bài tập hình học lớp 12

TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2010 Trn S Tựng Khi a din Trang 1 1. Hai ng thng song song a) nh ngha: abP ab ab ,() ỡ è ớ ầ=ặ ợ P b) Tớnh cht ã ()()() ()(),, ()() ()() PQR PQaabcủongqui PRbabc QRc ỡ ạạ ù ù ộ ầ= ị ớ ờ ầ= ở ù ầ= ù ợ PP ã ()() (),() () PQd dab PaQb dadb ab ỡ ầ= ù ộ ẫẫị ớ ờ ở ù ợ PP P ã , ab ab acbc ỡ ạ ị ớ ợ P PP 2. ng thng v mt phng song song a) nh ngha: d // (P) d ầ (P) = ặ b) Tớnh cht ã (),'() () ' dPdP dP dd ỡ ậè ị ớ ợ P P ã () (),()() dP da QdQPa ỡ ị ớ ẫầ= ợ P P ã ()() (),() PQd da PaQa ỡ ầ= ị ớ ợ P PP 3. Hai mt phng song song a) nh ngha: (P) // (Q) (P) ầ (Q) = ặ b) Tớnh cht ã (), ()() (),() Pab abMPQ aQbQ ỡ ẫ ù ầ=ị ớ ù ợ P PP ã ()() ()()()() ()() PQ PRPQ QR ỡ ạ ù ị ớ ù ợ PP P ã ()() ()() ()() QR PQaab PRb ỡ ù ầ=ị ớ ù ầ= ợ P P 4. Chng minh quan h song song a) Chng minh hai ng thng song song Cú th s dng 1 trong cỏc cỏch sau: ã Chng minh 2 ng thng ú ng phng, ri ỏp dng phng phỏp chng minh song song trong hỡnh hc phng (nh tớnh cht ng trung bỡnh, nh lớ Talột o, ) ã Chng minh 2 ng thng ú cựng song song vi ng thng th ba. ã p dng cỏc nh lớ v giao tuyn song song. b) Chng minh ng thng song song vi mt phng chng minh () dP P , ta chng minh d khụng nm trong (P) v song song vi mt ng thng d  no ú nm trong (P). c) Chng minh hai mt phng song song Chng minh mt phng ny cha hai ng thng ct nhau ln lt song song vi hai ng thng trong mt phng kia. CHNG 0 ễN TP HèNH HC KHễNG GIAN 11 I. QUAN H SONG SONG Khi a din Trn S Tựng Trang 2 1. Hai ng thng vuụng gúc a) nh ngha: a ^ b ả ( ) 0 ,90 ab = b) Tớnh cht ã Gi s u r l VTCP ca a, v r l VTCP ca b. Khi ú .0 abuv ^= rr . ã bc ab ac ỡ ÔÔ ị^ ớ ^ ợ 2. ng thng v mt phng vuụng gúc a) nh ngha: d ^ (P) d ^ a, " a è (P) b) Tớnh cht ã iu kin ng thng ^ mt phng: abPabO dP dadb ,(), () , ỡ èầ= ị^ ớ ^^ ợ ã ab Pb Pa () () ỡ ị^ ớ ^ ợ P ã ab ab aPbP(),() ỡ ạ ị ớ ^^ ợ P ã PQ aQ aP ()() () () ỡ ị^ ớ ^ ợ P ã PQ PQ PaQa ()() ()) (),() ỡ ạ ị( ớ ^^ ợ P ã aP ba bP () () ỡ ị^ ớ ^ ợ P ã aP aP abPb () ) ,() ỡ ậ ị( ớ ^^ ợ P ã Mt phng trung trc ca mt on thng l mt phng vuụng gúc vi on thng ti trung im ca nú. Mt phng trung trc ca on thng l tp hp cỏc im cỏch u hai u mỳt ca on thng ú. ã nh lớ ba ng vuụng gúc Cho (),() aPbP ^è, a l hỡnh chiu ca a trờn (P). Khi ú b ^ a b ^ a 3. Hai mt phng vuụng gúc a) nh ngha: (P) ^ (Q) ã ( ) 0 90 PQ(),()= b) Tớnh cht ã iu kin hai mt phng vuụng gúc vi nhau: () ()() () Pa PQ aQ ỡ ẫ ị^ ớ ^ ợ ã ()(),()() () (), PQPQc aQ aPac ỡ ^ầ= ị^ ớ è^ ợ ã ()() ()() ,() PQ APaP aAaQ ỡ ^ ù ẻịè ớ ù '^ ợ ã ()() ()()() ()() PQa PRaR QR ỡ ầ= ù ^ị^ ớ ù ^ ợ 4. Chng minh quan h vuụng gúc a) Chng minh hai ng thng vuụng gúc chng minh da ^ , ta cú th s dng 1 trong cỏc cỏch sau: ã Chng minh gúc gia a v d bng 90 0 . ã Chng minh 2 vect ch phng ca a v d vuụng gúc vi nhau. ã Chng minh db ^ m ba P . ã Chng minh d vuụng gúc vi (P) v (P) cha a. ã S dng nh lớ ba ng vuụng gúc. II. QUAN H VUễNG GểC Trần Sĩ Tùng Khối đa diện Trang 3 · Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …). b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: · Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P). · Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P). · Chứng minh d // a và a ^ (P). · Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q). · Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) và (R) ^ (P). c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau: · Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ^ (Q). · Chứng minh · ( ) 0 (),()90 PQ= 1. Góc a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b' Þ ¶ ( ) · ( ) ,',' abab = Chú ý: 0 0 £ ¶ ( ) ab , £ 90 0 b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng: · Nếu d ^ (P) thì · ( ) ,() dP = 90 0 . · Nếu () dP ^ thì · ( ) ,() dP = · ( ) ,' dd với d¢ là hình chiếu của d trên (P). Chú ý: 0 0 £ · ( ) ,() dP £ 90 0 c) Góc giữa hai mặt phẳng · ( ) ¶ ( ) () (),(), () aP PQab bQ ì ^ Þ= í ^ î · Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Î c, dựng (), (), aPac bQbc ì Ì^ í Ì^ î Þ · ( ) ¶ ( ) (),(), PQab = Chú ý: · ( ) 00 0(),()90 PQ££ d) Diện tích hình chiếu của một đa giác Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S¢ là diện tích của hình chiếu (H¢) của (H) trên (Q), j = · ( ) (),() PQ . Khi đó: S ¢ = S.cos j 2. Khoảng cách a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng. c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng: · Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. · Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng thứ nhất. · Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia. III. GÓC – KHOẢNG CÁCH Khối đa diện Trần Sĩ Tùng Trang 4 1. Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH. · 222 ABACBC += · 22 ABBCBHACBCCH .,. == · 222 111 AHABAC =+ · ABBCCBCBACCACB .sin.cos.tan.cot ==== b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a , m b , m c ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p. · Định lí hàm số cosin: 222222 22 222 a=bc2bccosA;bcacaBcababC – cos;.cos +=+-=+- · Định lí hàm số sin: R C c B b A a 2 sin sin sin === · Công thức độ dài trung tuyến: 222222222 222 242424 abc bcacababc mmm;; +++ =-=-=- 2. Các công thức tính diện tích a) Tam giác: · cba hchbhaS . 2 1 . 2 1 . 2 1 === · CabBcaAbcS sin 2 1 sin. 2 1 sin 2 1 === · R abc S 4 = · prS = · ( ) ( ) ( ) Sppapbpc = · DABC vuông tại A: 2 SABACBCAH == · DABC đều, cạnh a: 2 3 4 a S = b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = · ABADsinBAD e) Hình thoi: · 1 2 SABADsinBADACBD == f) Hình thang: ( ) hbaS . 2 1 += (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: 1 2 SACBD . = IV. Nhắc lại một số công thức trong Hình học phẳng Trn S Tựng Khi a din Trang 5 1. Th tớch ca khi hp ch nht: Vabc = vi a, b, c l ba kớch thc ca khi hp ch nht. 2. Th tớch ca khi chúp: 1 3 ủaựy VSh . = vi S ỏy l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi chúp 3. Th tớch ca khi lng tr: ủaựy VSh . = vi S ỏy l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi lng tr 4. Mt s phng phỏp tớnh th tớch khi a din a) Tớnh th tớch bng cụng thc ã Tớnh cỏc yu t cn thit: di cnh, din tớch ỏy, chiu cao, ã S dng cụng thc tớnh th tớch. b) Tớnh th tớch bng cỏch chia nh Ta chia khi a din thnh nhiu khi a din nh m cú th d dng tớnh c th tớch ca chỳng. Sau ú, cng cỏc kt qu ta c th tớch ca khi a din cn tớnh. c) Tớnh th tớch bng cỏch b sung Ta cú th ghộp thờm vo khi a din mt khi a din khỏc sao cho khi a din thờm vo v khi a din mi to thnh cú th d tớnh c th tớch. d) Tớnh th tớch bng cụng thc t s th tớch Ta cú th vn dng tớnh cht sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz khụng ng phng. Vi bt kỡ cỏc im A, A trờn Ox; B, B' trờn Oy; C, C' trờn Oz, ta u cú: OABC OABC V OAOBOC VOAOBOC ''' ''' = * B sung ã Din tớch xung quanh ca hỡnh lng tr (hỡnh chúp) bng tng din tớch cỏc mt bờn ã Din tớch ton phn ca hỡnh lng tr (hỡnh chúp) bng tng din tớch xung quanh vi din tớch cỏc ỏy. Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Gúc gia mt bờn v mt ỏy bng a (45 0 < a < 90 0 ). Tớnh th tớch hỡnh chúp. HD: Tớnh h = 1 2 a tan a ị Va 3 1 tan 6 =a Baứi 2. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, cnh bờn SA = a 5 . Mt mt phng (P) i qua AB v vuụng gúc vi mp(SCD) ln lt ct SC v SD ti C v DÂ. Tớnh th tớch ca khi a din ADDÂ.BCCÂ. HD: Ghộp thờm khi S.ABC'D' vo khi ADD'.BCC' thỡ c khi SABCD ị a V 3 53 6 = Baứi 3. Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú SA = x, BC = y, cỏc cnh cũn li u bng 1. Tớnh th tớch hỡnh chúp theo x v y. HD: Chia khi SABC thnh hai khi SIBC v AIBC (I l trung im SA) CHNG I KHI A DIN V TH TCH CA CHNG Khi a din Trn S Tựng Trang 6 ị xy Vxy 22 4 12 = Baứi 4. Cho t din ABCD cú cỏc cnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tớnh th tớch t din theo a, b, c. HD: Trong mp(BCD) ly cỏc im P, Q, R sao cho B, C, D ln lt l trung im ca PQ, QR, RP. Chỳ ý: V APQR = 4V ABCD = 1 6 APAQAR ị Vabcbcacab 222222222 2 ()()() 12 =+-+-+- Baứi 5. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^ (ABC).Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB v SC. Tớnh th tớch khi chúp A.BCNM. HD: 2 2 2 16 25 SAMN SABC V SASMSNSA VSASBSC SB ổử === ỗữ ỗữ ốứ ị a V 3 33 50 = Baứi 6. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB = 7 3 cm. Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABCD. Baứi 7. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A vi AB = 3 cm, AC = 4cm. Hai mt phng (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi mt phng ỏy v SA = 5cm. Tớnh th tớch khi chúp S.ABC. Baứi 8. Cho hỡnh t din ABCD cú AD ^ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. a) Tớnh khong cỏch t A n mp(BCD). b) Tớnh th tớch t din ABCD. Baứi 9. Cho lng tr tam giỏc u ABC.AÂBÂC cú mp(ABCÂ) to vi ỏy mt gúc 45 0 v din tớch DABC bng 49 6 cm 2 . Tớnh th tớch lng tr. Baứi 10. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, cỏc na ng thng Bx, Dy vuụng gúc vi mp(ABCD) v v cựng mt phớa i vi mt phng y. Trờn Bx v Dy ln lt ly cỏc im M, N v gi BM = x, DN = y. Tớnh th tớch t din ACMN theo a, x, y. Baứi 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB =a, AD = a 2 , SA ^ (ABCD). Gi M,N ln lt l trung im ca AD v SC, I l giao im ca BM v AC. a) Chng minh mp(SAC) ^ BM. b) Tớnh th tớch ca khi t din ANIB. Baứi 12. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^ (ABC). Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB, SC. Tớnh th tớch khi chúp A.BCNM. Trn S Tựng Khi a din Trang 7 Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD, cú cnh ỏy bng a v ã ASB a = . a) Tớnh din tớch xung quanh hỡnh chúp. b) Chng minh chiu cao ca hỡnh chúp bng 2 1 22 a cot a - c) Tớnh th tớch khi chúp. HD: a) S xq = 2 2 a cot a c) V = 32 1 1 62 acot a - Baứi 2. Cho hỡnh chúp SABC cú 2 mt bờn (SAB) v (SAC) vuụng gúc vi ỏy. ỏy ABC l tam giỏc cõn nh A, trung tuyn AD = a. Cnh bờn SB to vi ỏy gúc a v to vi mp(SAD) gúc b. a) Xỏc nh cỏc gúc a, b. b) Chng minh: SB 2 = SA 2 + AD 2 + BD 2 . c) Tớnh din tớch ton phn v th tớch khi chúp. HD: a) ã ã SBABSD; ab == c) S tp = 22 22 22 1 22 2 aasin (sinsin) cossin cossin b ab ab ab ++ - - V = 3 22 3 asin.sin (cossin) ab ab - Baứi 3. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Mt bờn SAB l tam giỏc u v vuụng gúc vi ỏy. Gi H l trung im ca AB v M l mt im di ng trờn ng thng BC. a) Chng minh rng SH ^ (ABCD). Tớnh th tớch khi chúp SABCD. b) Tỡm tp hp cỏc hỡnh chiu ca S lờn DM. c) Tỡm khong cỏch t S n DM theo a v x = CM. HD: b) K thuc ng trũn ng kớnh HD c) SK = 22 22 744 2 aaaxx ax -+ + Baứi 4. Trờn ng thng vuụng gúc ti A vi mt phng ca hỡnh vuụng ABCD cnh a ta ly im S vi SA = 2a. Gi BÂ, D l hỡnh chiu ca A lờn SB v SD. Mt phng (ABÂDÂ) ct SC ti CÂ. Tớnh th tớch khi chúp SABÂCÂDÂ. HD: 8 15 SABC SABC V V  = ị V SAB  C  D  = 3 16 45 a Baứi 5. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Mt mt phng (P) ct SA, SB, SC, SD ln lt ti AÂ, BÂ, CÂ, DÂ. Chng minh: SASCSBSD SASCSBSD +=+  HD: S dng tớnh cht t s th tớch hỡnh chúp Baứi 6. Cho t din u SABC cú cnh l a. Dng ng cao SH. a) Chng minh SA ^ BC. b) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABC. ễN TP KHI A DIN Khối đa diện Trần Sĩ Tùng Trang 8 c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. HD: b) V = 3 2 12 a ; S tp = 2 3 a . Baøi 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60 0 và cạnh đáy bằng a. a) Tính thể tích khối chóp. b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. HD: a) V = 3 6 6 a b) S = 2 3 3 a Baøi 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là a. a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h. b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB). HD: a) S xq = 2 2 4 1 h tan tan a a - ; V = 3 2 4 31 h (tan) a - Baøi 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 £ x £ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0). a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc. b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC). c) Tính thể tích khối chóp SABCM. d) Với giả thiết 222 xya += . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM. e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên đoạn AD. HD: b) d = 2 2 x c) V = 1 6 ayxa () + d) V max = 3 1 3 24 a Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một góc b. a) Chứng minh: SC 2 = 2 22 a cossin ab - . b) Tính thể tích khối chóp. HD: b) V = 3 22 3 asin.sin (cossin) ab ab - Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp. b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD. Chứng minh SC ^ (AEF). Baøi 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD. Baøi 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD) và SD = a . a) Chứng minh DSBC vuông. Tính diện tích DSBC. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Trần Sĩ Tùng Khối đa diện Trang 9 Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD 3 a = . Từ trung điểm E của DC dựng EK ^ SC (K Î SC). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ^ (EBK). Baøi 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy. a) Tính diện tích tam giác SBD. b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a. Baøi 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ^ SB và AE ^ SC. Biết AB = a, BC = b, SA = c. a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE. b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB). Baøi 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a. a) Xác định góc a. b) Chứng minh thể tích lăng trụ là: 3 3 33 8 a sin sin a a . HD: a) · CBI ¢¢ với I ¢ là trung điểm của A ¢ B ¢ Baøi 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h. Mặt phẳng (A¢BD) hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ. HD: V = 32 1 h tan a - , S xq = 22 41 h tan a - . Baøi 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA¢ đến mặt bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc a. a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢. Chứng minh: AH = a, · CAC ¢ = a, CK = b. b) Tính thể tích lăng trụ. c) Cho a = b không đổi, còn a thay đổi. Định a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất. HD: b) V = 3 222 2 ab basinsin aa - c) a = arctan 2 2 Baøi 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC¢ và đáy là 60 0 . Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ. HD: V = a 3 6 ; S xq = 4a 2 6 Baøi 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là a. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ. HD: S xq = 4h 2 1 cos cos a a - . Baøi 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC¢) hợp với mp(BCC¢B¢) một góc a. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢. a) Chứng minh · AJI = a. b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ. HD: b) V = 3 2 3 43 a tan a - ; S xq = 3a 2 2 3 3 tan a - . Baøi 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b. [...]