Kết thúc và ứng dụng trong bài toán phân loại và sắp xếp các đường cong conic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN QUANG TRUNG KẾT THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN PHÂN LOẠI SẮP XẾP CÁC ĐƯỜNG CONIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN QUANG TRUNG KẾT THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN PHÂN LOẠI SẮP XẾP CÁC ĐƯỜNG CONIC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHÓ ĐỨC TÀI Hà Nội - Năm 2014 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đường cong đại số 1.1.1 Đường cong affine 1.1.2 Đường cong xạ ảnh 1.2 Kết thức, biệt thức 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Biệt thức 1.3 Định lý Bézout 1.4 Đối ngẫu P Các đường conic với cấu hình điểm - đường thẳng 2.1 Một số định nghĩa ví dụ 2.2 Cấu hình năm điểm 2.3 Cấu hình bốn điểm đườ 2.4 Cấu hình ba điểm hai đường 2.5 Cấu hình p điểm (p < 3) − p Các đường conic với cấu hình điểm - đường thẳng - đường conic 3.1 Mặt Veronese 3.2 Phép nổ mặt Veronese 3.3 Vành Chow 3.4 Cấu hình p điểm, l đường thẳng Kết luận Lời nói đầu Điểm, đường thẳng đường conic đối tượng mặt phẳng Bài toán cổ điển Jakob Steiner đưa vào năm 1848 : "Trong mặt phẳng cho năm đường conic, có đường conic tiếp xúc với tất năm đường conic cho" Một tốn tổng qt hơn: "Có đường conic mặt phẳng qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường conic" Các vấn đề yêu cầu mặt số lượng đối tượng hình học có chung tính chất định, hình học đại số gọi vấn đề đếm Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề đếm liên quan đến đường conic mặt phẳng Luận văn đọc hiểu trình bày lại tốn dựa theo tài liệu tham khảo [1] Các kết trình bày kỹ thuật khơng phải mới, chúng tơi cố gắng trình bày cách chi tiết để hiểu vấn đề cổ điển hình học đại số, cụ thể chúng tơi dùng đến kết thức, biệt thức, định lý Bézout, vành Chow Trong luận văn này, sử dụng phần mềm Maple, cụ thể dùng tính kết thức, biệt thức c s Grăobner a nhiu vớ d minh bổ sung chi tiết chứng minh không trình bày [1] Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trình bày số kiến thức Hình học đại số mà sử dụng chương sau Chương 2: Trên cở sở lý thuyết kết thức, biệt thức, số giao đối ngẫu mặt phẳng xạ ạnh, trả lời câu hỏi "Có đường conic mặt phẳng qua p điểm tiếp xúc với − p đường thẳng" Chương 3: Trong chương nghiên cứu sâu vấn đề đếm siêu mặt, từ đưa kết qua tổng quát cho trường hợp "Có đường conic mặt phẳng qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường conic" Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới TS Phó Đức Tài - Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN Thầy tận tình hướng dẫn tơi liên tục thời gian học viên cao học, để tơi hồn thành luận văn có thêm hiểu biết Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy - cô Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN có ý kiến đóng góp quý báu, giúp đỡ tận tình, tơi xin cảm ơn tới tất quý Phòng, Ban, Trung tâm Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN giúp tơi hồn thiện thủ tục suốt thời gian theo học trường Hà Nội, năm 2014 Tác giả Trần Quang Trung Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày lại kiến thức đường cong đại số, kết thức, biệt thức, định lí Bézout, đối ngẫu P Tài liệu tham khảo [4] [5] 1.1 Đường cong đại số Trong phần phát biểu định nghĩa trường K tổng quát 1.1.1 Đường cong affine Giả sử P (x, y) đa thức hai biến, khác số, với hệ số thuộc K Ta nói P (x, y) khơng có thành phần bội khơng tồn khai triển P (x, y) = (Q(x, y)) R(x, y), Q(x, y), R(x, y) đa thức Q(x, y) khác số Định nghĩa 1.1 (Đường cong affine) Giả sử P (x, y) đa thức hai biến, khác số, với hệ số thuộc K khơng có thành phần bội Khi đường cong affine K định nghĩa P (x, y) C = {(x, y) ∈ K : P (x, y) = 0} Bậc d đường cong C định nghĩa P (x, y) bậc đa thức P Định nghĩa 1.2 Một điểm (a, b) ∈ C gọi điểm kỳ dị C ∂P ∂x (a, b) = = ∂P ∂y (a, b) Nếu C điểm kì dị C gọi trơn Định nghĩa 1.3 Một đường cong C định nghĩa đa thức P (x, y) gọi bất khả qui P bất khả qui, tức P có nhân tử số vơ hướng nhân với 1.1.2 Đường cong xạ ảnh Định nghĩa 1.4 (Không gian xạ ảnh) Tập hợp không gian chiều không gian vectơ K n+1 gọi không gian xạ ảnh n− chiều, ký n hiệu KP Khi n = ta có đường thẳng xạ ảnh KP n = ta có mặt phẳng xạ n ảnh KP Không gian xạ ảnh thực ký hiệu RP , không gian xạ ảnh phức n ký hiệu P Định nghĩa 1.5 (Đường cong xạ ảnh) Giả sử P (x, y, z) đa thức ba biến, khác số, với hệ số K Khi định nghĩa P (x, y, z) đường cong xạ ảnh ˜ C Bậc đường cong xạ ảnh C Định nghĩa 1.6 Điểm [a, b, c] đường cong xạ ảnh C KP đa thức P (x, y, z) gọi điểm kì dị ˜ Nếu C khơng có điểm kì dị C gọi trơn Nhận xét 1.1 Đường cong affine đường cong xạ ảnh khác nhau, chúng có quan hệ gắn bó với Từ đường cong affine C có ˜ thể thu đường cong xạ ảnh cách thêm điểm vô cùng, thật C ta đồng KP với tập mở U = {[x, y, z] ∈ KP : z = 0}, 2 KP thông qua đồng phôi φ : U → K xác định x y φ([x, y, z]) = ( z , z ), với ánh xạ ngược (x, y) [x, y, 1] Phần bù U KP đường thẳng xạ ảnh định nghĩa z = mà ta đồng với KP qua ánh xạ [x, y, 0] (x, y) 2 Như KP hợp rời K KP mà xem vô 1.2 1.2.1 Kết thức, biệt thức Kết thức Định nghĩa 1.7 Giả sử K trường tùy ý, cho hai đa thức f, g phần tử K[x] có bậc tương ứng n, m: n n−1 f (x) = a0x + a1x m m−1 = b0x + b1x + + an, a0 = 0, n > 0, g(x) + + bm, b0 = 0, m > Khi kết thức f g theo biến x, ký hiệu Resx(f, g) định thức ma trận (n + m) × (n + m) : Chương Các đường conic với cấu hình điểm đường thẳng - đường conic Trong chương trả lời câu hỏi: "Có đường conic qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường conic cho trước" Trong trường hợp năm đường conic, theo định lí Bézout tổng quát có = 7776 