Kết thức biệt thức và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên, Năm 2014 i Lời nói đầu Trong đời sống, khoa học kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng, luôn luôn xuất hiện các phương trình, hệ phương trình. Việc nghiên cứu và giải tường minh chúng là một công việc có từ xa xưa và vẫn phát triển mạnh mẽ cho đến nay. Một trong những công cụ được nghiên cứu trong lĩnh vực này là kết thức. Thuật ngữ RESULTANT (kết thức) được giới thiệu bởi Bézout trong "Histoire de I’Academie de Paris." Sau đó, Karl Fink cũng đã đưa ra khái niệm này trong "Geschichte der Elementar-Mathematik 1764" hay Salmon trong "Modern Higher Algebra 1859." Ngày nay kết thức đã có mặt trong nhiều lĩnh vực của toán học và xa hơn là trong vật lý học. Trong chương trình bậc đại học, kết thức xuất hiện trong giáo trình Đại số sơ cấp, nhưng mới chỉ làm việc với hai đa thức một biến và một vài ứng dụng. Luận văn này được viết với mục đích chính là đi sâu vào khái niệm kết thức. Mở rộng từ trường hợp một biến thành nhiều biến. Hơn nữa, luận văn chỉ rõ việc áp dụng kết thức vào giải hệ phương trình đại số. Nội dung của luận văn được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị, những kết quả có liên quan đến các phần sau. Các kiến thức này là quen thuộc và có thể tìm trong nhiều tài liệu, tuy nhiên để tiện cho việc theo dõi luận văn tôi vẫn trình bày lại. Nội dung chính của chương này là việc xây dựng vành đa thức một biến, vành đa thức nhiều biến trên một vành giao hoán có đơn ii vị cho trước, vành Noether và chứng minh các định lý quan trọng Định lí cơ bản của Hilbert. Chương 2 và chương 3 là nội dung chính của luận văn. Trong đó chương 2 tập trung xây dựng khái niệm kết thức và biệt thức. xây dựng khái niệm kết thức cho hai đa thức một biến, hai đa thức thuần nhất hai biến và cuối cùng là trường hợp n biến. Biểu diễn kết thức qua nghiệm và phép khử ẩn. Nội dung chính còn lại chứng minh mối liên hệ giữa kết thức và hệ phương trình đa thức . Trong phần này chứng minh định lý quan trọng, định lý Bézout về số giao điểm của các siêu mặt. Từ đó trình bày một số ứng dụng của kết thức trong giải hệ phương trình, tìm giao điểm cũng như biện luận số giao điểm của hai đồ thị. Định lý 3.3.1 là kết quả quan trọng nhất mà phần này trình bày. Nội dung của định lý mở ra cho chúng một phương pháp giải hệ phương trình đa thức. Giả thiết rằng chúng ta giải được mọi phương trình đa thức một biến, khi đó mọi hệ phương trình đa thức đều giải được. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn này. iii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Phó giáo sư Tiến sĩ Đàm Văn Nhỉ. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc về sự tận tâm và nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư, tiến sĩ đang công tác tại Viện toán học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, trường Đại học sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức để nâng cao trình độ của mình. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới tất cả các thầy, cô. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội , Ban giám hiệu, các tổ chức Đoàn thể, tổ Toán trường THPT Trương Định Hà Nội cùng bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014 Tác giả Hoàng Thị Hoàn iv Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1 Vành đa thức và nghiệm đa thức . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Khái niệm vành đa thức một biến . . . . . . . . . 1 1.1.2 Nghiệm đơn và nghiệm bội . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Vành đa thức nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Vành Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 KẾT THỨC VÀ BIỆT THỨC 9 2.1 Kết thức và phép khử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Đặc biệt hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Khái niệm kết thức và biệt thức . . . . . . . . . . 9 2.1.3 Biểu diễn kết thức qua nghiệm . . . . . . . . . . 16 2.1.4 Phép khử ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.5 Phép biến đổi Tschirnhaus . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Kết thức của hệ các dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Kết thức của hai dạng hai ẩn . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Kết thức của một hệ các dạng hai ẩn . . . . . . . 31 2.2.3 U-Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 v 3 ỨNG DỤNG 42 3.1 Khử ẩn khi giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.1 Hệ phương trình đa thức hai ẩn . . . . . . . . . . 42 3.1.2 Tọa độ giao điểm giữa hai đồ thị . . . . . . . . . 46 3.2 Giải hệ bằng u-kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Giải hệ phương trình bằng kết thức . . . . . . . . . . . . 51 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Phần này tập trung vào việc trình bày cách xây dựng vành đa thức một biến, nhiều biến; chứng minh hai kết quả quan trọng: Nếu R là vành nhân tử hóa (tương ứng Noether) thì vành đa thức một biến, nhiều biến cũng là vành nhân tử hóa (tương ứng Noether). 1.1 Vành đa thức và nghiệm đa thức 1.1.1 Khái niệm vành đa thức một biến Giả sử R là vành giao hoán với đơn vị 1. Ký hiệu P ⊂ R N là tập tất cả các dãy f = (a 0 , a 1 , . . . , a n , 0, 0, . . .) với các a i ∈ R và chỉ có một số hữu hạn thành phần khác 0, còn lại tất cả bằng 0. Vậy phần tử thuộc P hoặc có dạng (0, . . . , 0, 0, . . .) hoặc (a 0 , . . . , a n , 0, 0, . . .) với thành phần cuối cùng a n = 0. Ta đưa phép toán vào P để biến P thành một vành. Với f = (a 0 , . . . , a n , 0, . . .), g = (b 0 , . . . , b m , 0, . . .) ∈ P, định nghĩa: f = g khi và chỉ khi a i = b i , i = 0, 1, 2, . . . f + g = (a 0 + b 0 , a 1 + b 1 , . . . , a k + b k , . . . , 0, . . .) f.g = (a 0 b 0 , a 1 b 0 + a 0 b 1 , a 2 b 0 + a 1 b 1 + a 0 b 2 , . . . , 0, . . .). Bổ đề 1.1.1. Tập (P, +, .) là một vành giao hoán với đơn vị (1, 0, 0, . . .) 2 và ánh xạ φ : R → (P, +, .), a → (a, 0, 0, 0, . . .), là một đơn cấu. Đặt x = x 1 = (0, 1, 0, 0, . . .) và quy ước x 0 = (1, 0, 0, . . .). Ta biểu diễn x 0 = (1, 0, 0, . . .) x = (0, 1, 0, 0, . . .) x 2 = (0, 0, 1, 0, . . .) x 3 = (0, 0, 0, 1, . . .) ··· = ··· f = (a 0 , a 1 , . . . , a n , 0, 0, . . .) = (a 0 , 0, 0, . . .) + (0, a 1 , 0, . . .) + ···+ (0, 0, 0, . . . , 0, a n , 0, . . .) = (a 0 , 0, . . .)x 0 + (a 1 , 0, . . .)x + ···+ (a n , 0, 0, . . .)x n . Nếu đồng nhất a ∈ R với ảnh φ(a) = (a, 0, 0, . . .), x 0 = (1, 0, 0, . . .) = φ(1) ta có biểu diễn f = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ··· + a n x n . Lúc này vành (P, +, .) được ký hiệu qua R[x] và ta có R[x] = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ··· + a n x n | a i ∈ R} =  n  i=0 a i x i | a i ∈ R  . Mỗi phần tử f ∈ R[x] được gọi là một đa thức của x với các hệ số a i thuộc vành R. Hệ số a n = 0 được gọi là hệ số cao nhất, còn hệ số a 0 được gọi là hệ số tự do của f; n được gọi là bậc của đa thức f và được ký hiệu deg f(x). Riêng đa thức 0 được quy định có bậc là −∞ hoặc −1. Vì tính chất đặc biệt của x, nên đôi khi ta gọi x là một biến trên R và đa thức f còn được viết qua f(x). Hơn nữa, x và a ∈ R là bình đẳng. Nếu f(x) = n  i=0 a i x i , g(x) = m  i=0 b i x i ∈ R[x] thì f(x) = g(x) khi và chỉ khi m = n, a i = b i với mọi 0  i  n f(x) + g(x) =  i=0 (a i + b i )x i , f(x)g(x) =  i=0 ( i  j=0 a i−j b j )x i . Ta có các kết quả sau đây: 3 Định lý 1.1.2. R[x] là một vành giao hoán. Với trường các số thực R, vành R[x] là một miền nguyên. Định lý 1.1.3. Với các đa thức f(x), g(x) ∈ R[x] và g(x) = 0 có hai đa thức duy nhất q(x), r(x) sao cho f(x) = q(x)g(x) + r(x) với deg r(x) < deg g(x). Chứng minh: Ta chứng minh tính duy nhất của q(x) và r(x) : Giả sử f(x) = g(x)q  (x)+r  (x), với deg r  (x) < deg g(x). Khi đó 0 = g(x)(q(x)− q  (x)) + r(x) −r  (x) hay g(x)(q(x) −q  (x)) = r  (x) −r(x). Vì deg[r  (x) − r(x)] < deg g(x) nên r(x) = r  (x) và q(x) = q  (x). Tiếp theo, ta chỉ ra sự tồn tại của biểu diễn: Nếu deg g(x) > deg f(x) thì f(x) = 0.g(x) + f(x). Nếu deg f(x)  deg g(x) thì ta dễ dàng chọn được một đa thức h(x) sao cho f 1 (x) = f(x) − g(x)h(x) thỏa mãn deg f 1 (x) < deg f(x). Nếu deg f 1 < deg g thì ta đã có q(x) = h(x) và r(x) = f 1 (x). Nếu deg f 1 (x)  deg g(x) thì lặp lại quá trinh vừa rồi. Sau một số hữu hạn lần ta sẽ có được q(x) và r(x). 1.1.2 Nghiệm đơn và nghiệm bội Giả sử trường K là trường con của trường K ∗ . Với α ∈ K ∗ và đa thức f(x) = n  i=0 a i x i ∈ K[x]. Biểu thức f(α) = n  i=0 a i α i ∈ K ∗ được gọi là giá trị của f(x) tại α trong K ∗ . Nếu f(α) = 0 thì α được gọi là một nghiệm của f(x) trong K ∗ . Giả sử số nguyên m  1. Phần tử α ∈ K ∗ được gọi là một nghiệm bội m của f(x) trong K ∗ nếu f(x) chia hết cho (x −α) m và f(x) không chia hết cho (x − α) m+1 trong K ∗ [x]. Khi m = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn. Định lý 1.1.4. Đa thức f(x) ∈ K[x] bậc n  1. Khi đó có kết quả: (i) Nếu α ∈ K là nghiệm của f(x) thì f(x) = (x −α)g(x) với đa thức g(x) ∈ K[x]. [...]... i1 =0 in =0 Khi đó, ta nói rằng, ta đã đặc biệt hóa đa thức f để được đa thức f ∗ Đa thức f ∗ được gọi là đặc biệt hóa của đa thức f bởi phép thế xi qua bi ∈ K với i = 1, 2, , r Phép đặc biệt hóa có các tính chất: (f + g)∗ = f ∗ + g ∗ , (f g)∗ = f ∗ g∗, (af )∗ = af ∗ 2.1.2 Khái niệm kết thức và biệt thức Kết thức của hai đa thức được biết đến và được ứng dụng mạnh mẽ trong đại số máy tính Nó đặc... dừng hay R không là vành Noether Từ mâu thuẫn này ta có R[x] là vành Noether (3) được suy ra từ (2) Hệ quả 1.3.3 Cho R là một vành Noether và iđêan I thuộc R Khi đó vành thương R/I cũng là vành Noether Chứng minh: Vì ánh xạ φ : R → R/I, a → a + i, là một toàn cấu nên R/I cũng là một vành Nother theo Định lý 1.3.2 9 Chương 2 KẾT THỨC VÀ BIỆT THỨC 2.1 2.1.1 Kết thức và phép khử Đặc biệt hóa Trong mục... hai đa thức fa và gb Khi đó có hai đa thức α(x), β(x) ∈ K[x] để α(x)fa + β(x)gb = Res(fa , gb ) Chứng minh: Đa thức fa và gb có được qua đặc biệt hóa hai đa thức fu và gv tương ứng Từ Định lý 2.1.1, tồn tại hai đa thức α(x), β(x) ∈ K[x] để α(x)fa + β(x)gb = Res(fa , gb ) qua đặc biệt hóa Hệ quả 2.1.4 Cho đa thức fa và gb Hai đa thức fa và gb có nghiệm chung trong một mở rộng K ∗ của K khi và chỉ... cơ sở] Vành đa thức một biến