Tài liệu toán số thực

Mục lục Lời nói đầu iii Các ký hiệu và khái niệm vii Bài tập 1 Số thực 3 1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên phânsố 6 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Dãy số thực 19 2.1 Dãyđơnđiệu 23 2.2 Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Định lý Toeplitz, định lý Stolz và ứng dụng . . . . . . . . . 37 2.4 Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d-ới . . . . . . . . 42 2.5 Các bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Chuỗi số thực 63 3.1 Tổngcủachuỗi 67 3.2 Chuỗid-ơng 75 3.3 Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4 Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel . . . . . . . . . . . . 99 i ii Mục lục 3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 102 3.7 Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.8 Tíchvôhạn 111 Lời giải 1 Số thực 121 1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên phânsố 121 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2 Dãy số thực 145 2.1 Dãyđơnđiệu 145 2.2 Giới hạn. Tính chất của dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 156 2.3 Định lý Toeplitz, định lí Stolz và ứng dụng . . . . . . . . . . 173 2.4 Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d-ới . . . . . . . . 181 2.5 Các bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3 Chuỗi số thực 231 3.1 Tổng của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 3.2 Chuỗi d-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 3.3 Dấu hiệu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 3.4 Hội tụ tuyệt đối. Định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 291 3.5 Tiêu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel . . . . . . . . . . . . 304 3.6 Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 313 3.7 Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 3.8 Tíchvôhạn 338 Tài liệu tham khảo 354 Lời nói đầu Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích (theo chúng tôi) hay nhất thế giới . Tr-ớc đây, hầu hết những ng-ời làm toán của Việt Nam th-ờng sử dụng hai cuốn sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đã đ-ợc dịch ra tiếng Việt): 1. "Bài tập giải tích toán học" của Demidovich (B. P. Demidovich; 1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu, Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva) và 2. "Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập" của Ljaszko, Bojachuk, Gai, Golovach (I. I. Lyashko, A. K. Boyachuk, YA. G. Gai, G. P. Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh, Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola). để giảng dạy hoặc học giải tích. Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai cho lời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác. Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đã đ-ợc dịch ra tiếng Anh): 3. "Bài tập giải tích. Tập I: Số thực, Dãy số và Chuỗi số" (W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze s c Pier- wsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996), 4. "Bài tập giải tích. Tập II: Liên tục và Vi phân " (W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze s c Druga, Funkcje iii iv Lời nói đầu Jednej Zmiennej{Rachunek R ozniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998). để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy giải tích. Khi biên dịch, chúng tôi đã tham khảo bản tiếng Anh: 3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy- sis I, Real Numbers, Sequences and Series , AMS, 2000. 4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analy- sis II, Continuity and Differentiation , AMS, 2001. Sách này có các -u điểm sau: Các bài tập đ-ợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay. Lời giải khá đầy đủ và chi tiết. Kết hợp đ-ợc những ý t-ởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại. Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng nh-, Ameri- can Mathematical Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng Nga), Delta (tiếng Balan) . Vì thế, sách này có thể dùng làm tài liệu cho các học sinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh- cho các sinh viên đại học ngành toán. Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong 5. Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000. 6. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil Book Company, New York, 1964. Tuy vậy, tr-ớc mỗi ch-ơng chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong ch-ơng t-ơng ứng. Tập I và II của sách chỉ bàn đến hàm số một biến số (trừ phần không gian metric trong tập II). Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tích cho hàm nhiều biến và phép tính tích phân. Chúng tôi đang biên dịch tập II, sắp tới sẽ xuất bản. Lời nói đầu v Chúng tôi rất biết ơn : - Giáo s- Phạm Xuân Yêm (Pháp) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập I của sách này, - Giáo s- Nguyễn Hữu Việt H-ng (Việt Nam) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập II của sách này, - Giáo s- Spencer Shaw (Mỹ) đã gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh cuốn sách nổi tiếng của W. Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976, - TS D-ơng Tất Thắng đã cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch cuốn sách này. Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr-ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đã đọc kỹ bản thảo và sửa nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên. Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ đ-ợc đông đảo bạn đọc đón nhận và góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày. Rất mong nhận đ-ợc sự chỉ giáo của quý vị bạn đọc, những ý kiến góp ý xin gửi về: Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr-ờng Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội. Xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, Xuân 2002. Nhóm biên dịch Đoàn Chi Các ký hiệu và khái niệm R - tập các số thực R + - tập các số thực d-ơng Z - tập các số nguyên N - tập các số nguyên d-ơng hay các số tự nhiên Q - tập các số hữu tỷ (a, b) - khoảng mở có hai đầu mút là a và b [a, b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b [x] - phần nguyên của số thực x Với x R, hàm dấu của x là sgn x = 1 với x>0, 1 với x<0, 0 với x =0. Với x N, n!=1ã 2 ã3 ã ã n, (2n)!! = 2 ã 4 ã 6 ã ã (2n 2) ã (2n), (2n 1)!! = 1 ã 3 ã5 ã ã (2n 3) ã (2n 1). Ký hiệu n k = n! k!(nk)! ,n,k N,n k, là hệ số của khai triển nhị thức Newton. vii viii Các ký hiệu và khái niệm Nếu A R khác rỗng và bị chặn trên thì ta ký hiệu sup A là cận trên đúng của nó, nếu nó không bị chặn trên thì ta quy -ớc rằng sup A =+. Nếu A R khác rỗng và bị chặn d-ới thì ta ký hiệu inf A là cận d-ới đúng của nó, nếu nó không bị chặn d-ới thì ta quy -ớc rằng inf A = . Dãy {a n } các số thực đ-ợc gọi là đơn điệu tăng (t-ơng ứng đơn điệu giảm) nếu a n+1 a n (t-ơng ứng nếu a n+1 a n ) với mọi n N. Lớp các dãy đơn điệu chứa các dãy tăng và giảm. Số thực c đ-ợc gọi là điểm giới hạn của dãy {a n } nếu tồn tại một dãy con {a n k } của {a n } hội tụ về c. Cho S là tập các điểm tụ của dãy {a n }. Cận d-ới đúng và cận trên đúng của dãy , ký hiệu lần l-ợt là lim n a n và lim n a n đ-ợc xác định nh- sau lim n a n = + nếu {a n } không bị chặn trên, nếu {a n } bị chặn trên và S = , sup S nếu {a n } bị chặn trên và S = , lim n a n = nếu {a n } không bị chặn d-ới, + nếu {a n } bị chặn d-ới và S = , inf S nếu {a n } bị chặn d-ới và S = , Tích vô hạn n=1 a n hội tụ nếu tồn tại n 0 N sao cho a n =0với n n 0 và dãy {a n 0 a n 0 +1 ã ã a n 0 +n } hội tụ khi n tới một giới hạn P 0 =0.SốP = a n 0 a n 0 +1 ã ãa n 0 +n ã P 0 đ-ợc gọi là giá trị của tích vô hạn. Trong phần lớn các sách toán ở n-ớc ta từ tr-ớc đến nay, các hàm tang và côtang cũng nh- các hàm ng-ợc của chúng đ-ợc ký hiệu là tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo cách ký hiệu của các sách có nguồn gốc từ Pháp và Nga, tuy nhiên trong các sách toán của Mỹ và phần lớn các n-ớc châu Âu, chúng đ-ợc ký hiệu t-ơng tự là tan x, cot x, arctan x, arccot x. Trong cuốn sách này chúng tôi sẽ sử dụng những ký hiệu này để bạn đọc làm quen với những ký hiệu đã đ-ợc chuẩn hoá trên thế giới. Bµi tËp [...]