điểm giao siêu mặt, có 7776 đường conic tiếp xúc với năm đường conic cho trước Tuy nhiên, định lí Bézout khơng áp dụng trường hợp năm siêu mặt khơng cắt hồnh Thật vậy, với đường conic cặp đường thẳng trùng tiếp xúc với đường conic năm đường conic nằm tập hợp đường conic tiếp xúc với năm đường conic cho trước, năm siêu mặt khơng cắt hồnh Chúng ta sử dụng phương pháp đối ngẫu P để loại bỏ đường conic cặp đường thẳng trùng Vậy nên, dùng phương pháp khác để trả lời, phương pháp nổ (blowup) Tài liệu tham khảo [1] 3.1 Mặt Veronese Đầu tiên, xem xét tập hợp cặp đường thẳng trùng Định nghĩa 3.1 Tập hợp tất điểm P tương ứng với cặp đường thẳng trùng gọi mặt Veronese, kí hiệu V Cụ thể, biết cặp đường thẳng trùng có đa thức định nghĩa bình phương đa thức bậc (AX + BY + CZ) = 41 2 A X + 2ABXY + B Y 2 + 2ACXZ + 2BCY Z + C Z thẳng P [A, B, C] 2 [A , 2AB, B , 2AC, 2BC, C ] Khi mặt Veronese ảnh ψ P Rõ ràng ψ cấu xạ, Veronese mặt(đa tạp hai chiều) P Để nghiên cứu sâu mặt Veronese, cần xác định phương trình mặt Veronese Mệnh đề sau cho xác định phương trình mặt Veronese 2 Mệnh đề 3.1 Trong P cho đường conic có phương trình aX + bXY + cY + dXZ + eY Z + cZ = Khi đó, điều kiện cần đủ để đường conic cặp đường thẳng trùng là: 2 b − 4ac = 0, 4bf − 2de = 0, d − 4af = 0, 4cd − 2be = 0, e − 4cf = 0, 4ae − 2bd = Chứng minh Để đường conic cho cặp đường thẳng trùng nhau, đa thức định nghĩa đường conic phải bình phương đa thức tuyến tính Do vậy, ta có: aX + bXY + cY 2 + dXZ + eY Z + cZ = (AX + BY + CZ) Biến đổi đồng hệ số, ta thu sáu phương trình: 2 a = A , b = 2AB, c = B , d = 2AC, e = 2BC, f = C Khử biến A, B, C ta thu đẳng thức cần chứng minh: 2 b − 4ac = 0, 4bf − 2de = 0, d − 4af = 0, 4cd − 2be = 0, e − 4cf = 0, 4ae − 2bd = Như sáu phương trình (3.1) sáu phương trình mơ tả mặt Veronese 42 5 Nhận xét 3.1 Xét ánh xạ từ P vào P mà đường conic biến thành đối ngẫu Sử dụng phương trình (2.2) định nghĩa phương trình đối ngẫu đường conic, ánh xạ xác định sau 5 δ :P →P [a, b, c, d, e, f ] Sáu đa thức định nghĩa δ (3.2) sáu phương trình (3.1) Vì δ không xác định điểm điểm nằm mặt Veronese Như vậy, δ khơng cấu xạ tồn P Nhưng δ ánh xạ hữu tỉ, định nghĩa đa thức Mà ánh xạ hữu tỉ luôn thác triển thành cấu xạ cách mở rộng miền không gian Trong trường hợp chúng ta, tách mặt Veronese khỏi P thay đa tạp bốn chiều Cụ thể trình bày định nghĩa 3.2 Phép nổ mặt Veronese 5 Định nghĩa 3.2 Phép nổ P dọc theo mặt Veronese, kí hiệu BlvP , 5 bao đóng đồ thị δ P × P Chúng ta xác định phương trình Blv P Đồ thị δ tập hợp 5 điểm ([a, b, c, d, e, f ], [r, s, t, u, v, w]) P × P thỏa mãn 2 λr = e − 4cf, λs = 4bf − 2de, λt = d − 4af λu = 4cd − 2be, λv = 4ae − 2bd, λw = b − 4ac Nhân chéo phương trình loại bỏ λ, thu 15 phương trình: 2 2 r(4bf − 2de) = s(e − 4cf ), s(d − 4af ) = t(4bf − 2de), t(4cd − 2be) = u(d − 4af ) r(d − 2 4af ) = t(e − 4cf ), s(4ae − 2bd) = v(4bf − 2de), t(b − 4ac) = w(d − 4af ) r(4cd − 2be) 2 = u(e − 4cf ), s(b − 4ac) = w(4bf − 2de), t(4ae − 2bd) = v(d − 4af ) r(4ae − 2bd) = 2 v(e − 4cf ), s(4cd − 2be) = u(4bf − 2de), u(4ae − 2bd) = v(4cd − 2be) r(b − 4ac) = 2 w(e − 4cf ), u(b − 4ac) = w(4cd − 2be), v(b − 4ac) = w(4ae − 2bd) 43 Hơn nữa, phương trình (3.1) định nghĩa mặt Veronese độc lập đại số, Blv P thỏa mãn thêm phương trình: bu + 2ew + 2cv = 0, 4ct − 4f w + bs − du = 0, ds + 2et + 2f v = 0, es + 2dr + 2f u = 0, bv + 2dw + 2au = 0, dv + 2bt + 2as = 0, 4ar − 4ct + du − ev = 0, eu + 2br + 2cs = 5 Bây ta so sánh BlvP với P 5 Mệnh đề 3.2 Nếu loại bỏ mặt Veronese, P BlvP đẳng cấu với 5 Chứng minh Xét ánh xạ π : BlvP → P xác định phép chiếu lên thừa số thứ Giả sử điểm [a, b, c, d, e, f ] P khơng thuộc mặt Veronese, khơng đại diện cho đường conic cặp đường thẳng trùng Do ánh xạ đối ngẫu xác định điểm Khi 15 phương trình −1 đầu BlvP hoàn toàn xác định [r, s, t, u, v, w], π ([r, s, t, u, v, w]) điểm Từ ta có điều phải chứng minh Nhận xét 3.2 Nếu [a, b, c, d, e, f ] nằm mặt Veronese Khi 15 phương 5 trình đầu BlvP rút gọn = 0, cịn phương trình cuối BlvP cho biết điểm tương ứng hình chiếu Thật vậy, xét ví dụ đường conic cặp đường thẳng trùng có phương trình Z = 0, tương ứng điểm thuộc mặt Veronese P [0, 0, 1, 0, 0, 0] Nếu giả sử a = b = d = e = f = phương trình BlvP , thấy phương trình rút gọn cịn lại phương trình: 2cv = 0, 2cs = 0, 4ct = Giả sử c = 0, v = s = t = Do điểm hình chiếu BlvP ánh xạ π có dạng ([0, 0, 1, 0, 0, 0], [r, 0, 0, u, 0, w]) Các điểm xác định P Tương tự thấy với cặp đường thẳng conic khác Như chọn điểm tương ứng mặt Veronese P thay 44 5 toàn P BlvP Tổng quát hơn, việc xây dựng Blv P 5 tách mặt Veronese khỏi P thay siêu mặt BlvP 5 Định nghĩa 3.3 Siêu mặt BlvP thay mặt Veronese P gọi ước cá biệt (exceptional divisor) BlvP , kí hiệu E Nhận xét 3.3 Việc thay mặt Veronese cần để loại bỏ giao điểm thừa Thật vậy, xét siêu mặtY ∈ P chứa mặt Veronese −1 Khi đó, π (Y ) −1 −1 BlvP \E giống Nếu lấy bao đóng π (Y \V ), π (Y \V ) siêu mặt BlvP giao với E, không chứa E Định nghĩa 3.4 Cho siêu mặt Y ∈ P chứa mặt Veronese Khi đó, siêu mặt π−1(Y \V ) gọi phần chặt chẽ (strict transform)của Y , kí hiệu Y Từ tìm giao phần chặt chẽ siêu mặt P Bởi trình xây dựng nên phần chặt chẽ loại bỏ thành phần E, loại bỏ giao điểm thừa dọc theo mặt Veronese 3.3 Vành Chow Chúng ta sử dụng định lí Bézout tổng qt để đếm số giao điểm 5 siêu mặt P , khó để áp dụng BlvP Thật vậy, BlvP bậc siêu mặt phức tạp Do để đếm số giao điểm sử dụng đến vành Chow BlvP Dưới trình bày khái niệm vành Chow dựa theo tài liệu [3] Định nghĩa 3.5 (Tương đương hữu tỉ) Giả sử Y đa tạp xạ ảnh Một chu trình Y tổ hợp hữu hạn Z − tuyến tính đa tạp Y Hai chu trình a1V1 + a2V2 + · · ·+ anVn b1W1 + b2W2 + · · ·+ bnWn với > 0, bi > gọi