Kết thúc và ứng dụng trong bài toán phân loại và sắp xếp các đường cong Conic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN QUANG TRUNG KẾT THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN PHÂN LOẠI SẮP XẾP CÁC ĐƯỜNG CONIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN QUANG TRUNG KẾT THỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN PHÂN LOẠI SẮP XẾP CÁC ĐƯỜNG CONIC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS PHÓ ĐỨC TÀI Hà Nội - Năm 2014 Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Đường cong đại số 1.1.1 Đường cong affine 1.1.2 Đường cong xạ ảnh Kết thức, biệt thức 1.2.1 Kết thức 1.2.2 Các tính chất kết thức 1.2.3 Biệt thức 15 1.3 Định lý Bézout 16 1.4 Đối ngẫu P2 22 Các đường conic với cấu hình điểm - đường thẳng 24 2.1 Một số định nghĩa ví dụ 24 2.2 Cấu hình năm điểm 27 2.3 Cấu hình bốn điểm đường thẳng 30 2.4 Cấu hình ba điểm hai đường thẳng 31 2.5 Cấu hình p điểm (p < 3) − p đường thẳng 34 Các đường conic với cấu hình điểm - đường thẳng - đường conic 41 3.1 Mặt Veronese 41 3.2 Phép nổ mặt Veronese 43 3.3 Vành Chow 45 3.4 Cấu hình p điểm, l đường thẳng − p − l đường conic 50 Kết luận 54 Lời nói đầu Điểm, đường thẳng đường conic đối tượng mặt phẳng Bài toán cổ điển Jakob Steiner đưa vào năm 1848 : "Trong mặt phẳng cho năm đường conic, có đường conic tiếp xúc với tất năm đường conic cho" Một toán tổng quát hơn: "Có đường conic mặt phẳng qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường conic" Các vấn đề yêu cầu mặt số lượng đối tượng hình học có chung tính chất định, hình học đại số gọi vấn đề đếm Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề đếm liên quan đến đường conic mặt phẳng Luận văn đọc hiểu trình bày lại toán dựa theo tài liệu tham khảo [1] Các kết trình bày kỹ thuật mới, cố gắng trình bày cách chi tiết để hiểu vấn đề cổ điển hình học đại số, cụ thể dùng đến kết thức, biệt thức, định lý Bézout, vành Chow Trong luận văn này, sử dụng phần mềm Maple, cụ thể dùng tớnh kt thc, bit thc v c s Grăobner a nhiều ví dụ minh họa bổ sung chi tiết chứng minh khơng trình bày [1] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trình bày số kiến thức Hình học đại số mà sử dụng chương sau Chương 2: Trên cở sở lý thuyết kết thức, biệt thức, số giao đối ngẫu mặt phẳng xạ ạnh, trả lời câu hỏi "Có đường conic mặt phẳng qua p điểm tiếp xúc với − p đường thẳng" Chương 3: Trong chương nghiên cứu sâu vấn đề đếm siêu mặt, từ đưa kết qua tổng quát cho trường hợp "Có đường conic mặt phẳng qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường conic" Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Phó Đức Tài - Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN Thầy tận tình hướng dẫn tơi liên tục thời gian tơi học viên cao học, để tơi hồn thành luận văn có thêm hiểu biết Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy - Khoa Tốn - Cơ - Tin học Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN có ý kiến đóng góp q báu, giúp đỡ tận tình, tơi