... phải là số vô tỷ Tập hợp các số tức là, giữa hai số thực khác nhau bất ký (a < b) tồn tại ít nhất một số hữu tỷ (r: a < r < b) hữu tỷ trù mật trong tập các số thực, Phần nguyên của số thực x, đ-ợc ký hiệu là [x], là số nguyên (duy nhất) sao cho x 1 < [x] x Phần lẻ của số thực x, đ-ợc ký hiệu là {x}, là số thực xác định theo công thức {x} = x [x] Các hàm số sơ cấp ax, loga x, sin x, cos x, arcsin x,... pk k=1 1 ak A2 , G2 a1an 1.2.50 Cho số nguyên d-ơng n, đặt t-ơng ứng (n) và (n) là tổng các -ớc n và số các -ớc số đó Chứng minh rằng (n) n (n) số d-ơng của Ch-ơng 2 Dãy số thực Tóm tắt lý thuyết Dãy số là một ánh xạ từ tập các số tự nhiên (hoặc các số nguyên không âm) vào tập các số thực f : N R Đặt an = f (n), n N, và dùng ký hiệu {an} để chỉ dãy số Dãy số {an } đ-ợc gọi là - d-ơng (âm) nếu... con không rỗng của tập các số thực R = (, ) Số thực x R đ-ợc gọi là giá trị lớn nhất của A nếu x A, a x, a A Khi đó, ta viết x = max{a : a A} = max a aA 3 4 Ch-ơng 1 Số thực Số thực x R đ-ợc gọi là giá trị bé nhất của A nếu x A, a x, a A Khi đó, ta viết x = min{a : a A} = min a aA Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ) Giả sử A bị chặn trên Số thực x R đ-ợc gọi là cận trên... nhau Số nguyên d-ơng p N đ-ợc gọi là số nguyên tố, nếu p chỉ có hai -ớc (tầm th-ờng) là 1 và p Gỉa sử m là số nguyên d-ơng Hai số nguyên a, b đ-ợc gọi là đồng dtheo modulo m, nếu m|(a b) Trong tr-ờng hợp đó ta viết a=b (mod m) Ta gọi r là số hữu tỷ (hay phân số) , nếu tồn tại p, q Z sao cho r = p/q Phân số này là tối giản nếu (p, q) = 1 Số vô tỷ là số thực nh-ng không phải là số vô tỷ Tập hợp các số. .. là hàm số thực nào đó Nói rằng {an } là cấp số cộng nếu nó có dạng an = a0 + nd, (a0 là số hạng đầu, d là công sai) Nói rằng {an } là cấp số nhân nếu nó có dạng an = a0 q n , (a0 là số hạng đầu, q là công bội) Các ký hiệu của Landau Cho hai dãy {an } và {bn } Ta nói rằng - Dãy {bn } chặn dãy {an }, nếu tồn tại hằng số C > 0 và tồn tại số n0 N sao cho |an | C|bn|, n n0 22 Ch-ơng 2 Dãy số thực Trong...Ch-ơng 1 Số thực Tóm tắt lý thuyết Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ) Số thực x R đ-ợc gọi là một cận trên của A nếu a x, x A Tập A đ-ợc gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên Số thực x R đ-ợc gọi là một cận d-ới của A nếu a x, a A Tập A đ-ợc gọi là bị chặn d-ới nếu A có ít... thành các liên phân số vô hạn: 2, 51 2 2 + k thành liên phân số vô 1.1.27 Cho số nguyên d-ơng k , biểu diễn của k hạn 1.1.28 Tìm tất cả các số x (0, 1) mà sự biểu diễn liên tục vô hạn có a1 (xem 1.1.20) t-ơng ứng với số nguyên d-ơng n cho tr-ớc 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp 1.2 11 Một số bất đẳng thức sơ cấp 1.2.1 Chứng minh rằng nếu hoặc cùng âm thì ak > 1, k = 1, , n là các số cùng d-ơng (1... an bn ; với n n0 nào đó, b - Định lý kẹp: Cho ba dãy số thực {an }, {bn }, {cn } Nếu lim an = a, lim bn = a, n n an cn bn , với n n0 nào đó Tóm tắt lý thuyết 21 thì lim cn = a n Cho {an } là dãy số thực và {nk } là dãy cac số tự nhiên tăng ngặt, tức là n1 < n2 < ã ã ã < ak < ak+1 < ã ã ã Khi đó, ta gọi {ank } là một dãy con của dãy {an } Số thực a đ-ợc gọi là giới hạn riêng hay là điểm giới hạn... thông th-ờng Tuy nhiên, cần chú ý rằng, tài liệu này dùng các ký hiệu tiêu chuẩn quốc tế sau tan x = sin x/ cos x, ex + ex , 2 tanh x = sinh x/ cosh x, cosh x = cot x = cos x/ sin x, ex ex , 2 coth x = cosh x/ sinh x sinh x = T-ơng tự ta có các ký hiệu về hàm ng-ợc arctan x, arccot x 6 Ch-ơng 1 Số thực 1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực Liên phân số 1.1.1 Chứng minh rằng sup{x Q :... d-ới của tập các số thực, thì A có cận d-ới đúng (duy nhất) Từ đó suy ra rằng A là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực, thì A có cận trên đúng, và có cận d-ới đúng Nếu tập A không bị chặn trên, thì ta qui -ớc sup A = +; Nếu tập A không bị chặn d-ới, thì ta qui -ớc inf A = ; Tóm tắt lý thuyết 5 Cho hai số nguyên a, b Ta nói rằng b chia hết cho a hoặc a chia b, nếu tồn tại số nguyên c, sao . niệm vii Bài tập 1 Số thực 3 1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên phânsố 6 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Dãy số thực 19 2.1 Dãyđơnđiệu. 111 Lời giải 1 Số thực 121 1.1 Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên phânsố 121 1.2 Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2 Dãy số thực 145 2.1. ký hiệu và khái niệm R - tập các số thực R + - tập các số thực d-ơng Z - tập các số nguyên N - tập các số nguyên d-ơng hay các số tự nhiên Q - tập các số hữu tỷ (a, b) - khoảng mở có hai