... quanh của hình nón Bài 19 Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2 a Trong hình nón có một hình trụ nội tiếp Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vng Bài 20 Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là a Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h, cắt hình nón... đường SAO SAB=6 sinh của hình nón theo a Bài 7 Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vng cân có cạnh huyền bằng a Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho Bài 8 Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vng ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vng A’B’C’D’ Bài 9 Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng... thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 của hình trụ Mặt phẳng chứa hình vng tạo với đáy hình trụ một góc 450 Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó Bài 15 Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng Bài 16 Cho hình nón có... ra KS c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều suy ra: KA = KB +KC d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 6 Cho hình chóp S.ABC biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng IS = R 3 Bài 7 Cho tứ diện... sau: a) · = 900 b) · = 600 , b = c c) · = 120 0 , b = c BAC BAC BAC Bài 11 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a Xác định tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho Trang 17 Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng Bài 12 Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vng a) Tính Sxq và Stp của hình trụ b) Tính V khối lăng trụ tứ giác... Sĩ Tùng khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác Bài 11 Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 12 Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 13 Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h Gọi... tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều Tất cả các mặt của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu tiếp xúc với mặt cầu Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và Hình trụ trên mặt cầu mọi đường sinh của hình trụ Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi Hình nón đáy của hình nón đường sinh của hình nón 5 Xác định tâm... và OO’ khơng đổi Bài 7 Trong khơng gian cho hình vng ABCD cạnh a Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Khi quay hình vng đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó Trang 14 Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay Bài 8 Một hình trụ có bán kính... đều nội tiếp trong khối trụ đã cho Bài 13 Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3 A và B là 2 điểm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300 a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ b) Tính Sxq và Stp của hình trụ c) Tính thể tích khối trụ tương ứng Bài 14 Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà 2... định tâm và tính bán kính mặt cầu đó VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ Bài 1 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm Biết rằng thể tích tứ diện OO¢AB bằng 8 cm3 Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ Bài 2 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm Trên đường . quanh của hình nón đã cho. Baøi 8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông. trục của hình trụ là một hình vuông. Baøi 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là a . Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón. 2 3 4 a S = b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = · ABADsinBAD e) Hình thoi: · 1 2 SABADsinBADACBD