP 97 1. Bài tập trong giáo trình 1 (Q 1 ) 97 2. Bài tập trong giáo trình 2 (Q 2 ) 113 3. Bài tập trong giáo trình 8 (Q 8 ) 114 4. Bài tập khác (*) 120 CHƢƠNG 3: ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC 122 A. LÝ THUYẾT 122 1. Hàm mật độ xác suất và hàm phân bố xác suất 122 2. Các đặc trƣng số của đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục 122 3. Hàm của đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục 123 4. Phân bố chuẩn 124 5. Phân bố mũ 125 6. Phân bố đều 126 B. BÀI TẬP 126 1. Bài tập trong giáo trình 1 (Q 1 ) 126 2. Bài tập trong giáo trình 2 (Q 2 ) 144 3. Bài tập trong giáo trình 8 (Q 8 ) 144 4. Bài tập khác (*) 145 Cập nhật 16/08/2014 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 2 BÀI TẬP ÔN TẬP 149 1. Bài tập môn Xác suất thống kê 149 1.1 Bài tập lớp thầy Tạ Công Sơn, kỳ hè 2014 149 2. Bài tập môn Thống kê xã hội học 174 MỘT SỐ ĐỀ THI VÀ KIỂM TRA 191 1. Đề thi giữa kỳ môn Xác suất Thống kê 191 1.1 Đề thi giữa kỳ lớp thầy Vũ Văn Khu, kỳ II năm học 2011 – 2012 191 1.2 Đề thi giữa kỳ lớp thầy Phạm Đình Tùng, kỳ II năm học 2013 – 2014 (ca 1) 194 1.3 Đề thi giữa kỳ lớp thầy Tạ Công Sơn, kỳ II năm học 2013 – 2014 198 2. Đề thi cuối kỳ môn Xác suất Thống kê 204 2.1 Đề thi cuối kỳ II năm học 2012 – 2013 (đề chung cho khoa ngoài) 204 2.2 Đề thi cuối kỳ I năm học 2013 – 2014 (đề chung cho khoa ngoài) 213 2.3 Đề thi cuối kỳ II năm học 2013 – 2014 (đề chung cho khoa ngoài) 218 2.4 Đề thi cuối kỳ I năm học 2014 – 2015 (đề chung cho khoa ngoài) 225 PHỤ LỤC 227 1. Các hàm Xác suất thống kê trong Microsoft Excel 2013 227 TÀI LIỆU THAM KHẢO 228 Cập nhật 16/08/2014 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 3 PHẦN I: XÁC SUẤT Nội dung lý thuyết đƣợc trình bày hết sức tóm tắt và có kèm theo các công thức đã đƣợc chứng minh. Các bạn đọc thêm trong giáo trình để hiểu sâu sắc về phần này. MỞ ĐẦU: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ A. LÝ THUYẾT 1. Giải tích tổ hợp a. Hoán vị Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Gọi P n là số hoán vị của n phần tử. Ta có: 2.12n1nnP n b. Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử (k ≤ n) khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. Gọi k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ta có: 1kn 2n1nnA k n + Tính chất: n n n PA !k-n n! A k n với 0! = 1 và n! = P n Trong một chỉnh hợp, mỗi một phần tử của tập A xuất hiện không quá 1 lần. c. Chỉnh hợp lặp Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Chỉnh hợp lặp của k phần tử (k có thể lớn hơn n) là một nhóm có thứ tự gồm k phần tử trong đó mỗi phần tử có thể xuất hiện từ 1 đến k lần. Gọi k n A ~ là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Ta có: kk n nA ~ d. Tổ hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. Cập nhật 16/08/2014 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 4 Gọi k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có: !k-nk! n! C k n + Tính chất: k-n