tương đương hữu tỉ tồn đa tạp trơn Z ⊂ P × Y , cho {([s, t], x) ∈ Z, [s, t] = [0, 1]} hợp Vi {([s, t], x) ∈ Z, [s, t] = [1, 1]} hợp bi Wi với i 45 Ví dụ 3.1 (i) Xét đa tạp Z = {[s, t] × [x0, x1, x2] : x0x2 − x 1 =0 tx0 + (s − t)x2 = 0} ⊂ P ×P Khi [s, t] = [0, 1], x0x2 − x = x0 − x2 = Trong xạ ảnh hai phương trình phương trình parabola y = x đường thẳng y = 1, hai đường giao hai điểm phân biệt Khi [s, t] = [1, 1], x0x2 −x = x0 = Trong xạ ảnh hai phương trình phương trình parabola y = x đường thẳng y = 0, hai đường có có điểm giao Chúng ta thấy điểm không tương đương với hai điểm Nhưng trường hợp hai đa tạp tương đương hữu tỉ, điểm giao parabola y = x đường thẳng y = điểm kép (ii) Bất kì hai đường thẳng P tương đương hữu tỉ Thật vậy, cho f1 g1 hai phương trình hai mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng l1, f2 g2 hai phương trình hai mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng l2 Với x ∈ P thỏa mãn f1(x) = g1(x) = phương trình l1, f2(x) = g2(x) = phương trình l2 Xét đa tạp P × P định nghĩa Z = {([s, t], x) : sf1(x) + (t − s)f2(x) = sg1(x) + (t − s)g2(x) = 0} ⊂ P × P Khi [s, t] = [0, 1], f1 g1 bị triệt tiêu Khi giao hai đa tạp đường thẳng l2 Khi [s, t] = [1, 1], f2 g2 bị triệt tiêu Khi giao hai đa tạp đường thẳng l1 Vì hai đường thẳng l1 l2 tương đương hữu tỉ Sau phát biểu định nghĩa vành Chow ∗ Định nghĩa 3.6 Cho Y đa tạp xạ ảnh Vành Chow A (Y ) định nghĩa tập hợp tất lớp tương đương chu trình Các chu trình có dạng a1[V1] + a2[V2] + · · · + an[Vn] a1, a2, , an ∈ Z Phép cộng hai phần tử đơn vành Chow định nghĩa bởi: [V ] + [W ] = [V ∪ W ], trường hợp tổng quát tổng tổ 46 hợp số hạng có dạng ai[Vi] Phép nhân lớp hai phần tử đơn vành Chow định nghĩa bởi: [V ].[W ] = [V ∩ W ], với hai đa tạp định nghĩa sau (a1[V1] + a2[V2] + · · · + an[Vn])(b1[V1] + b2[V2] + · · · + bn[Vn]) = aibj [Vi].[Vj ] i,j n Chú ý 3.1 Trong P lấy tích lớp hai đa tạp đơn, coi hai đa n tạp cắt hồnh Thật vậy, cho hai đa tạp Y1 Y2 P Khi có ′ ′ thể chọn đa tạp Y1 ∈ [Y1] cho Y1 Y2 cắt hoành, ′ [Y1].[Y2] = [Y1 ].[Y2] Nhận xét 3.4 Trong P xét trường hợp đa tạp siêu mặt Khi ta có số nhận xét sau ′ ′ (i) Giả sử H H hai siêu phẳng P , H ∪ H hợp hai siêu phẳng, hợp hai siêu phẳng trường hợp đặc biệt siêu mặt có bậc 2, tất siêu mặt bậc hai có tính chất giao, với siêu mặt có bậc hai thuộc vào lớp 2[H] Tương tự, siêu mặt bậc d thuộc P thuộc vào lớp d[H] C (ii) Trong P , giao năm siêu phẳng trường hợp tổng quát điểm, [H] lớp điểm Giao năm siêu mặt có bậc trường hợp tổng quát tương ứng vành Chow phép nhân d1[H].d2[H].d3[H].d4[H].d5[H] = d1.d2.d3.d4.d5.