xin cảm ơn tới tất quý Phòng, Ban, Trung tâm Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN giúp tơi hồn thiện thủ tục suốt thời gian theo học trường Hà Nội, năm 2014 Tác giả Trần Quang Trung Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày lại kiến thức đường cong đại số, kết thức, biệt thức, định lí Bézout, đối ngẫu P2 Tài liệu tham khảo [4] [5] 1.1 Đường cong đại số Trong phần phát biểu định nghĩa trường K tổng quát 1.1.1 Đường cong affine Giả sử P (x, y) đa thức hai biến, khác số, với hệ số thuộc K Ta nói P (x, y) khơng có thành phần bội không tồn khai triển P (x, y) = (Q(x, y))2 R(x, y), Q(x, y), R(x, y) đa thức Q(x, y) khác số Định nghĩa 1.1 (Đường cong affine) Giả sử P (x, y) đa thức hai biến, khác số, với hệ số thuộc K thành phần bội Khi đường cong affine K2 định nghĩa P (x, y) C = {(x, y) ∈ K2 : P (x, y) = 0} Bậc d đường cong C định nghĩa P (x, y) bậc đa thức P Định nghĩa 1.2 Một điểm (a, b) ∈ C gọi điểm kỳ dị C ∂P ∂P (a, b) = = (a, b) ∂x ∂y Nếu C khơng có điểm kì dị C gọi trơn Định nghĩa 1.3 Một đường cong C định nghĩa đa thức P (x, y) gọi bất khả qui P bất khả qui, tức P có nhân tử số vơ hướng nhân với 1.1.2 Đường cong xạ ảnh Định nghĩa 1.4 (Không gian xạ ảnh) Tập hợp không gian chiều không gian vectơ Kn+1 gọi không gian xạ ảnh n− chiều, ký hiệu KPn Khi n = ta có đường thẳng xạ ảnh KP1 n = ta có mặt phẳng xạ ảnh KP2 Khơng gian xạ ảnh thực ký hiệu RPn , không gian xạ ảnh phức ký hiệu Pn Định nghĩa 1.5 (Đường cong xạ ảnh) Giả sử P (x, y, z) đa thức ba biến, khác số, với hệ số K Khi đường cong xạ ảnh C˜ định nghĩa P (x, y, z) C˜ = {[x, y, z] ∈ KP2 : P (x, y, z) = 0} Bậc đường cong xạ ảnh C˜ định nghĩa P (x, y, z) bậc đa thức P Định nghĩa 1.6 Điểm [a, b, c] đường cong xạ ảnh C˜ KP2 định nghĩa đa thức P (x, y, z) gọi điểm kì dị ∂P ∂P ∂P (a, b, c) = (a, b, c) = (a, b, c) = ∂x ∂y ∂z Nếu C˜ khơng có điểm kì dị C˜ gọi trơn Nhận xét 1.1 Đường cong affine đường cong xạ ảnh khác nhau, chúng có quan hệ gắn bó với Từ đường cong affine C thu đường cong xạ ảnh C˜ cách thêm điểm vơ cùng, ta đồng KP2 với tập mở U = {[x, y, z] ∈ KP2 : z = 0}, KP2 thông qua đồng phôi φ : U → K2 xác định x y φ([x, y, z]) = ( , ), z z với ánh xạ ngược (x, y) → [x, y, 1] Phần bù U KP2 đường thẳng xạ ảnh định nghĩa z = mà ta đồng với KP1 qua ánh xạ [x, y, 0] → (x, y) Như KP2 hợp rời K2 KP1 mà xem vô 1.2 1.2.1 Kết thức, biệt thức Kết thức Định nghĩa 1.7 Giả sử K trường tùy ý, cho hai đa thức f, g phần tử K[x] có bậc tương ứng n, m: f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + + an , a0 = 0, n > 0, g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + + bm , b0 = 0, m > Khi kết thức f g theo biến x, ký hiệu Resx (f, g) định thức ma trận (n + m) × (n + m) :  a0  a1 a0   a2 a1   a   Resx (f, g) = det an  an      m a0 a1 a2 b0 b1 b0 b2 b1 bm b2 bm b0 an b1 b2 bm n cột cột chỗ trống lấp đầy số không         ,       Nếu P (x, y, z) = a0 (y, z)xn + a1 (y, z)xn−1 + + an (y, z), Q(x, y, z) = b0 (y, z)xm + b1 (y, z)xm−1 + + bm (y, z), đa thức ba biến x, y, z kết thức Resx (P, Q) định nghĩa giống Resx (f, g) thay (y, z) bi (y, z) cho bj với ≤ i ≤ n ≤ j ≤ m Chú ý Resx (P, Q) đa thức với biến y z , cho y = b z = c nhận giá trị kết thức hai đa thức P (x, b, c) Q(x, b, c) theo x, với giả thiết a0 (y, z) b0 (y, z) khác khơng Ví dụ 1.1 (i) Cho f (x) = 2x3 − 3x2 + 1,  g(x) = x2 − 2x + 5,  0 −3 −2    = 400 −3 −2 Resx (f, g) = det    0 −2 0 (ii) Khi đa thức f g có chứa biến x y , mà cần phải tính kết thức f g theo biến x, xem f g đa thức theo biến x, có hệ số phụ thuộc vào biến y tính kết thức f g theo định nghĩa Chẳng hạn, với f = xy + g = x2 + 3xy + y − 1, Resx (f, g) = det y y 3y y−1 = y − 7y + Chương Các đường conic với cấu hình điểm - đường thẳng - đường conic Trong chương trả lời câu hỏi: "Có đường conic qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường conic cho trước" Trong trường hợp năm đường conic, theo định lí Bézout tổng qt có 65 = 7776 điểm giao siêu mặt, có 7776 đường conic tiếp xúc với năm đường conic cho trước Tuy nhiên, định lí Bézout khơng áp dụng trường hợp năm siêu mặt khơng cắt hồnh Thật vậy, với đường conic cặp đường thẳng trùng tiếp xúc với đường conic năm đường conic nằm tập hợp đường conic tiếp xúc với năm đường conic cho trước, năm siêu mặt khơng cắt hồnh Chúng ta khơng thể sử dụng phương pháp đối ngẫu P2 để loại bỏ đường conic cặp đường thẳng trùng Vậy nên, dùng phương pháp khác để trả lời, phương pháp nổ (blowup) Tài liệu tham khảo [1] 3.1 Mặt Veronese Đầu tiên, xem xét tập hợp cặp đường thẳng trùng Định nghĩa 3.1 Tập hợp tất điểm P5 tương ứng với cặp đường thẳng trùng gọi mặt Veronese, kí hiệu V Cụ thể, biết cặp đường thẳng trùng có đa thức định nghĩa bình phương đa thức bậc (AX + BY + CZ)2 = 41 A2 X + 2ABXY + B Y + 2ACXZ + 2BCY Z + C Z = Hơn nữa, đường ˘ Xét ánh xạ thẳng P2 tham số điểm P ˘ → P5 ψ:P [A, B, C] → [A2 , 2AB, B , 2AC, 2BC, C 2] Khi mặt Veronese ảnh ψ P5 Rõ ràng ψ cấu xạ, Veronese mặt(đa tạp hai chiều) P5 Để nghiên cứu sâu mặt Veronese, cần xác định phương trình mặt Veronese Mệnh đề sau cho xác định phương trình mặt Veronese Mệnh đề 3.1 Trong P2 cho đường conic có phương trình aX + bXY + cY + dXZ + eY Z + cZ = Khi đó, điều kiện cần đủ để đường conic cặp đường thẳng trùng là: b2 − 4ac = 0, 4bf − 2de = 0, d2 − 4af = 0, 4cd − 2be = 0, e2 − 4cf = 0, 4ae − 2bd = (3.1) Chứng minh Để đường conic cho cặp đường thẳng trùng nhau, đa thức định nghĩa đường conic phải bình phương đa thức tuyến tính Do vậy, ta có: aX + bXY + cY + dXZ + eY Z + cZ = (AX + BY + CZ)2 Biến đổi đồng hệ số, ta thu sáu phương trình: a = A2 , b = 2AB, c = B , d = 2AC, e = 2BC, f = C Khử biến A, B, C ta thu đẳng thức cần chứng minh: b2 − 4ac = 0, 4bf − 2de = 0, d2 − 4af = 0, 4cd − 2be = 0, e2 − 4cf = 0, 4ae − 2bd = Như sáu phương trình (3.1) sáu phương trình mơ tả mặt Veronese 42 Nhận xét 3.1 Xét ánh xạ từ P5 vào P5 mà đường conic biến thành đối ngẫu Sử dụng phương trình (2.2) định nghĩa phương trình đối ngẫu đường conic, ánh