n k n CC 1-k 1-n k 1-n k n CCC 2. Tích phân và tích phân suy rộng Đối với môn Xác suất thống kê thì phép tính tích phân chỉ sử dụng cho những nội dung liên quan tới đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục: tính xác suất, tìm hàm phân bố,… Biểu thức dƣới dấu tích phân chủ yếu là đơn giản và có thể đƣa đƣợc ngay về nguyên hàm của hàm số sơ cấp cơ bản, thỉnh thoảng sử dụng tới tích phân từng phần. Phép tính tích phân suy rộng sử dụng với cận – và +, các tích phân này đều hội tụ. Riêng đối với các lớp khoa Toán thì cần thêm tích phân của hàm nhiều biến (chủ yếu là hàm 2 biến) khi học về đại lƣợng ngẫu nhiên liên tục nhiều chiều. +) Tích phân hàm một biến: aFbFxF)f(x n ab limdxf(x) b a n 1i i n b a Với F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] +) Tích phân suy rộng của hàm một biến: a- a - dxf(x)dxf(x)dxf(x) (với a là số thực bất kỳ) AFlimaFdxf(x)limdxf(x) A a A A a - (với A < a) aFA'Flimdxf(x)limdxf(x) A' A' a A' a (với A' > a) +) Tích phân hàm 2 biến (X): n 1i iii n ΔS)y,f(xlimy)dSf(x, Hệ quả của định lý Fubini: Nếu f(x, y) liên tục trên miền D = [a, b] x [c, d] thì: d c b aD b a d c dyy)dxf(x,dxy)dyf(x,y)dxdyf(x, Cập nhật 16/08/2014 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 5 B. BÀI TẬP (*) Bài 1 (*). Trong số n ngƣời đến dự “hội nghị bàn tròn” có hai ngƣời quen nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi để hai ngƣời đó đƣợc ngồi cạnh nhau? Lời giải: Giả sử coi 2 ngƣời là một. Đầu tiên, chọn chỗ cho 2 ngƣời: chọn đƣợc 1 vị trí (vì bàn tròn nên các vị trí khác nhau là nhƣ nhau – không xét đến vị trí tƣơng đối của bàn so với vật xung quanh) Số ngƣời còn lại là (n – 2) nên số cách chọn chỗ cho họ: (n – 2)! Trong vị trí của hai ngƣời thì họ có thể đổi chỗ cho nhau: có 2 cách. Số cách sắp xếp chỗ ngồi để 2 ngƣời quen nhau đƣợc ngồi cạnh nhau là: 2.(n – 2)! Trong một bàn tròn, nếu coi các vị trí khác nhau là khác nhau (xét tới vị trí tƣơng đối của các vật xung quanh bàn) thì xác suất trong trƣờng hợp này sẽ là: 2n.(n – 2)! Bài 2 (*). Trong số n ngƣời đến dự “hội nghị bàn chữ U” có hai ngƣời quen nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi để hai ngƣời đó đƣợc ngồi cạnh nhau? Coi 2 ngƣời là một. Chọn chỗ cho 2 ngƣời: có (n – 1) cách vì bàn là chữ U nên các vị trí khác nhau trên bàn sẽ đƣợc tính là cách xếp khác nhau. Số cách xếp cho (n – 2) ngƣời còn lại: (n – 2)! Trong vị trí của 2 ngƣời thì có thể đổi chỗ cho nhau: có 2 cách. Số cách sắp xếp chỗ ngồi để 2 ngƣời quen nhau đƣợc ngồi cạnh nhau là: 2(n – 1)(n – 2)! = 2(n – 1)! Bài 3 (*). Một buổi họp gồm 12 ngƣời tham dự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 chủ tọa và 1 thƣ ký? Lời giải: Chọn 1 chủ tọa và 1 thƣ ký thì chỉ cần chọn 2 ngƣời khác nhau trong số 12 ngƣời và có xét đến thứ tự. Số cách chọn là: 13212.11A 2 12 Bài 4 (*). Từ các chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đƣợc bao nhiêu số khác nhau gồm 4 chữ số? Chọn chữ số đầu tiên: có 