[H] , đại diện cho d1.d2.d3.d4.d5 điểm 5 Sau mô tả vành Chow BlvP P dọc theo mặt Veronese Đầu tiên, xét siêu phẳng H P khơng chứa mặt −1 Veronese Vì H khơng chứa mặt Veronese, H π (H) Chúng ta thấy lớp H hàm sinh vành Chow BlvP Nếu Y −1 siêu mặt bậc d, [π (Y )] = d[H] Siêu mặt cá biệt không giống d[H] với d 5 bất kì, đại diện lớp [E] vành Chow Vì Blv P P đẳng cấu loại bỏ mặt Veronese, nên phần tử sinh vành Chow Do vậy, có siêu mặt BlvP đại diện lớp m[H] + n[E] Như có khẳng định sau 47 Mệnh đề 3.3 Giả sử Y siêu mặt bậc d P Khi [Y ] = d[H] − n[E] Để xác định n phương trình ứng với đa tạp Y khác nhau, cần định nghĩa sau Định nghĩa 3.7 Chúng ta nói hàm F triệt tiêu cấp n dọc theo đa tạp Z F tất đạo hàm riêng cấp nhỏ n triệt tiêu khắp nơi Z Ví dụ 3.2 F = (2x − y) triệt tiêu cấp dọc theo đường thẳng L : 2x − y = 0, ′ ′ ′′ F, Fx = 4(2x − y), Fy = −2(2x − y) triệt tiêu dọc theo L, Fx = không triệt tiêu L Nhận xét 3.5 Nếu Y siêu mặt P , định nghĩa −1 phương trình đa thức PY = Nghịch ảnh [π (Y )] định nghĩa phương trình PY ◦ π = Số tự nhiên n phương trình (3.3) cấp triệt tiêu hàm PY ◦ π = dọc theo E Nó cấp triệt tiêu PY dọc theo V = π(E) Vì ta có khẳng định sau Mệnh đề 3.4 Giả sử Y siêu mặt P xác định phương trình PY = Khi số tự nhiên n phương trình (3.3) số tự nhiên lớn thỏa mãn PY tất đạo hàm riêng cấp nhỏ n thuộc I(V ) (ở I(V ) iđêan hàm số triệt tiêu mặt Veronese; sinh phương trình (3.1)) Bây xác định n phương trình (3.3) ứng với trường hợp đa tạp Y điểm, đường thẳng, đường conic Trường hợp 1: Y điểm p Khi có nhiều đường conic cặp đường thẳng trùng không qua điểm p, siêu phẳng Hp đường conic qua p không chứa mặt Veronese Do đó, [Hp] = [H] Như trường hợp n = Trường hợp 2: Y đường thẳng l Khi siêu mặt Hl đường 48 conic tiếp xúc với đường thẳng l có bậc Chúng ta thấy Hl định nghĩa phương trình (2.2), hay: 2 2 F (Hl) = (e − 4cf )A + (4bf − 2de)AB + (d − 4af )B + (4cd − 2be)AC 2 +(4ae − 2bd)BC + (b − 4ac)C 2 Mà e − 4cf , 4bf − 2de, d − 4af , 4cd − 2be, 4ae − 2bd, b − 4ac không ′ mặt Veronese Hl triệt tiêu dọc theo V Ta lại có Fa = −4f B , ′ Fa = ⇒ f = mà mặt Veronese d − 4af = ⇒ d = 0, tương tự ta có a = b = c = e = điều khơng thể xảy a, b, c, d, e, f không đồng ′ không, Fa khơng triệt tiêu dọc theo V Vì vậy, có [Hl] = 2[H] − [E] Trường hợp 3: Y đường conic Q Ta biết rằng, phép biến đổi xạ ảnh đưa đường conic không suy biến dạng X −Y Z = 0, khơng tính tổng qt ta giả sử phương trình Q X −YZ =0 2 Giả sử đường conic P có phương trình aX + bXY + cY + dXZ + eY Z + f Z Như trình bày Chương đường cong xạ ảnh coi hợp rời đường cong affin điểm vơ cùng, khơng tính tổng qt xét Z = Theo ví dụ (2.2), ta có: 3 2 2 2 F (HQ) = 16 a cf − a b f − a cd + 64 a cef + a b d − 12 a b ef − 80 a bcdf − 128 2 2 2 2 2 2 a c f − 12 a cd e+ 96 a ce f + 18 ab df + 144 ab cf + ab d e− 12 ab e f + 2 2 2 3 18 abcd − 160 abcdef + 144 ac d f − 256 ac ef − 12 acd e + 64 ace f − 27 b f − b d + 2 2 2 2 2 18 b def − b cd f + 144 b cef + b d e − b e f − 192 bc df + 18 bcd e− 80 bcde f + 3 2 2 2 256 c f − 27 c d + 144 c d ef − 128 c e f − cd e + 16 ce f Dùng