xạ xác định sau δ : P5 → P5 [a, b, c, d, e, f ] → [e2 − 4cf, 4bf − 2de, d2 − 4af, 4cd − 2be, 4ae − 2bd, b2 − 4ac] (3.2) Sáu đa thức định nghĩa δ (3.2) sáu phương trình (3.1) Vì δ không xác định điểm điểm nằm mặt Veronese Như vậy, δ khơng cấu xạ tồn P5 Nhưng δ ánh xạ hữu tỉ, định nghĩa đa thức Mà ánh xạ hữu tỉ luôn thác triển thành cấu xạ cách mở rộng miền không gian Trong trường hợp chúng ta, tách mặt Veronese khỏi P5 thay đa tạp bốn chiều Cụ thể trình bày định nghĩa 3.2 Phép nổ mặt Veronese Định nghĩa 3.2 Phép nổ P5 dọc theo mặt Veronese, kí hiệu Blv P5 , bao đóng đồ thị δ P5 × P5 Chúng ta xác định phương trình Blv P5 Đồ thị δ tập hợp điểm ([a, b, c, d, e, f ], [r, s, t, u, v, w]) P5 × P5 thỏa mãn λr = e2 − 4cf, λs = 4bf − 2de, λt = d2 − 4af λu = 4cd − 2be, λv = 4ae − 2bd, λw = b2 − 4ac Nhân chéo phương trình loại bỏ λ, thu 15 phương trình: r(4bf − 2de) = s(e2 − 4cf ), s(d2 − 4af ) = t(4bf − 2de), t(4cd − 2be) = u(d2 − 4af ) r(d2 − 4af ) = t(e2 − 4cf ), s(4ae − 2bd) = v(4bf − 2de), t(b2 − 4ac) = w(d2 − 4af ) r(4cd − 2be) = u(e2 − 4cf ), s(b2 − 4ac) = w(4bf − 2de), t(4ae − 2bd) = v(d2 − 4af ) r(4ae − 2bd) = v(e2 − 4cf ), s(4cd − 2be) = u(4bf − 2de), u(4ae − 2bd) = v(4cd − 2be) r(b2 − 4ac) = w(e2 − 4cf ), u(b2 − 4ac) = w(4cd − 2be), v(b2 − 4ac) = w(4ae − 2bd) 43 Hơn nữa, phương trình (3.1) định nghĩa mặt Veronese độc lập đại số, Blv P5 thỏa mãn thêm phương trình: bu + 2ew + 2cv = 0, 4ct − 4f w + bs − du = 0, ds + 2et + 2f v = 0, es + 2dr + 2f u = 0, bv + 2dw + 2au = 0, dv + 2bt + 2as = 0, 4ar − 4ct + du − ev = 0, eu + 2br + 2cs = Bây ta so sánh Blv P5 với P5 Mệnh đề 3.2 Nếu loại bỏ mặt Veronese, P5 Blv P5 đẳng cấu với Chứng minh Xét ánh xạ π : Blv P5 → P5 xác định phép chiếu lên thừa số thứ Giả sử điểm [a, b, c, d, e, f ] P5 không thuộc mặt Veronese, khơng đại diện cho đường conic cặp đường thẳng trùng Do ánh xạ đối ngẫu xác định điểm Khi 15 phương trình đầu Blv P5 hoàn toàn xác định [r, s, t, u, v, w], π −1 ([r, s, t, u, v, w]) điểm Từ ta có điều phải chứng minh Nhận xét 3.2 Nếu [a, b, c, d, e, f ] nằm mặt Veronese Khi 15 phương trình đầu Blv P5 rút gọn = 0, cịn phương trình cuối Blv P5 cho biết điểm tương ứng hình chiếu Thật vậy, xét ví dụ đường conic cặp đường thẳng trùng có phương trình Z = 0, tương ứng điểm thuộc mặt Veronese P5 [0, 0, 1, 0, 0, 0] Nếu giả sử a = b = d = e = f = phương trình Blv P5 , thấy phương trình rút gọn cịn lại phương trình: 2cv = 0, 2cs = 0, 4ct = Giả sử c = 0, v = s = t = Do điểm hình chiếu Blv P5 ánh xạ π có dạng ([0, 0, 1, 0, 0, 0], [r, 0, 0, u, 0, w]) Các điểm xác định P2 Blv P5 , π −1 ([a, b, c, d, e, f ]) ∼ = P2 Tương tự thấy với cặp đường thẳng conic khác Như chọn điểm tương ứng mặt Veronese P5 thay 44 toàn P2 Blv P5 Tổng quát hơn, việc xây dựng Blv P5 tách mặt Veronese khỏi P5 thay siêu mặt Blv P5 Định nghĩa 3.3 Siêu mặt Blv P5 thay mặt Veronese P5 gọi ước cá biệt(exceptional divisor) Blv P5 , kí hiệu E Nhận xét 3.3 Việc thay mặt Veronese cần để loại bỏ giao điểm thừa Thật