5 cách chọn (vì số 0 không hợp lệ) Chọn 3 chữ số tiếp theo: vì mỗi số có thể xuất hiện nhiều hơn 1 lần nên số cách chọn cho 3 vị trí đó là: 33 6 6A ~ Số các số khác nhau có 4 chữ số là: 5.6 3 = 1080 Cập nhật 16/08/2014 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 6 Bài 5 (*). Có mấy cách để xếp 5 viên bi khác màu vào 3 hộp? Mỗi một viên bi sẽ có 3 khả năng xếp vào hộp. Nó sẽ đƣợc xếp vào hộp 1 hoặc hộp 2 hoặc hộp 3. Do đó, 5 viên bi khác màu sẽ có số cách xếp vào hộp là: 2433A ~ 55 3 (cách) Bài 6 (*). Một ngày học 3 môn trong số 7 môn học. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thời khóa biểu trong một ngày? Thời khóa biểu trong 1 ngày đƣợc lấy từ 3 môn khác nhau trong số 7 môn và có xét đến thứ tự trƣớc sau của từng môn. Số cách sắp xếp là: 2107.6.5A 3 7 Bài 7 (*). Tính tích phân: f(x)dx biết: 0xkhi0 0xkhi2e xf 2x Ta có: 0 2x- 00 0 dx2ef(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx 11 e 1 limdxe2 2x x 0 2 0 2x- x e Bài 8 (*). Tính thể tích của khối đa giác đƣợc giới hạn bởi mặt dƣới là miền D = [0, 1] x [1, 2] trong mặt phẳng xOy và mặt trên đƣợc xác định qua hàm f = x 2 + xy dx 2 y xyxdxdyxyxdxdyxyxV 1 0 2 1 2 2 1 0 2 1 2 D 2 1 0 23 1 0 2 4 3x 3 x dxx 2 3 x 12 13 4 3 3 1 (đơn vị thể tích) [...]... thống kê khoảng 10 đề thi kết thúc môn của những kỳ gần đây thì thấy rằng nội dung liên quan tới công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes xuất hiện rất nhiều, hầu nhƣ năm nào cũng có bài tập liên quan tới 2 công thức này + Công thức Bayes thực chất là tính ngƣợc lại của công thức xác suất đầy đủ và bản thân nó cũng bao hàm luôn công thức xác suất đầy đủ – ta phải tính xong công thức xác suất đầy... P(A) = p (0 < p < 1) Xác suất để biến cố A xuất hiện đúng k lần trong n phép thử trên là: Pk Ck pk (1 p)n k n 5 Xác suất có điều kiện Công thức nhân tổng quát Khả năng để biến cố A xảy ra nếu biết rằng biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B Ký hiệu: P(A | B) Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 9 Cập nhật 16/08/2014 P(A | B) P(AB) P(B) Từ công thức xác suất có điều kiện, suy... P(An-1 | An).P(An) 6 Công thức xác suất đầy đủ (công thức xác suất toàn phần hay công thức xác suất tiền nghiệm) Họ các biến cố B1, B2, …, Bn đƣợc gọi là hệ đầy đủ nếu thỏa mãn: BiBj = nếu i j B1 B2 … Bn = Nếu hệ biến cố B1, B2,…Bn là một hệ đầy đủ thì với biến cố A ta có: n n i 1 i 1 P(A) P(A | Bi ).P(Bi ) P(ABi ) 7 Công thức Bayes (hay công thức xác suất hậu nghiệm) Nếu các biến... 6 0 Số kết quả thuận lợi là: C 6 C4 1 Xác suất để 6 ngƣời đều là nam: 1 210 b) Có 4 nam và 2 nữ 4 C6 C2 90 3 4 210 210 7 c) Có ít nhất 2 nữ Xác suất để có nhiều nhất 1 nữ là: 1 C1 C5 25 4 6 210 210 210 Xác suất để có ít nhất 2 nữ là: 1 25 185 37 210 210 42 Bài 3/ 37 – Q1 Cần tuyển 2 ngƣời trong tổng số 6 ngƣời (2 nam và 4 nữ) Tính xác suất: a) Cả hai người được chọn đều là nữ:... 