R[x] trên vành R cũng là một vành Noether (3) Vành đa thức n biến R[x1 , , xn ] trên vành R cũng là một vành Noether 8 Chứng minh: (1) Giả sử b là một iđêan của vành S Khi đó φ−1 (b) là một iđêan trong vành R Vì R là vành Noether, nên φ−1 (b) là iđêan hữu hạn sinh Chẳng hạn φ−1 (b) = (a1 , , as ) Vậy b = φ(a1 ), , φ(as ) là iđêan hữu hạn sinh Do đó S là vành Noether... kiện cần và đủ để f (x) = x2 + ax + 1 và g(x) = px + q có nghiệm chung Bài giải: Hai đa thức f (x) và g(x) có nghiệm chung khi và chỉ khi kết thức Res(f, g) = 0 Vậy f (x) và g(x) có nghiệm chung khi và chỉ khi 1 a 1 0 = p q 0 = p2 + q 2 − apq hay p2 + q 2 = apq 0 p q Ví dụ 2.1.7 Xác định điều kiện cần và đủ để f (x) = x2 + ax + b và g(x) = x2 + px + q có nghiệm chung Bài giải: Hai đa thức f (x) và g(x)... zs ] i=1 Vận dụng bổ đề này ta chỉ ra công thức biểu diễn kết thức qua zi và tj m Định lý 2.1.10 Giả sử fu = u0 n và gv = v0 (x − zi ) = u0 xm + u1 xm−1 + · · · + um i=1 (x − tj ) = v0 xn + v1 xn−1 + · · · + vn Khi đó ta có đồng nhất j=1 m thức Res(fu , gv ) = un v0 0 m n (zi − tj ) i=1 j=1 Chứng minh: Theo tính chất của kết thức, Res(fu , gv ) là đa thức thuần nhất bậc n của các ui và bậc m của... và g(x) có nghiệm chung khi và chỉ khi kết thức Res(f, g) = 0 Vậy f (x) và g(x) có nghiệm chung khi và chỉ khi 1 a b 0 0 1 a b 0= = (b − q)2 + (a − p)(aq − bp) 1 p q 0 0 1 p q Ví dụ 2.1.8 Xác định giá trị của a để hai phương trình x3 − ax + 2 = 0 và x2 + ax + 2 = 0 có nghiệm chung trong C Chứng minh: Hai phương trình đã cho có nghiệm chung khi và chỉ khi 16 kết thức tương ứng của chúng bằng 0 hay 1... hai đa thức fa = a0 xm + a1 xm−1 + · · · + am và gb = b0 xn + b1 xn−1 + · · · + bn thuộc K[x] Hai đa thức này có nghiệm chung trong một mở rộng thích hợp của K khi và chỉ khi Res(fa , gb ) = 0 và a0 = 0 hoặc b0 = 0 Chứng minh: Suy ra từ Hệ quả 2.1.11 20 Hệ quả 2.1.14 Với ba đa thức f1 , f2 và g thuộc K[x] có đồng nhất thức Res(f1 f2 , g) = Res(f1 , g) Res(f2 , g) Chứng minh: Giả sử các αi và βj là... , xn ] là một đa thức đối xứng khác 0 Thế thì có một và chỉ một đa thức h(x1 , x2 , , xn ) ∈ A[x1 , x2 , , xn ] sao cho f (x1 , x2 , , xn ) = h(δ1 , δ2 , , δn ) trong đó δ1 , δ2 , , δn là các đa thức đối xứng cơ bản 1.3 Vành Noether Lớp vành Noether là một trong những lớp vành rất quan trọng, nó gắn liền với hình học đại số Trong mục này chúng ta chỉ nhắc lại một số kết quả cơ bản dùng... q(y, z) = 0 phương trình đa thức r(x, y) = 0 Chứng minh: Thật vậy, coi hai đa thức P (z) = p(x, z) và Q(z) = q(y, z) như là hai đa thức của một biến z, còn x và y được coi như là những hằng số (x, y, z) thỏa mãn hệ khi và chỉ khi P (z) và Q(z) có nghiệm chung Do đó r(x, y) = Res(P, Q) = 0 Mệnh đề sau chỉ ra rằng, có thể giải hệ phương trình đa thức hai ẩn qua phương trình đa thức một ẩn Mệnh đề này còn . HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, Năm 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HOÀN KẾT THỨC - BIỆT THỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên. khái niệm kết thức và biệt thức. xây dựng khái niệm kết thức cho hai đa thức một biến, hai đa thức thuần nhất hai biến và cuối cùng là trường hợp n biến. Biểu diễn kết thức qua nghiệm và phép khử. cũng là một vành Nother theo Định lý 1.3.2. 9 Chương 2 KẾT THỨC VÀ BIỆT THỨC 2.1 Kết thức và phép khử 2.1.1 Đặc biệt hóa Trong mục này chúng ta định nghĩa khái niệm đặc biệt hóa đa thức. Giả sử