vậy, xét siêu mặtY ∈ P5 chứa mặt Veronese Khi đó, π −1 (Y ) ∈ Blv P5 chứa E Do vậy, Y \V ∼ = π −1 (Y \V ), P5 \V Blv P5 \E giống Nếu lấy bao đóng π −1 (Y \V ), π −1 (Y \V ) siêu mặt Blv P5 giao với E , không chứa E Định nghĩa 3.4 Cho siêu mặt Y ∈ P5 chứa mặt Veronese Khi đó, siêu mặt π −1 (Y \V ) gọi phần chặt chẽ (strict transform)của Y , kí hiệu Y Từ tìm giao phần chặt chẽ siêu mặt P5 Bởi trình xây dựng nên phần chặt chẽ loại bỏ thành phần E , loại bỏ giao điểm thừa dọc theo mặt Veronese 3.3 Vành Chow Chúng ta sử dụng định lí Bézout tổng quát để đếm số giao điểm siêu mặt P5 , khó để áp dụng Blv P5 Thật vậy, Blv P5 bậc siêu mặt phức tạp Do để đếm số giao điểm sử dụng đến vành Chow Blv P5 Dưới trình bày khái niệm vành Chow dựa theo tài liệu [3] Định nghĩa 3.5 (Tương đương hữu tỉ) Giả sử Y đa tạp xạ ảnh Một chu trình Y tổ hợp hữu hạn Z − tuyến tính đa tạp Y Hai chu trình a1 V1 + a2 V2 + · · ·+ an Vn b1 W1 + b2 W2 + · · ·+ bn Wn với > 0, bi > gọi tương đương hữu tỉ tồn đa tạp trơn Z ⊂ P1 × Y , cho {([s, t], x) ∈ Z, [s, t] = [0, 1]} hợp Vi {([s, t], x) ∈ Z, [s, t] = [1, 1]} hợp bi Wi với i 45 Ví dụ 3.1 (i) Xét đa tạp Z = {[s, t] × [x0 , x1 , x2 ] : x0 x2 − x21 = tx0 + (s − t)x2 = 0} ⊂ P1 × P3 Khi [s, t] = [0, 1], x0 x2 − x21 = x0 − x2 = Trong xạ ảnh hai phương trình phương trình parabola y = x2 đường thẳng y = 1, hai đường giao hai điểm phân biệt Khi [s, t] = [1, 1], x0 x2 −x21 = x0 = Trong xạ ảnh hai phương trình phương trình parabola y = x2 đường thẳng y = 0, hai đường có có điểm giao Chúng ta thấy điểm khơng tương đương với hai điểm Nhưng trường hợp hai đa tạp tương đương hữu tỉ, điểm giao parabola y = x2 đường thẳng y = điểm kép (ii) Bất kì hai đường thẳng P3 tương đương hữu tỉ Thật vậy, cho f1 g1 hai phương trình hai mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng l1 , f2 g2 hai phương trình hai mặt phẳng phân biệt chứa đường thẳng l2 Với x ∈ P3 thỏa mãn f1 (x) = g1 (x) = phương trình l1 , f2 (x) = g2 (x) = phương trình l2 Xét đa tạp P1 × P3 định nghĩa Z = {([s, t], x) : sf1 (x) + (t − s)f2 (x) = sg1 (x) + (t − s)g2 (x) = 0} ⊂ P1 × P3 Khi [s, t] = [0, 1], f1 g1 bị triệt tiêu Khi giao hai đa tạp đường thẳng l2 Khi [s, t] = [1, 1], f2 g2 bị triệt tiêu Khi giao hai đa tạp đường thẳng l1 Vì hai đường thẳng l1 l2 tương đương hữu tỉ Sau phát biểu định nghĩa vành Chow Định nghĩa 3.6 Cho Y đa tạp xạ ảnh Vành Chow A∗ (Y ) định nghĩa tập hợp tất lớp tương đương chu trình Các chu trình có dạng a1 [V1 ] + a2 [V2 ] + · · · + an [Vn ] a1 , a2 , , an ∈ Z Phép cộng hai phần tử đơn vành Chow định nghĩa bởi: [V ] + [W ] = [V ∪ W ], trường hợp tổng quát tổng tổ 46 hợp số hạng có dạng [Vi ] Phép nhân lớp hai phần tử đơn vành Chow định nghĩa bởi: [V ].[W ] = [V ∩ W ], với hai đa tạp định nghĩa sau (a1 [V1 ] + a2 [V2 ] + · · · + an [Vn ])(b1 [V1 ] + b2 [V2 ] + · · · + bn [Vn ]) = bj [Vi ].[Vj ] i,j Chú ý 3.1 Trong Pn lấy tích lớp hai đa tạp đơn, coi hai đa tạp cắt hồnh Thật vậy, cho hai đa tạp Y1 Y2 Pn Khi chọn đa tạp Y1′ ∈ [Y1 ] cho Y1′ Y2 cắt hoành, [Y1 ].