tính toỏn c s Grăobner Maple, ta cú: 2 2 2 F (HQ) = (b d − 12 cad − ced − 12 b af + 96 ca f − 80 bf cd− b f e+ 64 ceaf + 2 2 2 16 ce f − 64 c f )(e −4 cf )+ (2 b ad− 12 ca d+ 18 bcd + 18 b f − 160 acbf + 128 c f d)(ed− 2 3 2 2 2 bf )+ (b a − ca −4 b d+ 18 cabd−27 c d + 34 cb f − 12 c af )(d −4 af )+ (−16 a bf − 2 2 2 128 bf c)(2 cd − be)+ b af (bd− ae)+ (−16 ea f + b f − 52 f ca)(b − ac) 49 Như HQ triệt tiêu dọc theo V Ta lại có ′ 2 2 Fa (HQ) = (−12 cd − 12 b f + 192 caf + 64 cef ) (e − cf )+ (2 b d− 24 cad − 160 2 2 bf c) (ed−2 bf )+ (2 b a−12 ca + 18 cbd+96 c f ) (d −4 af )− 68 abf (2 cd−be)+ 22 2 2 b f )(bd− ae)+ (−4 a f − 48 eaf − 224 f c)(b − ac) ′ ′ ′ ′ Do Fa (HQ) triệt tiêu dọc theo V Tương tự ta có Fb , Fc , Fd , ′ ′ Fe , Ff triệt tiêu dọc theo V ′′ 2 Nhưng Fa (HQ) = 192 cf (e − cf )− 24 cd(ed − bf )+ (2 b − 24 ac) (d − af )− 2 2 (2 b a − 12 ca + 18 cbd − 12 c f )f − 32 bf (2 cd − be)− 24 b f e − 32 f e (b − ac)− 2 2 (−32 eaf − 52 f c)c = 512 c f + 32 ca f − 128 ceaf = 32 cf (16 cf + a − ae) ′ Do Fa (HQ) = ⇒ cf (16 cf + a − ae) = Nếu c f không tất hệ số a, b, c, d, e, f không Nếu 16 cf + a − ae = 2 ⇒ 16 e + a − ae = ⇒ a = e = 0, tất hệ số khác ′′ khơng Do Fa (HQ) không triệt tiêu dọc theo V Vậy HQ triệt tiêu dọc theo V đạo hàm riêng cấp triệt tiêu dọc theo V đạo hàm riêng cấp không triệt tiêu, phương trình định nghĩa HQ có bậc ⇒ [HQ] = 6[H] − 2[E] Từ ta có khẳng định sau Mệnh đề 3.5 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho điểm p, đường thẳng l đường conic không suy biến Q Khi ta có khẳng định sau: (i) [Hp] = [H] (ii) (iii) 3.4 [Hl] = 2[H] − [E] [HQ] = 6[H] − 2[E] Cấu hình p điểm, l đường thẳng 5−p−l đường conic Chúng ta sử dụng mệnh đề (3.5) để trả lời câu hỏi : "Có đường conic qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường conic cho trước" Để dễ dàng việc tính tốn thay phải viết tất cả, quan tâm tới số hạng [Hp] [Hl] Trong Chương trả lời câu hỏi có đường conic qua p điểm tiếp xúc với − p đường 50 thẳng, sử dụng kiến thức vành Chow Blv P mà nghiên cứu mục (3.3), ta có: 5 [Hp] = [Hl] = 1, 4 [Hp] [Hl] = [Hp][Hl] = 2, 2 [Hp] [Hl] = [Hp] [Hl] = Từ mệnh đề (3.5), có [HQ] = 6[H] − 2[E] = 2[Hp] + 2[Hl] Sau đây, trả lời câu hỏi đặt phần đầu chương Trường hợp Q = Ta có số đường conic tiếp xúc với năm đường conic là: [HQ] = (2[Hp] + 2[Hl]) 5 = 32(Hp] + 5Hp] [Hl] + 10[Hp] [Hl] +10[Hp] [Hl] + 5[Hp][Hl] + [Hl] ) = 32(1 + 5.2 + 10.4 + 10.4 + 5.2 + 1) = 3264 Trường hợp Q = 4, p = Ta có số đường conic qua điểm tiếp xúc với bốn đường conic là: 4 [HQ] [Hp] = (2[Hp] + 2[Hl]) [Hp] = 16([Hp] + 4[Hp] [Hl] + 6[Hp] [Hl] +4[Hp] [Hl] + [Hl] [Hp]) = 16(1 + 4.2 + 6.4 + 4.4 + 2) = 816 Tương tự, ta có 816 đường conic tiếp xúc với đường thẳng tiếp xúc với bốn đường conic 51 Trường hợp Q = 3, p = 1, l = Ta có: 3 [HQ] [Hp][Hl] = (2[Hp] + 2[Hl]) [Hp][Hl] 2 = 8([Hp] [Hl] + 