1) ; (Hoa, 2) ; (Hoa, 3) ; (Hoa, 4) ; (Hoa, 5) Xác suất để Hoa đƣợc chọn là: P(C) 5 1 15 3 Xác suất để Hoa đƣợc chọn nếu biết rằng ít nhất một nữ đƣợc chọn: P(C | B) P(CB) P(C) P(B) P(B) (Vì C B) 1/ 3 5 14 / 15 14 Chú ý: + Thông thƣờng: nếu trong câu hỏi tính xác mà xuất hiện cụm từ “biết rằng”, “nếu biết”,….thì sử dụng công thức xác suất có điều kiện để giải + Biến cố A và C đều là... Chỉ có hiện tƣợng 1 xảy ra ABC ABC ABC : Chỉ có một hiện tƣợng xảy ra 2 Xác suất của biến cố A - Xác suất của một biến cố là một giá trị số và số này đo lường khả năng xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên - Tính chất: Ký hiệu xác suất của biến cố A là P(A) 0 P(A) 1 P () = 0 P () = 1 * Định nghĩa xác suất cổ điển: P(A) A Ω Trong đó: A là số các biến cố sơ cấp có lợi cho A... thức xác suất đầy đủ: chỉ cần tính xác suất theo từng nhánh rồi cộng lại với nhau + Đối với công thức Bayes: trong bài 14b thì một số bạn sẽ thắc mắc là tại sao biến cố B đã xảy ra rồi thì tính xác suất của biến cố A1 với điều kiện B để làm gì? Đã biết P(B|A1) thì đi tính P(A1|B) để làm gì? Thực ra biến cố B đã xảy ra nhƣng nó xảy ra ứng với nhiều điều kiện khác nhau (A1, A2,…An) và ta đi tính xác suất. .. xảy ra: ở bài trên để sinh đôi cùng giới thì có hai nguyên nhân là: sinh đôi cùng trứng hoặc khác trứng Đề bài sẽ yêu cầu tìm xác suất để nguyên nhân Ai xảy ra khi biết B đã xảy ra Sử dụng lý thuyết xác suất cổ điển: lấy xác suất của một biến cố (AiB) đó chia cho tổng các xác suất của các biến cố (AkB) với k chạy từ 1 đến n Nhìn chung, phần công thức Bayes nếu không hiểu kỹ thì dễ bị nhầm lẫn Điển hình... 60 Xác suất bắt đƣợc 1 trống 1 mái là: P(A1B2 ) P(A 2B1 ) 1 5 9 46 60 60 60 Xác suất để bắt đƣợc con gà trống từ chuồng 3 là: sử dụng CTXS đầy đủ P(H) P(HA1A2 ) P(HB1B2 ) P(HA1B2 ) P(HA2B1) 4 5 6 9 5 46 38 0,3619 14 60 14 60 14 60 105 Bài 17/ 39 – Q1 Đối với mỗi phƣơng án, ta tính xác suất để máy bay rơi nếu bố trí các khẩu pháo tƣơng ứng Nếu phƣơng án nào có xác suất. .. phƣơng án đó Trong mỗi phƣơng án thì áp dụng công thức xác suất đầy đủ để giải Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 20 Cập nhật 16/08/2014 Máy bay có thể xuất hiện ở A với xác suất 2/3 và xuất hiện ở B với xác suất 1/3 * Phương án 1: 3 khẩu đặt tại A và 1 khẩu đặt tại B Nếu có 3 khẩu đặt tại A thì để máy bay rơi phải cần ít nhất một khẩu bắn trúng máy bay Xác suất để ít nhất một khẩu tại A bắn trúng máy bay là: . khác (*) 145 Cập nhật 16/ 08/ 2014 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 2 BÀI TẬP ÔN TẬP 149 1. Bài tập môn Xác suất thống kê 149 1.1 Bài tập lớp thầy Tạ Công Sơn, kỳ hè 2014 149 2. Bài tập. cho 3 vị trí đó là: 33 6 6A ~ Số các số khác nhau có 4 chữ số là: 5.6 3 = 1080 Cập nhật 16/ 08/ 2014 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 6 Bài 5 (*). Có mấy cách để xếp 5 viên bi khác. để học sinh đƣợc điểm âm là: 0,0687 + 0,2062 + 0,2835 = 0,5584 Cập nhật 16/ 08/ 2014 Hoàng Văn Trọng – 0974.971.149 16 Bài 12/ 39 – Q 1 a) Tổng số nốt xuất hiện là 8 biết rằng ít nhất