[Y2 ] = [Y1′ ].[Y2 ] Nhận xét 3.4 Trong P5 xét trường hợp đa tạp siêu mặt Khi ta có số nhận xét sau (i) Giả sử H H ′ hai siêu phẳng P5 , H ∪ H ′ hợp hai siêu phẳng, hợp hai siêu phẳng trường hợp đặc biệt siêu mặt có bậc 2, tất siêu mặt bậc hai có tính chất giao, với siêu mặt có bậc hai thuộc vào lớp 2[H] Tương tự, siêu mặt bậc d thuộc P5 thuộc vào lớp d[H] C (ii) Trong P5 , giao năm siêu phẳng trường hợp tổng quát điểm, [H]5 lớp điểm Giao năm siêu mặt có bậc trường hợp tổng quát tương ứng vành Chow phép nhân d1 [H].d2 [H].d3 [H].d4 [H].d5 [H] = d1 d2 d3 d4 d5 [H]5 , đại diện cho d1 d2 d3 d4 d5 điểm Sau mô tả vành Chow Blv P5 P5 dọc theo mặt Veronese Đầu tiên, xét siêu phẳng H P5 khơng chứa mặt Veronese Vì H không chứa mặt Veronese, H π −1 (H) Chúng ta thấy lớp H hàm sinh vành Chow Blv P5 Nếu Y siêu mặt bậc d, [π −1 (Y )] = d[H] Siêu mặt cá biệt không giống d[H] với d bất kì, đại diện lớp [E] vành Chow Vì Blv P5 P5 đẳng cấu loại bỏ mặt Veronese, nên phần tử sinh vành Chow Do vậy, có siêu mặt Blv P5 đại diện lớp m[H] + n[E] Như có khẳng định sau 47 Mệnh đề 3.3 Giả sử Y siêu mặt bậc d P5 Khi [Y ] = d[H] − n[E] (3.3) Để xác định n phương trình ứng với đa tạp Y khác nhau, cần định nghĩa sau Định nghĩa 3.7 Chúng ta nói hàm F triệt tiêu cấp n dọc theo đa tạp Z F tất đạo hàm riêng cấp nhỏ n triệt tiêu khắp nơi Z Ví dụ 3.2 F = (2x − y)2 triệt tiêu cấp dọc theo đường thẳng L : 2x − y = 0, F, Fx′ = 4(2x − y), Fy′ = −2(2x − y) triệt tiêu dọc theo L, Fx′′ = không triệt tiêu L Nhận xét 3.5 Nếu Y siêu mặt P5 , định nghĩa phương trình đa thức PY = Nghịch ảnh [π −1 (Y )] định nghĩa phương trình PY ◦ π = Số tự nhiên n phương trình (3.3) cấp triệt tiêu hàm PY ◦ π = dọc theo E Nó cấp triệt tiêu PY dọc theo V = π(E) Vì ta có khẳng định sau Mệnh đề 3.4 Giả sử Y siêu mặt P5 xác định phương trình PY = Khi số tự nhiên n phương trình (3.3) số tự nhiên lớn thỏa mãn PY tất đạo hàm riêng cấp nhỏ n thuộc I(V ) (ở I(V ) iđêan hàm số triệt tiêu mặt Veronese; sinh phương trình (3.1)) Bây xác định n phương trình (3.3) ứng với trường hợp đa tạp Y điểm, đường thẳng, đường conic Trường hợp 1: Y điểm p Khi có nhiều đường conic cặp đường thẳng trùng không qua điểm p, siêu phẳng Hp đường conic qua p không chứa mặt Veronese Do đó, [Hp ] = [H] Như trường hợp n = Trường hợp 2: Y đường thẳng l Khi siêu mặt Hl đường 48 conic tiếp xúc với đường thẳng l có bậc Chúng ta thấy Hl định nghĩa phương trình (2.2), hay: F (Hl ) = (e2 − 4cf )A2 + (4bf − 2de)AB + (d2 − 4af )B + (4cd − 2be)AC +(4ae − 2bd)BC + (b2 − 4ac)C Mà e2 − 4cf , 4bf − 2de, d2 − 4af , 4cd − 2be, 4ae − 2bd, b2 − 4ac không mặt Veronese Hl triệt tiêu dọc theo V Ta lại có Fa′ = −4f B , Fa′ = ⇒ f = mà mặt Veronese d2 − 4af = ⇒ d = 0, tương tự ta có a = b = c = e = điều khơng thể xảy a, b, c, d, e, f không đồng không, Fa′ không triệt tiêu dọc theo V Vì vậy, có [Hl ] = 2[H] − [E] Trường hợp 3: Y đường conic Q Ta biết rằng, phép biến đổi xạ ảnh đưa đường conic không suy