3[Hp] [Hl] + 3[Hp] [Hl] + [Hp][Hl] = 8(2 + 3.4 + 3.4 + 2) = 224 Trường hợp Q = 2, p = 2, l = Ta có: 2 2 [HQ] [Hp] [Hl] = (2[Hp] + 2[Hl]) [Hp] [Hl] 2 = 4([Hp] [Hl] + 2[Hp] [Hl] + [Hp] [Hl] = 4(2 + 2.4 + 4) = 56 Một cách tương tự, có câu trả lời cho trường hợp lại Tổng kết lại, ta có định lí sau Định lí 3.1 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho p điểm, l đường thẳng − p − l đường conic Khi số đường conic qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường conic trường hợp tổng quát thể bảng đây: l\p Bảng 3.1: Số đường conic qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với 5−p−l đường conic Giải thích hàng, cột bảng (3.1) Hàng số điểm, cột 52 số đường thẳng, lại số đường conic qua số điểm thuộc cột đó, tiếp xúc với số đường thẳng nằm hàng tiếp xúc với 5− số điểm − số đường thẳng( tương ứng với cột dòng ) đường conic Ví dụ: 224 nằm cột dịng hiểu số đường conic qua điểm, tiếp xúc với đường thẳng tiếp xúc với − − = đường conic 53 Kết luận Như phần mở đầu giới thiệu, luận văn trình bày việc đếm số đường conic qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường thẳng Định lí Bézout tổng quát hữu ích cho việc đếm đó, Chương chúng tơi trình bày chứng minh đầy đủ định lí Bézout trường hợp đếm số giao điểm hai siêu mặt, với vốn kiến thức chưa đủ nhiều tơi phát biểu định lí Bézout tổng qt Chương mà chưa đưa chứng minh Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tính chất giao đường conic Một câu hỏi đặt cho chúng tơi liệu thay đường conic đường bậc hay khơng Đó điều phải suy nghĩ thời gian tới Rất mong có góp ý, bảo bạn bè quý thầy cô 54 Tài liệu tham khảo [1] A Bashelor, A Ksir, and W Traves, Enumerative Algebraic Geometry of Conics, The Amer Math Monthly, vol 115, p 701-728 (2008) [2] E Brieskorn, H Knăorrer, Plane Algebraic Curves, Birkhăauser Verlag, Boston (1986) [3] D Eisenbud, J Harris, 3264 & All That, sách chưa xuất (2014) [4] W Fulton, Algebraic Curves, Springer (2008) [5] F Kirwan, Complex Algebraic Curves, Cambridge university press, Cam-bridge, 1992 [6] K Smith et al, An Invitation to Algebraic Geometry, Universitext, Springer (2000) [7] Ngơ Việt Trung, Nhập mơn đại số giao hốn Hình học đại số, NXB KHTN&CN, 2012 55 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN QUANG TRUNG KẾT THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN PHÂN LOẠI SẮP XẾP CÁC ĐƯỜNG CONIC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC... đầu Điểm, đường thẳng đường conic đối tượng mặt phẳng Bài toán cổ điển Jakob Steiner đưa vào năm 1848 : "Trong mặt phẳng cho năm đường conic, có đường conic tiếp xúc với tất năm đường conic cho"... kết đường thẳng ˘2 P với điểm P điểm P2 nằm đường thẳng L P2, p˘ đường thẳng P L 23 ˘2 ˘ chứa điểm Chương Các đường conic với cấu hình điểm đường thẳng Trong chương nghiên cứu xem có đường conic