biến dạng X −Y Z = 0, khơng tính tổng qt ta giả sử phương trình Q X − Y Z = Giả sử đường conic P2 có phương trình aX + bXY + cY + dXZ + eY Z + f Z Như trình bày Chương đường cong xạ ảnh coi hợp rời đường cong affin điểm vơ cùng, khơng tính tổng quát xét Z = Theo ví dụ (2.2), ta có: F (HQ ) = 16 a4 cf − a3 b2 f − a3 cd2 + 64 a3 cef + a2 b2 d2 − 12 a2 b2 ef − 80 a2 bcdf − 128 a2c2 f − 12 a2 cd2 e+ 96 a2 ce2 f + 18 ab3 df + 144 ab2 cf + ab2 d2 e− 12 ab2 e2 f + 18 abcd3 − 160 abcdef + 144 ac2 d2 f − 256 ac2 ef − 12 acd2 e2 + 64 ace3 f − 27 b4 f − b3 d3 + 18 b3 def − b2 cd2 f + 144 b2 cef + b2 d2 e2 − b2 e3 f − 192 bc2 df + 18 bcd3 e− 80 bcde2 f + 256 c3f − 27 c2 d4 + 144 c2 d2 ef − 128 c2e2 f − cd2e3 + 16 ce4 f Dựng tớnh toỏn c s Grăobner Maple, ta có: F (HQ ) = (b2 d2 − 12 cad2 − ced2 − 12 b2 af + 96 ca2 f − 80 bf cd− b2 f e+ 64 ceaf + 16 ce2 f − 64 c2 f )(e2 −4 cf )+ (2 b2 ad− 12 ca2 d+ 18 bcd2 + 18 b3 f − 160 acbf + 128 c2f d)(ed− bf )+ (b2 a2 − ca3 −4 b3 d+ 18 cabd−27 c2 d2 + 34 cb2 f − 12 c2 af )(d2 −4 af )+ (−16 a2 bf − 128 bf 2c)(2 cd − be)+ b2 af (bd− ae)+ (−16 ea2 f + b2 f − 52 f 2ca)(b2 − ac) 49 Như HQ triệt tiêu dọc theo V Ta lại có Fa′ (HQ ) = (−12 cd2 − 12 b2 f + 192 caf + 64 cef ) (e2 − cf )+ (2 b2 d− 24 cad − 160 bf c) (ed−2 bf )+ (2 b2 a−12 ca2 + 18 cbd+96 c2f ) (d2 −4 af )− 68 abf (2 cd−be)+ 22 b2 f )(bd− ae)+ (−4 a2 f − 48 eaf − 224 f 2c)(b2 − ac) Do Fa′ (HQ ) triệt tiêu dọc theo V Tương tự ta có Fb′ , Fc′, Fd′ , Fe′ , Ff′ triệt tiêu dọc theo V Nhưng Fa′′ (HQ ) = 192 cf (e2 − cf )− 24 cd(ed − bf )+ (2 b2 − 24 ac) (d2 − af )− (2 b2a − 12 ca2 + 18 cbd − 12 c2f )f − 32 bf (2 cd − be)− 24 b2 f e − 32 f e (b2 − ac)− (−32 eaf − 52 f 2c)c = 512 c2f + 32 ca2f − 128 ceaf = 32 cf (16 cf + a2 − ae) Do Fa′ (HQ ) = ⇒ cf (16 cf + a2 − ae) = Nếu c f khơng tất hệ số a, b, c, d, e, f không Nếu 16 cf + a2 − ae = ⇒ 16 e2 + a2 − ae = ⇒ a = e = 0, tất hệ số khác khơng Do Fa′′(HQ ) không triệt tiêu dọc theo V Vậy HQ triệt tiêu dọc theo V đạo hàm riêng cấp triệt tiêu dọc theo V đạo hàm riêng cấp không triệt tiêu, phương trình định nghĩa HQ có bậc ⇒ [HQ ] = 6[H] − 2[E] Từ ta có khẳng định sau Mệnh đề 3.5 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho điểm p, đường thẳng l đường conic khơng suy biến Q Khi ta có khẳng định sau: (i) [Hp ] = [H] (ii) [Hl ] = 2[H] − [E] (iii) [HQ ] = 6[H] − 2[E] 3.4 Cấu hình p điểm, l đường thẳng 5−p−l đường conic Chúng ta sử dụng mệnh đề (3.5) để trả lời câu hỏi : "Có đường conic qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường conic cho trước" Để dễ dàng việc tính tốn thay phải viết tất cả, quan tâm tới số hạng [Hp ] [Hl ] Trong Chương trả lời câu hỏi có đường conic qua p điểm tiếp xúc với − p đường 50 thẳng, sử dụng kiến thức vành Chow Blv P5 mà nghiên cứu mục (3.3), ta có: [Hp ]5 = [Hl ]5 = 1, [Hp ]4 [Hl ] = [Hp ][Hl ]4 = 2, [Hp ]3 [Hl ]2 = [Hp ]2 [Hl ]3 = Từ mệnh đề (3.5), có [HQ ] = 6[H] − 2[E] = 2[Hp ] + 2[Hl ] Sau đây, trả lời câu hỏi đặt phần đầu chương Trường hợp Q = Ta có số đường conic tiếp xúc với năm đường conic là: [HQ ]5 = (2[Hp ] + 2[Hl ])5 = 32(Hp ]5 + 5Hp ]4 [Hl ] + 10[Hp ]3 [Hl ]2 +10[Hp ]2 [Hl ]3 + 5[Hp ][Hl ]4 + [Hl ]5 ) = 32(1 + 5.2 + 10.4 + 10.4 + 5.2 + 1) = 3264 Trường hợp Q = 4, p = Ta có số đường conic qua điểm tiếp xúc với bốn đường conic là: [HQ ]4 [Hp ] = (2[Hp ] + 2[Hl ])4 [Hp ] = 16([Hp ]5 + 4[Hp ]4 [Hl ] + 6[Hp ]3 [Hl ]2 +4[Hp ]2 [Hl ]3 + [Hl ]4 [Hp ]) = 16(1 + 4.2 + 6.4 + 4.4 + 2) = 816 Tương tự, ta có 816 đường conic tiếp xúc với đường thẳng tiếp xúc với bốn đường conic 51 Trường hợp Q = 3, p = 1, l = Ta có: [HQ ]3 [Hp ][Hl ] = (2[Hp ] + 2[Hl ])3 [Hp ][Hl ] = 8([Hp ]4 [Hl ] + 3[Hp ]3 [Hl ]2 + 3[Hp ]2 [Hl ]3 + [Hp ][Hl ]4 = 8(2 + 3.4 + 3.4 + 2) = 224 Trường hợp Q = 2, p = 2, l = Ta có: [HQ ]2 [Hp ]2 [Hl ] = (2[Hp ] + 2[Hl ])2 [Hp ]2 [Hl ] = 4([Hp ]4 [Hl ] + 2[Hp ]3 [Hl ]2 + [Hp ]2 [Hl ]3 = 4(2 + 2.4 + 4) = 56 Một cách tương tự, có câu trả lời cho trường hợp cịn lại Tổng kết lại, ta có định lí sau Định lí 3.1 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho p điểm, l đường thẳng − p − l đường conic Khi số đường conic qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường conic trường hợp tổng quát thể bảng đây: l\p 3264 816 184 36 1 816 224 56 12 2 184 56 16 36 12 4 Bảng 3.1: Số đường conic qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với 5−p−l đường conic Giải thích hàng, cột bảng (3.1) Hàng số điểm, cột 52 số đường thẳng, lại số đường conic qua số điểm thuộc cột đó, tiếp xúc với số đường thẳng nằm hàng tiếp xúc với 5− số điểm − số đường thẳng( tương ứng với cột dịng ) đường conic Ví dụ: 224 nằm cột dòng hiểu số đường conic qua điểm, tiếp xúc với đường thẳng tiếp xúc với − − = đường conic 53 Kết luận Như phần mở đầu giới thiệu, luận văn trình bày việc đếm số đường conic qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng tiếp xúc với − p − l đường thẳng Định lí Bézout tổng quát hữu ích cho việc đếm đó, Chương chúng tơi trình bày chứng minh đầy đủ định lí Bézout trường hợp đếm số giao điểm hai siêu mặt, với vốn kiến thức cịn chưa đủ nhiều tơi phát biểu định lí Bézout tổng quát Chương mà chưa đưa chứng minh Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tính chất giao đường conic Một câu hỏi đặt cho liệu thay đường conic đường bậc hay khơng Đó điều tơi phải ln suy nghĩ thời gian tới Rất mong có góp ý, bảo bạn bè quý thầy cô 54 Tài liệu tham khảo [1] A Bashelor, A Ksir, and W Traves, Enumerative Algebraic Geometry of Conics, The Amer Math Monthly, vol 115, p 701-728 (2008) [2] E Brieskorn, H Knăorrer, Plane Algebraic Curves, Birkhăauser Verlag, Boston (1986) [3] D Eisenbud, J Harris, 3264 & All That, sách chưa xuất (2014) [4] W Fulton, Algebraic Curves, Springer (2008) [5] F Kirwan, Complex Algebraic Curves, Cambridge university press, Cambridge, 1992 [6] K Smith et al, An Invitation to Algebraic Geometry, Universitext, Springer (2000) [7] Ngô Việt Trung, Nhập mơn đại số giao hốn Hình học đại số, NXB KHTN&CN, 2012 55